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第十讲双曲线椭圆抛物线


第九讲:椭圆 双曲线 抛物线
一.椭圆的相关概念
1. 定义:平面内两定点 F1,F2,PF1+PF2=2a>F1F2 =F1F2 <F1F2 F1,F2,称为焦点,|F1F2|称为焦距,2a 叫做长轴 2. 标准方程求法 焦点在 x 轴上 x 型: y 型: 为椭圆

3. 椭圆的参数方程 4. 如何求椭圆方程:①待定系数法

②定义法 ③中间量法

例1.

F1 , F2

为 椭 圆

C:

x2 y 2 ? ?1 的 左 右 焦 点 , P 在 C 上 , 且 9 4
PF1 PF 2

PF1F 2为Rt , PF1 ? PF 2, 求

例2.

一动圆与 圆圆心轨迹

求动 O1: x2 ? y2 ? 6x ? 5 ? 0外切。与 O2:x 2 +y 2 -6x-91 ? 0内切 ,

例3.

以 F1(-4,0) ,F2(4,0)为焦点的椭圆中,求与直线 x-2y+6=0 有公共点,且长轴最小的椭 圆标准方程

例4.

圆 O: x +y =25 ,一平行于 x 轴的半弦交圆 O 于 P,交于 y 轴于 N,如图,求 OP 与 MN 交点的轨迹

2

2

例5.

椭圆 C 的中点在原点上,焦点在坐标轴上,直线 l:x+y-1=0 与 C 交于 A,B 两点, |AB|=2 2 ,AB 的中点为 M,OM 的斜率 为

2 ,求 C 的方程 2

特征三角形:焦半径与焦距所围成的三角形

二.双曲线的基本概念
1. 定义:平面内两定点 F1,F2,若|PF1-PF2|=2a<F1F2 = > 2. 标准方程 为双曲线

3. 特征三角形

4. 如何求双曲线:①定义法 ②待定系数法 ③中间量法

例1.

三角形 ABC 中,BC=2,sinC-sinB=

1 sinA, 求点 A 的轨迹 2

例2.

求下列动圆圆心 M 的轨迹
2 2

(1) 与圆 C1: (x+2)+y =2内切且过( A 2,0)

(2) 与圆 C1: (x ? 3)2 ? y 2 ? 9 外切 ,与 圆C 2: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 内切

例3. 例4. 三. 圆锥曲线与直线联立 对称问题等
例1. 已知直线 l:y=4x+m ,C: 范围

x2 y 2 ? ? 1 ,当 C 上存在两个关于 l 对称的点,求 m 的取值 4 3

例2.

已知曲线 C: x ?
2

y2 ? 1,是否存在直线 l 与 C 交于 M,N 两点,且线段 MN 恰好被 9

1 x ? =0 平分,若存在,求出倾斜角的范围 2

例3.

已知双曲线 C:

x2 y 2 3 - 2 ?( 1 a,b>0) 的左右焦点为 F1,F2,过 F2 作斜率为 的直 2 a b 5

线交 C 于 P,Q,且 OP ? OQ ,PQ=4,求 C 的方程

例4.

斜率为 1 的直线与 C:
? ? ?

a x2 y 2 - 2 ?( 1 a>b>0) 交于 PQ,且 ? 3 ,l 与 y 轴交于 R, 2 c a b
?

OP? OQ ? ?3, PQ ? 4 RQ, 求直线及 C 的方程

四.抛物线的相关概念
1. 定义: 平面内以一个定点 F 和一条定直线的距离相等的点的轨迹 (定点不在这条直线上, 定点为焦点,定直线为准线) 2. 抛物线的标准方程: y2 =2px,y2 =-2px, 焦点坐标 3. 准线方程 对称轴 顶点

y2 =2px y2 = - 2 p x
x2 = 2 p y

x2 = - 2 p y
例1. 过 y2 =4ax (a>0)的焦点作 AB ? CD,求|AB|+|CD|的最小值

例2.

已知 C: y2 ? 2 px( p ? 0), 过一动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线与 C 交于 A,B 两点, |AB| ? 2p,(1)求 a 的取值范围 求三角形 ABN 的最大值 (2) 若 AB 的中垂线交于 x 轴于 N,


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