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数学建模 救援问题


湖南第一师范学院
HUNAN FIRST NORMAL UNIVERSITY

《线性规划与数学建模》 考查论文

论文题目: 紧急救援问题

姓 名

专业班级 及学号

分工

成绩评定

组员 1

陈淑月

13 级 624 分 析 问 题 、模 型 的 数学班 建 立 及 求 解 、撰 写 05 号 论文 13 级 624 分 析 问 题 、模 型 的 数学班 建 立 及 求 解 、撰 写 40 号 论文

组员 2

向云

摘要
本文研究在一定时间内运送医务人员到指定地点的优化设计问题。 分析问题 可将本文中的三个问题划分为三个阶段,并利用逐渐优化的模型进行求解。 第一个问题是在指定时间内完成人员的运送问题,通过分析,运用简单的计 算方法就能马上得出结果: 按此方案, 时间超过三小时, 因此他们不能按时到达。 然后针对问题二,由于题目中已给出部分条件,问题二则变成了追及和相遇 问题,解决这类问题常采用分段求解法。我们通过对相遇和追及问题及其过程进 行分析,得出这种方案能够使全部医护人员按时到达村庄。 针对问题三,文中详细讨论了运送医务人员的策略和方法,并进一步在问题 上要求建立一个优化模型,以优化其策略,并且对其求解。在优化模型时需要采 用不同于前一二题的思维方式,在改变思维方式后,会使问题变得更加清晰。我 们可以在前一二题的方案上进行修改,使所用时间最短,从而得到一个最优化的 方案,并建立模型代入数据求解。

关键词:紧急救援

追及和相遇 优化模型

1

一、问题重述
(一)问题背景 一西部乡镇医院接到一个求救电话,该乡镇比较偏远的一个村庄发生事故, 需要紧急救援。上级领导要求该医院:派12名医护人员前往救援,并且要求医护 人员在3小时内赶到。该乡镇距离医院40公里。该医院只有1辆小汽车,连同司机 一次最多拉5人(司机不是医护人员),汽车的速度为60公里/小时。 (二)需要解决的问题 1)一次一次接送,12名医疗人员能否全部按时赶到? 2)为了节省时间,在汽车拉着4人走的时候,其余医护人员步行往前赶,这 种方式能否赶到?假定人步行的速度为5公里/小时。 3)在没有其它辅助条件的前提下,有没有更快、更保险的方案?

二、问题分析
针对此类运送人员问题,前两个问题都可以通过建立简单的初等模型,以及 采用中学的相遇和追及问题的解决方法解决。 而第三个问题是要在没有其它辅助 条件的前提下,要更快、更保险的把12名医护人员送到村庄,即三组人员各自到 达村庄的时间要尽可能少。要解决问题三不仅要有解决一二题的思维,也需要在 第二种缩短时间方案的基础上,采用更快、更保险的方案,为此可以建立一个多 目标规划模型来求解。首先,我们可以将12个人分为A、B、C组。汽车载A组,同 时B、C组步行前进,A组在某处下车;再次,汽车返回接B组,追上A组后,B组下 车;最后,汽车返回接C组。按照此方案,只要三组同时到达村庄,则使用的时 间一定比第二个方案更少。

三、模型假设与约定
1、不考虑医院安排医护人员和准备医疗物品的时间; 2、假设人上车、下车不影响车行驶的速度,并且人上下车的时间可以忽略; 3、行车过程中不受到任何障碍的影响,一直保持60km/h匀速运动; 4、不考虑汽车调头和启动的时间; 5、人的速度保持5km/h匀速前进。
2

四、符号说明及名词定义
S V 乡镇医院到村庄的距离 汽车行驶的速度 人步行的速度 T 汽车运送所有医护人员到达村庄所用的时间 汽车载A组医护人员到达途中某一点所用的时间 汽车运送A组医护人员到某一点后返回与B组相遇所用的时间 汽车与B组相遇后载B组医护人员到达途中某一点所用的时间 汽车运送B组医护人员到某一点后返回与C组相遇所用的时间 汽车与C组相遇后载C组医护人员到达村庄所用的时间

五、模型建立及求解
问题一: 1.问题分析 对于问题一的一次一次接送,为了判断 12 名医护人员能否在规定时间内到 达村庄,需求出 12 名医护人员全部到达村庄的总时间。因为汽车每一次只能载 4 名医护人员,将这 12 名医护人员分为 3 组,所以汽车把这 3 组人员全部送到 村庄需要行驶 5 个医院与村庄之间的距离,再除以汽车行驶的速度即可。 2.模型建立: 3.模型求解:将已知量 和 代入可求得 4.模型解释:由于 T 的值大于 3,所以一次一次的接送 12 名医护人员不能 全部达到。

3

问题二: 为了方便求解,建立了如下图形:

如图:汽车先载 A 组医护人员,B、C 组与汽车同时出发步行前往。汽车将 A 组医护人员送到后返回,与 B、C 组医护人员在途中 M 点相遇,紧接着载 B 组人 员前往村庄, C 组人员继续向村庄步行。 汽车送到 B 组后返回与 C 组在 K 点相遇, 并将 C 组送到村庄。 当A组人员到达村庄时,汽车行驶所花时间为 小时,与此同时,B、C 组医 护人员已经向前走了 公里。汽车将 A 组医护人员送到后返回与 B 组医护人员 小时,所以汽车将 B 组医护人员 送到村庄需 公里,汽车返回与

在途中 K 点相遇所需时间为

小时,此时,C 组一共向前走了

C 组在 K 点相遇,并将 C 组送到村庄需 员全部到达村庄共需时间为 将已知数据代入得, +

小时。最后,C 组人 小时。 小时 3 小时, 即采用此种

方式 12 名医护人员可以全部在规定时间内到达村庄。

问题三: 分析思路:首先,汽车载 A 组人员前往村庄,与此同时,B、C 两组的医护 人员步行前进。汽车将 A 组医护人员载到途中某个位置,此时 A 组医护人员下车 向前步行;汽车返回与 B、C 组人员相遇,然后载 B 组人员前往村庄,C 组人员 继续步行。汽车载 B 组医护人员到途中某个位置,B 组人员下车步行;汽车返回
4

与 C 组人员相遇并载 C 组人员直到村庄。 照此方案, 一定比第二题的方案用时少, 若三组人员同时到达村庄,则一定用时最少。所以,关键是确定 A 组医护人员在 何处下车,也就是确定 。 为了方便求解,建立了如下图形:

A 组的行程为:V + 同理,B 组行程:V + C 组行程:V + 由? ?、? ?可求得: 再把?代入?得: 而完成整个过程所用时间 T= 将?、?代入?,得: 最后结合图形有: + 化简得: 再由?、?得: 最后将?代入?,得: + =40

=40 =40

? ? ? ? ,即 ? ? ?

=40 ? ? 小时

故,模型优化后,在 2 小时内可将全部医护人员送往村庄。

六、模型检验
问题一提供的方案所用时间为大于3,所以一次一次的接送12名医护人员不 能全部达到,此方案不可行。 问题二提供的方案所用时间为2.7495<3小时,即采用此种方式12名医护人

5

员可以全部在规定时间内到达村庄,此方案可行。 针对问题三,我们提出的优化方案大约只需花1.91<2.7495小时,且三组同 时到达,方案最优。

七、模型评价
(一) 优点 根据问题给出的条件并给予适当的假设,利用数学知识建立适当的模型,使 模型更加准确,具有很强的实用性和可行性。 (二) 缺点 模型太理想化,没有考虑实际情况的问题,如人上下车消耗的时间、汽车加 减速时的加速度等。 (三) 改进方法 在建立模型时,应该考虑人上下车消耗的时间、汽车加减速时的速度变化以 及汽车调头所消耗的时间等实际问题。还有一个值得强调的是,在行车过程中, 上下车的次数越多,所浪费的时间也会更多,方案的可行性也就下降了。如果我 们将这些因素考虑进去,则会使模型更加完善,更切合实际。

八、模型推广
此模型的实用性很强, 在生产及生活的人员调度及分配的决策中可以起到十 分有价值的参考。在解决此类运送人员的问题时,可利用此模型,代入数据求得 多组能够按时到达目的地的方案,再从中选取运送人员所耗时间最短的最优方 案。

九、参考文献
[1] 杨启帆、谈之奕、何勇编著,数学建模,杭州:浙江大学出版社,1999年版。 [2] 姜启源主编,数学模型,北京:高等教育出版社,1987年版。 [3] 李大潜主编, 中国大学生数学建模竞赛, 北京: 高等教育出版社, 1998年版。

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