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数学竞赛教案讲义——排列组合与概率


第十三章
一、基础知识

排列组合与概率

1.加法原理:做一件事有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中 有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共有 N=m1+m2+?+mn 种不同的方法。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 乘法原理:

做一件事,完成它需要分 n 个步骤,第 1 步有 m1 种不同的方法,第 2 步有 m2

种不同的方法,??,第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×?×mn 种不同的方法。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3.排列与排列数:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列, n 个不同元素中取出 m 个(m≤n)元素的所 从
m m 有排列个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 An 表示, An =n(n-1)?

(n-m+1)=

n! ,其中 m,n∈N,m≤n, (n ? m)!

0 n 注:一般地 An =1,0!=1, An =n!。

4.N 个不同元素的圆周排列数为

Ann =(n-1)!。 n

5.组合与组合数:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合, 即从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成原集 合的一个子集。从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同
m 元素中取出 m 个元素的组合数,用 C n 表示:

m Cn ?

n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! ? . m! m!(n ? m)!
m n ?m

6.组合数的基本性质: (1) Cn ? Cn
n

; (2) Cn?1 ? Cn ? Cn ; (3)
m m

n?1

n k ?1 k C n ?1 ? C n ; (4) k

0 1 n k ?1 C n ? C n ? ? ? C n ? ? C n ? 2 n ;( 5 ) Ckk ? Ckk?1 ? ? ? Ckk?m ? Ckk?m?1 ;( 6 ) k ?0

k n?k Cn Ckm ? Cn?m 。
n ?1

7.定理 1:不定方程 x1+x2+?+xn=r 的正整数解的个数为 Cr ?1 。

[证明]将 r 个相同的小球装入 n 个不同的盒子的装法构成的集合为 A, 不定方程 x1+x2+?+xn=r 的正整数解构成的集合为 B,A 的每个装法对应 B 的唯一一个解,因而构成映射,不同的装 法对应的解也不同,因此为单射。反之 B 中每一个解(x1,x2,?,xn),将 xi 作为第 i 个盒子中 球的个数,i=1,2,?,n,便得到 A 的一个装法,因此为满射,所以是一一映射,将 r 个小球
?1 从左到右排成一列,每种装法相当于从 r-1 个空格中选 n-1 个,将球分 n 份,共有 Crn?1 种。

故定理得证。
r 推论 1 不定方程 x1+x2+?+xn=r 的非负整数解的个数为 Cn? r ?1 .

推论 2 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n 个不同元素的 m 可重组
m 合,其组合数为 Cn? m?1 . 0 1 2 r n 8. 二项式定理: n∈N+,则(a+b) = Cn a n ? Cn a n?1b ? Cn a n?2b 2 ? ? ? Cn a n?r b r ? ?Cn b n . 若
n

r r 其中第 r+1 项 Tr+1= Cn a n?r b r , Cn 叫二项式系数。

9.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同 一试验时,事件 A 发生的频率

m 总是接近于某个常数,在它附近摆动,这个常数叫做事件 n

A 发生的概率,记作 p(A),0≤p(A)≤1. 10.等可能事件的概率,如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果,其中事件 A 包含的结 果有 m 种,那么事件 A 的概率为 p(A)=

m . n

11.互斥事件:不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件,也叫不相容事件。如果事件 A1, A2,?,An 彼此互斥,那么 A1,A2,?,An 中至少有一个发生的概率为 p(A1+A2+?+An)= p(A1)+p(A2)+?+p(An). 12.对立事件:事件 A,B 为互斥事件,且必有一个发生,则 A,B 叫对立事件,记 A 的对立 事件为 A 。由定义知 p(A)+p( A )=1. 13.相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的 两个事件叫做相互独立事件。 14.相互独立事件同时发生的概率:两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生 的概率的积。即 p(A?B)=p(A)?p(B).若事件 A1,A2,?,An 相互独立,那么这 n 个事件同时发 生的概率为 p(A1?A2? ? ?An)=p(A1)?p(A2)? ? ?p(An). 15.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,

则称这 n 次试验是独立的. 16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试
k 验中,这个事件恰好发生 k 次的概率为 pn(k)= C n ?p (1-p) .
k n-k

17.离散型随机为量的分布列:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变 量叫随机变量,例如一次射击命中的环数ξ 就是一个随机变量,ξ 可以取的值有 0,1,2,?,10。 如果随机变量的可能取值可以一一列出, 这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地, 设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1,x2,?,xi,?,ξ 取每一个值 xi(i=1,2,?)的概 率 p(ξ =xi)=pi,则称表 ξ p x1 p1 x2 p2 x3 p3 ? ? xi pi ? ?

为随机变量ξ 的概率分布,简称ξ 的分布列,称 Eξ =x1p1+x2p2+?+xnpn+?为ξ 的数学期望或 平均值、均值、简称期望,称 Dξ =(x1-Eξ )2?p1+(x2-Eξ )2?p2+?+(xn-Eξ )2pn+?为ξ 的均 方差,简称方差。 D? 叫随机变量ξ 的标准差。 18.二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中,这
k 个事件恰好发生 k 次的概率为 p(ξ =k)= Cn p k q n?k , ξ 的分布列为

ξ p

0
0 Cn p 0 q n

1
1 Cn p1q n?1

? ?

xi
k Cn p k q n ? k

? ?

N
n Cn p n

此时称ξ 服从二项分布,记作ξ ~B(n,p).若ξ ~B(n,p),则 Eξ =np,Dξ =npq,以上 q=1-p. 19.几何分布:在独立重复试验中,某事件第一次发生时所做试验的次数ξ 也是一个随机变 量,若在一次试验中该事件发生的概率为 p,则 p(ξ =k)=q p(k=1,2,?),ξ 的分布服从几 何分布,Eξ =
k-1

1 q ,Dξ = 2 (q=1-p). p p

二、方法与例题 1.乘法原理。 例 1 有 2n 个人参加收发电报培训,每两个人结为一对互发互收,有多少种不同的结对方 式?

2.加法原理。 例 2 没有电流通过电流表,其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种?

3.插空法。 例 3 10 个节目中有 6 个演唱 4 个舞蹈, 要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱, 有多少种 不同的安排节目演出顺序的方式?

4.映射法。 例 4 如果从 1,2,?,14 中,按从小到大的顺序取出 a1,a2,a3 使同时满足:a2-a1≥3,a3-a2 ≥3,那么所有符合要求的不同取法有多少种?

5.贡献法。 例 5 已知集合 A={1,2,3,?,10},求 A 的所有非空子集的元素个数之和。

6.容斥原理。 例6 由数字 1,2,3 组成 n 位数(n≥3),且在 n 位数中,1,2,3 每一个至少出现 1 次,

问:这样的 n 位数有多少个?

7.递推方法。

例 7 用 1,2,3 三个数字来构造 n 位数,但不允许有两个紧挨着的 1 出现在 n 位数中,问: 能构造出多少个这样的 n 位数?

8.算两次。
r 0 r 1 r 2 r r 0 例 8 m,n,r∈N+,证明: C n? m ? Cn Cm ? Cn Cm?1 ? Cn Cm?2 ? ? ? Cn Cm .



9.母函数。 例 9 一副三色牌共有 32 张,红、黄、蓝各 10 张,编号为 1,2,?,10,另有大、小王各 一张,编号均为 0。从这副牌中任取若干张牌,按如下规则计算分值:每张编号为 k 的牌计 为 2 分,若它们的分值之和为 2004,则称这些牌为一个“好牌”组,求好牌组的个数。
k

k 10.组合数 C n 的性质。

例 10

证明: C2m ?1 是奇数(k≥1).

k

n 例 11 对 n≥2,证明: 2 n ? C2n ? 4 n.

11.二项式定理的应用。 例 12 若 n∈N, n≥2,求证: 2 ? ?1 ?

? ?

1? ? ? 3. n?

n

例 13 证明:

?C
k ?0

n

m?h n?k

m ? C kh ? C n??1 (h ? m ? n). 1

12.概率问题的解法。 例 14 如果某批产品中有 a 件次品和 b 件正品, 采用有放回的抽样方式从中抽取 n 件产品, 问:恰好有 k 件是次品的概率是多少?

例 15 将一枚硬币掷 5 次, 正面朝上恰好一次的概率不为 0, 而且与正面朝上恰好两次的概 率相同,求恰好三次正面朝上的概率。

例 16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛,已知每一局甲胜的概率为 0.6,乙胜的概 率为 0.4,比赛时可以用三局二胜或五局三胜制,问:在哪一种比赛制度下,甲获胜的可能 性大?

例 17 有 A,B 两个口袋,A 袋中有 6 张卡片,其中 1 张写有 0,2 张写有 1,3 张写有 2;B 袋中有 7 张卡片,其中 4 张写有 0,1 张写有 1,2 张写有 2。从 A 袋中取出 1 张卡片,B 袋 中取 2 张卡片,共 3 张卡片。求: (1)取出 3 张卡片都写 0 的概率; (2)取出的 3 张卡片数 字之积是 4 的概率; (3)取出的 3 张卡片数字之积的数学期望。

三、基础训练题 1.三边长均为整数且最大边长为 11 的三角形有_________个。 2.在正 2006 边形中,当所有边均不平行的对角线的条数为_________。 3.用 1,2,3,?,9 这九个数字可组成_________个数字不重复且 8 和 9 不相邻的七位数。 4.10 个人参加乒乓球赛,分五组,每组两个人有_________种分组方法。 5.以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。 6.今天是星期二,再过 10
1000

天是星期_________。

7.由 ( 3x ? 3 2 )100 展开式所得的 x 的多项式中,系数为有理数的共有_________项。 8.如果凸 n 边形(n≥4)的任意三条对角线不共点,那么这些对角线在凸 n 边形内共有 _________个交点。 9.袋中有 a 个黑球与 b 个白球,随机地每次从中取出一球(不放回) ,第 k(1≤k≤a+b)次 取到黑球的概率为_________。 10.一个箱子里有 9 张卡片,分别标号为 1,2,?,9,从中任取 2 张,其中至少有一个为 奇数的概率是_________。 11.某人拿着 5 把钥匙去开门,有 2 把能打开。他逐个试,试三次之内打开房门的概率是 _________。 12.马路上有编号为 1,2,3,?,10 的十盏路灯,要将其中三盏关掉,但不能同时关掉相 邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方法种数是_________。 13.a,b,c,d,e 五个人安排在一个圆桌周围就坐,若 a,b 不相邻有_________种安排方式。
i i 14.已知 i,m,n 是正整数,且 1<i≤m≤n。证明: (1) ni Am ? mi An ; (2)(1+m) >(1+n) .
n m

15.一项“过关游戏”规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所得到的点数 之和大于 2 ,则算过关。问: (1)某人在这项游戏中最多能过几关?(2)他连过前三关的 概率是多少?(注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体) 四、高考水平训练题 1.若 n∈{1,2,?,100}且 n 是其各位数字和的倍数,则这种 n 有__________个。 2.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取 3 个不同元素作为二次函数 y=ax +bx+c 的系数,能组成 过原点,且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。 3.四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点,在其中任取 4 个不共面的点,有_________种取 法。
2 n

4.三个人传球,从甲开始发球,每次接球后将球传给另外两人中的任意一个,经 5 次传球 后,球仍回到甲手中的传法有_________种。 5.一条铁路原有 m 个车站(含起点,终点) ,新增加 n 个车站(n>1) ,客运车票相应地增加 了 58 种,原有车站有_________个。

? 1 ? ? 的展开式按降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式 6.将二项式 ? x ? ? ? 4 2 x? ?
中 x 的幂指数是整数的项有_________个。 7. 1 到 9 这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数, 从 共可得到_________种不 同的对数值。 8.二项式(x-2) 的展开式中系数最大的项为第_________项,系数最小的项为第_________ 项。 9.有一批规格相同的均匀圆棒,每根被划分成长度相同的 5 节,每节用红、黄、蓝三色之 一涂色,可以有_________种颜色不同的圆棒?(颠倒后相同的算同一种) 10.在 1,2,?,2006 中随机选取 3 个数,能构成递增等差数列的概率是_________。 11.投掷一次骰子,出现点数 1,2,3,?,6 的概率均为 和为 35 的概率为_________。 12.某列火车有 n 节旅客车厢,进站后站台上有 m(m≥n)名旅客候车,每位旅客随意选择车 厢上车,则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。 13.某地现有耕地 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占有量比 现在提高 10%,如果人口年增长率为 1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到 1 公顷)?(粮食单产=
5

n

1 ,连续掷 6 次,出现的点数之 6

总产量 ) 耕地面积

五、联赛一试水平训练题 1. 0<a<b<c<d<500, 若 有_________个有序的四元数组 (a,b,c,d) 满足 a+d=b+c 且 bc-ad=93. 2.已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素, 并 且该直线倾斜角为锐角,这样的直线条数是_________。 3.已知 A={0,1,2,3,4,5,6,7},映射 f:A→A 满足: (1)若 i≠j,则 f(i)≠f(j); (2)若 i+j=7,则 f(i)+f(j)=7,这样的映射的个数为_________。 4. 2, 4, 的排列 a1,a2,a3,a4,a5 具有性质: 1, 3, 5 对于 1≤i≤4,a1,a2,?,ai 不构成 1, ?, 2,

i 的某个排列,这种排列的个数是_________。 5.骰子的六个面标有 1,2,?,6 这六个数字,相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差, 变差的总和叫全变差 V,则全变差 V 的最大值为_________,最小值为_________。 6.某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛 2 场之后 就退出了,这样,全部比赛只进行 50 场,上述三名选手之间比赛场数为_________。 7.如果 a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}且 a≠b,b≠c,c≠d, d≠a;且 a 是 a,b,c,d 中的最小值, 则不同的四位数 abcd 的个数为_________。 8.如果自然数 a 各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数” ,将所有的吉祥数从小到大排 成一列 a1,a2,a3,?,若 an=2005,则 an=_________。
2 n ?1

9.求值:

? (?1)
k ?1

k ?1

n?k =_________。 k C2n
1 ,连续掷 10 次,出现的点数之和 6

10.投掷一次骰子,出现点数 1,2,?,6 的概率均为 是 30 的概率为_________。

11.将编号为 1,2,?,9 这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有 一个小球,设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为 S,求 S 达到最小值的放法的 概率(注:如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合,则认为是相同的放法) 。 12.甲、乙两人轮流向同一目标射击,第一次甲射击,以后轮流射击,甲每次击中的概率为 p(0<p<1),乙每次击中的概率为 q(0<q<1),求甲、乙首先击中的概率各是多少?
m m m m n? 13.设 m,n∈N,0<m≤n,求证: 2 n?m Cm ? 2n?m?1 Cm?1 ? ? ? 20 Cn ? Cn??1 ? Cn?12 ? ? 1 m + C n ??1 . 1

六、联赛二试水平训练题 1.100 张卡片上分别写有数字 1 到 100,一位魔术师把这 100 张卡片放入颜色分别是红色、 白色、蓝色的三个盒子里,每个盒子里至少放入一张卡片。 一位观众从三个盒子中挑出两个, 并从中各选取一张卡片, 然后宣布这两张卡片上的两个数 的和数,魔术师知道这个和数之后,便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。问: 共有多少种放卡片的方法, 使得这个魔术师总能够成功? (如果至少有一张卡片被放入不同 颜色的盒子,两种方法被认为是不同的) 2.设 S={1,2,?,10},A1,A2,?,Ak 是 S 的 k 个子集合,满足: (1)|Ai|=5,i=1,2,?,k;

(2)|Ai ? Aj|≤2,1≤i<j≤k,求 k 的最大值。 3.求从集合{1,2,?,n}中任取满足下列条件的 k 个数{j1,j2,?,jk}的组合数; (1)1≤ j1<j2<?<jk≤n; (2)jh+1-jh≥m,h=1,2,?,k-1,其中 m>1 为固定的正整数; (3)存在 h0,1≤ h0≤k-1,使得 j h 4.设 n ? 2
S1
?1

0

? j h ≥m+1.
0

? 2 S2 ? ? ? 2 Sm ,其中 S1,S2,?,Sm 都是正整数且 S1<S2<?<Sm,求证组合数

1 1 n Cn , Cn ,?, Cn 中奇数的个数等于 2m。

5.

n( n ? 1) 个不同的数随机排成图 13-2 所示的三角形阵,设 Mk 是从上往下第 k 行中的最 2

大数,求 M1<M2<?<Mn 的概率。
n ? r ?1

6.证明:

? kC
k ?1

r ?1 n?k

r ?1 ? C n?1 .

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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