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2013届南通高三数学二轮复习:专题四 函数与导数(2)


专题四

函数与导数(2)

(解决函数基本方法问题) 考试说明要求:函数的性质是 B 级要求。 高考试题应用:通过具体问题找出变量的函数关系,再求出函数的定义域、值域,进而研究 函数性质。在高考中以填空为主,一般作为工具和其他知识结合起来命题。 解决问题指南:在复合函数的解题中要注意用待定系数法,采用从里向外逐步求解的策略。 求函数解析式

的题型有:已知函数图像,求函数的解析式:已知 f ( x ) 求 f [ g ( x )] 或已知
f [ g ( x ) ]求 f ( x )

:常用方法有:换元法、配凑法、待定系数法、构造法等。

一、能力展示 1.若 ( a ? )
? 1 3

? (3 ? 2 a )
x

?

1 3

,则 a 的取值范围为
( a ? 1)

. .

2.已知函数 f ( x ) ?

a ?1 a ?1
x

,则 f ( x ) 的值域为
? lo g 2 (1 ? x ), x ? 0

3.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? ? 二、能力培养

? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2 ), x ? 0

,则 f (2012) 的值为

.

1.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ,都有 f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ) 成立,设 a n ? f ( n )( n ? N * ) ,则数 列 { a n } 中值不同的项最多有 项.
bx ? 1 a x ? 2b
2

2.已知二次函数 f ( x ) ? a x 2 ? b x ? 1和 g ( x ) ?

.

(1) f ( x ) 为偶函数,试判断 g ( x ) 的奇偶性; (2)方程 g ( x ) ? x 有两个不相等的实根,当 a ? 0 时判断 f ( x ) 在 ( ? 1,1) 上的单调性; (3)当 b ? 2 a 时,问是否存在 x 的值,使满足 ? 1 ? a ? 1且 a ? 0 的任意实数 a ,不等式
f (x) ? 4

恒成立,并说明理由.

3.已知函数 f ( x ) ? lo g a 意义的实数 x 的集合).

2m ? 1 ? mx x ?1

( a ? 0 , a ? 1)

是奇函数,定义域为区间 D (使表达式有

(1)求实数 m 的值,并写出区间 D ; (2)若底数 a 满足 0 ? a ? 1 ,试判断函数 y ? f ( x ) 在定义域 D 内的单调性,并说明理由; (3)当 x ? A ? [ a , b )( A ? D , a 是底数)时,函数值组成的集合为 [1, ? ? ) ,求实数 a , b 的值.

1

三、能力测评 1.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ,对任意的 x ? R 均有 f ( x ? 4 ) ? f ( x ) 成立,当 x ? [0, 2 ] 时,
f ( x ) ? x ? 3 ,则直线 y ?
9 2

与函数 y ? f ( x ) 的图像交点中最近两点的距离等于

.

2. 已知点 A ( x1 , x12 ), B ( x 2 , x 22 ) 是函数 y ? x 2 的图象上任意不同两点, 依据图像可知, 线段 A B 总是位于 A , B 两点之间函数图像的上方, 因此有结论
x1 ? x 2
2 2

? (

x1 ? x 2 2

)

2

成立.运用类比思想

2

方法可知,若点 A ( x1 , lg x1 ), B ( x 2 , lg x 2 ) 是函数 y ? lo g x ( x ? R ? ) 的图象上的不同两点,则类 似地有 成立.

3.函数 f ( x ) 的定义域 D ? { x | x ? 0} ,且对于任意 x1 , x 2 ? D , 有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ). (1)求 f (1) 与 f ( ? 1) 的值; (2)判断函数的奇偶性并证明; (3)若 x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ,求证 f ( x ) 在区间 (0, ? ? ) 上是增函数.

专题四
表一 映射 f 的对应法则 原象 象 1 2 2 3 3 4 .

函数与导数(2)
表二 映射 g 的对应法则 原象 象 1 3 2 4 3 2

1. 设 f , g 都是由 A 到 B 的映射,其中对应法则(从上到下)如下表:

则 f [ g (1)] 的值是

2 . 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 y ? f (x) 的 图 象 关 于 直 线 x ?
f (1) ? f ( 2 ) ? f (3) ? f ( 4 ) ? f (5) ?

1 2

对称,则

.
x ? )2 1

x 3. 若函数 f ( x ) 满足: 对任意的 x1 , x 2 ? 0 , 都有 f ( x1 ), f ( x 2 ) ? 0 , f ( 1 ? ( ) 2 f?( 且 x) fx

成立,则称函数 f ( x ) 具有性质 M . 给出下列五个函数: ① y ? x 2 ② y ? lo g 2 ( x ? 1); ③ y ? 2 x ? 1 ;④ y ? s i n x ; ⑤ y ? (写出对应序号) 4. 集合 M ? { a , b , c } , N ? { ? 1, 0,1} .由 M 到 N 的映射 f 满足条件 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) , 则这样 的映射有 个.
2
1 x .

其中具有性质 M 的函数有

5.已知函数 f ( x ) ? ?

?a

x

x ?1

? ( a ? 3) x ? 4 a x ? 1

满足对任意实数 x1 ? x 2 都 有 .

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

? 0 成立,

则实数 a 的取值范围为

6.定义实数集上的函数 f ( x ) ,对任意的 x , y ? R , 都有 f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x ) f ( y ) 且 f (0 ) ? 0 . (1)求 f (0 ) ; (2)求证: y ? f ( x ) 是偶函数.

7.已知二次函数 f ( x ) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x ) ? ? 2 x 的解集为(1,3) ; (1)若方程 f ( x ) 6 a ? 0 有两个相等的实根,求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 的最大值为正数,求 a 的取值范围.

8.已知 a , b , c , d 是不全为零的实数,函数 f ( x ) = b x 2 ? cx ? d , g ( x ) ? a x 3 ? b x 2 ? cx ? d . 方程
f (x) ? 0

有实数根,且 f ( x ) =0 的实数根都是 g ( f ( x )) ? 0 的根;反之, g ( f ( x )) ? 0 的实数

根都是 f ( x ) =0 的根. (1)求 d 的值; (2)若 a ? 0 ,求 c 的取值范围.

专题四
一、能力展示 1.分析:? 幂函数 y ? x
?a ? 1 ? 0 ? ?3 ? 2a ? 0 ?a ? 1 ? 3 ? 2a ?
? 1 3

函数与导数(2)

有两个单调区间,? 根 据 a ? 1和 3 ? 2 a 的正负情况,有以下关系
?a ? 1 ? 0 ?3 ? 2a ? 0

?a ? 1 ? 0 ? ① ?3 ? 2a ? 0 ?a ? 1 ? 3 ? 2a ?
2 3 3 2

②?

③,①

2 3

? a ?

3 2

,②无解,③ a ? ? 1 ,

答案: ( ? ? , ? 1) ? ( , )
a ?1
x

2. 分析:由 y ?

a ?1
x

得: a x ?

1? y 1? y

,由 a

x

? 0

,得:

1? y 1? y

? 0 , 答案: ? 1 ? y ? 1 .

3. 分析:由于 2 0 1 2 ? 0 ,故用 f ( x ) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2 ), 即 f ( x ? 0 ) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2 ) 从

3

而 得 f ( x? 3 )? ? f ( x, 进 而 得 f ( x ? 6 ) ? f ( x ) , 即 x ? 0 以 6 为 周 期 , 又 )
f ( ? 1) ? 1, f (0 ) ? 0, f (1) ? f (0 ) ? f ( ? 1) ? ? 1, f ( 2 ) ? f (1) ? f (0 ) ? ? 1

,答案:-1

精要点评: 第 1 题:关键是依据哪个函数,依据幂函数 y ? x
? 1 3

,则分类讨论,讨论要全.

第 2 题:利用基本函数的值域构造出不等式,这是一种常用的方法. 第 3 题: 由于 2 0 1 2 ? 0 , f (x ) ? f (x ?) ?f ( x ? 故 1 2) 性质,由于 2012 较大,故可能存在周期性. 二、能力培养 1.分析:由 f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ), 得 f ( x ? 4 ) ? f ( x ) ,周期为 4,又 a n ? f ( n ) ,即 a1 , a 2 , a 3 , a 4 中 任两个都不同时为最多不同的项. 2.分析: (1)由 f ( x ) 为偶函数,得 b ? 0 ,这时 g ( x ) ? ?
g (x) ? ? g (x)

下手, 即研究 f ( x ) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2 )

1 a x
2

,其定义域为 ( ? ? , 0 ), (0, ? ? ) ,

是奇函数;
b 2a ? 1 ? 或 b 2a b 2a ? ?1 ? ? 1,又 f ( x )

(2) g ( x ) ? x ,化为 a 2 x 2 ? b x ? 1 ? 0 , ? ? b 2 ? 4a 2 ? 0 ,得 ? 对称轴为 x ? ?
b 2a , a ? 0 ,当 ? b 2a



? 1 时,在区间 ( ? 1,1) 上的单调减,当 ?

时,在区间

(-1,1)上的单调增; ( 3 ) 当 b ? 2 a 时 , f ( x )?
a x? 2
2

a? x 1 ? 4 , ?(

?且 ? 1 a
2

1 a ? 恒

0 ) 成立 ,转化 为

g ( a ) ? a ( x ? 2 x ) ? 1 ? 4 ( ? 1 ? a ? 1且 a ? 0 )
2

恒成立,当 ?

?x ? 2x ? 0 ? g ( ? 1) ? 4 ,

解 得 ?2 ? x ? 0 , 当

?x ? 2x ? 0 ? ? g (1) ? 4
2

解得 ? 3 ? x ? ? 2 或解得 0 ? x ? 1, 所以存在 ? 3 ? x ? 1 ,满足 ? 1 ? a ? 1 且 a ? 0 的

任意实数 a ,不等式 f ( x ) ? 4 恒成立. 3 . 分 析 : 1 ) ? y ? f ( x ) 是 奇 函 数 , ? 对 任 意 x ? D , 有 f ( x ) ? f (? x ) ? 0 即 ( ,
log a 2 m ? 1? m x 1? x ? l oa g 2 ? 1 mx m ? 1? x ? 0.

化简此式,得 ( m 2 ? 1) x 2 ? ( 2 m ? 1) 2 ? 1 ? 0 .又此方程有无穷多解(D 是区间) ,
?m ? 1 ? 0 ?
2

必有 ?

? ( 2 m ? 1) ? 1 ? 0 ?
2

,解得 m ? 1,? f ( x ) ? lo g a

1? x 1? x

, D ? ( ? 1,1).

4

(2)当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) ? lo g a 理由:令 t ?
1? x 1? x ? ?1 ? 2 1? x .

1? x 1? x

在 D ? ( ? 1,1) 上是单调增函数.

易知 1 ? x 在 D ? ( ? 1,1) 上是随 x 增大而增大,
t ? 1? x 1? x ? ?1 ? 2 1? x

2 1? x

在 D ? ( ? 1,1) 上是随 x 增大而减小,故

在 D ? ( ? 1,1) 上是随 x 增大而减小.
1? x 1? x 在 D ? ( ? 1,1) 上是单调增函数. 1? x 1? x 在 A 上是增

于是,当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) ? lo g a

(3)? x ? A ? [1, b ) ? D ,? 0 ? a ? 1, a ? b ? 1,? 由(2)知,函数 f ( x ) ? lo g a 函数,即 f ( a ) ? 1, lo g a
1? a 1? a ? 1 ,解得 a ?

2 ? 1 (舍去 a ? ?
1? b 1? b

2 ? 1 ).

若 b ? 1 ,则 f ( x ) 在 A 上的函数值组成的集合为 [1, lo g a

) ,不满足函数值组成的集合是

[1, ? ? ) 的要求. (也可利用函数的变化趋势分析, 得出 b ? 1 ) ? 必有 b ? 1 . 因此, , 所求实数 a , b

的值是 a ? 方法指导:

2 ? 1, b ? 1 .

第 1 题:由于定义在 R ,其中 n ? N * ,故数列为无穷数列,问的最多有多少项的值相同, 故要探究函数的周期性. 第 2 题:二次函数在区间上的单调性关键是开口和对称轴,对称轴的位置分三类,恒成立问 题一般利用转化法,已知那个变量的范围就转化为那个变量的函数,再用单调性解决. 第 3 题:这是一个复合函数,采用从里向外逐步求解的策略,关键是对 x ? A ? [ a , b ) ? D 的 理解.由 D ? ( ? 1,1) 和 0 ? a ? 1, 必 有 a ? b ? 1 ,其中等号是关键,体现挖掘隐含条件的重要性. 三、能力测评 1.分析: f ( x ? 4 ) ? f ( x ) 表示周期为 4,又是偶函数,利用对称性作出在区间 [ ? 2, 2 ] 上的 图形,当 y ?
9 2

时, x ?

3 2

, 2(2 ?

3 2) ? 1

,答案:1
lg x1 ? lg x 2 2 x1 ? x 2 2

2.分析:这是观察图象的凹凸问题,答案:

? lg

3 . 分 析 ; 1 ) 令 x1 ? x 2 ? 1 , 有 f (1 ? 1) ? f (1) ? f (1), 解 得 f (1) ? 0, 令 x1 ? x 2 ? ? 1 , 有 (
f [ (? 1 ) ? ? 1 )? f ( ] ?( 1 f) ? ?( 1) ? f (1) ? 0 ,解得 f ( ? 1) ? 0

(2)令 x1 ? ? 1, x 2 ? x , 有 f ( ? x ) ? f ( ? 1) ? f ( x ) ? f ( x ),? f ( x ) 是偶函数

5

(3)设 x1 , x 2 ? (0 , ? ? ) 且 x1 ? x 2 , 则

x2 x1

? 1, f (

x2 x1

) ? 0.

则 f ( x2 ) ? f ( 防错机制:

x2 x1

? x1 ) ? f (

x2 x1

) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ),? f ( x ) 在 区 间 (0 , ? ? )

上是增函数

第 1 题:直线 y ?

9 2

与函数 y ? f ( x ) 的图像交点中,相邻两点间的距离只有 2 种情况,一种

是 1,另一种是 3,它们的和为周期 4. 第 2 题:由于底是 10,故是凸函数,若底是 a ,则要讨论. 第 3 题:解抽象函数时特别注意问题的角度,必须紧扣概念. 三、能力提升 1.分析: g (1) ? 3, f (3) ? 4 ,答案:4 2.分析:由奇函数得 f ( ? n ) ? ? f ( n ) ,由图像关于直线 x ?
1 2

对称得 f ( n ? 1) ? f ( ? n ) ,故

有 f ( n ? 1) ? f ( ? n ) ? ? f ( n ) , f (1) ? ? f (0 ) ? 0, f ( 2 ) ? f (3) ? 0, f ( 4 ) ? f (5) ? 0 ,答案:0 3.分析:注意条件,对任意的 x1 , x 2 ? 0 ,都有 f ( x1 ), f ( x 2 ) ? 0, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ? x 2 ) 成 立,必须在第一象限内是递增的凹函数,答案:①③ 4.分析
f (a ) f (b ) f (c )

-1 1 0

-1 0 -1

1 -1 0

0 -1 -1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

答案:7 5.分析;由
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ? 0

,实际上是减函数,故首先有 0 ? a ? 1 ,后有 a ? ( a ? 3) ? 4 a ,

答案: 0 ? a ?

3 4

.

6.分析: (1)令 x ? y ? 0 ,则 2 f (0 ) ? 2[ f (0 )] 2 ,由 f (0 ) ? 0 得 f (0 ) ? 1; (2)令 x ? 0 ,则 f ( y ) ? f ( ? y ) ? 2 f ( 0 ) f ( y ) ? 2 f ( y ) ,从而得 f ( ? y ) ? f ( y ) ,又 y ? R , 所以 y ? f ( x ) 是偶函数.
1 ? ? ? 7.分析: (1)由不等式 f ( x ) ? ? 2 x 的解集为(1,3)得 f (x ) ?2 x ?a (x ? )( x 3) 0( a 0)



6

由 f ( x ) ? 6 a ? ax 2 ? (4 a ? 2) x ? 9 a. 由 ? ? 0 , 答 案 : f ( x ) ? ?
f ( x ) ? ax ? (4 a ? 2) x ? 3a ,
2

1 5

x ?
2

6 5

x?

3 5

,

(2)

答案: a ? ? 2 ? 3或 ? 2 ? 3 ? a ? 0

8 . 分 析 : 1) 设 r 为 方程 的 一 个根 , 即 f ( r ) ? 0 , 则 由题 设 得 g ( f ( r )) ? 0 , 于 是 , (
g ( 0 ) ? g ( f (r ) ? )

,即 g (0 ) ? d ? 0 0

,所以, d ? 0 .

(2)由题意及(1)知 f ( x ) ? b x 2 ? c x , g ( x ) ? a x3 ? b x 2 ? c x. 由 a ? 0 得 b , c 是不全为零的实 数,且 g ( x ) ? b x 2 ? cx ? x ( b x ? c ) , 则 g ( f )) ? x ( b x ? c )[ b x ( b x ? c ) ? c ] ? x ( b x ? c )( b 2 x 2 ? b cx ? c ) ,方程 f ( x ) =0 就是
x ( b x ? c ) ? 0, ①

方程 g ( f ( x )) ? 0 就是 x ( b x ? c )( b 2 x 2 ? b cx ? c ) ? 0 .



(i)当 c ? 0, b ? 0 时,方程①、②的根都为 x ? 0 ,符合题意. (ii)当 c ? 0, b ? 0 时,方程①、②的根都为 x ? 0 ,符合题意. (iii)当 c ? 0, b ? 0 时,方程①的根为 x1 ? 0 , x 2 ? ? 是方程 b 2 x 2 ? b cx ? c ? 0 的实数根. 由题意, 方程 b 2 x 2 ? b cx ? c ? 0 无实数根, 此方程根的判别式 ? ? ( b c ) 2 ? 4 b 2 c ? 0, 得 0 ? c ? 4 . 综上所述,所求 c 的取值范围为 [0, 4 ).
c b

,它们也都是方程②的根,但它们不

专题五

函数与导数(3)

(解决函数与导数数的综合问题) 考试说明要求:导烽的概念为 A 级,其它都是 B 级. 高考试题应用: 对导数的考查趋势加强, 命题形式是以导数为工具联系函数、 数列、 不等式、 三角、解析几何等知识交汇命题。会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值, 以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值 解决问题指南:求可导函数的步骤:①确定函数的定义域;②求导数 f ? ( x ) ;③求方程
f ?( x ) ? 0

的全部实根; ④检查 f ? ( x ) 在 f ? ( x ) =0 的根左、 右两侧值的符号, 如果左正右负 (或

左负右正) ,那么 f ? ( x ) 在这个根处取得极大值(或极小值) 。⑤将函数 f ( x ) 的各极值与

7

f ( a ), f ( b )

比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。判断函数的单调性的一

般步骤为:①求导数 f ? ( x ) ;②在函数 f ( x ) 的定义域内解不等式 f ? ( x ) ? 0 或 f ? ( x ) ? 0 ;③根 据②的结果确定函数 f ( x ) 的单调区间。 一、能力展示 1.设函数 f ( x ) ? x 3 ? 3 x 2 ? 1 的极大值为 f ( x 0 ) ,则在 x 0 处的切线方程为 2.设函数 f ( x ) ? ln (1 ? x ) ?
2x x?2

.

,证明:当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 .
x ? ax ? 4
2

3.已知函数 f ( x ) ? x 3 ? x , g ( x ) ?

.

x

(1)若曲线 y ? f ( x ) 的切线过点(1,2) ,求其切线方程; (2)若 ? x1 ? [1, 3] , ? x 2 ? [1, 3] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,求 a 的取值范围; (3)若 ? x1 ? [1, 3] , ? x 2 ? [1, 3] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,求 a 的取值范围; 二、能力培养 1.设直线 x ? t 与函数 f ( x ) ? x 2 , g ( x ) ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,则当 | M N | 达到最小 时 t 的值为 .

2.设 f ( x ) ? x 3 ? a x 2 ? b x ? 1 的导数 f ? ( x ) 满 足 f ? (1) ? 2 a , f ?( 2 ) ? ? b ,其中常数 a , b ? R . (1)求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)设 g ( x ) ? f ?( x ) e ? x ,求函数 g ( x ) 的极值. 3.已知函数 f ( x ) ?
3

x ( x ? a )( x ? 0, a ? R )

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)求函数 f ( x ) 在 [1, 8 ] 上的最大值和最小值.

三、能力测评 1.定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 满足 f (5 ? x ) ? f ( ? x ), ( x ? ) f ? ( x ) ? 0 ,则函数 y ? f ( x ) 的
2 5

增区间为 2.已知函数 f ( x ) ? 求 a , b 的值.

.
a ln x x ?1 ? b x

,曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,

8

3. 设函数 f ( x ) 定义在 (0, ? ? ) 上, f (1) ? 0 ,导函数 f ? ( x ) ? (1)求 g ( x ) 的单调区间和最小值; (2)讨论 g ( x ) 与 g ( ) 的大小关系;
x 1

1 x

, g ( x ) ? f ( x ) ? f ?( x )



专题五

函数与函数(3)
.

1.若函数 f ( x ) ? x 3 ? a x ? 1在 R 单调递增,则实数 a 的取值范围是

2.在一次海上军事演习中登陆艇从 A 港沿正东方向以 60km/h 的速度行驶,同时攻击航行 灾确保登陆艇的安全,从 A 港沿东偏南 60°方向以 80km/h 的速度去歼灭一敌船.则登陆艇 与攻击艇间距离的变化率为 . .

3.若点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的最小距离为

4.已知函数 f ( x ) ? ? x 3 ? a x 2 ? 4 在 x ? 2 处取得极值,若 m , n ? [ ? 1,1] ,则 f ( m ) ? f ?( n ) 的最 小值为 .

5.已知函数 f ( x ) ? ( x 3 ? 3 x 2 ? a x ? b ) e ? x . (1)如 a ? b ? ? 3, 求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ), (2, ? ) 单调递增,在 (? , 2 ), ( ? , ? ? ) 单调递减,证明: ? ? ? ? 6 .

x

6.已知函数 f ( x ) ? ( x ? k ) 2 e k . (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若对于任意 x ? (0, ? ? ) ,都有 f ( x ) ?
1 e ,求 k

的取值范围.

7.已知 a ? 0, 函 数 f ( x ) ? ln x ? a x 2 , x ? 0, f ( x ) 的图像连续不断) (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ?
1 8

时,证明:存在 x 0 ? ( 2 , ? ? ), 使 f ( x 0 ) ? f ( );
2 ln 3 ? ln 2 5 ? a ? ln 2 3

3

(3) 若存在均属于区间 [1, 3]的 ? , ? , ? ? ? ? 1 , f (?) ? (f ) ? , 且 使 证明

.

9

专题五
一、能力展示

函数与导数(3)

1.分析:利用导函数等于零得极值点,再利用单调性判断极大值点,答案: y ? 5 2.分析: f ? ( x ) ?
x ?0

1 x ?1

?

2( x ? 2) ? 2 x ( x ? 2)
2

?

x

2

( x ? 2 ) (1 ? x )
2

? 0

所以 f ( x ) 在 ( ? 1, ? ? ) 上单增.当

时, f ( x ) ? f (0 ) ? 0 .

3.分析: (1)? f ( x ) ? x 3 ? x ? f ?( x ) ? 3 x 2 ? 1 . 设切点为 ( x 0 , x 03 ? x 0 ) ,则其切线方程为: y ? ( x 03 ? x 0 ) ? (3 x 02 ? 1)( x ? x 0 ) .
1 ( 又切线过点(1,2) ? ( x 0? )2 ,
2

) x 0? ? ? 1 , 0 1

?x 0

?x 0 .? 或

1 2

? 所求切线方程为: 4 x ? y ? 2 ? 0 或 7 x ? 4 y ? 1 ? 0 .

( 2 ) ? x1 ? [1, 3], ? x 2 ? [1, 3] , 使 得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成 立 ” 等 价 于 “ f ( x )m i n ? g ( x ) m i ” “ n
2 3 ? f ? ( x ) ? 3 x ? 1 ? 0,? f ( x ) ? x ? x



[1, 3]



















? f ( x ) m in ? f (1) ? 2 ? g ( x ) ?

x ? ax ? 4
2

? x?

4 x

? a 在 [1, 2 ] 上单调递减, [ 2, 3] 上单调递增, 在

x

? g ( x ) m in ? g ( 2 ) ? 4 ? a , 4 ? a ? 2, 即 a ? ? 2

.

( 3 ) ? x1 ? [1, 3], ? x 2 ? [1, 3] 都 有 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成 立 ” 等 价 于 “ f ( x ) m in ? g ( x ) m ax ” 而 “
f ( x )m i n ? f ( 1 ? ) 2 ? g (1) ? g (3),? g ( x ) m ax ? g (1) ? 5 ? a ,

, 2 ? 5 ? a ,即 a ? ? 3 .

精要点评: 第 1 题:由 f ? ( x ) =0 解得两个根,关键要判断取哪个根时取得极大值; 第 2 题:因 f (0 ) ? 0 , 又要证 x ? 0 时 f ( x ) ? 0 ,故联想 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 可能是增函数,从而 证明方向明确. 第 3 题: (1)因为切线过点(1,2) ,故必须设切点再求出切点: (3)是全称量词与存 (2) 在量词问题,可用等价性及最值解决. 二、能力培养 1. 分析: 由题 | M N |? x 2 ? ln x , ( x ? 0 ) 不妨令 h ( x ) ? x 2 ? ln x , h ? (x ) ?2 x ? 由
1 x

, h ? ( x) ?0 令

10

解得 x ?

2 2

,因 x ? (0,

2 2

)

时, h ? ( x ) ? 0 ,当 x ? (
2 2 .

2 2

, ?? )

时, h ? ( x ) ? 0 ,所以当 x ?

2 2

时, | M N | 达到最小,答案: t ?

2.分析: (1) f ? (1) ? 3 ? 2 a ? b ? 2 a , 得 b ? ? 3, f ? ( 2 ) ? 1 2 ? 4 a ? b ? ? b .各 a ? ? 在曲线上, k ? ? 3, 切点为 (1, ? ) ,切线方程为 6 x ? 2 y ? 1 ? 0
2 5

3 2

,点 (1, f(1))

(2)g ( x ) ? (3 x 2 ? 2 x ? 3) e ? x , g ?( x ) ? ( ? 3 x 2 ? 9 x ) e ? x ? 0 , 解得 x1 ? 0, x 2 ? 3, 当 x ? ( ? ? , 0 ) 时,
g ?( x ) ? 0

,故在 ( ? ? , 0 ) 上为减函数,当 x ? (0, 3) 时, g ? ( x ) ? 0 ,故在 (0 , 3) 上为增函数,当 时,g ? ( x ) ? 0 .故 在 (3, ? ? ) 上为增减函数, 从而在 x1 ? 0 处取得极小值-3, x 2 ? 3 在

x ? (3, ? ? )

处取得极大值 1 5 e ? 3 .
4 1

3.分析: (1) f ( x ) ? x

3

? a x , 故 f ?( x ) ?
3

4 3

1

x

3

?

1 3

?

2 3

ax

?

4x ? a 3
3

.

x

2

若 a ? 0 ,则 f ? ( x ) ? 0, 因 此 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上是增函数. 若 a ? 0 ,则由 f ? ( x ) ? 0 得 x ? ?
[0, ? a 4 ]. a 4

,因此 f ( x ) 的单调增区间是 [ ?

a 4

, ? ? ] ,单调递减区间是

(2)若 a ? ? 4 ,则 f ? ( x ) ? 0 ( x ? [1, 8]) ,因此 f ( x ) 在 [1, 8 ] 上是增函数. 那么 f ( x ) 在 x ? [1, 8] 上的最小值是 f (1) ? a ? 1 ,最大值是 f (8) ? 2 a ? 1 6; 若 a ? ? 3 2 ,则
f ? ( x ) ? 0 ( x ? [1, 8 ] ) 因 此 f ( x ) 在 [1, 8 ] ,

上 是 减 函 数 . 那 么 f ( x ) 在 x ? [1, 8] 上 的 最 小 值 是

f ( 8 ) ? 2 ? 1 ,最大值是 f (1) ? a ? 1 . 若 ? 3 2 ? a ? ? 4 ,则 a 6
x

1

(1, ?

a 4

)

?

a 4

(?

a 4

,8)

8

f ?( x )

f (1) ? a ? 1

0 极小值
a 3 4 a3 ? a 4

+
f (8) ? 2 a ? 1 6

f (x)

所以 f ( x ) 在 x ? [1, 8] 上的最小值是 f ( ? ) ?
4



当 f (1) ? a ? 1 ? f (8) ? 2 a ? 1 6, 即 ? 3 2 ? a ? 1 5 时,最大值是 a ? 1 ; 当 ? 1 5 ? a ? ? 4 时,最大值是 2 a ? 1 6 .

11

方法指导: 第 1 题:本题信息量较多,怎样建立 | M N | 与 x 的关系,要构造一个新的函数,再用导数处 理. 第 2 题:点 (1, f (1)) 表示在曲线上,故可直接求解;极值分两种;极大与极小,故要研究函 数的单调区间. 第 3 题:本题立足 x ? 0, a ? R 分三种情况: a ? 0, a ? 0, a ? 0 ,在区间上的最值是在极值和 端点处的函数值确定. 二、能力测评 1.分析:由 f ( 5 ? x ) ? f (? x )得对称轴为 x ?
(?? , 5 2 ) 上是减函数,在 ( 5 2 5 2 , ? ? ) 上是增函数,答案: ( 5 2

,由 ( x ?

5 2

) f ? ( x ) ? 0得函数 y ? f ( x )



, ?? ) .

?(

x ?1

2.分析: f ? ( x ) ?
? f (1) ? 1, ? 故? 1 ,即 ? f ? (1) ? ? 2 ?

? ln x ) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

,由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ?

1 2

,且过点 (1,1) ,

?b ? 1. ? ?a 1 ? ?b ? ? 2 ?2

,答案: a ? 1, b ? 1 .

3.分析: (1)由题设易知 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ? ln x ?
x ? (0 ,1) (1, ? ?)

1 x

,? g ? ( x ) ?

x ?1 x
2

,令 g ? ( x ) ? 0 得 x ? 1, 当

时, g ? ( x ) ? 0 ,故(0,1)是 g ( x ) 的单调减区间,当 x ? (1, ? ? ) 时, g ? ( x ) ? 0 ,故

是 g ( x ) 的单调增区间,因此, x ? 1 是 g ( x ) 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最

小值点,所以最小值为 g (1) ? 1 .
g ? n (2)g ( ) ? ? ln x ? x , h (x ) ? (x ) g ( ) 2l? 设

1

1

x x ? ? ,

x

x

1 (h ) x则 ??? x

( x 1? ) x
2

2

, x ? 1 时, 当

1 h (1) ? 0 , 即 g ( x ) ? g ( ), 当 x ? (0 ,1) ? (1, ? ? )时 h ?( x ) ? 0 , h ?(1) ? 0 x ) 调 递 减 . 当 0 ? x ? 1 时 , h ( x? x? ) h( ?1 ) 即 1 0 ,? x g x h( ?1 ) 即

,因此, h ( x ) 在 (0, ? ? ) 内单
( ) ,g 当 ( x ?1 ) 时

1 0 ,? x g x



h(

. ( g )

(

)

防错机制: 第 1 题:由 f (5 ? x ) ? f ( ? x ) 不能误认为是周期函数,对称轴为 x ?
(x ? 5 2 ) f ?( x ) ? 0 . 5 2

是关键,然而对 x 讨论

12

第 2 题:已知切点和切线方程求其它问题,这类不难关键是运算要细致. 第 3 题:由 f ? ( x ) ? 三、能力提升 1.分析: f ? ( x ) ? 3 x 2 ? a ? 0, a ? 3 x 2 ? 0, a ? 0 2.分析:设两艇间的距离为 h ,则 h ? 2 0 1 3 t , 答案: 2 0 1 3 3.分析:设 P ( x , x 2 ? ln x ) ,则 d ? 数可知当 x ? 1 时最小,答案: 2 4.分析;m , n 在区间 [ ? 1,1] 上是独立的, f ( m ) 是三次函数,必用单调性求最小值, f ? ( n ) 是 二次函数,可用数形结合法求最小值.答案:-13 5.分析: (1)当 a ? b ? ? 3 时, f ( x ) ? ( x 3 ? 3 x 2 ? 3 x ? 3) e ? x , 故 f ? ( x ) ? ? ( x 3 ? 3 x 2 ? 3 x ? 3) e ? x ? (3 x 2 ? 6 x ? 3) e ? x ? ? e ? x ( x ? 3 ? 9 x ) = ? x ( x ? 3)( x ? 3) e ? x 当 x ? ? 3或 0 ? x ? 3 时, f ? ( x ) ? 0; 当 ? 3 ? x ? 0 或 x ? 3时 , f ?( x ) ? 0 . 从而 f ( x ) 在 ( ? ? , ? 3), (0, 3) 单调增,在 ( ? 3, 0 ), (3, ? ? ) 单调减. (2) f ? ( x ) ? ? ( x 3 ? 3 x 2 ? a x ? b ) e ? x ? (3 x 2 ? 6 x ? a ) e ? x ? ? e ? x [ x 3 ? ( a ? 6 ) x ? b ? a ] 由条件得: f ? ( 2 ) ? 0, 即 2 3 ? 2 ( a ? 6 ) ? b ? a ? 0, 故 b ? 4 ? a . 从而 f ? ( x ) ? ? e ? x [ x 3 ? ( a ? 6 ) x ? 4 ? 2 a ]. 因为 f ? (? ) ? f ? ( ? ) ? 0, 所 以 x 3 ? ( a ? 6 ) x ? 4 ? 2 a ? ( x ? 2 )( x ? ? )( x ? ? )
? ( x ? 2 )( x ? (? ? ? ) x ? ? ?
2

1 x

, 可 得 f ( x ) ? ln x ? b ,

再由 f (1) ? 0, 得 b ? 0 ,故有 f ( x ) ? ln x .

1 2

| x ? x ? ln x ? 2 |, 令 f ( x ) ? x ? x ? ln x ? 2
2 2

,利用导

).
( ? ? ? ) ? 4? ? ?
2

? ? ? ? ? 2, ? ? ? a ? 2 .故 ? ? ? ?

12 ? 4a .

又 ( ? ? )(? ? 2 ) ? 0, 即 ? ? ? 2 (? ? ? ) ? 4 ? 0 ,由此可得 a ? ? 6, 于 是 ? ? ? ? 6 . 6.分析: (1) f ? ( x ) ?
1 k
x 2 2 ( x ? k ) e k , 令 f ? (0 ) ? 0 , 得 x ? ? k .

当 k ? 0 时, f ( x ) 与 f ? ( x ) 的情况如下
x

(?? , ? k )

?k

(? k , k )

k

(k , ?? )

13

f ?( x )

?

0
4k e
2 ?1

?

0 0

?

f (x)

所以, f ( x ) 的单调递减区间是 ( ? ? , ? k ) 和 ( k , ? ? ) ;单调减区间是 ( ? k , k ) ;当 k ? 0 时,
f ( x )与 f ? ( x ) 的情况如下

x
f ?( x )

(?? , ? k )
?

?k

(? k , k )

k

(k , ?? )
?
?1

0 0

?

0
4k e
2

f (x)

所以, f ( x ) 的单调递减区间是 ( ? ? , ? k ) 主 ( k , ? ? ) ;单调增区间是 ( k , ? k ) .
k ?1

(2)当 k ? 0 时,因为 f ( k ? 1) ? e

k

?

1 e

,所以不会有 ? x ? (0 , ? ? ), f ( x ) ?
4k e
2

1 e

.

当 k ? 0 时,由(1)知 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上的最大值是 f ( ? k ) ? 所以 ? x ? (0, ? ? ) , f ( x ) ? 故当 ? x ? (0 , ? ? ), f ( x ) ? 7.分析: (1) f ? ( x ) ? 递增区间是 (0 ,
2a 2a

.
? k ? 0

1 e

等价于 f ( ? k ) ?

4k e

2

?

1 3

,解得 ?

1 2

.

1 e
1 x

时, k 的取值 范 围 是 [ - , 0 ).
2
? 2ax ? 1 ? 2ax 2
2

1

, x ? (0 , ? ? ), 令 f ? ( x ) ? 0 , 得 x ? 2a 2a , ? ? ).

2a 2a

, f ( x ) 的单调

), f ( x )

的单调递减区间是 (
1 8 3 2 x
2

(2)证明:当 a ?

1 8

时, f ( x ) ? ln x ?

.由(1)知 f ( x ) 在(0,2)内单调递增,在 ( 2, ? ? )
3 2

内单调递减,令 g ( x ) ? f ( x ) ? f ( ) .由于 f ( x ) 在(0,2)内单调递增,故 f ( 2 ) ? f ( ). 即 g (2) ? 0, 取 t ?
3 2 e

,则 g ( t ) ?

41 ? 9e 32

2

?0

所以存在 x 0 ? ( 2 , t ) ,使 g ( x 0 ) ? 0 ,即存在 x 0 ? ( 2, ? ? ) ,使 f ( x 0 ) ? f ( )
2

3

(说明: t 的取法不唯一,只要满足 t ? 2 且 g ( t ) ? 0 即可) (3)证明:由 f (? ) ? f ( ? ) 及(1)的结论知 ? ?
2a 2a ? ?

,从而 f ( x ) 在 [? , ? ] 上的最小值

为 f ( a ) ,又由 ? ? ? ? 1, ? , ? ? [1, 3], 知 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3 .
? f ( 2 ) ? f (? ) ? f (1), ? ln 2 ? 4 a ? ? a ln 3 ? ln 2 ln 2 ? a ? . 即? 从而 5 3 ? f ( 2 ) ? f ( ? ) ? f (3) ? ln 2 ? 4 a ? ln 3 ? 9 a .

故?

14

专题六

函数与导数(4)

(解决函数实际应用问题) 考试说明要求:函数模型及其应用是 B 级。 高考试题应用:能够运用所学数学知识、思想方法,构造数学模型,将实际问题转化为数学 问题, 并加于证明。 考题中涉及的函数多以基本初等函数为载体, 通过它们的性质 (单调性、 极值和最值等)来解释生活现象,主要涉及经济、环保、能源、健康等社会现象。 解决问题指南:常见函数模型: (1)直线模型,即一次函数模型; (2)指数函数模型; (3) 对数函数模型; (4)幂函数模型; “对勾”函数模型,形如 f ( x ) ? x ? (5)
a x (a ? 0, x ? 0)



函数模型,常利用“基本不等式”解决或利用导数研究其单调性来求最值。基本步骤(1) 审题:弄清题意,分析条件和结论理顺数量关系,恰当选择数学模型; (2)建模:将文字语 言、图形(或者数表)等转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)求模: 求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将利用数学知识和方法得出的结论,还原为实际 问题的意义。 一、能力展示 1.某企业购置了一批设备投入生产,据分析每台设备生产的总利润 y (单位:万元)与年 数 x ( x ? N * ) 满足如左图的二次函数关系。 要使生产的平均利润最大, 则每台设备应使用 2.如图,河对岸有一路灯杆 A B ,在灯光下,小明在点 D 处测得自己 的影长 D F =3m, 小明身高为 1.6m.若小明沿 B D 方向到达点 F 处再测 得自己的影长 F G ? 4 m. (1)若以 B G 为 x 轴, D C 为 y 轴建立直角坐标系,求直线 A G 方程 和灯灯杆 A B 的高. (2)若小明从 D 点出发沿 B D 方向以 2 m/s 的速 度前行,写出人影长 s 关于时间 t 的函数,并求小 明人影人度的变化率 v . .

3.某工厂统计资料显示,一种产品次品率 P 与日产量 x ( x ? N * , 8 0 ? x ? 1 0 0 ) 件之间的关系 如下表所示:

15

日产量 x 次品率 P 其中 p ( x ) ?
1 a? x

80
1 28 (a

81
1 27

82
1 26

? ?

x

? ?

98
1 10

99
1 9 k 3

100
1 8

P (x)

为常数) ,已知生产一件正品盈利 k 元,生产一件次品亏损

元( k 为给

定的常数).求出 a ,并将该厂的日盈利额 y (元)表示成日产量 x (件)的函数. 二、能力培养
? c ,x ? A ? ? x f (x) ? ? ( A, c ? c ,x ? A ? A ?

1. 根据统计, 一名工人组装第 x 件某产品所用的时间 (单位: 分钟为

为常数) .已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟, 组装第 A 件产品时用 15 分钟, 那么 c =
A



=

.

2.经市场调查,某商品在近 100 天内,其销售量和价格均为时间 t 的函数,且销售量近似 地 满 足 关 系 g (t ) ? ? t ?
3 f (t ) ? 1 4 t ? 2 2 (t ? N , 0 ? t ? 4 0 ) 1 109 3 , (t ? N , 0 ? t ? 1 0 0 )

, 在 前
1 2

40

天 里 价 格 为

, 在后 60 天里价格为 f ( t ) ? ?

t ? 5 2 (t ? N , 4 0 ? t ? 1 0 0 ) , 求

这种商品的日销售额的最大值.

3.请你设计一个包装盒,如图所示, A B C D 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部 分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A B C D 四个点重合于图中的点
P

,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒, E , F 在 A B 上是被切去的等腰直角三角形斜边的

两个端点,设 A E ? F B ? x cm. (1)若广告商要求包装盒侧面积 S (cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积 V (cm3)最大,试问 x 应取何值时?并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值.

16

三、能力测评 1. 某城市用水收费方法是: 水费=基本费+超额费+排污费, 若每月水量不超过最低限量 a m3 时,只付基本费 8 元和每户每定额排污费 c 元;若用水量超过 a m3 时,除了付给同上的基 本费和排污费外,超过部分每方米付 b 元的超额费.已知每户每月的排污费不超过 4 元,该 市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如表所示: 月份 1 2 3 则a = ;b = ;c = 用水量(m3) 8 15 13 . 水费(元) 9 19 15

2.某投资公司计划投资 A , B 两种金融产品,根据市场调查与预测, A 产品的利润与投资量 成正比例,其关系如图 1, B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例,其关系如图 2, (注:利润瑟投资量单位:万元) (1)分别将 A , B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式; (2)该公司已有 10 万元资金,并全部投入 A , B 两种产品中,问:怎样分配这 10 万元投资, 才能使使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?

3. 某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量 y(单位: 千克) 与销售价格 x(单 位:元/千克)满足关系式 y ?
a x?3 ? 10( x ? 6)
2

,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数,已知销售价格

为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成品为 3 元/千克.试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的 利润最大.

专题六

函数与导数(4)
17

(解决函数实际应用问题) 1.一批物资要用 11 辆汽车从甲地运到 360 千米外的乙地,若车速为 v 千米时,则两车的距 离不能小于 (
v 10 )
2

千米.运完这批物资车速 v 至少需要

千米/时.

2.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象 成为衰变,假设在放射性同位素钩 137 的衰变过程中,其含量 M (单位:太贝克)与时间 t
5

(单位:年)满足函数关系: M ( t ) ? M 0 2 3 0 ,其中 M 0 为 t ? 0 时铯 137 的含量,已知 t ? 3 0 时,铯 137 的含量的变化率是-10 ln 2 (太贝克/年) ,则 M (6 0 ) = .

3.某工厂因排污比较严重,决定着手整治,一个月时污染度为 60,整治后前四个月的污染 度如下表: 月数 污染度 1 60 2 31 3 13 4 0 ?? ??

污染度为 0 后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第 一个月开始工厂的污染模式:
f ( x ) ? 2 0 | x ? 4 | ( x ? 1), g ( x ) ? 20 3 ( x ? 4 ) ( x ? 1), h ( x ) ? 3 0 | lo g 2 x ? 2 | ( x ? 1)
2

,其中 x 表示月

数, f ( x ) 、 g ( x ) 、 h ( x ) 分别表示污染度. (1)问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由; (2)若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过 60?

4.某公司生产某种消防安全产品,年产量 x 台( 0 ? x ? 1 0 0 ,x ? N )时,销售收入函数
R ( x) ? 3000 x ? 20 x
2

(单位:百元) ,其成本函数满足 C ( x ) ? 5 0 0 x ? b (单位:百元).已知

该公司不生产任何产品时,其成本为 4000(百元). (1)求利润函数 P ( x ) ; (2)问该公司生产多少台产品时,利润最大,最大利润是多少? (3)在经济学中,对于函数 f ( x ) ,我们把函数 f ( x ? 1) ? f ( x ) 称为函数 f ( x ) 的边际函数, 记作 M f ( x ) .对于(1)求得的利润函数 P ( x ) ,求边际函数 M P ( x ) ;并利用边际函数 M P ( x ) 的性质解释公司生产利润情况.(本题所指的函数性质主要包括:函数的单调性、最值、零 点等)

18

5.汽车在行驶中,刹车到停车的距离称为“刹车距离”.在一个限速为 30km/h 的市区道路 上,甲、乙两车相向而行,发现情况不对,同时刹车,最后还是相碰.经现场勘查测得甲车 的刹车距离略超过 10m, 刹车距离 S(m) 与车速 x(km/h) 之间的关系为 S 甲 ? 0 .0 2 x 2 ? 0 .1 x ; 乙 车 的 刹 车 距 离 略 超 过 6m , 刹 车 距 离 S ( m ) 与 车 速 x ( km/h ) 之 间 的 关 系 为
S 乙 ? 0 .0 0 5 x ? 0 .0 5 x
2

.请根据这一情况判断甲、乙两车有无超限速现象.

专题六
一、能力展示

函数与导数(4)

1.分析:总利润 y ? ? 4 ( x ? 5) 2 ? 1 1( x ? N * ) ,当 x ? 4 和 x ? 6 ,总利润相等,因为年平均利 润为
y x

,而 x ? N * ,由于

7 6

?

7 4

?

11 5

,答 案 : 5

年.

2. 分析: 由题意, (1) 直线 A G 过点 E (3,1 .6 ), g (7 , 0 ) , 可求得直线 A G 方程为 y ? ? 0 .4 x ? 2 .8 , 直线 A F 过 点 C (0,1 .6, F (3, 0 ) ,可求得直线 A F 方程为 y ? ?
8 15 x ? 1 .6

联立方程消 x 得 y ? 6 .4 ,答:所求方程为 y ? ? 0 .4 x ? 2 .8 ,路灯杆 A B 的高 6.4m. (2)设从 D 点出发经 t 秒到 F1 , 则 D F1 ? 2 t ,此时人影长度为 S ,根据相拟形的性质可得
F1 E 1 AB ? S A ? D F1 ? B D

, 将 y ? 6 . 4代 入 直 线 y ? ? 0 .4 x ? 2 .8, 得 x ? ? 9, 即 B D ? 9 ,
2 3 1 108 ? x 1 108 ? x
*



1 .6 6 .4

?

S S ? 2t ? 9

,答: S ? 3 ?

t (t ? 0 )

,小明人影长度的变化率 v ? S ? ?

2 3

.

3.分析:由表可知 a ? 1 0 8, p ( x ) ? 为
y ? x 108 ? x kx 3 (3 ?

( x ? N , 8 0 ? x ? 1 0 0 ) ,当日产量为 x ) x , 所 以 y ? (1 ? 1 108 ? x )?x?k ? 1

时,次品数
?x? k 3 ,

, 正 品 数 为 ( (1 ?
4 108 ? x
*

108 ? x



)( x ? N , 8 0 ? x ? 1 0 0 )

,答略

精要点评: 第 1 题:关键要理解总利润、年数 x ( x ? N * ) 、年平均利,然后用观察对比法可快速得到结 论.也可列式用基本不等式法或导数法,但较繁. 第 2 题: (2)不变的量中有身高的 B D ,起点在 D 点,列式的立足点是相拟形,同时 t ? 0 . 第 3 题:注意 P 是次品率,正品率为 1 ? P ;函数的定义域为 x ? N * , 8 0 ? x ? 1 0 0 .

19

二、能力培养 1.分析;装第 4 件产品用时 30 分钟,即 x ? A 时所用时间为常数,所以组装第 4 件产品用 时必然满足第一个分段函数,即 f ( 4 ) ?
C ? 6 0, A ? 1 6

c 4

? 30 ? c ? 60, f ( A) ?

60 A

? 15 ? A ? 16,

答案:

2 . 分 析 : 由 题 意 知 : 当 0 ? t ? 4 0 , h (t ) ? ?
4 0 ? t ? 1 0 0, h (t ) ? 1 6 ( t ? 1 0 6 .5 ) ?
2

1 12

, ( t ? 1 0 .5 ) ?
2

38809 48

;



25 24

( t ? N );? t ? 1 0

或 11 时, 这种商品的日销售额的最大值

为 808.5,答略. 3.分析; E F ? 6 0 ? 2 x , 0 ? x ? 3 0 ,包装盒的高为 2 (3 0 ? x ) ,底面正方形边长为 2 x ,侧 面积 S ? 4 2 0 (3 0 ? x ) ? 2 x ? 8(3 0 ? x ) ? x ? 8[ ? ( x ? 1 5) 2 ? 2 2 5](0 ? x ? 3 0 ) , 所以当 x ? 1 5 时,
g (x)

取得最大,即 S 取得最大,[或 S=602- 4 x 2 ? (6 0 ? 2 x ) 2 ],答略

(2)包装盒容积
V ? 2x ?
2 3 2 2 2 (3 0 ? x ) ? ? 2 2 x ? 6 0 2 x (0 ? x ? 3 0 ), V ? ? 6 2 x (0 ? x ? 3 0 )

当 0, x ? 2 0 时, V ? ( x ) ? 0 ,当 2 0 ? x ? 3 0 时, V ? ( x ) ? 0 , 所以当 x ? 2 0 时, V 取得最大,这时的高与底面边长的比值为 方法指导: 第 1 题:对照函数中 x ? A , “装第 4 件产品用时 30 分钟”即 4 ? 3 0 ,故第一个分段函数, 这是解题的入口分析. 第 2 题:题中分前 40 天和后 60 天价格,但销售量函数不变,故要分类讨论;销售额是销量 ×价格;并注意 t ? N , 0 ? t ? 1 0 0 . 第 3 题: 这是以立几为背景的应用题, 立式时必须紧扣背景, 挖掘隐含在背景中的计算公式. (1)中的计算在左图中进行显得更为简捷; (2)中关键是运算细致. 三、能力测评 1.分析:设每月用水量为 x m3 ,支付费用为 y 元,则 y ? ?
a ? 1 0, b ? 2, c ? 1

1 2

,答略

?8 ? c

(0 ? x ? a )

? 8 ? b ( x ? a ) ? c ( x ? a)



2.分析: (1)设投资为 x 万元, A 产品的利润为 f ( x ) 万元, B 产品的利润为 g ( x ) 万元.由

20

题 意 设 f ( x ) ? k 1 x , g ( x ) ? k 2 x . 由 图 知 f (1) ?
f (x) ? 1 5 x ( x ? 0 ), g ( x ) ? 4 5 x ( x ? 0)

1 5

,? k 1 ?

1 5

.又 g ( 4 ) ? 1 .6 ,? k 2 ?

4 5

.

从而

( 2 ) 设 A 产 品 投 入 x 万 元 , 则 B 产 品 投 入 10 ? x 万 元 , 设 企 业 利 润 为 y 万 元. y ? f ( x ) ? g (1 0 ? x ) ? 令 1 0 ? x ? 5, 则 ? 当 t ? 2 时, y m a x ?
10 ? t 5
14 5 a 2 ? 1 0 ? 1 1 ? a ? 2; 2 x?3 ? 10( x ? 6)
2 2

x 5
2

?

4 5

1 0 ? x (0 ? x ? 1 0 ).

?

4 5

t ? ?

1 5

(t ? 2 ) ?
2

14 5

(0 ? t ?

1 0 ).

? 2 .8, 此 时 x ? 1 0 ? 4 ? 6 . 答略

3.分析: (1)因为 x ? 5 时 y ? 1 1, 所 以

(2)由(1)知该商品每日的销售量 y ? 得 的 利 润 :
f ( x ) ? ( x ? 3)[ 2

,所以商场每日销售该商品所获
2

x?3

? 1 0 ( x ? 6 ) ] ? 2 ? 1 0 ( x ? 3)( x ? 6 ) , 3 ? x ? 6



2 f ? ( x ) ? 1 0[( x ? 6 ) ? 2 ( x ? 3)( x ? 6 )] ? 3 0 ( x ? 4 )( x ? 6 ), 令 f ?( x ) ? 0 得 x ? 4

函数 f ( x ) 在(3,4)

上递增,在(4,6)上递减.所以当 x ? 4 时函数 f ( x ) 取得最大值 f ( 4 ) ? 4 2 ,答略 防错机制: 第 1 题:付款分“不超过最低限量”和“超过最低限量”两种情况,故函数是分段函数. 第 2 题:对“算术平方根成正比例”的理解十分重要,故审题要细致: (2)中的利润是指投 入 A , B 产品后各利润之和. 第 3 题:必审清题中各变量的实际意义;并注意利润的计算是: (销售价格-成本)×销售量. 三、能力提升 1.分析;显然 11 辆汽车之间的距离之和为 10× (
v 10 )
2

千米,所以若车速为 v 千米/时,
v 10 v ) ? 360
2

10(

11 车汽车从甲地运到 360 千米外的乙地,需要时间为 2 . 分 析 : 因 为 M ?( t ) ? ?
? 600

?

v 10

?
? 30 30

360 v

,答案:60 解得

1 30

ln 2 ? M 0 2
? t 30

?

t 30

, 则 M ? (3 0 ) ? ?

1 30

ln 2 ? M 0 2

? ? 1 0 ln 2 ,

M

0

,所以 M ( t ) ? 6 0 0 ? 2

,答案:150

3.分析: (1)? f ( 2 ) ? 4 0, g ( 2 ) ? 2 6 .7 , h ( 2 ) ? 3 0, f (3) ? 2 0, g (3) ? 6 .7 . h (3) ? 1 2 .5 ,由此可得
h(x)

更接近实际值,所以用 h ( x ) 模拟比较合理

(2)因 h ( x ) ? 30 | log 2 x ? 2 ? 在 x ? 4 上是增函数,又因为 h (1 6 ) ? 6 0 ,故整治后有 16 个月

21

的污染度不超过 60. 4.分析; (1)由题意, x ? 0, b ? 4 0 0 0 ,所以 C ( x ) ? 5 0 0 x ? 4 0 0 0
P ( x) ? R ( x) ? C ( x) ? 3000 x ? 20 x ? 500 x ? 4000
2

? ? 2 0 x ? 2 5 0 0 x ? 4 0 0 0, 0 ? x ? 1 0 0
2

(2) P ( x ) ? ? 2 0 ( x ?

125 2

) ? 7 4 1 2 5 (0 ? x ? 1 0 0 , x ? N ), 所 以 x ? 6 2
2

或 x ? 63

P ( x ) m ax ? P (6 2 ) ? P (6 3) ? 7 4 1 2 0

(百元)

(3) M P ( x ) ? P ( x ? 1) ? P ( x ) ? ? 4 0 x ? 2 4 8 0 (0 ? x ? 9 9, x ? N ) 边际函数为减函数, 说明随着产量的增加, 每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少; 当 x ? 0 时,边际函数取得最大值为 2480,说明生产第一台的利润差最大;当 x ? 6 2 时,边 际函数为零,说明生产 62 台时,利润达到最大. 5. 分析: 由题意, 对于甲车有 0 .0 2 x 2 ? 0 .1 x ? 1 0, 即 x 2 ? 5 x ? 5 0 0 ? 0 ,解得 x ? 20 或 x ? ? 25(舍 去)这表明甲车的车速超出 20(km/h) ,但根据甲车的刹车距离略超过 10m,由此估计甲车 的车速不会超出 30(km/h). 对于乙车有 0 .0 0 5 x 2 ? 0 .0 5 x ? 6即 x 2 ? 1 0 x ? 1 2 0 0 ? 0, 解得 x ? 3 0 或 x ? ? 4 0 (舍去)这表明乙车的车速超过 30(km/h) ,由此乙车的车速

专题七

不等关系与不等式(1)

(解决等价变换和方法问题) 考试说明要求:基本不等式 C 级;一元二次不等式 C 级. 高考试题应用:高考命题中,以填空题出现时,主要对不等式直接求解,或经常地与集合、 充要条件相结合,难度不大,以解答题出现时,一般会与参数有关,或对参数分类讨论,或 求参数范围,难度以中高档题为主. 解决问题指南:解不等式的过程,实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程,所以 等价转化是解不等式的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本 思路.常用的方法:分离参数法、分类讨论、函数法、数形结合法. 一、能力展示 1.有四个条件:① a ? b ? 1; ② a ? b ? 1 ;③ a 2 ? b 2 ; ④ a 3 ? b 3 .
22

其中使得 a ? b 成立的充分而不必要条件是 2.若集合 A ? { x | ? 1 ? 2 x ? 1 ? 3} , B ? { x |
x?2 x

.
? 0} ,则 A ? B

=

. .

3.设平面向量 a ? (1, 2 ) ,当向量 b 变化时, m ? a 2 ? a ? b ? b 2 的取值范围为

4.函数 y ? lo g a ( x ? 3) ? 1( a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A , 若点 A 在直线 m x ? n y ? 1 ? 0 上.其 中 m n ? 0,则
1 m ? 2 n

的最小值为

.

二、能力培养 1.设实数 x , y 满足 3 ? x y 2 ? 8, 4 ?
x
2

? 9, 则

x y

3 4

的最大值是

.

y

2.已知 f ( x ) ? lg ( x ? 1), g ( x ) ? 2 lg ( 2 x ? t )( t ? R , t 为参数). (1)当 t ? ? 1 时,解不等式 f ( x ) ? g ( x ); (2)如果当 x ? [0,1] 时, f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求参数 t 的取值范围.

x 3 . 已 知 函 数 f ( x )? l n ? x ?

1? x,

( 0 , 设 a k, b k k ,? ?? )

(

? , n , 3 , 为,正) 数 . 证 明 : 若 1 2 均

?a
k ?1

n

b ? k k

?b
k ?1

n

k

, 则 a1 1 a 2 2 ? a n n ? 1 .
b b b

三、能力测评 1.不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? 0 的解集是 2.已知 a ? b , a b ? 1, 则
2

. .

a ?b
2

2

a?b

的最小值是

3.已知不等式 a ?

x ? 2 |x|

对 x 取一切负数恒成立,则 a

的取值范围是

.

4.命题 A :| x ? 1 |? 3 ,命题 B : ( x ? 2 )( x ? a ) ? 0 ,若 A 是 B 的充分不必要条件,则 a 的取值 范围是 .

专题七
1.设函数 f ( x ) ? ?
?2
1? x

不等关系与不等式(1)
,则满足 f ( x ) ? 2 的取值范围是 .

x ?1 x ?1

?1 ? lo g 2 x

23

2.若 x , y ? 0 ,求

x ? x? y

y

的最大值

.

3.若曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2 a x ? 4 a y ? 5 a 2 ? 4 ? 0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取仁政范 围为 .
1 a ? 4 b

4.已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2, 则 y ?

取得最小值时 b ?

. .

5.已知 ? 1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3, 则 z ? 2 x ? 3 y 的取值范围是

6.若 a , b , c 是常数,则“ a ? 0 且 b 2 ? 4 a c ? 0 ”是“对任意 x ? R , 有 a x 2 ? b x ? c ? 0 ”的 条件(从充分不必要、必要不充分、充要中选一个). 7.在算式“1×□+4×□=30”的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数之和最小, 则这两个数应分别为 .

8.解关于 x 的不等式 [( m ? 3) x ? 1]( x ? 1) ? 0 ( m ? R ). 9. 已知不等式
1 2 ? 1 3 ?? ? 1 n ? 1 2 [lo g 2 n ] , 其中 n
[lo 为大于 2 的整数, g 2 n ] 表示不超过 lo g 2 n
n a n ?1 n ? a n ?1

的最大整数.设数列 { a n } 的各项为正,且满足 a 1 ? b ( b ? 0 ), a n ?

, n ? 2 , 3, 4 , ?

(1)证明 a n ?

2b 2 ? b [lo g 2 n ]

, n ? 3, 4 , 5, ?

(2)试确定一个正整数 N,使得当 n ? N 时,对任意 b ? 0 ,都有 a n ?

1 5

.

专题七
一、能力展示

不等关系与不等式(1)

1.分析: a ? b ? 1可 得 a ? b ,反之不成立;②③充分性不成立;④是充要条件,答案:① 2.分析: A ? [ ? 1,1], B ? (0, 2 ] ,答案: { x | 0 ? x ? 1} 3.分析:令 b ? ( x , y ) ,则 m ? ( x ?
1 2 ) ? ( y ? 1) ?
2 2

15 4

?

15 4

, 答案: [

15 4

, ?? )

4 . 分 析 : 定 点 ( -2 , -1 ) , 代 入 直 线 得 2 m ? n ? 1, m n ? 0, 又
1 m ? 2 n ?( 1 m ? 2 n )( 2 m ? n ) ? 4 ? n m ? 4m n ? 4?2 4 ?8

.当且仅当 n ?

1 2

,m ?

1 4

时取 “=” 答案: ,

8 精要点评:
24

第 1 题:先从充分条件考虑,现从必要条件考虑,结合不等关系与基本性质; 第 2 题:考虑端点,特别是集合 B; 第 3 题:由向量 a 是坐标法表示,故向量 b 也用坐标法表示; 第 4 题:结合对数函数恒过定点(1,0) ,联想出定点(-2,-1) ,从而得 2 m ? n ? 1 . 二、能力培养 1.分析:令
x y
3 4

? ( xy ) (
2 A

x

2

) ,得

B

x y

3 4

? ( xy ) (
2

?1

x

2

) ,

2

1 8

? ( xy )
2

?1

?

1 3

y
2 3 4

y

16 ? (

x

) ? 8 1, 2 ?
2

x y

? 27, 答 案 : 27.

y

2.分析: (1) t ? ? 1 时, f ( x ) ? g ( x ) ,即为 lo g ( x ? 1) ? 2 lg ( 2 x ? 1) ,此不等式等价于
?x ?1 ? 0 ? ?2x ? 1 ? 0 ? 2 ? x ? 1 ? ( 2 x ? 1)

解得 x ?

5 4

,? 原不等式的解集为 { x | x ?

5 4

}

(2) x ? [0,1] 时,

?x ?1 ? 0 ? f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,? x ? [0 ,1] 时, ? 2 x ? t ? 0 ? 2 ? x ? 1 ? (2 x ? t)

恒成立,? x ? [0 ,1]

时,

?x ?1 ? 0 ? ?t ? ?2 x ? ?t ? ?2 x ?

恒 成 立 , 即 x ? [0,1] 时 , t ? ? 2 x ?
x ?1

x ?1

恒成立,于是转化为求

?2 x ?

x ? 1 ( x ? [0 ,1]) 的最大值问题.

令u ?
? ?2 x ?

x ?1

,则 x ? u 2 ? 1, 由 x ? [0,1], 知 u ? [1, 2 ]
2

x ? 1 ? ? 2 ( u ? 1) ? u ? ? 2 ( u ?

1 4

) ?
2

17 8

当 u ? 1 时,即 x ? 0 时, ? 2 x ?
?t

x ?1

有最大值为 1.

的取值范围是 t ? 1 .
1 x ?1

3.分析: f ( x ) 的定义域为 (0, ? ? ) ,令 f ? ( x ) ?

,当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) 在(0,1)内是

增函数;当 x ? 1 时, f ( x ) 在 (1, ? ? ) 内是减函数;故函数 f ( x ) 的最大值为 f (1) ? 0 . 当 x ? (0, ? ? ) 时, 有 f ( x ) ? f (1) ? 0, 即 ln x ? x ? 1,
? a k , b k ? 0,? ln a k ? a k ? 1, 得 b k ln a k ? a k b k ? b k

,

25

求和得 ? b k ln a k ?
k ?1 n
k

n

?
1

n

a k bk ?
2 n

k ?1

?

n

b k ,?

k ?1

?
1

n

a k bk ?
2

k ?1

?
n

n

b k ,?

k ?1

?b
k ?1

n

k

ln a k ? 0 ,

b b b b 即 ? ln a kb ? 0 , ln ( a 1b a 2 ? a n ) ? 0 ,? a 1b a 2 ? a n ? 1 . k ?1

方法指导: 第 1 题:利用待定系数法,整体代换,再由不等式乘除法则. 第 2 题:含参数的恒成立问题一般转化为最值来处理,对一些无理式用换元法处理,但换元 要注意等价性. 第 3 题:函数与不等式相结合题,往往先求单调性再转化为不等式. 三、能力测评 1.分析:原不等式化为 | x ? 1 |? | x ? 3 | ,两边平方可得答案: [1, ? ? ). 2
t ?






6 ? 2


2


,b ?

a ? b ? t , 则 t ? 0,

a ?b
2

2

a?b

?t?

2 t

? 2

2











2 ,即 a ?

6 ? 2

2

时取等号) ,答案: 2 2 .
x ?2
2

3.分析:要使 a ?

x ? 2
2

对x

取一切负数恒成立,?

?| x | ?

2 |x|

? 2

2

,当且仅当事

|x|

|x|

x ? ?

2

时取等号,? a 要小于等于

x ? 2
2

的最小值,答案: a ? 2 2 .

|x|

4.分析:由 | x ? 1 |? 3 得 : ? 2 ? x ? 4, 又 由 ( x ? 2 )( x ? a ) ? 0 得 x ? ? 2 或 x ? ? a ,
? A是 B

的充分不必要条件, ? { x | ? 2 ? x ? 4} ? { x | ? 2 ? x ? ? a } ,? a ? ( ? ? , ? 4 ) ,答案:

(?? , ?4)

防错机制: 第 1 题:不等式两边都大于零才可两边平方. 第 2 题:如由 a b ? 1 转化为 b ?
1 a

再代入,解题将进入绝境.

第 3 题:注意 x 取一切负数恒成立,故当且仅 x ? ? 2 时取等号. 第 4 题: A 是 B 的充分不必要条件等价于 A ? B , A 是 B 的必要不充分条件等价于 A ? B . 三、能力提升 1.分析:当 x ? 1 时, 2 1 ? x ? 2, 即1 ? x ? 1, 得 x ? 0 ;当 x ? 1 时, 1 ? lo g 2 x ? 2 恒成立,答案:
[0, ? ? )

26

2.分析:?

x ? x? y

y

? 0 ,? (

x ? x? y

y

) ?
2

x? y?2 x? y

xy

?

x? y? x? y x? y

? 2 ,?

x ? xy

y

? 2



答案: 2 3.分析:曲线 C 方程化为 ( x ? a ) 2 ? ( y ? 2 a ) 2 ? 4 ,圆心 ( ? a , 2 a ) 在第二象限内,且距 x , y 轴 距离大于 2,答案: (2,+ ? ) 4.解析: y ? 答案:
4 3 1 a ? 4 b ?( 1 a ? 4 b )( a ? b ) 1 2 ? 1 2 [5 ? ( b a ? 4a b )] ? 9 2

,当且仅当 b ? 2 a ?

4 3

时取等号,

5.解析:法一,令 z ? A ( x ? y ) ? B ( x ? y ), 得 z ? ?
5? 5 2 (x ? y) ? 15 2 , 答 案 : (3, 8 )

1 2

(x ? y) ?

5 2

( x ? y ), ? 2 ? ?

1 2

(x ? y) ?

1 2

,

?x ? ?x 法二,利用线性规划,画出不等式组 ? ?x ?x ?

? y ? ?1 ? y? 4 ? y ? 2 ? y?3

表示的平面区域,即可求解

6.分析:易知 a ? 0 且 b 2 ? 4 a c ? 0 ? a x 2 ? b x ? c ? 0 对任意 x ? R 恒成立. 反之, a x 2 ? b x ? c ? 0 对任意 x ? R 恒成立不能推出 a ? 0 且 b 2 ? 4 a c ? 0 反例为当 a ? b ? 0 且 c ? 0 时也有 a x 2 ? b x ? c ? 0 对任意 x ? R 恒成立 “ a ? 0 且 b 2 ? 4 a c ? 0 ”是“对任意 x ? R ,有 a x 2 ? b x ? c ? 0 的充分不必要条件.”答案: 充分不必要条件 7.分析:设算式为 x ? 4 y ? 3 0 , x , y ? N * , t ?
3 10
1 x ? 1 y ? ( 1 x ? 1 y )( x ? 4 y ) 1 30 ? 1 30 [5 ? ( 4y x ? x y )]

?

,当且仅当 x ? 2 y ? 1 0 时取等号,答案:10,5

8.分析:对参数 m 进行分类讨论: ①当 m ? ? 3 时,原不等式为 ? ( x ? 1) ? 0 ,? 不等式的解为 x ? ? 1 ②当 m ? ? 3 时,原不等式可化为 ( x ?
? 1 m ?3 1 m ?3 )( x ? 1) ? 0 . 1 m ?3

? 0 ? ? 1,? 不等式的解为 x ? ? 1 或 x ? 1 m ?3

.

③当 m ? ? 3 时,原不等式可化为 { x ?

} ( x ? 1) ? 0

。?

1 m ?3

?1?

m ? 4 m ?3

,

27

当 ? 4 ? m ? ? 3 时, 当 m ? ? 4 时, 当 m ? ? 4 时,
1

1 m ?3

? ? 1 原不等式的解集为

1 m ?3

? x ? ? 1; 1

m ?3 1 m ?3

? ? 1 原不等式的解集为 ? 1 ? x ? ? ? 1 原不等式无解.

m ?3



综上所述,原不等式的解集情况为: ①当 m ? ? 4 时,解为 ? 1 ? x ? ②当 m ? ? 4 时,无解; ③当 ? 4 ? m ? ? 3 时,解为
1 m ?3 ? x ? ? 1; 1 m ?3 ;

④当 m ? ? 3 时,解为 x ? ? 1 ; ⑤当 m ? ? 3 时,解为 x ? ? 1或 x ?
1 m ?3 .
n ? a n ?1 n a n ?1

9.分析: (1)? 当 n ? 2时 , 0 ? a n ?

n a n ?1 n ? a n ?1

,?

1 an

?

?

1 a n ?1

?

1 n

,



1 an

?

1 a n ?1

?

1 n

于是有

1 a2

?

1 a1

?

1

,

1

?

1 a2

?

1 3

,? ,

1 an

?

1 a n ?1

?

1 n

.

2 a3

所有不等式两边相加可得

1 an

?

1 a1

?

1 2

?

1 3

?? ?

1 n

.

由已知不等式知,当 n ? 3 时有,

1 an

?

1 a1

?

1 2

[lo g 2 n ] .

? a 1 ? b ,?

1 an

?

1 b

?

1 2

[lo g 2 n ] ?

2 ? b [lo g 2 n ] 2b

, an ?

2b 2 ? b [lo g 2 n ]

(2)?

2b 2 ? b [lo g 2 n ]

?

2 [lo g 2 n ]

,令

2 [lo g 2 n ]

?

1 5

, 则 有 lo g 2 n ? [lo g 2 n ] ? 1 0 , ? n ? 2

10

? 1024,

故取 N ? 1 0 2 4 ,可使当 n ? N 时,都有 a n ?

1 5

.

28


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