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第3章不等式


3.2 一元二次不等式及其解法

情境引入(交通事故问题)
?

甲,乙两辆汽车相向而行,在一个弯道上相遇, 弯道限制车速在40km/h以内,由于突发情况,两 车相撞了。交警在现场测得甲车的刹车距离接近但 未超过12m,乙车的刹车距离刚刚超过了10m,又 知这两辆车的刹车距s与车速x(km/h)之间分别 有以下函数关系: ?S 甲 0.01 x 2 ? 0.1x

?
?

S乙 ? 0.005x2 ? 0.05x

谁的车速超过了40km/h,谁就违章了。 ? 试问:哪一辆车违章行驶?

分析问题
?

由题意,只需分别解出不等式 2 和 0.01x ? 0.1x ? 12 ,确认甲,乙两车的 0.005x 2 ? 0.05x ? 10 行驶速度,就可以判断哪一辆车违章 超速行驶。

考察引例中含未知数x的不等式:
0.01x2+0.1x ≤12和 0.005x2+0.05x>10. 这两个不等式有两个共同特点: (1)含有一个未知数x; (2)未知数的最高次数为2. 一般地,含有一个未知数,且未知

数的最高次数为2的整式不等式,叫做一
元二次不等式。

一元二次不等式的一般表达式为
ax2+bx+c>0 (a≠0),或ax2+bx+c<0 (a≠0) 其中a,b,c均为常数。 一元二次不等式一般表达式的左边,恰 是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式, 即 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),

在初中学习二次函数时, 我们曾解决过这样的问题:
对二次函数f(x)=x2-x-2,

y

当x为何值时,f(x)=0?
当x为何值时,f(x)<0?
-1 o 2 x

当x为何值时,f(x)>0?
当x=-1或2时,f(x)=0 当-1<x<2时,f(x)<0 当x<-1或x>2时,f(x)>0

下面我们通过实例,研究一元二次不等 式的解法,以及它与相应的方程、函数之 间的关系。 例如解不等式: (1)x2-x-6>0;(2)x2-x-6<0.
我们来考察二次函数f(x)=x2-x-6的 图象和性质。

方程x2-x-6=0的判别式 ? ? 1 ? 4 ?1? (?6) ? 25 ? 0

于是可知这个方程有两个不相等的实数根,
解此方程得x1=-2,x2=3. 建立直角坐标系xOy,画出 f(x)的图象,它是一条开口向 上的抛物线,与x轴的交点是
-2 -1 O -1 -2 -3 y 3 2 1 1 2 3 x

M(-2,0),N(3,0),

1 25 ( ,) 2 4

观察这个图象,可以看出,抛物线位于x 轴上方的点的纵坐标大于零,因此这些点 的横坐标的集合
y

A={x| x<-2或x>3}是一元二
次不等式x2-x-6>0的解集。 抛物线位于x轴下方的点 的纵坐标小于零,因此这些 点的横坐标的集合B={x| - 2<x<3}是一元二次不等式x2 -x-6<0的解集。
-2 -1 O

3 2 1 1 -1 -2 -3 2 3 x

1 25 ( ,) 2 4

例1 解不等式 2x2-3x-2>0.
解:方程2x2-3x-2=0的解是

1 图象与x轴的交点坐标为:(? ,0), (2,0) 2 2 函数y=2x -3x-2的图象为: 由函数的图象可知

1 x1 ? ? , x2 ? 2 2

不等式2x2-3x-2>0.的解集为:
? ? 1 ? x x ? ? , 或x ? 2? 2 ? ?

由上述讨论及例题,可归纳出用图象法解一 元二次不等式的程序如下: 1.将不等式化为标准形式:
ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0

2.解出相应的方程的根。
3.确定相应函数图象与x轴交点坐标。

4.画出相应函数图象,根据图象确定所求不等
式的解集。

例2.解不等式x2+4x+4>0. 2 解:方程 x ? 4 x ? 4 ? 0 △=42-4×1×4=0,

有两个相等的实数解 x1 ? x2 ? ?2,
函数 y ? x ? 4x ? 4 的图像是开口向上 的抛物线,与x轴只有一个交点
2

(-2,0),所以不等式的解集是 {x| x≠-2}.

巩固练习:解下列不等式

?1?5 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ?2?x 2 ? 3 x ? 5 ? 0 ?3?2 x 2 ? 3 x ? 5 ? 0
?4?4 x ? 3 x 2 ? 2 ? 0

?1?R, ?2?R, ?3??, ?4?? 答案:

方法与小结(a>0)
ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? ? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 的根的判别式

ax2 ? bx ? c ? 0的解
y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0)的图象

x ? x 1 或x ? x2 x1 ? x 2

x ? x1 ? x 2

方程无实数解

y
x
1

0

x

2

x

y
0

y
x ?x
1

x

2

0

x

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0 )的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0 )

?? ?, x1 ? ? ?x 2 ,??? ?? ?, x1 ? ? ?x1 ,??? ? x1 , x 2 ?
?

R
?

作业:
?

课本78页,第2,3题


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