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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(23)


加试模拟训练题(23) (附详细答案) 1、已知 P, Q 分别是 ?ABC 的边 AC , AB 上的点, BP, CQ 相交于点 D ,证明 ?ABD 和 ?ACD 的内切圆 外切的充分必要条件是四边形 APDQ 有内切圆。 (99 年保加利亚) 2、求证: 2n ? n ? 2 n ?1 2 ? 1? n ? N ? 3、 将 99 边形的边染色,使得相邻边的颜色依顺时针方向为红,蓝,红,蓝,…,红, 蓝,黄.然后进行一系列的变换,每一次变换将一条边的颜色改变,变为红,蓝,黄中的一 种并且相邻的边颜色不同. 试问能否经过一系列的变换使得相邻边的颜色依次是红, 蓝, 红, 蓝,…,红,黄,蓝? 4、求所有的质数 x, y ,满足 x ? y ? xy ? 19 . y x 2 加试模拟训练题(23) 1、 已知 P, Q 分别是 ?ABC 的边 AC , AB 上的点,BP, CQ 相交于点 D , 证明 ?ABD 和 (99 年保加利亚) ?ACD 的内切圆外切的充分必要条件是四边形 APDQ 有内切圆。 证明 充分性:由 ?ABD 和 ?ACD 的内切圆外切,可得 DB ? DC ? AB ? AC 。作 ?ACQ 的内切圆,过 B 作该圆的切线 BM ,交 CQ 于 D1 。由于 AB ? AC ? D1 B ? D1C , 因此有 DB ? DC ? D1 B ? D1C ,即 D ? D1 。 必 要 性 : 设 ?ABD 和 ?ACD 的 内 切 圆 与 AD 分 别 切 于 点 N1 , N , 因 为 DB ? DC ? AB ? AC ,所以有 DN ? DN1 。 2、求证: 2 ? n ? 2 n n ?1 2 ? 1? n ? N ? 证明:当n ? 0,1, 2时代入数值验证成立,下面用数学归纳法证明n ? 3时结论是否成立 ?1?当n ? 3时,左边 ? 23 ? 8,右边 ? 3 ? 2 k ?1 k ?1 ? ? 那么2k ?1 ? 2 ? k ? 2 2 ? 1? ? k ? 2 2 ? 2 ? ? 3?1 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 7,不等式成立 k ? 2 ? 假设n ? k时 ? k ? 3?,结论成立,就是2 ? k ?2 k ?1 2 ?1 ? k ?1? ?1 k ?1 ? ? ? ? 2 2 k ? 2 ? 2 ? k ? 1 ? 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k ? 22 ? ?? ? k ? ? 2 ?1 k ? 2 2 ? 2 ? k ? 22 ? 22 ?1 k ? k k k ? 2 ? 1 k ? 1? ? 2 2 ? 1 ? ? 2 ? 1? k ? 1 ? 0 ? ?? 2 ? 1? k ? 1? ? 2 ? 1 ? 0 ? ? k ? 3, ? k 2 ? k ?1? ?1 k ?1 k ?1 ? ? ? 2k ?1 ? 2 ? k ? 2 2 ? 1? ? k ? 2 2 ? 2 ? ? k ? 1? ? 2 2 ? 1 ? ? 即当n ? k ? 1时结论也成立,所以对于任何n ? N 结论都成立 证明二: 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 n 2 n ?1 ? n ? 1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 n 2 n ?1 ? n?2 n ?1 2 ? 2n ? n ? 2 n ?1 2 ?1 3、 将 99

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