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安徽省六安市毛坦厂中学2015届高三模拟考试二模 数学文


2015 年高考模拟试卷

数学文科试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 M ? x x 2 ? 4 , N ? ??3, 0,1,3, 4? ,则 M∩N=( A. ??3, 0,1,3, 4? 2.复数 A. ? 3 i 5 B. ??3,3, 4? ) C. C. ?1,3, 4?

?

?

)

D. x x ? ?2

?

?

1 ? 2i 的共轭复数是( 2?i
B. 3 i
5

?i

D. i

? x?0 ? 3.若 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 ( ?2 x ? y ? 3 ?
A. [0,3] B. [0, ]

)

3 2

C. [ ?

3 , 0] 2

D. [?3, 0]

4. 已 知 函 数 f(x)=3sin(? x-

?
6

)(? >0) 和 g(x)=2 cos (2x+? )+1 的 图 象 的 对 称 轴 完 全 相 同 , 若
) D. [- ,3]

x ? [0,

?
2

] ,则 f(x) 的取值范围是(
B.
? 3 3? ? , ? ? 2 2? ?

A. ? ?3,3?

C. ?

3 3? , ? ?? 2 2 ? ?

3 2

5.执行右图所示的程序框图(其中[ x] 表示不超过 x 的最大整数) ,则输出的 S 值为 ( ) B. 6 C.5 D.4 )

A.7

6. 从数字 0,1,2,3,4,5 中任取两个数组成两位数,其中奇数的概率为( A.

2 5
4? 3

B.

12 25
16? 3

C.

1 3

D.

1 2


7.已知右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为( A. 12 ? B. 12 ?

·1 ·

16? 4? D. 4 ? 3 3 8.各项都为正数的等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 32 , a5 ? a6 ? a7 ? 2 ,则公比的值是

C. 4 ?

( A.



1 2

B.

1 4

C.

1 8

D.

1 16

9.设点 P 是双曲线

2 x 2 ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 与圆 x2+y2=a2+b2 在第一象限的交点,F 、F 分别是 1 2 a 2 b2

双曲线的左、右焦点,且|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率为( A. 5 B. 5 2 C. 10 D.

) 10 2

10. 已知函数 f ( x) ? log 2 x ? 2 log 2 ( x ? c) , 其中 c ? 0 . 若对于任意的 x ? ( 0, ? ? ) , 都有 f ( x) ? 1 , 则 c 的取值范围是( A. (0, ] )

1 4

B. [ , ??)

1 8

C. (0, ]

1 8

D. [ , ??)

1 4

11.已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表. x f(x) -1 1 0 2 4 2 5 1

f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示.下列关于函数 f(x)的命题: ①函数 y=f(x)是周期函数; ②函数 f(x)在[0,2]是减函数; ③如果当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 有 4 个零点. 其中真命题的个数是 ( A.4 B.3 ) C.2 D.1

12.在等腰直角△ABC 中,点 O 是斜边 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、 N,若 AB ? m AM , AC ? n AN ,则 mn 的最大值为( A. 3 B. 2 C. 1 ) D.

1 2 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷中相应的横线上.

13.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),过焦点 F
·2 ·

的直

线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点,若直线 l 的倾斜角为 45° ,则弦 AB 的中点坐标为 14.如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1 ,则 AC ? DB ? ______

15











?? ? f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 的图象与 y 2? ?
轴的交点为 ? 0,1? , 它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别 为 x0, 2 和 ? x0 ? 2? , ?2 ? 则 f ? x ? = 16.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积 是这个球面面积的

?

?

3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_______ 16

三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答题的过 程写在答题卷中指定的位置) 17. (本小题满分 12 分)已知数列{an}满足:a1=20,a2=7,an+2﹣an=﹣2(n∈N*) . (Ⅰ)求 a3,a4,并求数列{an}通项公式; (Ⅱ)记数列{an}前 2n 项和为 S2n,当 S2n 取最大值时,求 n 的值.

18. (本小题满分 12 分)某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超 过 1 小时收费 6 元,超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) .现有甲、乙 二人在该商区临时停车,两人停车都不超过 4 小时. (1)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 付费恰为 6 元的概率; (2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的概率.

1 5 ,停车付费多于 14 元的概率为 ,求甲停车 3 12

·3 ·

19.(本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC - A1 B1C1 中,侧面 ABB1 A1 为矩形, AB = 1, AA1 = 2 ,D 为 AA1 的中点,BD 与 AB1 交于点 O, CO ? 侧面 ABB1 A1 . (I)证明: BC ? AB1 ; (Ⅱ)若 OC = OA ,求三棱锥 C1 ? ABC 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知圆的方程为 x ? y ? 4 , 过点 M (2, 4) 作圆的两条切线, 切点分别为 A1 、
2 2

A2 ,直线 A1 A2 恰好经过椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点和上顶点. a 2 b2

(1)求直线 A1 A2 的方程及椭圆 C1 的方程; ( 2 ) 若 椭 圆 C2 以 C1 的 长 轴 为 短 轴 , 且 与 C1 有 相 同 的 离 心 率 , 点 A,B 分 别 在 椭 圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ( O 为原点) ,求直线 AB 的方程.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

k ( x ? 1) . x

(I)当 k ? e 时,求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间和极值; ; (Ⅱ) 若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的值。

四.选考题(从下列三道解答题中任选一道作答,作答时,请注明题号;若多做,则按首做题计入 总分,满分 10 分. 请将答题的过程写在答题卷 中指定 的位置 ... .. 22.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 1:如图,AB 是圆 O 的直径,C,D
D G C E A O B F

是圆 O 上两点,AC 与 BD 相交于点 E,GC,GD 是圆 O 的切线, 点 F 在 DG 的延长线上,且 DG ? GF 。求证: (1)D、E、C、F 四点共圆; (2) GE ? AB

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
·4 ·

在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知圆 C 的极 坐标方程为 ? ? 2a cos(? ?

?
4

) (a ? 0) 。

(Ⅰ)当 a ? 2 2 时,设 OA 为圆 C 的直径,求点 A 的极坐标; (Ⅱ)直线 l 的参数方程是 ? 取值范围。 24、(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:已知函数 f ( x) ?| x ? 1| 。 (1)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 8 ; (2)若 | a |? 1,| b |? 1 ,且 a ? 0 ,求证: f (ab) ?| a | f ( ) 。

? x ? 2t ( t 为参数) ,直线 l 被圆 C 截得的弦长为 d ,若 d ? 2 ,求 a 的 ? y ? 4t

b a

·5 ·

海南省 2015 年高考模拟试卷文科答案

一、BCDD

ABBA

二、13、(3,2)

DBDC 3 14、 ? 2

1 ? 15、 f ( x) ? 2sin( x ? ) 2 6

16、

1 3

17.解: (I)∵a1=20,a2=7,an+2﹣an=﹣2

∴a3=18,a4=5………………2 分

由题意可得数列{an}奇数项、偶数项分别是以﹣2 为公差的等差数列 当 n 为奇数时, 当 n 为偶数时, =21﹣n =9﹣n………………5 分

∴an=

………………6 分

(II)s2n=a1+a2+…+a2n=(a1+a3+…+a2n﹣1)+(a2+…+a2n) = 结合二次函数的性质可知,当 n=7 时最大 18. (Ⅰ)解:设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A , 则 P ( A) ? 1 ? ( ? =-2n2+29n ………………12 分 ………………1 分 …10 分

1 5 1 1 ) ? .所以甲临时停车付费恰为 6 元的概率是 . ………4 分 3 12 4 4
………6 分

(Ⅱ)解:设甲停车付费 a 元,乙停车付费 b 元,其中 a, b ? 6,14, 22,30 . 则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为:

(6, 6), (6,14), (6, 22), (6,30), (14, 6), (14,14), (14, 22), (14,30), (22, 6), (22,14), (22, 22), ………10 分 (22,30), (30, 6), (30,14), (30, 22), (30,30) ,共 16 种情形.
其中, (6,30), (14, 22), (22,14), (30, 6) 这 4 种情形符合题意. 故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 P ?

4 1 ? . 16 4

…………12 分

19.解:(1)证明:由题意 BD ?

AB 2 ? AD 2 ?

6 , AB1 ? 3. 2

且 ?AOD ~ ?B1OB ,?

1 6 3 AO DO AD 1 , AO ? , ? ? ? , ? OD ? BD ? 3 6 3 OB1 OB BB1 2

? AO 2 ? OD 2 ? AD 2 ,所以 AB1 ? BD ,……………………3 分
·6 ·

又 CO ? 侧面 ABB1 A1 , ? AB1 ? CO , 又 BD 与 CO 交于点 O ,所以 AB1 ? 面CBD , 又因为 BC ? 面CBD ,所以 BC ? AB1 . (2)因为 OC ? OA ? ………6 分

3 , 且 A1C1 // 平面 ABC. 3 1 1 1 3 6 . …………12 分 S ?ABA1 ? OC ? ? ? 1 ? 2 ? ? 3 3 2 3 18

?VC1 ? ABC ? V A1 ? ABB1 ? VC ? ABA1 ?

20. 解: (Ⅰ) 观察知, x ? 2 是圆的一条切线,切点为 A1 (2, 0) , 设 O 为圆心,根据圆的切线性质, MO ? A1 A2 , 所以 k A1 A2 ? ? --------------2 分

1 kMO

1 1 ? ? ,所以直线 A1 A2 的方程为 y ? ? ( x ? 2) 2 2

-----4 分

直线 A1 A2 与 y 轴相交于 (0,1) ,依题意 a ? 2, b ? 1 ,所求椭圆的方程为 (2)依题意椭圆 C 2 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ------6 分 4

x2 y2 ? ? 1 ------ 8 分 16 4

9分

11 分

12 分 21.⑴解:注意到函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

h( x) ? ln x ?

k ( x ? 1) ( x ? 0) , x

·7 ·

当 k ? e 时, h?( x) ?

1 e x?e ? ? 2 ,-------------------2 分 x x2 x

若 0 ? x ? e ,则 h?( x) ? 0 ;若 x ? e ,则 h?( x) ? 0 . 所以 h( x) 是 (0, e) 上的减函数,是 (e, ??) 上的增函数, 故 h( x) min ? h(e) ? 2 ? e , 故函数 h( x) 的减区间为 (0, e) ,增区间为 (e, ??) ,极小值为 2 ? e ,无极大值.---5 分 ⑵解:由⑴知 h?( x) ?

1 k x?k ? 2 ? 2 , x x x

当 k ? 0 时, h?( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,所以 h( x) 是 (0, ??) 上的增函数, 注意到 h(1) ? 0 ,所以 0 ? x ? 1 时, h( x) ? 0 不合题意.-------7 分 当 k ? 0 时,若 0 ? x ? k , h?( x) ? 0 ;若 x ? k , h?( x) ? 0 . 所以 h( x) 是 (0, k ) 上的减函数,是 (k , ??) 上的增函数, 故只需 h( x) min ? h(k ) ? ln k ? k ? 1 ? 0 . 令 u ( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 0) , u ?( x) ? --------9 分

1 1? x , ?1 ? x x

当 0 ? x ? 1 时, u ?( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, u ?( x) ? 0 . 所以 u ( x) 是 (0,1) 上的增函数,是 (1, ??) 上的减函数. 故 u ( x) ? u (1) ? 0 当且仅当 x ? 1 时等号成立. 所以当且仅当 k ? 1 时, h( x) ? 0 成立,即 k ? 1 为所求. --------12 分
G C
2

F

22.解: (Ⅰ)如图,连结 OC,OD,则 OC⊥CG,OD⊥DG, 设∠CAB=∠1,∠DBA=∠2,∠ACO=∠3, ∠COB=2∠1,∠DOA=2∠2. 所以∠DGC=180?-∠DOC=2(∠1+∠2). 因为∠DGC=2∠F,所以∠F=∠1+∠2. 又因为∠DEC=∠AEB=180?-(∠1+∠2), 所以∠DEC+∠F=180?,所以 D,E,C,F 四点共圆.
·8 · A
1

D

E O H

3

B

…3 分

…5 分

(Ⅱ)延长 GE 交 AB 于 H.因为 GD=GC=GF,所以点 G 是经过 D,E,C,F 四点的 圆的圆心.所以 GE=GC,所以∠GCE=∠GEC. …8 分

又因为∠GCE+∠3=90?,∠1=∠3,所以∠GEC+∠3=90?,所以∠AEH+∠1=90?, 所以∠EHA=90?,即 GE⊥AB.
2 2

…10 分

23.解: (Ⅰ) a ? 2 2 时,圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 ,……2 分 ∴圆心 C(2,-2) ,又点 O 的直角坐标为(0,0) ,且点A与点 O 关于点 C 对称, 所以点 A 的直角坐标为(4,-4) ,极坐标为 ( 4 2 , (Ⅱ)圆 C 的直角坐标方程为 ( x ?

7? ) ……………5 分 4

2 2 2 2 a) ? ( y ? a ) ? a 2 ,直线 l 的方程为 y=2x. 2 2

所以圆心 C(

2 2 a ,? a )到直线 l 的距离为 2 2

?

2 a ? 2a 2 5

,……………8 分

∴d=2 a ?
2

9a 2 10 10 = a .所以 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 .…………………10 分 10 5 5

? ?-2x-2,x<-3, -3≤x≤1, 24.解: (Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4, ?2x+2, x>1. ?

(Ⅱ)f (ab)>|a|f (

b )即|ab-1|>|a-b|. a

…6 分

因为|a|<1,|b|<1, 所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|. 故所证不等式成立. …10 分

·9 ·


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