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高中数学解题方法思路第一辑(巧解妙解)


1..过点 P ( ?2, 0) 作直线 l 与圆 x ? y ? 1 交于 A, B ,若 A 恰为线段 PB 的中点,则弦 AB 的
2 2

长为______. 解法 1 引进参数 m ,列出关于 m 的方程(联立直线与圆的方程可以得到),并利用 A 恰为线 段 PB 的中点以及圆的几何性质求解 设 点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 又 因 为 直 线 过 点

P (?2, 0) ,则直线方程为 x ? (?2) ? my (此点在 x
轴上,这样设直线方程 x ? x0 ? m( y ? y0 ) 可以简 化计算,同理如果直线过的定点在 y 轴上,那么设 点斜式方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 比较方便,其实这两个方程是差不多的,只是 k ?

1 m ,其中

? ? x ? 2 ? my ? 2 2 ( x0 , y0 ) 是直线过的定点的坐标),即 x ? 2 ? my ,联立方程 ? ? x ? y ? 1 ,消去 x (直线过
的定点在 x 轴上所以利用了纵坐标为 0 的特点消去 x ) ( m ? 1) y ? 4my ? 3 ? 0 ,由韦达 得
2 2

定理可得 y1 ? y2 ? m 2 ? 1 ,

4m

y1 y2 ? x?

3 ? 又 因 为 A 恰 为 线 段 PB 的 中 点 , 所 以 由 中 点 坐 标 公 式 m ?1
2

y ? yB x1 ? x2 y ? y2 0 ? y2 ,y? 1 yA ? p y1 ? y2 ? 2 y1 ?, 2 2 得到 2 2 ,即 ,即 81 15 x ? 9 y ? 2 15 ? 0 , 15 ,所以可得直线方程为 A2 ? B 2 10 2 6 ) ? 4 2 .
可得圆心到直线的距离为

y ,y m2 ? 由??两式消去 1 2 得
由点直线距离公式

d?

Ax0 ? By0 ? C

10 4 ,所以

AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 12 ? (
解法 2 直接求出

A 点坐标,并求出 PA ? AB

设 点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 又 因 为 A 恰 为 线 段 PB 的 中 点 则 由 中 点 坐 标 公 式 可 得

x2 ? 2 x1 ? 2 , y2 ? 2 y1 ?又因为 A, B 两点均在圆上,所以将 A, B 两点两点带入圆方程,

2 2 ? 7 15 ? x1 ? y1 ? 1 x ? ? , y ? ? 并 由 ? 式 可 得 ? , 解 得 , 所 以 1 1 2 2 8 8 ? ?(2 x1 ? 2) ? (2 y1 ) ? 1

AB ? PA ? [ x1 ? (?2)]2 ? ( y1 ? 0) 2 ?

6 . 2

解法 3 利用直线参数方程的几何意义求解(如图,经过点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线参 数方程是 ?

? x ? x0 ? t cos ? , 其中参数 t 的几何意义是直线上某点 M 到定点 M 0 的距离.若向 ? y ? y0 ? t sin ? ?????? ?

t ? 0, t ? 0, 量 M 0 M 的方向向上, 若向量 M 0 M 的方向向下, 若点 M 与点 M 0 重合, 则 则


?????? ?

t ? 0 .)

因 为 直 线 过 点 P ( ?2, 0) , 于 是 可 设

? x ? ?2 ? t cos ? x 2 ? y 2 ? 1 ,也 ? , 将其带入 ? y ? 0 ? t sin ?
即 (t cos ? ? 2) ? (t sin ? ) ? 1 ,展开整理得
2 2

到 t ? 4t cos ? ? 3 ? 0 ,于是此方程的两根
2

6 t 1, t 2 即为 PA 和 PB ,所以 t 2 ? 2t1 .又由韦达定理可得 t1t 2 ? 3 ,即 2t12 ? 3 ,解得 t1 ? 2 ,
所以 AB ? PA ? t1 ? 2 . 解法 4 如图, 过原点作直线 l 的垂线交 AB 于点

6

Q , 连 接 OB , 设 AB ? 2t , 则 BQ ? t , PQ ? 3t . 又 由 勾 股 定 理 可 得 OQ ? OB ? BQ ? OP ? PQ , 所 以 1 ? t 2 ? 4 ? (3t ) 2 , 解 得 t ? 6 2 6 , 所 以 4
2 2 2 2 2

AB ? 2t ?

解法 5 连接 OA ,在 ?OAP 和 ?OAQ 中利用余弦定理建立 方程求解 如图, 设直线的倾斜角为 ? , 由图可得 cos ? ? OP ? 所 以

PQ

PQ 2 ,


PQ ? 2 cos ? , PA ?

2 4 PQ ? cos ? 3 3



OA ? 1, PO ? 2 ,
所以在 ? APO 中,由余弦定理可得 cos ? ?

PA ? PO ? OA 2 PA ? PO

2

2

2

16 cos 2 ? ? 4 ? 1 ? 9 ,解得 4 2 ? cos ? ? 2 3

cos ? ?

3 3 2 4 6 ,所以 PA ? PQ ? cos ? ? . 3 3 2 4 2

解法 6 通过添加辅助线,把条件集中到平行四边形 ODAC 中,构 建方程求解,由于辅助线较多,还有一个结论要用到:平行四边形 的四条边平方和等于两条对角线的平方和. 如图,取 OB 中点 D ,连接 AC , AD, OA, CD ,根据题意,显然四 边 形 ODAC 是 平 行 四 边 形 , 所 以 由 结 论 可 得

CD ? OA ? OC ? CA ? AD ? DO ? 2( OD ? OC )
即 CD ? 1 ? 2 ? ( 4 ? 1) , 解得 CD ? 2 , 所以 AB ? CD ? 2 解法 7 构造两个辅助圆,解出两圆与已知圆的交点,从 而建立方程求解.设 AB ? r , 如图, 以 P 为圆心, 以 r ,2r 为半径分别作两个圆,两圆分别经过点 A ,点 B .两圆的 方程分别是 ( x ? 2) ? y ? r , ( x ? 2) ? y ? 4r ,联
2 2 2 2 2 2 2 2 ? 4r 2 ? 5 ?x ? y ? 1 x ? 立方程 ? 解得 , 点B的 2 2 2 , 4 ? ( x ? 2 ) ? y ? 4 r ? 2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

6

6

横坐标为

4r 2 ? 5 4 ,同理可得点 A

的横坐标为

r2 ? 5 4 .由

4r 2 ? 5 ?2? r2 ? 5 6 6 4 A 恰为线段 PB 的中点得 ? ,解得 r ? ,即 AB ? 4 2 2 2 .
解法 8 利用割线定理(如图, PBA 和 PDC 分别是圆的两条割线,则 PB ? PA ? PD ? PC )

如 图 , 由 割 线 定 理 可 得 PA ? PB ? PC ? PD , 又 A 恰 为 线 段 PB 的 中 点 , 即

2 AB ? 1? 3

2



AB ?

6 2


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