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2013届南通高三数学二轮复习:专题十一 数列应用(3)


专题十一

数列应用(3)

(解决数列的建模与解模问题)
考试说明要求:数列的概念 A 级,等差、等比数列 C 级. 高考试题应用:数列的综合应用有二种情况,一是在应用题中解决问题时建模,这类试 题是中档题;二是在压轴题中出现,一般与函数、不等式结合,这类试题是难题. 解决问题指南: 通过变形或转换向定义靠近, 利用熟悉的性质解决特殊数列有关的问题. 能与函数、不等式、三角函数、导数、几何知识整合.解答数学应用题的核心是建立数学模 型,有关增长率、利率(复利)以及分期付款等实际问题,需利用数列知识建立模型.常用 的数学模型有: ①构造等差、 等比数列的模型, 然后再应用数列的通项公式和求和公式求解; ②通过归纳得到结论,再用数列知识求解. 一、能力展示 1.对于数列 {an } ,定义数列 {an ?1 ? an } 为数列 {an } 的“差数列” ,若 a1 ? 2,{an } 的“差 数列”的通项为 2 ,则数列 {an } 的前 n 项和 S n = 2 . 若 数 列 {an } 的 通 项 公 式 an ?
n

.

1 , 记 f (n) ? 2(1 ? a1 )(1 ? a2 )? (1 ? an ) , 则 (n ? 1) 2

f ( n) =

.

3.图(1)(2)(3)(4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉 、 、 、 祥物“福娃迎迎” ,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形包含 f (n) 个“福娃迎迎” ,则

f (n) ? f (n ? 1) ?

.(答案用数字或 n 的解析式表示)

二、能力培养 1.已知函数 f ( x) ? e ,对于曲线 y ? f ( x) 上模坐标成等差数列的三个点 A, B, C ,给出
x

以下判断:① ?ABC 一定是钝角三角形; ③ ?ABC 可能是等腰三角形; 其中,正确的判断序号是 .

② ?ABC 可能是直角三角形; ④ ?ABC 不可能是等腰三角形.

1

2.已知数列 1

1 2 1 2 3 1 2 3 4 , , , , , , , , ,? ,该数列是具有一定规律性的. 2 2 3 3 3 4 4 4 4 19 (1)若 ak ? ,求 k 的值; 20
(2)若 Sn ? 11 ,求 n 的最大值.

3.某企业今年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润少 20 万元,今年初该企业一次性 投入资金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第 n 年(今年为第 一年)的利润为 500(1 ?

1 ) 万元( n 为正整数). 2n

(1)设从令年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技 术改造后的累计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金) ,求 An 、 Bn 的表达式; (2)依上述预测一下:从长远效益来看,该企业有没有进行技术改造的必要?如有必 要,则至少要经过多少年后,才能初见进行技术改造的成效?请说明理由。

三、能力测评 1.一条信息,若一人得知后,一小时内将信息传给两人,这两人又在一小时内各传给未 知信息的另外两人.如此下去,要传遍 55 人的班级所需时间最多大约为 2.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 小时.

则第 n 个图案中有白色地面砖的块数是目

.

3.某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款 10 万元,第一年便可获利 1 万元,以后每年比前一年增加 30%的利润;乙方案:每年贷款 1 万元,第一年可获利 1 万 元,以后每年比前一年增加 5 千克;两种方案的使用期都是 10 年,到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息 5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种获利更多?(取 1.0510=1.629,1.310=13.786,1.510=57.665)

2

专题十一
2

数列应用(3)
2

1.函数 y ? x ( x ? 0) 的图象在点 ( ak , ak ) 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak ?1 , k 为正整 数, a1 ? 16 ,则 a1 ? a3 ? a5 = .

2.如下图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展”而来,第(2)个多边形是由正四边 形“扩展”而来,??如此类推.设第 n 个多边形“扩展”而来的边数为 an ,

则数列 {

1 } 的前 n 项之和等于 an

.

3.假设某市 2009 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房.预计在今 后的若干年内,该市每年新建住房面积人平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中 低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么到哪一年底. (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2009 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%?

4.某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用为 12 万元,以后每年都 增加 4 万元,每年捕鱼收益 50 万元. (1)问第几年开始获利; (2)若干年后,有两种处理方案; 方案一:年平均获利最大时,以 26 万元出售该渔船; 方案二:总纯收入获利最大时,以 8 万元出售该渔船.问哪种方案合算?

5.将数列 {an } 的各项排列如图所示的三角形形状. (1)若数列 {an } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,写出图中第 5 行第 5 个数;

3

(2)若函数 f ( x) ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? ? ? an x ,且 f (1) ? n ,求数列 {an } 的通项
2 3 n

2

公式; (3)设 Tm 为第 m 行所有项的和,在(Ⅱ)的条件下,用含 m 的代数式表示 Tm .

a1 a2 a4 a7
? ?

a3 a5 a6 a9
? ? ?

a8
?

a10
?

6.在数列 {an } 中, a1 ? ?3 , an ? 2an ?1 ? 2 ? 3(n ? 2, 且n ? N ) .
n *

(1)求 a2 , a3 的值; (2)设 bn ?

an ? 3 (n ? N * ) ,证明: {bn } 是等差数列; n 2

(3)求数列 {an } 的前 n 项和 S n .

7.在数列 {an } 中 a1 ? 2, an ?1 ? ? an ? ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {an } 的前 n 项和 S n ; (3)证明存在 k ? N ,使得
*

n ?1

? (2 ? ? )2n , (n ? N * ) ,其中 ? ? 0 .

an ?1 ak ?1 * ? 对于任意 n ? N 均成立. an ak

4

专题十一
一、能力展示
n

数列应用(3)
n

1.分析: an ?1 ? an ? 2 ,利用累加法,得 an ? 2 ,答案: 2n?1 ? 2 2.分析: 1 ? an ?

n(n ? 2) n?2 ,利用累乘法,答案: 2 (n ? 1) n ?1
2

3.分析:观察图形,成对称, f (n) ? 2[1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1)] ? (2n ? 1) ? 2n ? 2n ? 1 再用 f (n) ? f (n ? 1) 计算,或直接从图上分析 f (n) ? f (n ? 1) ? (2n ?1) ? (2n ? 3) , 答案: 4(n ? 1) 精要点评: 第 1 题.关健对 {an } 的“差数列”的通项为 2 的理解,它不是 {an } 的通项公式, 第 2 题.利用累乘法时关健是约去因式时容易错,注意留下的因式位置应对称 第 3 题.关健分析出每个图本身的对称,再分析出相邻两图的关系 二、能力培养 1.分析:令 A( x ? k , e
x ?k

n

), B( x, e x ), C ( x ? k , e x ?k ), k ? N * ,

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? BA ? BC ? ?k 2 ? e2 x (ek ? e? k ? 2),? ek ? e ? k ? 2,? BA ? BC ? 0 , ①成立②不成立, 取

??? ??? ? ? AC 中点 D ,得 AC ? BD ? 0 ,故③不成立④成立,①④
2.分析: (1)先分组, (1), ? , ? , ? , , ?? ?

? 1 2? ? 1 2 3? ? 2 2? ? 3 3 3?

n? 19 ?1 2 , ,? ? , 从而可知 在第 20 组中 n? 20 ?n n

的第 19 个数.又各组中的项数依次为 1, 3, ?, 2, 4, 所以前 20 组共有 210 个, k ? 209 ; 故

1 n ?1 2 n?2 n ?1, ? ? 1, ? ?1, n n n n n 1 1 2 1 2 3 当取前 4 组时,则 4 ? [ ? ( ? ) ? ( ? ? )] ? 7 ? 10 , 2 3 3 4 4 4 1 2 3 4 5 当取前 5 组,则 7 ? ( ? ? ? ? ) ? 10 5 5 5 5 5 1 2 3 4 5 6 2 当取前 6 组,则 10 ? ( ? ? ? ? ? ) ,取到 , 6 6 6 6 6 6 6 n 的最大值为 15 ? 2 ? 17 .
(2)因为各组中有

3.分析: (1)依题意, An ? (500 ? 20) ? (500 ? 40) ? ? ? (500 ? 20n) ? 490n ? 10n

2

1 1 1 500 Bn ? 500[(1 ? ) ? (1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? n )] ? 600 ? 500n ? n ? 100 2 2 2 2
5

500 ? 100) ? (490n ? 10n 2 ) n 2 500 50 ? 10n2 ? 10n ? n ? 100 ? 10[n(n ? 1) ? n ? 10] 2 2 50 因为函数 y ? x( x ? 1) ? x ? 10 在 (0, ??) 上为增函数, 2 50 50 当 1 ? n ? 3 时, n(n ? 1) ? n ? 10 ? 2 ? ? 10 ? 0 ; 2 8 50 50 当 n ? 4 时, n(n ? 1) ? n ? 10 ? 20 ? ? 10 ? 0 ;?仅当 n ? 4 时, Bn ? An 2 16
(2) Bn ? An ? (500n ? 答:有进行技术改造得必要,且至少经过 4 年后,技术改造才能初见成效. 方法指导: 第 1 题.钝角、锐角、直角的研判用向量的数量积处理, 第 2 题.要观察数列的特殊性,实行合理分析,由于数值不大,可用合情推理解决. 第 3 题.根据题意合利建模,特别当心起始项,方案是否最好的题型用比较法,利润最 大、成本最小的题型用基本不等式法或函数单调性,但注意 n 的意义. 三、能力测评 1 . 分 析 : 由 题 意 , n 小 时 后 有 2n 人 得 知 , 此 时 得 知 信 息 总 人 数 为

1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ? 2n?1 ?1 ? 55 ,即 2n?1 ? 56 ? n ? 1 ? 6 ? n ? 5 .答案:5
2.分析: a1 ? 6, a2 ? 10, a3 ? 14,? 故 an ? 4n ? 2 3.分析:甲方案是等比数列,乙方案是等差数列, ①甲方案获利: 1 ? (1 ? 30%) ? (1 ? 30%) ? ? ? (1 ? 30%) ?
2 9

1.310 ? 1 ? 42.63 (万 0.3

元) , 银行贷款本息: 10(1 ? 5%) ? 16.29 (万元) ,
10

故甲方案纯利: 42.63 ?16.29 ? 26.34 (万元) , ②乙方案获利: ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 2 ? 0.5) ? ? ? (1 ? 9 ? 0.5) ? 10 ?1 ? 1 元) ; 银行本息和: 1.05 ? [1 ? (1 ? 5%) ? (1 ? 5%) ? ? ? (1 ? 5%) ]
2 9

10 ? 9 ? 0.5 ? 32.50(万 2

? 1.05 ?

1.0510 ? 1 ? 13.21 (万元) 0.05

故乙方案纯利: 32.50 ?13.21 ? 19.29 (万元) ; 综上可知,甲方案更好. 防错机制:
6

第 1 题.注意审题,问最多需要多少时间,故对一小时内将可理解为 1 小时. 第 2 题.每增加一块黑颜色的地面砖就增加 4 块白颜色的地面砖,这是公差. 第 3 题.先确定所用的模是什么数列,要实行分层解决. 三、能力提升 1.分析:在点 ( ak , ak ) 处的切线方程为: y ? ak ? 2ak ( x ? ak ) ,当 y ? 0 时,解得 x ?
2
2

ak , 2

所以 ak ?1 ?

ak , a1 ? a3 ? a5 ? 16 ? 4 ? 1 ? 21 . 2

2.分析: a1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2, a2 ? 4 ? 2 ? 4 ? 3, a3 ? 5 ? 2 ? 5 ? 4,?,

1 1 an ? (n ? 2)2 ? (n ? 2)(n ? 1) ? (n ? 2)(n ? 3) ,答案: ? 3 n?3
3. 分析: 设中低价房面积开成数列 {an } , (1) 由题意可知 {an } 是等差数列.其中 a1 ? 250,

d ? 50 ,则 Sn ? 250n ?
2

n(n ? 1) ? 50 ? 25n2 ? 225n . 2
2 *

令 25n ? 225n ? 4750 ,即 n ? 9n ? 190 ? 0 ,又 n ? N ,? n ? 10 . 到 2018 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米. (2)设新建住房面积形成数列 {bn } ,由题意可知 {bn } 是等比数列.其中 b1 ? 400 ,

d ? 1.08 ,则 bn ? 400 ? (1.08) n?1 .
由题意可知 an ? 0.85bn 得: 250 ? (n ? 1) ? 50 ? 400 ? (1.08) 可得满足上述不等式的最小正整数 n ? 6 . 到 2014 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 4.分析: (1)由题意知,每年的费用是以 12 为首项,4 为公差的等差数列. 设纯收入与年数 n 的关系为 f (n) ,则
n ?1

? 0.85 .

f (n) ? 50n ? [12 ? 16 ? ? ? (8 ? 4n)] ? 98 ? ?2n2 ? 40n ? 98 .
2 由题知获利即为 f (n) ? 0 ,由 ?2n ? 40n ? 98 ? 0 ,得 10 ? 51 ? n ? 10 ? 51 .

? n ? N ,? n ? 3, 4,5,?,17. 即第 3 年开始获利.
(2)方案一:年平均收入 ? 由于 n ?

f ( n) 49 ? 40 ? 2(n ? ) . n n

49 49 ? 2 n? ? 14 ,当且仅当 n ? 7 时取“=”号. n n

?

f ( n) ? 40 ? 2 ?14 ? 12 (万元). n
7

即前 7 年年平均收益最大,此时总收益为 12 ? 7 ? 26 ? 110 (万元). 方案二: f (n) ? ?2n ? 40n ? 98 ? ?2(n ? 10) ? 102 .
2 2

当 n ? 10 时, f (n) 取最大值 102,此时总收益为 102+8=110(万元). 比较如上两种方案,总收益均为 110 万元,而方案一中 n ? 7 ,故选方案一. 5.分析: (1)第 5 行第 5 个数是 29. (2)由 f (1) ? n .得 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? n
2
2

设 S n 是数列 {an } 的前 n 项和,? Sn ? n ,?, 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ? 1
2

当 n ? 2 时, an ? sn ? sn ?1 ? n ? (n ? 1) ? 2n ? 1 ,又当 n ? 1 时, 2n ? 1 ? 1 ? a1 ,
2 2

? an ? 2n ? 1 ,即数列 {an } 的通项公式是 an ? 2n ? 1(n ? 1, 2,3,?) .
(3)由(Ⅱ)知数列 {an } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.

1 ? (m ? 1) m2 ? m , ? (m ? 1) ? ?前 n ? 1行共有项 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (m ? 1) ? 2 2
m2 ? m ? 1) ? 1 ? m 2 ? m ? 1 . ?第 m 行的第一项为 a m2 ? m ? 2 ? ( ?1 2 2

?第 m 行构成首项为 m2 ? m ? 1 ,公差为 2 的等差数列,且有 m 项.
?Tm ? (m2 ? m ? 1) ? m ? m(m ? 1) ? 2 ? m3 . 2
n *

6.分析: (1)? a1 ? 3, an ? 2an ?1 ? 2 ? 3(n ? 2, 且n ? N ) ,

? a2 ? 2a1 ? 22 ? 3 ? 1, a3 ? 2a2 ? 23 ? 3 ? 13 .
(2)证法一:对于任意 n ? N ,
*

? bn?1 ? bn ?

an?1 ? 3 an ? 3 1 1 ? ? n?1 [(an?1 ? 2an ) ? 3] ? n?1 [(2n?1 ? 3) ? 3] ? 1 , n ?1 2 2 2 2 a ? 3 ?3 ? 3 ? ? 0 ,公差为 1 的等差数列. ?数列 {bn } 是首项为 1 2 2
证法二:对于任意 n ? N ,
*

? 2bn ?1 ? (bn ? bn ? 2 ) ? 2 ?

an ?1 ? 3 ? an ? 3 an ? 2 ? 3 ? 1 ? ? n ? n ? 2 ? ? n ? 2 (4an ?1 ? 4an ? an ? 2 ? 3) n ?1 2 2 ? 2 ? 2

?

1 2
n?2

[2(an?1 ? 2an ) ? (an? 2 ? 2an?1 ) ? 3] ?
8

1 2
n?2

[2(2n?1 ? 3) ? (2n? 2 ? 3) ? 3] ? 0,

? 2bn ?1 ? bn ? bn ? 2 ,

?数列 {bn } 是首项为

a1 ? 3 ?3 ? 3 ? ? 0 ,公差为 b2 ? b1 ? 1 的等差数列. 2 2 a ?3 (3)由(2)得, n n ? 0 ? (n ? 1) ?1,? an ? (n ? 1) ? 2n ? 3(n ? N * ) . 2

? Sn ? ?3 ? (1? 22 ? 3) ? (2 ? 23 ? 3) ? ? ? [(n ? 1) ? 2n ? 3] ,
即 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 ? 3n .
2 3 4 n

设 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ? 2 ,
2 3 4 n

则 2Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2
3 4 5

n ?1

, Tn ? (n ? 2)2n ?1 ? 4 ,

Sn ? (n ? 2)2n ?1 ? 4 ? 3n
7.分析: (1)由 an ?1 ? ? an ? ?
n ?1

? (2 ? ? )2 n ,得

?

an?1
n ?1

a 2 2 ? ( )n?1 ? n ? ( )n ? 1 ,所以 n

?

?

?

{

?

an
n

a 2 2 ? ( ) n } 是以首项为 0,公差为 1 的等差数列, n ? ( ) n ? n ? 1 , n

?

?

?

所求的通项公式为 an ? (n ? 1)? ? 2
n

n

(2)当 ? ? 1 时, an ? (n ? 1) ? 2 , Sn ?
n
2 3 4

n(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 , 2
n ?1

当 ? ? 1 时,设 Tn ? ? ? 2? ? 3? ? ? ? (n ? 2)?

? (n ? 1)? n ,

?Tn ? ? 3 ? 2? 4 ? 3? 5 ? ? ? (n ? 2)? n ? (n ? 1)? n?1 ,
Tn ? (n ? 1)? n ? 2 ? n? n ?1 ? ? 2 (n ? 1)? n ? 2 ? n? n ?1 ? ? 2 , Sn ? ? 2n ?1 ? 2 2 2 (1 ? ? ) (1 ? ? )

(3)

a2 an ?1 a2 an ? a1an ?1 1 ? ? ? [(? 2 ? 4)[(n ? 1)? n ? 2n ] ? 2(n? n ?1 ? 2n ?1 )] a1 an a1a2 a1a2
[(n ? 1)? 2 ? 4(n ? 1) ? 2n? ? 2 n ? 2? n ]

?

?n
a1a2

?

?n
a1a2

[(n ? 1)(? ? 2) 2 ? 2? (n ? 2) ? 2n ? 2? n ]

当 n ? 1时,上式 ? 0 ,即

an ?1 a2 ? an a1

9

所以存在 k ? 1 时,使得

an ?1 ak ?1 * 对于任意 n ? N 均成立. ? an ak

专题十二

三角函数与向量(1)

(解决化简和求值及证明问题)
考试说明要求:三角函数的概念 B 级,同角三角函数的基本关系式 B 级,正弦函数余 弦函数的诱导公式 B 级,正弦、余弦、正切函数的图象与性质 B 级. 高考试题应用:主要考查象限角、终边相同的角,从题型上看,主要出现在填空题中, 难度不大由. 解决问题指南: 能运用这些诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数, 并会运用 他们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明,对求值题,主要利用同角三角函 数的基本关系式、三角函数的诱导公式以及基本运算的能力. 一、能力展示 1.已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则

cos 2? =

? ,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为 3 ? 3 ? 4 3.已知 sin ? , cos ? ? ,那么 ? 的终边在第 象限. 2 5 2 5
2.若扇形的中心角为 4.观察下列等式: ① cos 2a ? 2cos a ? 1 ;
2

.

.

② cos 4a ? 8cos a ? 8cos a ? 1 ;
4 2

③ cos 6a ? 32cos a ? 48cos a ? 18cos a ? 1 ;
6 4 2

④ cos8a ? 128cos a ? 256cos a ? 160cos a ? 32cos a ? 1 ;
8 6 4 2

⑤ cos10a ? n cos ? 1280cos a ? 1120cos a ? n cos a ? p cos a ? 1 .
10 8 6 4 2

可以推测, m ? n ? p ? 二、能力培养

.

1 ? cos 2? 的值为 ? cos ? ,且 ? ? (0, ) ,则 ? 2 2 sin(? ? ) 4 4? ? 2. ? ? ? ? ? ? , ?? ? ? ? ? ? ? ,求 2? ? ? 的范围. 3 3
1.已知 sin ? ?
10

.

(变式)已知 sin ? ?

1 ,sin(? ? ? ) ? 1 ,求 sin(2? ? ? ) 的值. 3

3.扇形 AOB 的中心角为 2? ,半径为 r ,在扇形 AOB 中作内切圆 O1 及与圆 O1 外切,与

OA, OB 相切的圆 O2 ,问 sin ? 为何值时,圆 O2 的面积最大?最大值是多少?

三、能力测评 1.若 ? 满足 cos ? ? ?

1 ,则角 ? 的取值集合是 2
.

.

2.设 sin ?

?? ? 1 ? ? ? ? ,则 sin 2? = ?4 ? 3

3.如题图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 C ,各段弧所在的圆经过 同一点 P (点 P 不在 C 上)且半径相等.设第 i 段弧所对的圆心角为 ? i (i ? 1, 2,3) ,则

cos

?1
3

cos

?2 ? ? 3
3

? sin

?1
3

sin

? 2 ?? 3
3

=

.

专题十二
1.化简: sin ( x ?
2

三角函数与向量(1)
?

. ) ? sin 2 ( x ? ) ? sin 2 x = 6 6 4 2.已知 a 是第二象限的角, tan(? ? 2a) ? ? ,则 tan a = 3 3.已知 ? ? (

?

.

?
2

, ? ),sin ? ?

5 ,则 tan 2? = 5

.

4.化简

sin[(k ? 1)? ? ? ] ? cos[(k ? 1)? ? ? ] (k ? Z ) . sin(k? ? ? ) ? cos(k? ? ? )

11

5.设一扇形的周长为 C (C ? 0) ,当扇开中心角为多大时,它有最大面积?最大面积是多 少?

6.已知 sin ? , cos? 是关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 0(a ? R) 的两个根.
2

? ? ) ? sin 3 ( ? ? ) 的值; 2 2 1 (2)求 tan(? ? ? ) ? 的值. tan ?
(1)求 cos3 (

?

?

7. 是否存在角 ? 、 , ? ? ? ? ?

? ? ? ?? 使等式 sin(3? ? ? ) ? 2 cos( ? ? ) , , ? , ? (0, ? ) , ? 2 ? 2 2?

3 cos(?? ) ? ? 2 cos(? ? ? ) 同时成立,若存在,求出 ? 、 ? 的值;若不存在,请说明
理由.

专题十二
一、能力展示 1.分析: tan ? ? 2, cos 2? ?

三角函数与向量(1)

cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? 4 3 ? , 答案: ? 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? 4 5

? 知: 3 1 ? ? 3 3 2r ? r ? R ,即 R ? 3r .? S扇 ? ? R 2 ? R 2 , S圆 ? R 2 .故 S扇 : S圆 ? .答案: 、 2 6 9 2 2 ? ? 24 ? ? 7 3.分析: sin ? ? 2sin cos ? ? ? 0 , cos ? ? cos 2 ? sin 2 ? ? 0 ,答案: 2 2 25 2 2 25 ? 终边在第四象限.
2.分析:设扇形的圆半径为 R ,其内切圆的半径为 r ,则由扇形中心角为 4. 分析: 因为 2 ? 2 ,8 ? 2 ,32 ? 2 ,128 ? 2 , 所以 m ? 2 ? 512 ; 观察可得 n ? ?400 ,
1 3 5 7

9

p ? 50, 答案: m ? n ? p ? 962
精要点评:

12

第 1 题.利用直线知识,得 tan ? ? 2 ,再弦化切,用公式. 第 2 题.通过作图可,利用圆心、切点、扇形顶点得 Rt? ,从而得 R ? 3r . 第 3 题.由半角的函数值比为单角的函数值,再由符号确定象限. 第 4 题.利用类比推理 二、能力培养 1.分析:

cos 2? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? 2 ? 2(cos ? ? sin ? ) ?? sin ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? 4? ?

? 1 3 ? ? (0, ),sin ? ? cos ? ? 0,sin ? ? cos ? ? , 两边平方得 sin 2? ? ,
2 2 4
sin ? ? cos ? ? 1 ? sin 2? ? 7 14 ,答案: ? 2 2

2.分析:设 x ? ? ? ? , y ? ? ? ? , 2? ? ? ? mx ? ny, 则 2? ? ? ? m? ? m? ? n? ? n? ? (m ? n)? ? (m ? n) ? .

? m ? n ? 2, 1 3 1 3 ?? ? m ? , n ? .? 2? ? ? ? x ? y . 2 2 2 2 ? m ? n ? ?1.

??? ?

1 3 ? x? y ? . 2 2 6

( 变 式 ) 分 析 : 由 已 知 sin( ? ? )? 1, ? ? ? ? 2k? ? 则 ?

?
2

, 再 将 2? ? ? 改 造 成

2(? ? ? )? ? 即可求之.? sin(? ? ? ) ? 1,?? ? ? ? 2k ?

?
2

.

1 ? sin(2? ? ? ) ? sin[2(? ? ? ) ? ? ] ? sin ? ? . 3
?(r ? r1 ) sin ? ? r1 ? ,得 3.分析:设圆 O1 及与圆 O2 的半径分别为 r1 , r2 ,则 ? ? ?(r1 ? r2 ) cos( 2 ? ? ) ? r1 ? r2 ?

r sin ? ? ?r1 ? 1 ? sin ? r (1 ? sin ? ) r sin ? (1 ? sin ? ) ? ,? r2 ? 1 ? , ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? ) 2 ?r ? r1 (1 ? sin ? ) ?2 2 ? sin ? ?
? 0 ? 2? ? 2? ,? 0 ? ? ? ? , 令t ? sin ? ? 1(1 ? t ? 2) ,
r2 ? ?t 2 ? 3t ? 2 1 3 1 ?1 3 ? 1 ? ?2 ? ? ? ? ,当 ? ,即 sin ? ? 时,圆 O2 的半径最大,圆 2 t t 4 3 ?t 4? 8
2

13

O2 的面积最大,答案:最大面积为
方法指导:

?
64

.

第 1 题.可以所求的形式上先化简,明确求什么,再讨论范围. 第 2 题.可以把 ? ? ? 与 ? ? ? 看成两个变量(整体思想) ,然后把 2? ? ? 用这两个变 量表示出来即可. 第 3 题.关健寻找 Rt? ,立出 R 与 r 的半系式. 三、能力测评

1 ,过 M 作垂直于 x 轴的直线交单位圆于 P 、 P2 两点, 1 2 1 2 2 则 OP 、 OP2 是 cos ? ? ? 时 ? 的终边.答案: {? | 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z } 1 2 3 3 ? ? ? 7 2 2.分析: sin 2? ? ? cos( ? 2? ) ? ? cos 2( ? ? ) ? 2sin ( ? ? ) ? 1 ,答案: ? 2 4 4 9 ? ? ?3 ? ? ?3 ? ? ? 2 ? ?3 ? ? 3.分析: cos 1 cos 2 ? sin 1 sin 2 ? cos 1 3 3 3 3 3 ? ? ? 2 ? ?3 1 又 ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 2? ,所以 cos 1 ?? 3 2
1.分析:先作出余弦线 OM ? ? 防错机制: 第 1 题.解三角不等式的方法可用三角函数线或三角函数图象来解决. 第 2 题. 2(

?

4

?? ) ?

?

2

? 2? ,两边取余弦,注意符号.

第 3 题.关健能否审出 ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 2? 三、能力提升 1.分析:可用令 x ? 0 求值勤,用 x ?

?

2 3 4 2 tan ? 3 2.分析:由 tan(? ? 2a) ? ? 得 tan 2a ? ? , 又 tan 2a ? ?? , 2 4 3 1 ? tan ? 4 1 1 得 tan ? ? ? 或 tan ? ? 2 ,又 a 是第二象限的角,答案: ? . 2 2
3.分析:由题意得 cos ? ? ?

来验证.答案:

1 2

2 5 1 4 , tan ? ? ? ,答案: ? 5 2 3

4.分析:当 k ? 2n(n ? Z ) 时,原式 ?

sin(2n? ? ? ? ? ) ? cos(2n? ? ? ? ? ) sin(2n? ? ? ) ? cos(2n? ? ? )

?

? sin ? ? (? cos ? ) ? ?1 .当 k ? 2n ? 1(n ? Z ) 时, ? sin ? ? cos ?
sin[(2n ? 2)? ? ? ] ? cos[(2n ? 2)? ? ? ] sin ? ? cos? ? ? ?1 . sin(2n? ? ? ? ? ) ? cos(2n? ? ? ? ? ) sin ? ? (? cos? )

原式 ?

14

综上结论,原式 ? ?1 . 5. 分析: 设扇形的中心角为 ? , 半径为 r , 面积为 S , 弧长为 l , l ? 2r ? c , l ? ? 2 . 则: 即 c r

1 1 C C2 C2 C .故当 r ? 时, Smax ? , ? s ? lr ? (C ? 2r ) ? r ? ?(r ? ) 2 ? 2 2 4 16 16 4

l C ? 2r 此时: ? ? ? ? r r

C?

C 2 2 ? 2 .答案:当 ? ? 2 时, S ? C max C 16 4
2

.

6.分析:由已知原方程判别式 ? ? 0 ,即 (?a) ? 4a ? 0 ,?a ? 4 或 a ? 0 , 又?

?sin ? ? cos ? ? a ,? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2sin ? cos ? , 即 a 2 ? 2a ? 1 ? 0 , sin ? cos ? ? a ?

从而 a ? 1 ? 2 或 a ? 1 ? 2 (舍去) ,因此 sin ? ? cos? ? sin ? cos? ? 1 ? 2 。 (1) cos ?
3

?? ? ?? ? ? ? ? ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 3 ? ? cos3 ? ?2 ? ?2 ?

? (sin ? ? cos? )(sin 2 ? ? sin ? cos? ? cos 2 ? ) ? (1 ? 2)[1 ? (1 ? 2)] ? 2 ? 2
(2) tan(? ? ? ) ?

1 1 ? sin ? cos ? ? ? tan ? ? ? ?? ? tan ? tan ? ? cos? sin ?

1 ? ??? sin ? cos? ?

??

1 ? 1? 2 . 1? 2

7.分析:将已知条件化为 ?

?sin ? ? 2 sin ? ?

(1)

? 3 cos ? ? 2 cos ? (2) ?

? sin 2 ? ? 3cos2 ? ? 2sin 2 ? ? 2cos2 ?

1 ? sin 2 ? ? 3(1 ? sin 2 ? ) ? 2 ? sin 2 ? ? , ? ? ? (0, ? ),?sin ? ? 0 , 2
从而由(1)知 sin ? ? 0 ,? sin ? ?

2 ? ? ? ?? .又?? ? ? ? , ? ,?? ? . 2 4 ? 2 2?

当? ?

?
4

时,由(2)式得 cos ? ?

3 ? , 又 ? ? (0, ? ),? ? ? . 2 6

故存在 ? ?

?
4

,? ?

?
6

使两个等式同时成立.

15

专题十三

三角函数与向量(2)

(解决解析式和变换及求值问题)
考试说明要求:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象与性质 A 级,两角和(差)的正弦、余弦 及正切 C 级,二倍角的正弦、余弦及正切 B 级. 高考试题应用: 这部分内容在高考中以填空题或解答题的形式出现, 经常与三角函数的 性质、 解三角形及向量综合考查, 其合题热点是三角函数求值, 通过三角变形研究函数性质; 亮点是与向量问题的综合考查. 解决问题指南: (1)给角求值:转化为求特殊角的三角函数值问题; (2)给值求值:解 题的关键在于“变角” ,如 ? =(? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 等,把所 求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论; (3)给值求角:实质上转化为 “给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角. 一、能力展示 1.若函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 在区间 [0, 则? = 2 . 若 .

?

] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 3 3 2

? ?

0 ?? ?
. )

?
2

,?

?

? 1 ? ? 3 ? ? ? 0, cos( ? ? ) ? , cos( ? ) ? 2 4 3 4 2 3





c

? ? ? s ?( o
2

3.已知 sin ? , cos? 是方程 4 x ? 4mx ? 2m ? 1 ? 0 的两个根,
2

3? ? ? ? 2? , 求角 ? . 2

二、能力培养 1.已知 f ( x) ? 2sin x , g ( x ) ? sin( ? x ) ,直线 x ? m 与 f ( x) 、 g ( x) 的图象分别交于

?

2

M 、 N 点,则 | MN | 的最大值是

.
2

2.设 a ? R, f ( x) ? cos x (a sin x ? cos x ) ? cos ( ? x ),满足 f (?

?

?
3

2

) ? f (0) ,求函数

? ? 11? ? 上的最大值和最小值. f ( x) 在 ? , ? 4 24 ? ?

3.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0) 的一系列对应值如下表:

16

x
y

?

?
6

? 3
1

5? 6
3

4? 3
1

11? 6

7? 3
1

17? 6
3

?1

?1

(1)根据表格提供的数据求函数 f ( x) 的一个解析式; (2)根据(1)的结果,若函数 y ? f (kx)(k ? 0) 周期为

2? ? ?? ,当 x ? ?0, ? 时,方程 3 ? 3?

f (kx) ? m 恰有两个不同的解,求实数 m 的取值范围;

三、能力测评 1.已知函数 f ( x) ? 3 sin x ? cos x( x ? R) ,若 f ( x) ?1 ,则 x 的取值范围为 2.设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ), (? ? 0,| ? |? .

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且

f (? x) ? f ( x).有下列四个结论:
① f ( x) 在 (0,

) 上单调递减; 2 ? 3? ② f ( x) 在 ( , ) 上单调递减; 4 4
③ f ( x) 在 (0,

?

) 上单调递增; 2 ? 3? ④ f ( x) 在 ( , ) 上单调递增. 4 4
其中结论正确的序号有 3.已知函数 f ( x) ? 4cos x sin( x ? (1)求 f ( x) 的最小正周期: (2)求 f ( x) 在区间 [?

?

?
6

.

) ?1.

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 6 4

17

专题十三
1.设函数 f ( x) ? sin ? 则 | x1 ? x2 | 的最小值为

三角函数与向量(2)

?? x ? ? ? ? ,若对于任意的 x ?R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立, ? 3 5?
.

2.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), (? ? 0,| ? |?

?
2

) 的部分

图像如下图,则 f ?

?? ? ?= ? 24 ?

.

3.已知 f ( x) ? 3 cos ? 最小正值为 ? 0 . (1)求 ? 0 的值;

?? x ? ? ? ? , (r ? 0) 是奇函数, ? 的 ? r ?

(2)如果函数 f ( x) ? 3 cos(

?x
r

? ?0 ) 至少有一个最大值点和一个最小值点在圆

x 2 ? y 2 ? r 2 内,求 r 的取值范围.

4.已知函数 f ( x) ? tan(2 x ?

?
4

).

(1)求 f ( x) 的定义域与最小正周期; (2)设 ? ? (0,

?

) ,若 f ( ) ? 2 cos 2? , 求 ? 的大小. 4 2

?

5.已知函数 f ( x) ? (1 ? cot x)sin x ? m sin( x ?
2

?

)sin( x ? ) . 4 4

?

(1)当 m ? 0 时,求 f ( x) 的单调增区间; (2)当 tan ? ? 2 时, f (a) ?

3 ,求 m 的值. 5

18

6. 设二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c(b, c ? R) ,已知不论 ? , ? 为何实数恒有 f (sin ? ) ? 0 ,
2

f (2 ? cos ? ) ? 0 .
(1)求证: b ? c ? ?1 ; (2)求证: c ? 3 ; (3)若函数 f (sin ? ) 的最大值为 8,求 b, c 的值.

专题十三
一、能力展示 1.分析:在区间 [0, 得极大,答案: 2.分析: ? ?

三角函数与向量(2)
? ?
?

?

] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减表示当 x ? 时,函数取 3 3 2 3

3 2

?

? ? ? ? ? 3? ? 2 2 ? ( ? ? ) ? ( ? ), ? ? ? ? ,sin( ? ? ) ? . 2 4 4 2 4 4 4 4 3
? ? ? 6 5 3 ,sin( ? ) ? ,答案: 2 4 2 3 9

?
4

?

?
4

?

?
2

?

?sin ? ? cos ? ? m ? 2m ? 1 ? , 代入 (sin ? ? cos? )2 ? 1 ? 2sin ? ? cos? , 3.分析:? ?sin ? ? cos ? ? 4 ? ?? ? 16( m 2 ? 2m ? 1) ? 0 ?
得m ?

1? 3 3? 2m ? 1 ,又 ? ? ? 2? ,? sin ? ? cos? ? ? 0, 2 2 4
1? 3 ? 3 1 3? , cos? ? , 又 ? ? ? ? 2? , ,? sin ? ? 2 2 2 3

sin ? ? cos ? ? m ?
答案: ? ? 精要点评:

5? . 6

第 1 题.利用函数的性质, x ?

?
3

时是极大值,即 ?

?
3

?

?
2

.

第 2 题.从角上分析,利用角的变换整体思想,并对角范围的讨论,确定符号. 第 3 题.方程有两个实根首先考虑 ? ? 0 ,再由角的范围确定根的弃舍. 二、能力培养
19

1.分析: | MN | 的意义是当 x ? m 时,两交点间的距离, 故 f ( x) ? g ( x) ? 5 ?

1 ? 2 ? sin x ? cos x ? ? 5 sin( x ? ?) ,答案: 5 5 ? 5 ?

2.分析: f ( x) ? a cos x sin x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 得 a ? 2 3 ,因此 f ( x) ? 2sin(2 x ? 当 x ?[

?
6

a ? sin 2 x ? cos 2 x ,由 f (? ) ? f (0) , 2 3

).

, ] 时, 2 x ? [ , ], f ( x) 为增函数, 4 3 3 2 ? 11? ? 3? 当 x ?[ , ] 时, 2 x ? [ , ], f ( x) 为减函数, 3 24 2 4 ? 11? ? 所以, f ( x) 在 [ , ] 上的最大值为 f ( ) ? 2 4 24 3 ? 11? 又因为 f ( ) ? 3, f ( )? 2. 4 24 ? 11? 所以 f ( x) 在 [ , ] 上的最大值为 2,最小值 2 4 24
3.分析: (1)设 f ( x) 的最小正周期为 T ,得 T ?

? ?

? ?

11? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 6 ? 6?

由T ? 令? ?

2?

?

得 ? ? 1 ,又 ?

?B ? A ? 3 ?A ? 2 ,解得 ? ? B ? A ? ?1 ?B ? 1

5? ? 5? ? ? ?? ? , 即 ? ? ? , 解得 ? ? ? 6 2 6 2 3

?? ? ? f ( x) ? 2sin ? x ? ? ? 1 3? ?
(2) 函数 y ? f (kx) ? 2sin ? kx ? ?

? ?

??

2? ? ? 1 的周期为 3? 3

又 k ? 0 ? k ? 3, 令t ? 3x ?

?

? ?? ? ? 2? ? ,? x ? ?0, ? ? t ? ? ? , ? 3 ? 3? ? 3 3 ?

如图 sin t ? s 在 ? ?

? 3 ? ? ? 2? ? ,1? , 上有两个不同的解的充要条件是 s ? ? 2 ? ? 3 3 ? ? ? ?

? ?? ?方程 f (kx) ? m 在 x ? ?0, ? 时恰好有两个不同的解的充要条件是 m ? ? 3 ? 1, 3 , ? ? 3?

?

即实数的取值范围是 ? 3 ? 1,3

?

?
20

方法指导: 第 1 题.理解 | MN | 的意义是关健. 第 2 题.先化简函数式,利用函数的单调性求极值,再与端点处的函数值比较,确定最 值. 第 3 题.根据周期函数的性质和表格可得周期,再由表中的数据得振幅; (2)中对“恰 有两个不同的解”的理解是关健,必须是充要,可借助于图来理解. 三、能力测评 1.分析: f ( x) ? 2sin( x ? 答案: {x | 2k? ?

?

?
3

? 1 ) ? 1 ,即 sin( x ? ) ? , 6 6 2

? x ? 2k? ? ? , k ? Z }

2.分析:由最小正周期为 ? ,得 ? ? 2 , f ( x) ? 即? ?

?
4

? k? (k ? Z ) ,从而得 ? ?

?
4

2 cos[(2 x ? ? ) ? ] ,得 ? ? ? k? , 4 4

?

?

, f ( x) ? 2 cos 2 x ,答案:①

3.分析: (1)因为 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?
6

) ? 1 ? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

? 3 sin 2 x ? 2cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) . 6
所以 f ( x) 的最小正周期为 ? ; (2)因为 ?

?

?
6

?x?

?
4

,所以, ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

于是,当 2 x ? 当 2x ? 防错机制:

?
6

?

?
2

,即 x ?

?
6

2? , 3

时, f ( x) 取得最大值 2;

?
6

??

?

6

,即 x ? ?

?
6

时, f ( x) 取得最小值 ?1 ;

第 1 题.注意定义域为 R,故要当心终边相同的角,不能忘记 2k? . 第 2 题.由于是偶函数,故用 f ( x) ? 能写成 ? ?

?
4

2 cos[(2 x ? ? ) ? ] ,注意 (? ? 0,| ? |? ) ,不 4 2

?

?

? k? (k ? Z ) .

第 3 题.求在区间上的最值时,必须讨论,并求出取得最值时的 x 值以便验证. 三、能力提升 1.分析:函数的周期为 6,相邻最高点与最低点的横坐标相差 3 个单位,答案:3. 2.分析: 得? ?

?

T 3? ? ? 3? ? ? ? ,得 ? ? 2, 2 ? ? ? ? k? , 2 8 8 4 8

, f ( x) ? A tan(2 x ? ) ,过点 (0,1) ,得 A ? 1 ,答案: 3 4 4

?

21

3.分析: (1)因为 f ( x) 是奇函数,定义域为 R ,所以 f (0) ? 0 ,得 ? ? k? ? 又因为 ? 的最小正值为 ? 0 ,所以 ?0 ? (2)因为 f ( x) ? 3 cos( 所以当

?
2

, k ?Z

?
2

?x ?

r r 2 2 r 因为 f ( x) 是奇函数,所以只需要有一个离原点最近的最大值点 (? , 3) 在圆内即可, 2 2 r 2 所以 (? ) ? 3 ? r 2 ,解得 r ? 2 2 ? ? k? ? 4.分析: (1)由 2 x ? ? k? ? , k ? Z ,得 x ? ? , 4 2 2 8 k? ? ? 定义域为 {x | x ? R, x ? ? , k ? Z }, 最小正周期为 ; 2 8 2 ??
时, f ( x) max ? 3 ,即一个最大值点坐标为 (? , 3) ,

?x

?

?x , ? ) ? ? 3 sin r 2 r

sin(? ? ) 4 ? 2(cos 2 ? ? sin 2 ? ) (2)由,即 ? cos(? ? ) 4 sin ? ? cos ? 整理得 ? 2(cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) cos ? ? sin ?
因为 ? ? (0,

?

?

4

) ,所以 sin ? ? cos? ? 0 ,
2

从而得 (cos ? ? sin ? ) ? 由 ? ? (0,

), 得 2? ? (0, ) ,所以 ? ? 4 2 12 5.分析: (1)当 m ? 0 时, cos x 1 ? cos 2 x ? sin 2 x f ( x) ? (1 ? )sin 2 x ? sin 2 x ? sin x cos x ? sin x 2 1 ? ? [ 2 sin(2 x ? ) ? 1], x ? k? 2 4 ? ? ? ? 3? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 得 k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 2 4 2 8 8

?

?

1 1 ,即sin 2? ? 2 2

?

? 3? ? ? ? ? ? ? ? kx ? 8 , k? ? , ? k? , k? ? 8 ? (k ? Z ) ? 单调增区间为 ?
1 ? (1 ? m) cos 2 x ? sin 2 x 2 2sin a cos a 2 tan a 4 当 tan ? ? 2 ,得: sin 2a ? ? ? , 2 2 2 sin a ? cos a 1 ? tan a 5
(2) f ( x) ?

22

cos 2? ?
由 f (a) ?

cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 ? ?? 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 5

3 ,得 m ? ?2 . 5

6.分析: (1)? sin ? ?[?1,1], 2 ? cos ? ?[1,3],? f (sin ? ) ? 0 , f (2 ? cos ? ) ? 0 恒成 立.? f (1) ? 0, f (1) ? 0 ,即 f (1) ? 0 恒成立,所以, b ? c ? ?1 (2)由 2 ? cos ? ?[1,3], f (2 ?cos ?) ?0, ? f (3) ?0 , 即 9 ? 3b ? c ? 0 ,再由 b ? c ? ?1 ,故 c ? 3 ; (3) 由题意可知;f ( x) 在 [?1,1] 上为减函数, 8 ? f (?1) ? 1 ? b ? c , 再由 b ? c ? ?1 , ? 得 b ? ?4, c ? 3

专题十四

三角函数与向量(3)

(解决三角形及向量的数乘运算问题) 考试说明要求:正弦定理、余弦定理及其应用 B 级,平面概念 B 级,平面向量的加法、 减法及数乘运算 B 级. 高考试题应用:在高考试题中,出现的有关试题大多为中低档题.常常以正弦定理、余 弦定理为知识框架,解决实际问题.平面向量的概念与基本运算的考查,一般都是与后续平 面向量的数量积考查综合进行. 解决问题指南:利用正弦定理,可以解决已知两角和一边,求其他两边和一角;已知两 边和其中一边的对角,求出其他的边和角.利用余弦定理,可以解决已知三边,求三角:已 知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个角,会正确运用三角形法则、平行四边形法则进 行向量的加法和减法运算.利用向量加法的交换律、结合律,并会运用它们进行向量化简与 计算,掌握向量共线定理. 一、能力展示 1.在相距 2 千米的 A, B 两点处测量目标 C ,若 ?CAB ? 75?, ?CBA ? 60? ,则 A, C 两 点之间的距离是 千米.
2 2 2

sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C . (变式) ?ABC 中, 在
则 A 的取值范围是 .

2. 若函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 在一个周期

23

内的图象如图所示, M 、 N 分别是这段图象的最高点和最低点,且 OM ? ON ? 0 ,则

???? ???? ?

A ?? =

.

3. 如图, 设点 P, Q 是线段 AB 的三等分点, OA ? a, OB ? b, 若 则 OP ? OQ = 二、能力培养 1.一种由 3 步组成的变换流程:

??? ?

??? ?

??? ???? ?

(用 a, b 表示).

(1) (2) (3) y ? sin x ?? y ? 2sin x ?? y ? 2sin 2 x ?? y ? 2sin(2 x ? ) ? ? ? 3

?

则第(3)步的变换过程用文字表述为

.

(变式) 设函数 f ( x) ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图象向右平移 将 所得的图象与原因像重合,则 ? 的最小值等于 .

? 个单位长度后, 3
? , 4
.

2. 如图所示, ABC 中, 边上的两点 D 、 分别与 A 连线.假设 ?ACB ? ?ADC ? ? BC E 三角形 ABC, ABD, ABE 的外接圆直径分别为 d , e, f , 则 d , e, f 满足的不等关系是 3.已知点 A(1,1), B(1, ?1), C ( 2 cos ? , 2 sin ? )(? ? R), O 为坐标原点. (1)若 | BC ? BA |? 2 ,求 sin 2? 的值;

??? ??? ? ?

? ( 2 ) 若 实 数 m, n 满 足 m O A
(m ? 3)2 ? n2 最大值和取得最大值时的 ? .

??? ?

??? ??? ? ? nOB OC ? ,求

三、能力测评 1.已知 M 是 ?ABC 内的一点,且 AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30? ,若 ?MBC , ?MCA 和

??? ???? ?

1 4 1 ?MAB 的面积分别为 , x, y, 则 ? 的最小值是 x y 2
2.根据以下各组条件解三角形:

.

① A ? 60?, B ? 75?, c ? 1 ;② a ? 5, b ? 10, A ? 15? ;③ a ? 5, b ? 10, A ? 30? . 其中解不唯一的序号 ... (若有请填序号,若没有请填无).

??? ? ???? ??? ???? ? ? ? 3.已知向量 OP ? (2cos( ? x), ?1), OQ ? (? sin( ? x), cos 2 x), f ( x) ? OP ? OQ . a 、 2 2

24

b 、 c 是锐角三角形 ?ABC 角 A 、 B 、 C 的对边,且 f ( A) ? 1, b ? c ? 5 ? 3 2, a ? 13 .
(1)求角 A ; (2)求 ?ABC 的面积.

专题十四
1.函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ①图象 C 关于直线 x ? 象向右平移

三角函数与向量(3)
?
6

?
3

) 的图象为 C.
对称;②图象 C 关于点 (

?

? 个单位长度可得到图象为 C . 3
.
2

12

, 0) 对称;③由 y ? 3sin 2x 的图

以上三个判断中正确的序号是

2.设平面向量 a ? (1, 2) .当向量 b 变化时, m ? a ? a ? b ? b 的取值范围为
2

.

3.在 ?ABC 中, B ? 60?, AC ? 3 ,则 AB ? 2BC 的最大值为

.

??? ? ??? ? ???? OA OB OC ? ? 4.已知 p ? ??? ? ??? ? ???? ,则 | p | 的取值范围为 | OA | | OB | | OC |
5.在直角三角形 ABC 中,设 AB ? (2,3), AC ? (1, k ) ,求 k 的值.

.

??? ?

????

6.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边 a, b, c ,且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C . (1)求 A 的大小; (2)若 sin B ? sin C ?1 ,试判断 ?ABC 的形状. 7.一乐器发出的悦耳声音来源于拉紧的弦或木制簧片的振动,它的振动函数为

f ( x) ? 2 sin( x ? ? )( ? 0, ? ? ? ? . ) ? ? 0 2
( 1 ) 若 y ? f ( x) 是 偶 函 数 , 单 调 减 区 间 为 ? ( k ?

? ?

1 ? ) , ?? ,单调增区间为 ? k 2 ?

1 ? ? ? k? , (k ? 2 )? ? (k ? Z ) ,求 y ? f ( x) 的解析式; ? ?

25

(2)若 ? 在集合 {2,3, 4} 中任取一个数, ? 在 ? 中任意抽取一个,试求其图像经过向右平移

?? ? 2? ? , , ? 中任取一个数.从这些函数 ?3 2 3 ?

? 个单位后得到 y ? 2sin ? x 图像的概率. 6

8.如图,某兴趣小组测得菱形养殖区 ABCD 的固定投食点 A 到两条平行河岸线 l1 、 l 2 的 距离分别为 4m 、 8m ,河岸线 l1 与该养殖区的最近点 D 的距离为 1m , l 2 与该养殖区的最 近点 B 的距离为 2m . (1)如图甲,养殖区在投食点 A 的右侧,若该小组测得 ?BAD ? 60? ,据此算出养殖 区的面积; (2)如图乙,养殖区在投食点 A 的两侧,试在该小组未测得 ?BAD 的大小的情况下, 估算出养殖区的最小面积.

专题十四
一、能力展示

三角函数与向量(3)
AC 2 ,答案: 6 ? sin 60? sin 45?
2 2

1.分析: ?ACB ? 45? ,由正弦定理得

(变式)分析:由题意正弦定理 a ? b ? c ? bc ,得
2

b 2 ? c 2 ?a 2 1 ? 1 ,即 cos A ? , bc 2

答案: ? 0,

? ?? ? 3? ?

2.分析:

???? ???? ? T ? ? ? ? ? ? ,得 ? ? 2 ,又因为在直角坐标系中,由 OM ? ON ? 0 可用 4 3 12 4
26

坐标法运算,设 M (

7 7? ? , ? A) ,答案: 6 12 12 ??? ? ???? ??? ??? ? ? 1 1 2 3.分析: BA ? a ? b, OQ ? OB ? BQ ? b ? (a ? b) ? ( a ? b) 3 3 3 ??? ??? ??? ? ? ? 2 2 1 2 5 OP ? OB ? BP ? b ? (a ? b) ? ( a ? b) ,答案: (a 2 ? b 2 ) ? ab 3 3 3 9 9

?

, A), N (

精要点评: 第 1 题.由内角和定理得 ?ACB ? 45? ,是两角和一边,用正弦定理解决. 第 2 题.第一步从图中看出周期,再由向量的坐标法运算求出 A . 第 3 题.利用向量的三角形法则,关健是 3BQ ? BA ? a ? b . 二、能力培养 1.分析:①是振幅变换;②是周期变换;答案:将 y ? 2sin 2 x 的图象向右平移 位长度.

??? ?

??? ?

? 个单 6

? 个单位长度后的函数为 3 ? ?? ?? f ( x) ? cos ? ( x ? ) ? cos(? x ? ) ,即 ? ? ,答案:6. 6 6 6 ? 3? ? 2.分析:以 AB 为定边, ?ACB ? , ?ADB ? , ?AEB ? ,再由正弦定理比较大 4 4 4
(变式)分析:图像向右平移 小,答案 e ? d ? f . 3.分析: (1) | BC ? BA | ?| AC | ? ( 2 cos ? ? 1) ? ( 2 sin ? ? 1)
2 2 2

??? ??? ? ?

????

2

? ?2 2(sin ? ? cos ? ) ? 4 ? 2, 即 sin ? ? cos ? ?
两边平方得: sin 2? ? ?

2 2

1 2

(2)由已知得: (m, m) ? (n, ?n) ? ( 2 cos ? , 2 sin ? ) ,即 ? 两式平方相加得: m ? n ? 1,两式相加得: 2m ?
2 2

?m ? n ? 2 cos? ? ?m ? n ? 2 sin ? ?

,

2(cos? ? sin ? )

(m ? 3)2 ? n2 ? m2 ? n2 ? 6m ? 9 ? ?3 2(cos ? ? sin ? ) ? 10

? ?6sin(? ? ) ? 10 4
当 sin(? ?

?

?

4) ? ?1, 即 ? ? 2k? ?

3? (k ? Z ) 时取得最大值. 4

27

最大值为 16, ? ? 2k? ? 方法指导:

3? (k ? Z ) 4

第 1 题.注意先相位变换后周期变换与先周期变换后相位变换的流程. 第 2 题.三个三角形中公共边是 AB ,再由 AB ? 2d sin

?

4 ??? ??? 2 ???? 2 ? ? 2 2 第 3 题.由向量运算的三角形法则得 | BC ? BA | ?| AC | ,求 (m ? 3) ? n 最值必须先
有 m 与 n 的关系式,故利用向量的坐标运算选得 m ? n ? 1.
2 2

? 2e sin

3? ? 2 f sin ?AEB . 4

三、能力测评 1.分析:由 AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30? 得 S?ABC ? 1, x ? y ?

??? ???? ?

1 , 2

1 4 1 4 y 4x ? ? 2( x ? y)( ? ) ? 2[5 ? ( ? )] ,答案:18 x y x y x y
2.分析:①唯一解,两角夹边;② h ? b sin A ? 5 ? 10, 解不唯一;③ h ? b sin A ? 5 , 唯一解,答案:② 3.分析: (1)由已知 f ( x) ? OP ? OQ ?

??? ???? ?

2 sin(2 x ? ) ,? f ( A) ? 2 sin(2 A ? ) ? 1 4 4

?

?

? 2 ? ? ? 3? ? ? ? sin(2 A ? ) ? , 2A ? ? 或 2A ? ? ,?A ? 或 A? (舍去, 4 2 4 4 4 4 4 2
? ?ABC 为锐角三角形).? A ?

?
4

.
2 2 2

(2)在 ?ABC 中,由余弦定理 a ? 13 ? b ? c ? 2bc cos A

?13 ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc

?bc ? 15 2



1 1 2 15 ? S?ABC ? bc sin A ? ?15 2 ? ? 2 2 2 2
防错机制: 第 1 题 . 由 于 三 角 形 的 面 积 S?

1 ab sin C , 再 由 条 件 得 2

1 S?ABC ? 1 ? S?AMB ? S?BMC ? S?AMC ,即 x ? y ? , x ? 0, y ? 0 . 2
第 2 题.三角形的唯一解是指已知三个元素另三个元素是否有且只有一种情况. 第 3 题.审题必须细致,特别当心“锐角三角形 ?ABC ” ,以防增解. 三、能力提升 1. 分析: x ? 用

?
12

代入, 函数值不是最大也不是最小, ①不正确; 2 x ? 当

?
3

? k? (k ? Z ) ,

28

即x? ③

k? ? ? ? ? 时 y ? 0 ,②正确; y ? 3sin 2( x ? ) ? 3sin(2 x ? ) ,③正确,答案:② 2 6 6 3
1 2 15 15 ?15 ? ? ,答案: ? , ?? ? 4 4 ?4 ?

2.分析:令 b ? ( x, y) ,则 m ? ( x ? )2 ? ( y ? 1)2 ?

3. 分析: 借助于三角形外接圆半径 R , 由正弦定理得 2R ? 2, AB ? 2BC ? 2R sin C ? 4R sin A , 又 A ? C ? 120? , ? 2BC ? 4sin C ? 2sin(120? ? A) ? 5sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin( A ? ?) 答 AB 案: 2 7

??? ? OA ? 4.分析:? ??? 是单位向量,?当它们方向相同时 | P | 最大为 3,当这三个单位向量的 | OA |
终点均匀分布在单位圆上时 | P | 最小为 0,答案: [0,3] 5.分析:若 ?B ? 90? ,则 AB ? BC ,又 BC ? AC ? AB ? (?1, k ? 3) 故 2 ? (?1) ? 3 ? (k ? 3) ? 0 ,得 k ?

??? ?

??? ?

??? ?

???? ??? ?

11 3
3 ? 13 2

若 ?C ? 90? ,则 AC ? BC ,即 1? (?1) ? k (k ? 3) ? 0 ,得 k ?

??? ?

??? ?

所以 k 的值为 ?

3 ? 13 2 11 ,或 ,或 2 3 3
2

6.分析: (1)由已知,根据正弦定理得 2a ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c 即 a ? b ? c ? bc ,由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2 2 2 2

故 cos A ? ? , A ? 120? (2)由(1)得 sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C .
2 2 2

1 2

又 sin B ? sin C ? 1 ,得 sin B ? sin C ?

1 2

因为 A ? 120?,0? ? B ? 90?,0? ? C ? 90? ,故 B ? C 所以 ?ABC 是等腰的钝角三角形. 7.分析: (1)由偶函数和 0 ? ? ? 2? ,得 ? ?

?
2

或? ?

3? ,于是 f ( x) ? ?2cos ? x , 2

29

由 y ? f ( x) 单调减区间为 ?(k ? )? , k? ? ,单调增区间为 ? k? , ( k ? )? ? 可得最小正周期 2 2

? ?

1

? ?

? ?

1

? ?

T ? ? ,由 T ?

2? 和 ? ? 0 ,得 ? ? 2 ,所求解析式为 f ( x) ? ?2cos 2 x ; |? |

(2)这些函数共有 3 ? 3 ? 9 种,从中任取一个函数有 9 种取法. 其中,向右平移

? 个单位后得到 y ? 2sin ? x 图象的有: 6 ? ? ? ? y ? 2sin(2 x ? ) ? 2sin 2( x ? ); y ? 2sin(3x ? ) ? 2sin 3( x ? ) ; 3 6 2 6 2? ? 共 3 个, y ? 2sin(4 x ? ) ? 2sin 4( x ? ) 3 6
? ?

{或用 ? 2,

?? ? ?? ?

2? ? ; ? 3, ? ; ? 4, 3? ? 2? ? 3

3 1 ? ? 也可以},所求的概率 P ? ? 9 3 ?

8.分析: (1)如图甲,设 AD 与 l1 所成夹角为 ? ,则 AB 与 l 2 所成夹角为 60? ? ? ,对 菱形 ABCD 的边长“算两次”得

3 1 6 ,解得 tan ? ? , ? 5 sin ? sin(60? ? ? )
2

1 ? ? 3 ? ? 2 所以,养殖区的面积 S ? ? ? ? sin 60? ? 9 ?1 ? ? ? sin 60? ? 42 3(m ) ; sin ? ? tan 2 ? ? ? ?
(2)如图乙,设 AD 与 l1 所成夹角为 ? , ?BAD ? ? ? (120?,180?) ,则 AB 与 l 2 所成 夹角为 (180? ? ? ? ? ) ,对菱形 ABCD 的边长, “算两次”得 解得 tan ? ?

3 6 , ? sin ? sin(180? ? ? ? ? )

sin ? , 2 ? cos ?
2

1 ? ? 3 ? ? ? 5 ? 4 cos ? 所以,养殖区的面积 S ? ? ? ? sin ? ? 9 ?1 ? ? ? sin ? ? 9 ? 2 ? sin ? ? ? tan ? ? ? sin ?
由 S? ? 9?

? ?, ?

? 5 ? 4 cos ? ? ? ? 5cos ? ? 4 ? ? ? ?9 ? ? ? 0得 2 ? sin ? ? ? sin ? ?

4 4 cos? ? ? , 经检验得,当 cos? ? ? 时,养殖区的面积 Smin ? 27(m 2 ) . 5 5
2 答: (1)养殖区的面积为 42 3m ; (2)养殖区的最小面积为 27m .
2

30

专题十五

三角函数与向量(4)

(解决三角形及向量的坐标运算问题) 考试说明要求:正弦定理、余弦定理及其应用 B 级,平面向量的坐标运算 B 级,平面 向量的数量积 C 级,平面向量的平行与垂直 B 级,平面向量的应用 A 级. 高考试题应用: 平面向量的坐标运算一般都是与后续平面向量的数量积综合进行, 在高 考中单独出大题的可能性极小,这类题型高考中往往以填空题形式出现,以中低档题出现. 解决问题指南: 平面向量的坐标运算, 主要包括向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标, 以及加法、减法和实数与向量的积的坐标运算问题.运用两个平面向量共线的条件,可以判 定两个向量是否共线, 也可以根据各量共线的条件解决三点共线的证明, 还可以求交点坐标 问题. 一、能力展示 1.设向量 a ? (1, 2), b ? (2,3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, ?7) 共线,则 ? =

?

?

? ?

?

.

(变式)已知平面上三点的坐标分别为 A(?2,1), B(?1,3), C (3, 4) ,求点 D 的坐标,使得 这四个点构成平行四边形的四个顶点. 2.已知向量 a ? (1, 2), b ? (2, ?3) ,若向量 c 满足 (c ? a) // b, c ? ( a ? b) ,则 c =

?

?

?

? ?

? ?

? ?

?

.

3.设 O 是 ?ABC 内部一点,且 OA ? OB ? ?2OB ,则 ?AOB 与 ?AOC 的面积之比 为 .

??? ??? ? ?

??? ?

二、能力培养 1.已知 ?ABC 的面积为 3,且满足 0 ? AB ? AC ? 0 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? . (1)求 ? 的取值范围; (2)求函数 f (? ) ? 2sin ?
2

??? ??? ? ?

??? ?

????

?? ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大. ?4 ?

? 2.已知点列 M1 ( x1 ,1), M 2 (x 2 , 2),? ,M n (xn ,n ), ,且 M n M n ?1 与向量 an ? ( ? c, c

?????????

?? ?

n ?1

)垂

直,其中 c 是不等于零的实常数, n 是正整数.设 x1 ? 1 ,求数列 { xn } 的通项公式,并求其前

n 项和 S n .

3. 在直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 、F2 . F2 a 2 b2
31

也是抛物线 C2 : y ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且 | MF2 |?
2

5 . 3

(1)求 C1 的方程; (2)平面上的点 N 满足 MN ? MF1 ? MF2 ,直线 l // MN ,且与 C1 交点 A 、 B 两点, 若 OA ? OB ? 0 ,求直线 l 的方程.

???? ?

???? ???? ? ?

??? ??? ? ?

三、能力测评

, ( , 且 1 . 已 知 向 量 p ? ( 2 ,x ? 1) q ? x ? 3) , p ? q , 若 由 x 的 值 构 成 的 集 合 A 满 足
,则实数 a 构成的集合是 A ? { x | a x? 2} .

??

?

? ?

?

2. 若平面向量 ? , ? 满足 | ? |? 1,| ? |? 1 , 且以向量 ? , ? 为邻边的平行四边形的面积为 则 ? 与 ? 的夹角 ? 的取值范围是 .

1 , 2

3.给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120? .如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动, OC ? xOA ? yOB , 若 其中 x, y ? R , 则 x ? y 的最大值是 .

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

专题十五
???? ?

三角函数与向量(4)
.

1.已知中心为 O 的正方形 ABCD 的边长为 2,点 M 、 N 分别为线段 BC 、 CD 上的两 个不同点,且 | MN |? 1 ,则 OM ? ON 的取值范围是 2.已知 A, B 是 ?ABC 的两个内角, a ? 垂直的单位向量) ,若 | a |?

???? ???? ?

2 cos

A? B A? B (其中 i, j 是互相 i ? sin j, 2 2

6 . 2

(1)试问 tan A ? tan B 是否为定值,若是定值,请求出,否则请说明理由; (2)求 tan C 的最大值,并判断此时三角形的形状.

32

3.椭圆的中心是原点 O ,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F (c, 0)(c ? 0) 的准线 l 与 x 轴 相交于点 A,| OF |? 2 | FA | ,过点 A 的直线与椭圆相交于不同的两点 P 、 Q . (1)求椭圆的方程及离心率; (2)设 AP ? ? AQ(? ? 1) ,过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M , 证明: FM ? ?? FQ .

??? ?

????

???? ?

??? ?

4.已知向量 m ? (1,1) ,向量 n 与向量 m 的夹角为 (1)求向量 n ; (2)若向量 n 与向量 a ? (1, 0) 的夹角为

??

?

??

?? ? 3? ,且 m ? n ? ?1 . 4

?

?

?

? ? ?ABC 的内角,且 A, B, C 依次成等差数列,试求 | n ? b | 的取值范围.

? ? 2 C ,向量 b ? (cos A, 2 cos ) ,其中 A, C 是 2 2

5.已知 OPn ? (2n, 2 ), n ? N , O 为坐标原点.
n *

????

(1)设 OP ? OP ? OP2 ? OP3 ? ? ? OPn ,求 P 的坐标; 1 (2)求动点 Pn 的轨迹方程; (3)动点 Pn 的轨迹上有连续三点 Pn , Pn ?1 , Pn ? 2 ,求 ?Pn Pn ?1 Pn ? 2 的面积 S n .

??? ?

???? ???? ????

????

6.设定义在 R 上的函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x(? ? 0, n ? N ) 的最小正周期为 T .
n n *

(1)若 n ? 1, f (1) ? 1 ,求 T 的最大值; (2)若 n ? 4, T ? 4, 求 f (1) 的值.

33

专题十五
一、能力展示

三角函数与向量(4)

1.分析:根据共线条件知 ? a ? b ? ? c ,答案:2 (变式)分析:如图 (1)当平行四边形为 ABCD 时, D1 (2, 2) ; (2)当平行四边形为 ABCD 时, D2 (4, 6) ; (3)当平行四边形为 DACB 时, D3 (?6, 0) . 2.分析:不妨设 c ? (m, n) ,则 a ? c ? (1 ? m, 2 ? n), a ? b ? (3, ?1) ,对于 (c ? a) // b , 则有 ?3(1 ? m) ? 2(2 ? n) ,又 c ? ( a ? b) ,则有 3m ? n ? 0 ,答案: ? ? 3.分析:如图 OA ? OC ? OD ? ?2OB ,由平行四边形法则可 知 E 是 OD 中点,也是 AC 的中点,实际上 O, E 是线段 BD 的两 个三等分点, S?AOB ? S?AOE ? S?EOC ,答案: 精要点评: 第 1 题.根据向量平行的性质,再由坐标运算得方程组. 第 2 题.利用运算法则立出方程组,关健是最后用坐标表示. 第 3 题.根据平行四边形法则作出草图,由平行四边形的性质找出中点,采用等底等高 来解决. 二、能力培养 1.分析: (1)设 ?ABC 中角, A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,则由 bc sin ? ? 6,? ? (0, ? ) 由 0 ? bc cos? ? 6 ,得 ? ? ? 0,

? ?

?

? ?
?

? ?

? ?

?

?

?

? 7 7? ,? ?. ? 9 3?

??? ??? ? ?

????

??? ?

1 2

? ?

??

cos? ?? ? ? ? ,同时可得 0 ? sin ? ? 1 ,?? ? ? 4 , 2 ? . 2? ? ?

(2) f (? ) ? 2sin ?
2

? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? 3 cos 2? ? ?1 ? cos ? ? 2? ? ? ? 3 cos 2? ?4 ? ?2 ?? ?

?? ? ? (1 ? sin 2? ) ? 3 cos 2? ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 1 ? 2sin ? 2? ? ? ? 1 . 3? ?
? ? ? 2? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? , ? , 2? ? ? ? , ? ,? 2 ? 2sin ? 2? ? ? ? 1 ? 3 . 3 ?6 3 ? 3? ?4 2? ?
34

5? ? 时, f (? ) max ? 3 ;当 ? ? 时, f (? ) min ? 2 . 12 4 ???????? ? 2.分析:由题意得: M n M n ?1 ? ( xn ?1 ? xn ,1) ,
即当 ? ?

???????? ? ?? ? ? M n M n ?1 与向量 an ? (?c, c n ?1 )(c ? 0) 垂直,
n ?1 n 所以, M n M n ?1 ? an ? 0 ,即 ?c( xn ?1 ? xn ,1) ? c ? 0 ,? c ? 0,? xn ?1 ? xn ? c .

???????? ?? ? ?

? xn ? ( xn ? xn?1 ) ? ( xn?1 ? xn?2 ) ? ? ? ( x2 ? x1 ) ? x1 ? c n ?1 ? c n ?2 ? ? ? c ? 1
当 c ? 1 时, xn ? n ,此时 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 当 c ? 1 时, xn ? c
n ?1

n(n ? 1) ; 2

? c n?2 ? ? ? c ? 1 ?

1 ? cn 1? c

此时 Sn ? x1 ? x2 ? ? ? xn ?

1 ? c 1 ? c2 1 ? cn n 1 ? ??? ? ? (c ? c 2 ? ? ? c n ) 1? c 1? c 1? c 1? c 1? c

?

n 1 c(1 ? c n ) n c ? c n ?1 ? ? ? ? . 1? c 1? c 1? c 1 ? c (1 ? c) 2
2

3.分析: (1)由 C2 : y ? 4 x 知 F2 (1, 0) . 设 M ( x1 , y1 ), M 在 C2 上,因为 | MF2 |?

2 6 5 5 2 ,所以 x1 ? 1 ? ,得 x1 ? , y1 ? . 3 3 3 3

8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, 2 消去 b 并整理得 M 在 C1 上 , 且 椭 圆 C1 的 半 焦 距 c ? 1 , 于 是 ? 9a 3b ?b 2 ? a 2 ? 1. ?

1 9a 2 ? 37a 2 ? 4 ? 0 ,解得 a ? 2 ( a ? 不合题意,舍去). 3
故椭圆 C1 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3
???? ?

(2)由 MF1 ? MF2 ? MN 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O ,因

???? ???? ? ?

2 6 为 l // MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,故 l 的斜率 k ? 3 ? 6 . 2 3

35

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12, ? 设 l 的 方 程 为 y ? 6( x ? m) . 由 ? 消 去 y 并 化 简 得 ? y ? 6( x ? m), ?

9 x2 ? 16mx ? 8m2 ? 4 ? 0 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), x1 ? y2 ?

16m 8m2 ? 4 . , x1 x2 ? 9 9

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

??? ?

??? ?

x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 6( x1 ? m)( x2 ? m) ? 7 x1 x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? 6m 2

? 7?

8m2 ? 4 16m 1 ? 6m ? ? 6m2 ? (14m2 ? 28) ? 0 . 9 9 9
2 2

所以 m ? ? 2 .此时 ? ? (16m) ? 4 ? 9 ? (8m ? 4) ? 0 , 故所求直线 l 的方程为 y ? 方法指导: 第 1 题.(1)中有三个角的集合组成的交集,其中 0 ? 观察. 第 2 题.利用垂直的性质和高量坐标运算得出递推式,由递推式的特征采用叠加法,并 注意分类讨论. 第 3 题.信息量多,采用分层审题和分层解题,特别为 MF1 ? MF2 ? MN 的理解十分重 要. 三、能力测评 1.分析:由条件得 A ? {3} ,由 A ? {x | ax ? 2} 得 {x | ax ? 2} 有一个元素或是空集,答

6 x ? 2 3 ,或 y ? 6 x ? 2 3 .

cos? ? 1 的解可用三角函数线来 sin ?

???? ???? ? ?

???? ?

案: ?0, ? 2.分析:由题意 | ?? | sin ? ?

? 2? ? 3?

1 1 1 得 | ? | sin ? ? 和 ? ? (0, ? ) ,由 | ? |? 1 得 sin ? ? , 2 2 2

答案: ?

?? ? ? , ?6 5? ?

???? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA ? 3.分析:设 ?AOC ? ? ? ???? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? , ? ? ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB ?

36

1 ? ?cos ? ? x ? 2 y ? 即? ?cos(120? ? ? ) ? ? 1 x ? y ? ? 2

? x ? y ? 2[cos ? ? cos(120? ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ? ) ? 2 ,答案:2 6
防错机制: 第 1 题.对于 A ? B 的情况要特别注意空集, 同时 A 中的元素不会多于 B 中的元素个数. 第 2 题.怎样产生不等式是关健, | ? | sin ? ?

?

1 与 | ? |? 1 ,可认为两边除以 | ? | . 2

第 3 题.一个式子不能分离出 x ? y ,故用参变量 ? ,并构造出第二个等式. 三、能力提升 1 . 分 析 : 可 建 立 直 角 坐 标 系 , A( 1 , 1 B,? ( 1C1 ) , ) , ? 设 ( D1 ,? ) , O ( 1 ,,1 ) , 1

(0, 0)

???? ? | M (? 1 ,y ) N x , , ) x ? ? ?1,1? , 则 由 | MN ? , ? ( 1

1 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 , 令 得

? ? ? ?? ? ? ? ? t ? O M O N ? ,用线性规划处理,答案: ? 2 ? 2, 2 ? ? x y ? ?
2.分析: (1)由题意得 2cos
2

?

A? B A? B 3 ? sin 2 ? , 2 2 2 1 ? cos( A ? B) 3 从而得 cos ? A ? B ? ? 1 ? ? , 2cos ? A ? B ? ? cos ? A ? B ? ? 0 , 2 2 ? ? 若 A 与 B 中有一个为 ,不仿令 A ? ,解得 B ? 0 ,不可能, 2 2 1 所以将 2cos( A ? B) ? cos( A ? B) ? 0 展开,得 tan A ? tan B ? 2 1 (2)由 tan A ? tan B ? 可知 A 、 B 都是锐角, 3 3 又由 tan C ? ? tan( A ? B) ? ? (tan A ? tan B) 2
由 tan A ? tan B ? 2 tan A ? tan B ? 所以 tan C ? ?

2 3 3

3 (tan A ? tan B) ? ? 3 , 2
3 时取等号, 3

当且仅当 tan A ? tan B ?

所以 tan C 的最大值为 ? 3 , 这时三角形为有一顶角为 120? 的等腰三角形.

37

x2 y2 6 3.分析: (1)椭圆方程为 ; ? ? 1 ,率心率 e ? 3 6 2 ??? ? ???? (2)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,又 A(3, 0), AP ? ( x1 ? 3, y1 ), AQ ? ( x2 ? 3, y2 ),
? x12 y12 ? ? 1, ? x1 ? 3 ? ? ( x2 ? 3), ? 6 5? ? 1 ? 2 所以 ? 且? 2 注意 ? ? 1 ,消去 x1 , y1 和 y2 得 x2 ? 2 2? ? y1 ? ? y2 , ? x2 ? y2 ? 1, ?6 2 ?
因为 F (2, 0), M ( x1 , y1 ) ,

1? y ? ?1 , ? y1 ) ? ?? ( , y2 ) , 2 2? ???? ? ??? ? ??? ? ? ?1 而 FQ ? ( x2 ? 2, ? y2 ) ? ( , y2 ) ,所以 FM ? ?? FQ . 2? ? ?? ? 4.分析: (1)解:设 n ? ( x, y ) ,由 n ? m ? ?1 ,得 x ? y ? ?1
故 FM ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? (? ( x2 ? 3) ? 1, ? y1 ) ? (

???? ?

? ?? ? ?? 3? 3? n?m 2 ? ? ?? ? ? ?向量 n 与向量 m 的夹角为 , cos 4 4 | n |?| m | 2
又?| m |? 解得 ?

??

? ?? 2, n ? m ? ?1

? ?| n ? 1 | ,则 x 2 ? y 2 ? 1
? ? ? n ?( ? , 0或 n ? (0, ?1) 1 )

? x ? ?1 ? x ? 0 或? ?y ? 0 ? y ? ?1

? ? ,可知 n ? (0, ?1) 2 ? 2? 2? 由 2B ? A ? C 知 B ? , A ? C ? ,0 ? A ? 3 3 3
(2)解:由向量 n 与向量 a 的夹角为 若 n ? (0, ?1), 则 n ? b ? (cos A, cos C )

?

?

?

? ?

? ? 1 ? | n ? b |2 ? cos 2 A ? cos 2 C ? 1 ? cos(2 A ? ) 2 3 2? ? 5? ?0 ? A ? , ? 2A ? 3 3 3 ? 1 1 1 ? 5 ??1 ? cos(2 A ? ) ? , ? 1 ? cos(2 A ? ) ? , 3 2 2 2 3 4
? ? ?1 5 ? | n ? b |2? ? , ? ?2 4 ?
? ? ? 2 5? ?| n ? b |? ? , ? ? 2 2 ? ?

5.分析: (1)设 P( x, y ) 则 x ? 2(1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n), y ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 4 n

38

即所求 P 的坐标为 (n(n ? 1), 2 (2)令 P ( xn , yn ), 则 ? n

n ?1

? 2)n ? N *

? xn ? 2n ? ,n? N* yn ? 2 n ? ?
x *

消去 n 得轨迹方程 y ? ( 2) ? 0, x ? N 且 x 为偶数

(3)如图,所求的面积为

4 ? (2n? 2 ? 2n ) 2 ? (2n?1 ? 2n ) (2n ? 3 ? 2n ) ? 2 ? ? 2 2 2
n *

即 S ? 6? 2 ? 2 ? 4? 2 ? 2 , n ? N
n n n

6.分析: (1)当 n ? 1, f (1) ? 1 时, sin ? ? cos ? ? 1(? ? 0) , 化简得 sin ? ? ?

? ?

??
? ?

2 , ?? 4? 2

因为 ? ? 0 ,所以 ? ? ?

??

3? ? ,即 ? min ? ,所以 T 的最大值为 8. ? ? 4 ? min 4 2
4 4

(2)当 n ? 4 时, f ( x) ? sin ? x ? cos ? x

? (sin 2 ? x ? cos 2 ? x cos 2 ? x ? 1 ? 2(sin ? x cos ? x) 2

1 1 ? 1 ? cos 4? x ? 1 3 ? 1 ? sin 2 2? x ? 1 ? ? ? ? cos 4? x ? (? ? 0) , 2 2? 2 4 ? 4

2? ? ? 4 ,所以 ? ? , 4? 8 1 ?x 3 3 此时, f ( x) ? cos ? ,所以 f (1) ? . 4 2 4 4
因为 T ?

专题十六

立体几何(1)

(解决组合体的面积与体积和平面的性质问题) 考试说明要求:柱、锥、台、球及其简单组合体 A 级;柱、锥、台、球的表现积与体积 A 级;平面及其基本性质 A 级。 高考试题应用:以简单的几何体为载体,借助这些几何体的几何特征及特殊性质,研究空间 图形中点、线、面之间的位置关系和数量关系。面积与体积的求法和应用, 试题以中等难度的解答题和填空题为主。 解决问题指南:拆分的思想:要善于把复杂的几何体拆分为具体的点、线、面。
39

降维的思想:可以利用平面图形的结论去分析其位置关系及进行数量运算。 割补的思想:通过“割”与“补”可以把一个几何体转化为另一个几何体, 便于问题的解决。 一、能力展示 1.已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC= 2 , 则球 O 的表面积等于 积的最大值为 。 。 。

2.已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体

3.已知正四棱锥 S-ABCD 中,SA= 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 二、能力培养

1.有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连 能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是 。

2.三位学友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选取了形状不同、内空高度相等、杯口 半径相等的圆口饮料杯,如图所示,盛满饮料后约定:先各自饮杯中饮料一半。设剩余饭料 的高度从左到右依次为 h1,h2,h3,则它们的大小关系是 。

3. 如图 ABCD 为直角梯形, AB//CD, ∠BAD=90°, PA⊥面 ABCD, PA=AD=AB=2 且 (cm) , BC=4(cm) 。 (1)用一平行于 ABCD 的平面去截此几何体,若截得的上 下两部分体积比为 1 比 7,求截面与平面 ABCD 间的距离; (2)设 E 为 PC 的中点,在 BC 上是否存在一点 F,使得 EF⊥AC,若存在,请求 BF 的距离;若不存在,请说明理由。 三、能力测评 1.如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是 60°,线段 AB ? ? , B ? l , AB 与 l 所成的角为 30°,则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值 是 。 2.圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水, 若放入三个相同的珠(球 的半么与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图 所示) ,则球的半径是 cm.

3.四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,高为

2 ,点 S,A,B,C,D 均在半径 4


为 1 的同一球面上,则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为
40

专题十六
则该四棱椎的体积是 。

立体几何(1)

1.已知四棱椎 P-ABCD 的底面是边长为 6 的正方体,侧棱 PA⊥底面 ABCD,且 AB=8, 2.若圆锥的侧面积为 2π ,底面积为π ,则该圆锥的体积为 。

3.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 3 ,则棱锥 O-ABCD 的体积为 。

4.如图,在三棱锥 O-ABC 中,三条棱 OA,OB,OC 两两垂直, 且 OA>OB>OC,分别经过三条棱 OA,OB,OC 作一个截面平 分三棱锥的体积,截面面积依次为 S1,S2,S3,则 S1,S2,S3 的大 小关系为 。 5.若底面边长为 a 的正四棱锥的全面积与棱长为 a 的正方体的 全面积相等,那么这个正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值 为 。 6.如图,在正方形 ABCD 中,BD 是正方形 ABCD 的对角线,弧 DB 的圆心是 A,半径为 AB,正方形 ABCD 以 AD 所在的直线为旋 转轴旋转一周,求图中①,②,③三部分旋转所得旋转体的体积之 比.

7.在边长分别为 6dm 和 4dm 的长方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边 沿虚线折起如图,做成一个无盖的长方形铁皮箱。切去的正方形边长为多少时,铁皮箱的容 积最大.

专题十六
一、能力展示

立体几何(1)

1.分析:由已知,球 O 的直线为 2R ? SC ? 2 ,答案: 4? 2.分析:过 CD 作平面 PCD ,使 AB ? 平面 PCD ,交 AB 与 P ,设点 P 到 CD 的距离 为 h , 则 有 V四面体ABCD ?

1 1 2 ? 2 ? ? 2 ? h ? h , 当 直 径 通 过 AB 与 CD 的 中 点 时 , 3 2 3

hmax ? 2 2 2 ? 12 ? 2 3 .

41

如图

答案:

4 3 3

3.分析:设底面边长为 a ,则高 y ?

1 a2 SA2 ? a 2 ? 12 ? ,所以 2 2

体积 V ? 答案 2

1 1 1 12a 4 ? a 6 ,设 y ? 12a 4 ? a 6 , y? ? 0 ,解得 a ? 0 或 a ? 4 时,体积最大, 3 2 2

精要点评: 第 1 题.三棱锥补成正方体,直径为正方体的对角线. 第 2 题.关健是怎么样将 h 与球半径联系,如图. 第 3 题.利用正棱锥的性质:顶点与底面中心关系立出等式,利用导数处理. 二、能力培养 1.分析:根据条件,四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜开的铁架, 有以下两种情况: (1)底面是边长为 2 的正三角形,三条侧棱长为 2, a, a ,如图,此时 a 可以取最大值,可知 AD ? 3 , SD ?

a 2 ? 1 ,则有 a 2 ? 1 ? 2 ? 3 ,

2 2 2 即 (2 ? 3) ? a ? 8 ? 4 3 ? ( 6 ? 2) ,即有 2 ? 3 ? a ? 6 ? 2

(2)构成三棱锥的两条对角线 长为 a , 其他各边长为 2, 如图所示, 此 时 2

2 a? ?

0 答 案 : ;

(0, 6 ? 2)
2.分析:由圆锥、圆柱是圆台的特例,故 h2 介于 h1 , h3 之间,结论是 h1 ? h2 ? h3 . 3 . 分 析 : 1 ) 设 截 面 与 面 ABCD 的 距 离 为 x , 与 PA PB PC PD 交 点 分 别 ( 的 , , ,

A ? A1 , B1 , C1 , D1 , 则 P A : P ? ( 2 1

x :, 因 为 截 面 与 底 面 平 行 , 所 以 几 何 体 ) 2

P ? A1 B1C1 D1 ? P ? ABCD ,又 VP ? ABCD ?

PA AB ? ( AD ? BC ) ? ? 4(cm)3 , 3 2
3

V p ? A1B1C1D1 4

3 VP ? A1B1C1D1 (2 ? x)3 V p ? A1B1C1D1 (2 ? x 3 ) ? 2? x? , ? ?? ,VP ? A1B1C1D1 ? , 即 ? 2 VA1B1C1D1 ? ABCD 4 ? VP ? A1B1C1D1 8 ?(2 ? ) x ? 2 ?

1 ? , 7

解得 x ? 1(cm) ,即截面与平面 ABCD 间的距离 1(cm) . (2)假若存在,设 BF ? y(cm) ,连续 AC ,? PA ? 面ABCD,? AC 是 PC 在底面
42

上的射影,? E 在底面上的射影是 AC 的中点,设为 O ,则 EO ? AC ,在直角 ?ABC 中 只 要 A F ? F C, 则 F O? A C, 从 而 可 得 E F ? A C 即 AB ? y ? ( BC ? y ) , ,
2 2 2

4 ? y 2 ? (4 ? y)2 , 解 得 y ? 1 . 5( m ) 存 在 一 点 F , 且 BF 的 距 离 为 1 . 5 cm ), 使 得 c , (

EF ? AC
方法指导: 第 1 题.三条棱中有两条未知,故对所在的位置讨论,原理是三角形两边之和大于第三 边,其差小于第三边. 第 2 题.用想象法或特殊法,实际上 V锥 ? V柱 . 第 3 题.关键是几何体 P ? A1 B1C1 D1 ? P ? ABCD ,运算是用相似比的立方处理较快. 三、能力测评 1. 分析: 过点 A 作平面 ? 的垂线, 垂足为 C , ? 内过 C 作 l 的垂线, 在 垂足为 D 连结 AD , 有三垂线定理可知 AD ? l ,故 ?ADC 为二面角 ? ? l ? ? 的平面角,为 60? 又由已知,

1 3

?ABD ? 30? 连结 CB ,则 ?ABC 为 AB 与平面 ? 所成的角,设 AD ? 2 v,则 AC ? 3 ,
CD ? 1, AB ?
AC 3 3 AD ? ? , 答案: ? 4 , sin ?ABC ? AB 4 4 sin 30?

V 2 . 分 析 : 设 球 半 径 为 r , 则 由 3V球 ? V ? 柱 可 得 水

4 3 ? ? r 2 ? ? r 2 ? ?? r 2 ?,答案:4. 8 6r 3
3.分析:球心到平面 ABCD 的距离为 故如图,答案:1 防错机制: 第 1 题.构造成一个三棱锥,此题的模型常用于坡度的测量. 第 2 题.关键是对“放入三个相同的珠(球的半么与圆柱的底面 半径相同) 后, 水恰好淹没最上面的球” 的理解, 3V球 ? V水 ? V柱 . 即 第 3 题.顶点在面 ABCD 上方还是下方,关键是比较 1 ? 四、能力提升 1.分析:利用棱锥体积公式 V ?

2 2 2 ? ,而 1 ? , 2 2 4

2 2 与 的大小. 2 4

1 ? 36 ? 8 ? 96 ,答案:96 3

43

2.分析:底面半径为 1,母线长为 2,圆锥的高为 3 ,答案:

3 3

3.分析:作出过球心和 AC 的截平面图,答案: 8 3 4. 分析: 通过补形, 借助长方体验证结论, 特殊化, 令边长为 1, 3, 2, 答案:S3 ? S2 ? S1 .

5.分析:由面积相等得正四棱锥侧面高为

13 13 5a a ,答案: ,再求侧棱长为 2 13 2

6 . 设 : 正 方 形 的 边 长 为 a , 则 以 AB 为 底 半 径 , 以 AD 为 高 的 圆 锥

2 1 1 1 V(1) ? ? ? AB 2 ? AD ? ? a3 ,以 AB 为半径的半球 V半球 ? ? a3 ,V(2) ? V半球 ? V(1) ? ? a3 , 3 3 3 3 1 3 3 以 AB 为底半径, AD 为高的圆柱 V圆柱 ? ? a ,V(3) ? V圆柱 ? V半球 ? ? a ,? (1),(2),(3) 三 3 部分旋转所得旋转体的体积之比为 1:1:1 .
7.分析:设切去的正方形边长为 x, x ? (0, 2) ,则长方形铁皮箱的底面长为 6 ? 2x ,宽为

4 ? 2x ,高为 x ,铁皮箱的容积为 V ( x) ? (6 ? 2 x)(4 ? 2 x) x, x ? (0, 2) ,
V ?( x) ? 12 x 2 ? 40 x ? 24 ? 0 ,解得 x ?

5? 7 5? 7 ,x ? ? (0, 2) , 3 3

当 x ? (0,

5? 7 5? 7 ) 时, V ?( x) ? 0 ,当 x ? ( , 2) 时 V ?( x) ? 0 , 3 3

所以 V ( x ) 在 x ?

5 7 处取得最大值 3 5? 7 dm 时,铁皮箱的容积最大. 3

答:切去的正方形边长为

44


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