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高三数学考前大题训练(理科)--概率统计


2011-2012 高三数学考前大题训练(理科)
内容;概率统计 重点:考查三个分布:超几何分布,二项分布,正态分布 区别: 超几何分布是不放回的小量抽样。 二项分布: 是有放回的抽样检验问题, 但在实际中, 从大量产品中抽取少量样品检验,可以近似地着做此类型。 独立重复试验必须满足两个特征: (a)每次实验的条件都是完全相同,有关事件的概率保 持不变;(b)各次实验结果互不影响(即各次实验相互独立) 正态分布:利用图像及图像对称解题 (一)热身训练 1、某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 l000 支,该公司对这些灯管的使用寿命(单 位:小时)讲行了统计。绕计结果如下表所示.
[500, 分组 频数 频率 900) 48 [900, 1100) 12l [1l00, 1300) 208 [1300, 1500) 223 [1500, 1700) 193 [1700, 1900) 165 [1900, +∞) 42

(1)将各组的频率填入表中; (2)根据上述统计结果,计算灯管使用寿命不足 1500 小时 的频率: (3)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管 3 支,若将上述频率作为概率,试 求至少有 2 支灯管的使用寿命不足 l500 小时的概率. 2、某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级,1 件不同等级产品的利 润(单位:元)如表 l,从这批产品中随机抽取出 1 件产品,该件产品为不同等级的概率如表 2.
等级 利润 一等品 6 二等品 5 三等品 4 次品 -1 等级 p 一等品 0.6 二等品 0.2 三等品 0.1 次品 0.1

表1 表2 从这批产品中随机取出 3 件产品,求这 3 件产品的总利润不低于 17 元的概率。 3、某批产品共 l0 件,已知从该批产品中任取 l 件,则取到的是次品的概率为 P=0.2.若 从该批产品中任意抽取 3 件, (1)求取出的 3 件产品中恰好有一件次品的概率: (2)求取出的 3 件产品中至多有 l 件次品的概率 4.已知随机变量 x 服从正态分布 N(3,1),且 P(2≤X≤4)=0.6826,则 p(x>4)=( ) A. O.l588 B. 0.1587 C. 0.1586 D. 0.1585 5.某年级的一次信息技术成绩近似服从于正态分布 N(70,100),如果规定低于 60 分为不 及格,不低于 90 分为优秀,那么成绩不及袼的学生约占_______ ,成绩优秀的学生约 占______

, P(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 0.9544) (参考数据: P(? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 0.6826
6、在 2010 年广州亚运会中,中国女排与韩国女排以“五局三胜”制进行决赛,根据以往战
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况, 中国女摊每一局赢的概率为

3 . 已知比赛中, 第一局韩国女排先胜一局, 在这个条件下: 5

求中国女排取胜的概率:_________ (二)典型例题 例题 1:某个猜答案游戏,组织者将提出相互独立的三个选择题,每题有四个选项,其中只 有一个是正确的,游戏规定前两个选择题至少答对一个才有资格答第三题.甲将回答的 (Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三题的分值分别是 l0、l5、l5,根据自己的知识经验,甲可以排除(I)题的 2 个错误选项、排除(Ⅱ)题的 1 个错误选项,不能排除(Ⅲ)题的错误选项.假设甲在每题剩 下选项中随机选择,三题所得总分为 ξ . (1)若组织者按(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)的顺序出题,求 ξ 的分布列和数学期望: (2)若组织者不按(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)的顺序出题,ξ 的数学期望是否都相等? (第(2)问直接写出“是”或“否”即可,不必具体计算)

例题 2、二十世纪 50 年代,日本熊本县永俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症 状, 人们把它称为水俣病. 经调查发现一家工厂排如的废水中含有甲基汞, 使鱼类受到污染, 人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒,引起世人对食品安全的关注. 《中华人民 共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过 1.OOppm.罗非鱼是体型较大,生命周期长 的食肉鱼,其体内汞含量比其他鱼偏高.现从一批罗非鱼中随机地抽出 l5 条作样本,经检 测得各条鱼的汞含量的茎叶图(以小数点前一位数字为茎,小数点后—位数字为叶)如

(1)若某检查人员从这 15 条鱼中,随机地抽出 3 条,求恰有 1 条鱼汞含量超标的概率; (2)以此 l5 条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据.若从这批数量很大的鱼中任选 3 条鱼,记ξ 表示抽到的鱼汞含量超标的条数,求ξ 的分布列、Eξ 和 Dξ .

例题 3、袋中装着标有数字 l,2,3 的小球各 2 个,从袋中任取 2 个小球,每个小球被 取出的可能性都相等.求 (1)取出的 2 个小球上的数字互不相同的概率: (2)用ξ 表示取出的 2 个小球上的数字之和,求随机变量ξ 的分布列.

例题 4 某班同学利用国庆节进行社会实践, 对[25, 55]岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活 习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为 “非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图

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(Ⅰ)补全频率分布直方图并求 n、a、P 的值: (Ⅱ)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体验 活动,其中选取 3 人作为领队,记选取的 3 名领队中年龄在[40,45)岁的人数为 x,求 x 的 分布列和期望 EX.

倒题 5:某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 40 件 产品作为样本称出它们的重量(单位: 克 ), 重量的分组区间为 (490, 495], (495, 500], ??, (510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图 4 (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量, (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件, 设 Y 为重量超过 505 克的产品数量, 求 Y 的分布列; (3)从该流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率。

例 6、有甲乙两个班级进行数学考试。按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀 统计成绩后,得到如下的列联表.
优秀 甲班 乙班 合计 10 30 105 非优秀 总计

已知在全部 105 人中随机抽取 l 人为优秀的概率为

2 7

(1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据,若按 95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人:把甲班优秀的 l0 名学生从 2 到 11 进 行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子。出现的点数之和为被抽取人的序号。试求抽到 6 或 10 号的概率.

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参考答案
1、本题考查频率逼近概率以及 n 次独立重复事件. 解: (1)

(2)由(1)可得 0.048+0.121+0.208+0.223=0.6,所以灯管使用寿命不足 1500 小时的频率为 0.6. (3)由(2)知, 1 支灯管使用寿命不足 1500 小时的概率 P=0.6, 根据在 n 次独立重复试验中事
2 件恰好发生 k 次的概率公式可得 p3 (2) ? p3 (3) ? C3 ? 0.62 ? 0.4 ? 0.63 ? 0.648

所以至少有 2 支灯管的使用寿命不足 l500 小时的概率是 0.648. 2 解:为了使所取出的 3 件产品的总利润不低于 l7 元,则这 3 件产品可以有两种取法: 3 件都是一等品或 2 件一等品,1 件二等品.
2 故所求的概率 P ? 0.63 ? C3 ? 0.62 ? 0.2 ? 0.432.

3 解: .设该批产品中次品有 x 件,由已知

x ? 0.2,? x ? 2 10

(1)设取出的 3 件产品中次品的件数为 X,3 件产品中恰好有一件次品的概率为

P( X ? 1) ?

2 C1 7 2 C8 ? 3 15 C10
3 C8 7 ? 3 C10 15

(2)至多有 1 件次品的概率为:? P( X ? 0) ?

P ( X ? 1) ?

C 2C 1 1 14 7 ? 或 1 ? P( X ? 2) ? 1 ? 2 3 8 ? 1 ? C10 15 15 15

4.B. 5 解:因为由题意得:μ =70 .σ =10

P(? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 0.6826 , P(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 0.9544
1 ? 0.6826 ? 0.1587 , 2 1 ? 0.9544 ? 0.0228 (2) 2
(1) 答:成绩不及格的学生约占 15.87%,成绩优秀的学生约占 2.28%. 6、解:(1)中国女排取胜的情况有两种:①中国女排连胜三局:②中国女排在第 2 局到第 4 局中赢两局,且第 5 局赢。

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所以中国女排取胜的概率是 : ( ) ? C 3 ( ) ?
3 2 2

3 5

3 5

2 3 27 I 62 297 ? ? ? ? 5 5 125 625 625
1 1 1 、p2 ? 、p4 ? , ? 的取值为 2 3 4

例 l、解:(1)甲答对(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三题的概率分别是 p1 ?

? ? 0、 10、 15、 25、 30、 40.
P(? ? 0) ? (1 ? p1 )(1 ? p2 ) ? 1 1 , P(? ? 10) ? p1 (1 ? p2 )(1 ? p3 ) ? 3 4 1 5 P(? ? 15) ? (1 ? p1 ) p2 (1 ? p3 ) ? , P(? ? 25) ? p1 p2 (1 ? p3 ) ? p1 (1 ? p2 ). p3 ? 8 24 1 1 P(? ? 30) ? (1 ? p1 ) p2 p3 ? , P(? ? 40) ? p1 p2 p3 ? 24 24

所以ξ 的分布列为

所以ξ 的数学期望 E? ? 0 ?

1 1 1 5 1 1 ? 10 ? ? 15 ? ? 25 ? ? 30 ? ? 40 ? ? 12.5 3 4 8 24 24 24

(2)否. 例 2、解: (1)记“l5 条鱼中任选 3 条恰好有 l 条鱼汞含量超标”为事件 A,则

P( A) ?

1 2 C5 ? C10 45 ? 3 c15 91

∴15 条鱼中任选 3 条恰好有 l 条鱼汞含量超标的概率为

45 91 5 1 ? 15 3

(2)依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 P ? 所有ξ 的取值为 O1,2.3,其分布列如下:

因为 ? ~ B(3, ) ,所以 E? ? 1, D? ?

1 3

2 3

例 3、解:(1)“取出的 2 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A,“取出的 2 个 小球上的数字相同”的事件记为 B,则事件 A 与事件 B 是对立事件. 因为 P( B) ?
1 4 C3 3 1 ? ? , 所以 P( A) ? 1 ? P( B) ? 2 C6 5 15 5

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(2)由题意,ξ 的所有可能取值为 2,3,4,5,6.

P(? ? 2) ?

1 1 2 C2 C2 4 C2 1 , ? P ( ? ? 3 ) ? ? 2 2 C6 15 C6 15 2 2 1 1 1 1 C2 C2 ? C2 C2 1 C2 C2 4 1 , , ? P ( ? ? 5 ) ? ? P ( ? ? 6 ) ? ? 2 2 2 C6 15 C6 C6 15 3

P(? ? 4) ?

所以随机变量ξ 的概率分布为

例 4 解: (I)第二组的频率为 1 ? (0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 0.3 ,所以高为

0 .3 ? 0.06 频率直方图如下: 5

…………2 分

200 120 ? 200 ,频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ,所以 n ? ? 1000 0 .6 0.2 由题可知,第二组的频率为 0.3,所以第二组的人数为 1000 ? 0.3 ? 300 195 ? 0.65 所以 p ? 300 第四组的频率为 0.03 ? 5 ? 0.15 ,所以第四组的人数为 1000 ? 0.15 ? 150 所以 a ? 150 ? 0.4 ? 60 ???5 分
第一组的人数为 (Ⅱ)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为 60:30=2:1,所以采用分层抽样法抽取 18 人,[40,45)岁中有 12 人,[45,50)岁中有 6 人. ????6 分

C C 随机变量 X 服从超几何分布 P( X ? 0) ? C
12 3 18

0

3 6

1 2 C12 C6 15 5 ? ? , P( x ? 1) ? 3 C 204 68 18

P( X ? 2) ?

2 C12 C6 33 ? 3 C18 68

P( X ? 3) ?

3 0 C12 C6 55 ? ??????l0 分 3 C18 204

第 6 页 共 6 页

所以随机变量 X 的分布列为

????12 分 ∴数学期望 EX ? 0 ? (3)例 5 解:(1)重量超过 505 克的产品数量是: 40? (0.05? 5 ? 0.01? 5) ? 40? 0.3 ? 12. (2)Y 的分布列为:

5 15 33 55 ? 1? ? 2? ? 3? ? 2 ????14 分 204 68 68 204

(3)设所取的 5 件产品中,重量超过 505 克的产品件数为随机变量 Y,则 Y

3 7 3087 3 ) ,从而 P(Y ? 2) ? C52 ( ) 2 ( )3 ? 10 10 10 10000 3087 即恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率为 10000
B (5,
例 6、解:(1)列联表如下:

105 ? (10 ? 30 ? 20 ? 45) 2 ? 6.109 ? 3.841 (2)根据列联表中的数据,得到 k ? 55?50 ?30 ? 75
因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”. (3)设“抽到 6 或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,所有的基本事件有

6 ? 6 ? 36 个,事件 A 包含的基本事件有 8 个?.P( A) ?

8 2 ? ? 36 9

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