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2013届惠州市高三第二次调研考试(理数)【含答案--全WORD--精心排版】


惠州市 2013 届高三第二次调研考试 数 学 (理科)

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂

其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答 的答案无效。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求. 1. 已知复数 z ? i (1 ? i ) ( i 为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上所对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) )

3? 2.集合 M ? ?4,5, ?3m? , N ? ??9, ,若 M ? N ? ? ,则实数 m 的值为(
A. 3 或 ?1 B. 3 C. 3 或 ?3 D. ?1 )

3. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S3 ? 6 , a1 ? 4 ,则公差 d 等于(

5 C. ?2 D. 3 3 ? ? ? ? ? 4. 已知向量 a ? ? cos a, ?2 ? , b ? ? sin a,1? ,且 a // b ,则 tan(a ? )等于( 4 1 1 A. 3 B. ? 3 C. D. ? 3 3
A.1 B. 5. “ 2 ? 2 ”是“ log 2 a ? log 2 b ”的(
a b



) B.既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件 )

A.充分不必要条件 C.充要条件
2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 6 2
A.-2 B.2 C.-4 D.4

7.某工厂从 2004 年开始,近八年以来生产某种产品的情况是:前四年年产量的增长速度越来越慢,后

1

四年年产量的增长速度保持不变,则该厂这种产品的产量 y 与时间 t 的函数图像可能是( y y y y



t

t

t

t

o

4

8

o

4

8

o

4

8

o

4

8 )

C A B D x 2 8.已知函数 f ( x) ? e ? 1, g ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 ,若有 f (a) ? g (b) ,则 b 的取值范围为(
A. 2 ? 2, 2 ? 2

?

?

B. ?2 ? 2, 2 ? 2 ?

?

?

C. ?1, 3 ?

D. ?1, 3?

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.函数 f ( x ) ? 1 ? 2 log 6 x 的定义域为 .
开始

? 2 2? 10. ? x ? ? 的展开式中的常数项为 x? ?

3


输入x 是 f(x)>g(x) 否

11.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E 、F 分别为 BB1 、

CC1 的中点,那么异面直线 AE 与 D1 F 所成角的余弦
值为________.

h(x)=f(x)

h(x)=g(x)

输出h(x)

12. 如图所示的算法流程图中, 若 f ( x ) ? 2 , g ( x ) ? x 则
x 2

结束

h (3) 的值等于

.

? x ? y ? 2, ? 13.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 若目标函数 z ? y ? ax 仅在点 ? 5, 3 ? 处取得最小值, 则实 ?0 ? y ? 3, ?
数 a 的取值范围为 .

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。 14. (坐标系与参数方程选做题)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系 中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ? ?

?
4

( ? ? R) ,它与曲线
B

C

? x ? 1 ? 2 cos a ( a 为参数)相交于两点 A 和 B ,则 AB =_______. ? ? y ? 2 ? 2sin a
A

O

D

15.(几何证明选讲选做题)如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC ,已知 AD ? 2 3 ,

2

AC ? 6 ,圆 O 的半径为 3 ,则圆心 O 到 AC 的距离为
??



三、解答题: (本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. ) 16. (本小题满分12分)已知向量 m ? ? sin A, cos A ? , n ? (1)求角 A 的大小; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域.

?

?

?? ? 3, ?1 ,且 m ? n ? 1 , A 为锐角.

?

17. (本题满分 12 分)某商场准备在节日期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 3 种服装商 品、2 种家电商品、4 种日用商品中,选出 3 种商品进行促销活动。 (1)试求选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率; (2)商场对选出的商品采用有奖促销,即在该商品现价的基础上价格提高 180 元,同时允许顾客每购 买 1 件促销商品有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都可获得奖金 100 元,假设顾客每次抽奖时中 奖与否是等可能的,试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。 18. 本小题满分 14 分) ( 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧棱 AA1 ? 底面 ABC , AB ? BC ,D 为 AC 的中点, AA1 ? AB ? 2 . (1) 求证: AB1 // 平面 BC1 D ; (2) 若四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积为 3 , 求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值.

x2 y2 19. (本小题满分14分) 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A 、B 两点,M 是 a b
线段 AB 上的一点, AM ? ? BM ,且点 M 在直线 l : y ? (1)求椭圆的离心率; (2)若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x ? y ? 1上,求椭圆的方程.
2 2

???? ?

???? ?

1 x 上. 2

3

20. (本小题满分 14 分)设 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意的 n ? N ? ,都有 Sn ? (m ? 1) ? man ( m 为正常数). (1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ?

bn ?1 , (n ? 2, n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 1 ? bn ?1

? 2 n ?1 ? (3)在满足(2)的条件下,求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?
21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? x ln x ? b 是奇函数,且图像在点 (e, f (e)) 处的切线斜 率为 3( e 为自然对数的底数) . (1)求实数 a 、 b 的值; (2)若 k ? Z ,且 k ?

f ( x) 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

(3)当 m ? n ? 1 (m, n ? Z ) 时,证明: nmm

?

? ? ? mn ?
n

n m



惠州市 2013 届高三第二次调研考试 数学(理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

B

A

C

B

D

D

B

A

1. 【解析】1.提示:因 z ? i(1 ? i) ? ?1 ? i ,所以 z ? i(1 ? i) ? ?1 ? i 对应的点在复平面的第二象限. 选 B . 2. 【解析】由 M ? N ? ? 可知 ?3m ? ?9 或 ?3m ? 3 ,故选 A .

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d , a1 ? 4 ,? d ? 2 .故选 C 2 ? ? 1 ? 4. 【解析】由 a // b ,得 cos ? ? 2sin ? ? 0 ,即 tan ? ? ? ,所以 tan(? ? ) ? ?3 ,故选 B 2 4
3. 【解析】 s3 ? 6 ? 5. 【解析】注意 a, b 的正负号.故选 D .

p ? 2 ,即 p ? 4 ,故选 D 2 7. 【解析】前四年年产量的增长速度越来越慢,知图象的斜率随 x 的变大而变小,后四年年产量的增长 速度保持不变,知图象的斜率不变,,故选 B .
6.【解析】椭圆的右焦点为 F (2, 0) ,? 8.【解析】由题可知 f ( x) ? e ? 1 ? ?1 , g ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 2) ? 1 ? 1 ,若有 f (a) ? g (b) ,
x 2 2

则 g (b) ? (?1,1] ,即 ?b ? 4b ? 3 ? ?1 ,解得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 。故选 A .
2

4

二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选 做题,考生只选做一题. 9. 0, 6 ?

?

?

10. 12

11.

3 5

12. 9

13. ?1, ? ? ?

14.

14

15. 5

9. 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得

? x?0 ? x?0 x?0 ? ? ? ?? ?? ?0? x? 6 。 1 ? 1 x x 2 ?1 ? 2 log 6 ? 0 ?log 6 ? ? ? 2 ?x ? 6 ? 6

2 3 2 2 2 3? 2 (? )2 。 x x 11. 【解析】连接 DF , D1 F ,则 DF // AE ,所以 DF 与 D1 F 所成的角即为异面直线所成的角,设边长为 5?5?4 3 ? . 2 ,则 DF ? D1F ? 5 ,在三角形 DD1F 中 cos D1 FD ? 2? 5 ? 5 5
10. 【解析】 ( x ? ) 的展开式中的常数项即 T2?1 ? C3 ( x )
2

?2 x , 2 x ? x 2 2 h( x ) ? ? 2 x 12. 【解析】 ,由数形结合可知,当 2 ? x ? 4 时, h ? x ? ? x 所以有 h(3) ? 9 2 ?x , 2 ? x
13. 【解析】 z ? y ? ax 可变为直线 y ? ax ? z ,斜率为 a ,仅在点 ?5, 3? 处取得最小值,只须 a ? 1 14. 【解析】直线的普通方程为 y ? x ,曲线的普通方程 ( x ? 1) ? ? y ? 2 ? ? 4
2 2

? AB ? 2 22 ? (

1? 2 1?1

) 2 ? 14

15. 【解析】先用切割线定理求出 BC 的长度,然后距离 d ?

1 r 2 ? ( BC ) 2 ? 5 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

n 16.解: (1)由题意得 m? ? 3 sin A ? cos A ? 1 ………2 分

?? ?

? ? 1 2sin( A ? ) ? 1 , sin( A ? ) ? ………4 分 6 6 2
由 A 为锐角 , 得 A ?

?

6

? (?

? ?

, ) , A ? ? , A ? ………6 分 6 3 6 6 3

?

?

?

(2)由(1)可得 cos A ?

1 ………7 分 2
2

1 2 3 ………9 分 2 2 1 3 因为 x ? R ,则 sin x ?[?1,1] ,当 sin x ? 时, f ( x) 有最大值 . 当 sin x ? ?1 时, f ( x) 有最小值 2 2 3 ………12 分 ?3 ,………11 分,故所求函数 f ( x) 的值域是 [?3, ] . 2
所以 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) ? 17.解: (1)从 3 种服装商品、2 种家电商品、4 种日用商品中,选出 3 种商品,一共有

5

C93 种不同的选法,选出的 3 种商品中,没有日用商品的选法有 C53 种,……2 分
3 C5 5 37 ? 所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率为 P ? 1 ? 3 ? 1 ? ……4 分 C9 42 42

(2)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量 ? ,其所有可能的取值为 0,100,200,300。 (单元:元)……6 分, ? ? 0 表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以 P(? ? 0) ? ( ) ?
3
1 同理可得 P(? ? 100) ? C3 ( ) ? ( )2 ?

1 2

1 ……7 分 8

1 2

1 2

3 1 1 3 , P(? ? 200) ? C32 ( )2 ? ( ) ? 8 2 2 8,

1 1 ……9 分,于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 P(? ? 300) ? ( )3 ? 2 8 1 3 3 1 E (? ) ? 0 ? ? 100 ? ? 200 ? ? 300 ? ? 150 ? 180 …11 分,故促销方案对商场有利…12 分 8 8 8 8
18. (1)证明:

连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD ,∵ 四边形 BCC1 B1 是平行四边形,∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点,∴ OD 为 ?AB1C 的中位线, ∴ OD // AB1 . ∵ OD ? 平面BC1 D, AB1 ? 平面BC1 D ,∴ AB1 // 平面BC1 D . …… 2 分 …… 4 分

(2)解: 依题意知, AB ? BB1 ? 2 ,∵ AA1 ? 平面ABC , AA1 ? 平面AA1C1C , ∴ 平面ABC ? 平面AA1C1C , 且平面ABC ? 平面AA1C1C ? AC 作 BE ? AC ,垂足为 E ,则 BE ? 平面AA1C1C , 设 BC ? a ,在 Rt ?ABC 中, AC ? ∴四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积 ……6 分

AB 2 ? BC 2 ? 4 ? a 2 , BE ?

AB?BC 2a ? , AC 4 ? a2

6

1 3 2a 1 1 4 ? a2 ? 2 ? ? a。 V ? ? ( A1C1 ? AD)?AA1 ?BE ? ? 6 2 3 2 4 ? a2
依题意得, a ? 3 ,即 BC ? 3 . (以下求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值提供两种解法) 解法 1:∵ AB ? BC , AB ? BB1 , BC ? BB1 ? B ,

…… 8 分 …… 9 分

BC ? 平面BB1C1C , BB1 ? 平面BB1C1C ,∴ AB ? 平面BB1C1C .…… 10 分
取 BC 的中点 F ,连接 DF ,则 DF // AB ,且 DF ?

1 AB ? 1 .∴ DF ? 平面BB1C1C . 2

作 FG ? BC1 ,垂足为 G ,连接 DG ,由于 DF ? BC1 ,且 DF ? FG ? F , ∴ BC1 ? 平面DFG . 又∵ DG ? 平面DFG ,∴ BC1 ? DG . ∴ ?DGF为二面角C ? BC1 ? D的平面角 . …… 12 分

3 ?2 BF ? 1 2 CC GF BF 3 13 ? 由 Rt ?BGF ? Rt ?BCC1 ,得 ,得 GF ? , ? ? CC1 BC1 BC1 13 13
在 Rt ?DFG 中, tan ?DGF ? 解法 2:

13 DF 13 ? .∴二面角 C ? BC1 ? D 的正切值为 .…… 14 分 3 GF 3

∵ AB ? BC , AB ? BB1 , BC ? BB1 ? B , BC ? 平面BB1C1C , BB1 ? 平面 BB1C1C , ∴ AB ? 平面BB1C1C . …… 10 分,以点 B1 为坐标原点,分别以 B1C1 , B1 B, B1 A1 所在直线为 x 轴, y 轴 和 z 轴,建立空间直角坐标系 B1 ? xyz . 则 B(0, 2,0) , C1 (3, 0, 0) , A(0, 2, 2) , D( , 2,1) .

3 2

7

∴ BC1 ? (3, ?2, 0) , BD ? ( , 0,1) ,设平面 BC1 D 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

???? ?

??? ?

3 2

?

?3 x ? 2 y ? 0 ? ???? ? ? ??? ? ? n ? BC1 ? 0 及 n ? BD ? 0 ,得 ? 3 由 ,令 x ? 2 ,得 y ? 3, z ? ?3 . ? 2 x? z ?0 ?
故平面 BC1 D 的一个法向量为 n ? (2,3, ?3) ,…… 11 分, 又平面 BC1C 的一个法向量为 AB ? (0, 0, ?2) ,

?

??? ?

? ??? ? ? ??? ? n ? AB 2 ? 0 ? 0 ? 3 ? (?2) ? (?3) 3 ∴ cos ? n, AB ?? ? ??? . ? ? 2 ? 22 22 n AB
∴ sin ? n, AB ?? 1 ? (

…… 12 分

? ??? ?

3 2 13 ) ? .…… 13 分 22 22
…… 14 分

∴ tan ? n, AB ??

? ??? ?

13 13 .∴二面角 C ? BC1 ? D 的正切值为 . 3 3

19.解:设 A 、 B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) (1)由 AM ? ?BM 知 M 是 AB 的中点,

???? ?

???? ?

………………1 分

?x ? y ?1 ? 0 ? 2 2 2 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得: (a ? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 …………………4 分 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

2a 2 2b 2 x1 ? x2 ? 2 , y1 ? y2 ? ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2 a ? b2 a ? b2

…………5 分

? M 点的坐标为 (

a2 b2 a2 2b 2 , 2 ) ,又 M 点在直线上:? 2 ? 2 ? 0 …6 分 a 2 ? b2 a ? b2 a ? b2 a ? b2
c 2 ? a 2
……7 分

? a 2 ? 2b2 ? 2(a 2 ? c 2 ) ,? a 2 ? 2c 2 ,? e ?

(2)由(1)知 b ? c ,不妨设椭圆的一个焦点坐标为 F (b, 0) , 设 F (b, 0) 关于直线 l : y ?

1 x 的对称点为 ( x0 , y0 ) ,………………8 分 2

? y0 ? 0 1 3 ? ? x ? b ?2 ? ?1 ? x0 ? 5 b ? 0 ? 则有 ? 解得: ? ? x0 ? b ? 2 ? y0 ? 0 ?y ? 4 b ? 0 5 ? 2 ? ? 2

……………11 分

8

由已知 x0 ? y0 ? 1 ,
2 2

3 4 ( b) 2 ? ( b) 2 ? 1 , ? b 2 ? 1 . 5 5
……………14 分

………13 分

所求的椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

20. (1)证明:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? (m ? 1) ? ma1 ,解得 a1 ? 1 .…………………1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? man ?1 ? man .即 (1 ? m)an ? man ?1 .…………………2 分

an m ? (n ? 2) .………………………3 分 an ?1 1 ? m m ∴数列 {an } 是首项为 1,公比为 的等比数列.……………………4 分 1? m bn ?1 1 1 1 1 ? ? 1 ,即 ? ? 1(n ? 2) .…7 分 (2)解: b1 ? 2a1 ? 2 .…5 分,∵ bn ? ,∴ bn bn ?1 bn bn ?1 1 ? bn ?1
又 m 为常数,且 m ? 0 ,∴ ∴? ∴

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列.………………………………………8 分 2 ? bn ?

1 1 2n ? 1 2 ? ? (n ? 1) ?1 ? ,即 bn ? bn 2 2 2n ? 1

(n ? N ? ) .……………………………9 分

(3)解:由(2)知 bn ?
1 2 3

2n ?1 2 2 23 2 4 2n 2n ?1 2 ? 2n (2 n ? 1) .? Tn ? ? ? ? ? ? ? ,则 ,…10 分 bn b1 b2 b3 bn ?1 bn 2n ? 1
n ?1 n

即 Tn ? 2 ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? ? ? 2
2 3 4

? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ? 1) ,
n ?1

① ……11 分 ②………12 分

则 2Tn ? 2 ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? ? ? 2 ? (2n ? 3) ? 2 ②-①得 Tn ? 2 故 Tn ? 2
n ?1
n ?1

? (2n ? 1) ,

? (2n ? 1) ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
3 4

n ?1

,……………………13 分

? (2n ? 1) ? 2 ?

23 (1 ? 2n ?1 ) ? 2n ?1 ? (2n ? 3) ? 6 .……………………14 分 1? 2

21.解: (1) f (x) 是奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x) ,即

a(? x) ? (? x) ln | ? x ? b |? ?(ax ? x ln | x ? b |) 所以 ln | ? x ? b |? ln | x ? b | ,从而 b ? 0 / 此时 f ( x) ? ax ? x ln | x | , f ( x) ? a ? 1 ? ln | x |
依题意 f (e) ? a ? 2 ? 3 ,所以 a ? 1
/

……1 分, ……2 分, ……3 分, ……4 分

x ? 2 ? ln x f ( x) x ? x ln x / ,则 g ( x) ? ……5 分 ? x ?1 x ?1 ( x ? 1) 2 1 / 设 h( x) ? x ? 2 ? ln x ,则 h ( x) ? 1 ? ? 0 , h(x ) 在 (1 , ? ?) 上是增函数 x 因为 h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0 , h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0 ,所以 ?x0 ? (3 , 4) ,使 h( x0 ) ? 0 ……7 分
(2)当 x ? 1 时,设 g ( x) ?

x ? (1 , x0 ) 时, h( x) ? 0 , g / ( x) ? 0 ,即 g (x) 在 (1 , x 0 ) 上为减函数;
同理 g (x) 在 ( x0 , ? ?) 上为增函数,从而 g (x) 的最小值为 g ( x 0 ) ? 所以 k ? x0 ? (3 , 4) , k 的最大值为 3
9

x0 ? x0 ln x0 ? x0 x0 ? 1

……9 分。

(3)要证 (nm ) ? (mn ) ,即要证 n ln n ? mn ln m ? m ln m ? mn ln n ……10 分,
m n n m

n ln n m ln m ……11 分, ? n ?1 m ?1 x ? 1 ? ln x x ln x / 设 ? ( x) ? , x ? 1……12 分,则 ? ( x) ? x ?1 ( x ? 1) 2 1 / 设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x ,则 g ( x) ? 1 ? ? 0 , g (x) 在 (1 , ? ? 0 ) 上为增函数, x ?x ? 1 , g ( x) ? g (1) ? 1 ? 1 ? ln 1 ? 0 ,从而 ? / ( x) ? 0 , ? (x) 在 (1 , ? ?) 上为增函数 n ln n m ln m m n n m 因为 m ? n ? 1 ,所以 ? (n) ? ? (m) , ,所以 (nm ) ? (mn ) ……14 分 ? n ?1 m ?1
即证 n(1 ? m) ln n ? m(1 ? n) ln m ,

10


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