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2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺(8)


2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(8)
一试

1? x ; ? 1) 的定义域为 x?3 1 2、在△ABC 中。若 sin A ? cos A ? ? ,则 cos 2A ? ; 3 n ?1 * 3、在数列 {an } 中, a1 ? 2, an ?1 ? 2an ? 2 (n ? N ) ,则使 an ? 10 成立的最小正整数 n 的


1、 用区间表示函数 f ( x) ? ln( 是 ; 4、已知 f ( x) 是 R 上的奇函数,对任意 x ? R ,均有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ? (0,1) 时,

3 ; f ( x) ? x 2 ,则 f (? ) ? f (1) ? 2 5、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,△ 且 O PAB 为等边三角形, 为 AB 边的中点, PO ? 平面 ABCD , 则二面角 P ? AC ? D 的余弦值为 ; 6、若正整数 m 使得对任意一组满足 a1a2 a3a4 ? 1 的正数 1 1 1 1 a1 , a2 , a3 , a4 都有 a1m ? a2 m ? a3m ? a4 m ? ? ? ? 成 a1 a2 a3 a4 立,则正整数 m 的最小值为 2k 2k * 7、函数 f ( x) ? sin x ? cos x,( k ? N ) 的最小值为
8、将方程 x ? 3 ? [ x] ? 4 ? 0 ( [ x] 表示不超过 x 的最大整数)的实数解从小到大排列成
3

x1 , x2 ,?, xk ,则 x13 ? x23 ? ? ? xk 3 ?
9、 (本题 16 分)设二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c(b, c ? R) 与 x 轴有交点。若对一切 x ? R ,
2

2x2 ? 3 1 ) ? 1,求 b, c 的值。 有 f ( x ? ) ? 0 ,且 f ( 2 x ?1 x

第1页

10、 (本题 20 分)记集合 T ? {0,1,2,3,4 ,5,6,7} , ai (i ? 1,2,3,4) 是 T 中可重复选取的元素. (1)若将集合 M ? {a1 ? 8 ? a 2 ? 8 ? a3 ? 8 ? a 4 ai ? T , i ? 1,2,3,4} 中所有元素按
3 2

从小到大的顺序排列,求第 2008 个数所对应的 ai (i ? 1,2,3,4) 的值; . . (2)若将集合 N ? {

a1 a 2 a3 a 4 ? ? ? ai ? T , i ? 1,2,3,4} 中所有元素按从大到小的 . . 8 8 2 83 8 4

顺序排列,求第 2008 个数所对应的 ai (i ? 1,2,3,4) 的值.

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F1 的直线交椭圆 9 5 于 A 、 B 两点,过 F2 的直线交椭圆于 C 、 D 两点,且 AB ? CD ,垂足为 P . 2 2 x0 y 0 ? (1)设 P 点的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,求 的最值; 9 5 (2)求四边形 ACBD 的面积的最小值.
11、 (本题 20 分)已知椭圆

第2页

2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(8)
加 试 1、 (本题 40 分)已知三角形 ABC 为锐角三角形,AB≠AC,以 BC 为直径的圆分别交 AB, AC 于点 M,N,记 BC 的中点为 O,∠BAC 的平分线和∠MON 的平分线交于点 R.求证: 三角形 BMR 的外接圆和三角形 CNR 的外接圆有一个交点在边 BC 上.(45 届 IMO)

第3页

2、 (本题 40 分)设 a1,b1(i=1,2,…,n)是有理数使得对任意的实数 x 都有

x 2 ? x ? 4 ? ? (ai x ? bi ) 2 . 求 n 的最小可能值。(2006 国家队集训题,第二天)
i ?1

n

第4页

3 、 设 I ? {1,2,3, ?,199} , A ? {a1 , a 2 , a3 ,?, a100 } ? I , 且 A 中 元 素 满 足 : 对 任 何

1 ? i ? j ? 100 ,恒有 ai ? a j ? 200 .
(1)试说明:集合 A 的所有元素之和必为偶数; (2)如果 a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a100 ? 10002 ,试求 a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a100 的值.
2 2 2 2

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4、 (本题 50 分)对一个边长互不相等的凸 n (n ? 3) 边形的边染色,每条边可以染红、黄、 蓝三种颜色中的一种, 但是不允许相邻的边有相同的颜色. 共有多少种不同的染色方法? 问: (06 上海竞赛)

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2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(8)
参考答案 一试 1、 (?3. ? 1) 3、3, a1 ? 2, 4、 2、

17 9

an?1 an ? n ? 1(n ? N * ) n ?1 2 2

1 , f (?1 ? 2) ? f (?1), f (1) ? 0 4 7 5、 ? 7 6、3,用排序不等式,右边= a2 a3a4 ? a1a3a4 ? a1a2 a4 ? a1a2 a3
不妨设 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ,列出三组必定成立 7、

1 2 k ?1
3

,观察,归纳,证明。

8、16

x3 ? 3[ x] ? 4 ,当 [ x] ? 0 时, x3 ? 3[ x] ? 4 ? [ x]3 ? [ x]2 ,

∴ [ x] ? 3[ x] ? 4 ? 0 , ?1 ? [ x] ? 4 ,∵ [ x] ? 0 ,∴ 0 ? [ x] ? 4 由于 [ x] ? Z ,验证可知 [ x] ? 1 ,此时, x ? 3 7 , [ x] ? 2 此时 x ? 3 10 当 [ x] ? 0 时,无解 当 [ x] ? 0 时, [ x] ? x ? {x} ,由于 0 ? {x} ? 1 ,故 0 ? x ? [ x] ? 1 又 x ? 3[ x] ? 4 ? 3( x ? {x}) ? 4 ? 3x ? 3{x} ? 4
3

∴ ?3 ? x ? 3x ? 4 ? 0
3

?1 ? 17 ?1 ? 17 , ?1 ? x ? 2 2 3 当 x ? ?1 时, ?3 ? x ? 3x ? 4 不成立;又 [ x] ? 0 易得 ?1 ? x ? 0 , x ? Z ,∴ x ? ?1 ,0 x13 ? x23 ? ? ? xk 3 ? 16 1 1 9、 | x ? |?| x | ? ? 2 ,所以,对满足 | x |? 2 的实数 x ,有 f ( x) ? 0 ,则 x | x| f ( x) ? x 2 ? bx ? c ? 0 的实根在区间 [?2, 2] 内,所以 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R) 在区间
由 x ? 3x ? 4 ? 0 得 x ?
3

? ? f (2) ? 0 ?4 ? 2b ? c ? 0 ? ? [2, ??) 是增函数且 ? f (?2) ? 0 ? ?4 ? 2b ? c ? 0 (*) ? ??4 ? b ? 4 b ??2 ? ? ? 2 ? ? 2 2 2x ? 3 1 2x2 ? 3 ? 2? 2 ? (2,3] ,所以 f ( 2 ) ? 1,即 f (3) ? 1,9 ? 3b ? c ? 1 又 2 x ?1 x ?1 x ?1 代入(*)得,只有 b ? ?4 ,此时 c ? 4 3 2 10、解: (1)记 a1 ? 8 ? a 2 ? 8 ? a3 ? 8 ? a 4 = a1 a 2 a3 a 4 ,它表示一个8进制数;M中最
小值为 0 ,第 2008 个数在十进制数中为 2007, 将 2007 化为8进制数即为 3727 ,所以 a1 ? 3, a 2 ? 7, a3 ? 2, a 4 ? 7 .
第7页

a1 a 2 a3 a 4 1 ? 2 ? 3 ? 4 = 4 (a1 ? 83 ? a 2 ? 8 2 ? a3 ? 8 ? a 4 ) , 8 8 8 8 8 括号内表示的 8 进制数,其最大值为 7777 ; 3 2 ∵ 7777 = 7 ? 8 ? 7 ? 8 ? 7 ? 8 ? 7=4095 ,从大到小排列,第2008个数为
(2)因为 4095-2008+1=2088 因为 2088= 4050 ,所以 a1 ? 4, a 2 ? 0, a3 ? 5, a 4 ? 0 . 11、解: (1)由已知得 F1 (-2,0) F2 (2,0) , ,P F1 ⊥P F2 , ∴P ( x 0 , y 0 ) 满足 x 0 ? y 0 ? 2 ,
2 2 2

∴ y 0 ? 4 ? x0 , 且0 ? x 0 ? 4 ,∴
2 2 2

2 2 x0 y 0 4 4 2 = ? ? x0 , 9 5 5 45

4 4 ,最大值为 . 9 5 (2)若直线 AB的斜率 k 存在且不为0,因 AB ? CD ,∴直线 AB 的方程为 1 y ? k(x ? 2) ,直线 CD 的方程为 y ? - (x ? 2) . k 2 2 x y 联立 ? ? 1 和 y ? k(x ? 2) ,消去 y 得: (9k 2 ? 5) x 2 ? 36 k 2 x ? 36 k 2 ? 45 ? 0 , 9 5 2 2 ? ? 30 (k ? 1) ? 0 ,
∴它的最小值为 设 A(x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x 1 ? x 2 ? ?

36 k 2 36 k 2 ? 45 , x1 x 2 ? , 9k 2 ? 5 9k 2 ? 5

30(k 2 ? 1) ; 9k 2 ? 5 x2 y2 1 ? ? 1 和 y ? - (x ? 2) ,消去 y 得: (5k 2 ? 9) x 2 ? 36 x ? 36 ? 45k 2 ? 0 , 联立 9 5 k 2 k ?1 ? ? 30 2 ( 2 ) ? 0 , k 36 ? 45k 2 36 设 C(x 3 , y3 ) , D( x4 , y 4 ) ,则 x 3 ? x4 ? ? , x3 x 4 ? , 9 ? 5k 2 9 ? 5k 2 30(k 2 ? 1) ; CD = 9 ? 5k 2 1 450 (k 2 ? 1) 2 450 ( k 2 ? 1) 2 450 S ACBD ? AB ? CD ? ? = , 2 2 2 2 2 2 (9k ? 5)(9 ? 5k ) ? (9k ? 5) ? (9 ? 5k ) ? 49 ? ? 2 ? ? 当 k ? ?1 时等号成立. 1 10 450 当 k 为 0 或不存在时, S ACBD ? ? 6 ? ; ? 10 ? 2 3 49 450 综上,四边形 ACBD 的面积的最小值为 . 49

AB=

2010 年全国高中数学联赛模拟题 4
二试
第8页

1、证明:首先证明 A,M,R,N 共圆。因为三角形 ABC 为锐角三角形,故 M、N 分别在线段 AB、 AC 内。在射线 AR 上取一点 R1,使 A、M、R1、N 共圆。因为 AR1 A 平分∠BAC,故 R1M=R1N.而点 M,N 在以 O 为圆心的圆上,故 OM=ON。由 OM=ON,R1M=R1N 知点 R1 在∠MON 的平分线上。而 AB≠AC, 则∠MON 的平分线与∠BAC 的平分线不重合、 不平行, M N 有唯一交点 R,从而 R1=R,即 A,M,N,R 共圆。 其次,设 AR 的延长线交 BC 于 K,则 K 在 BC 边上。因为 R R1 B,C,N,M 共圆, 故∠MBC=∠ANM.又因为 A,M,N,R 共圆, 故∠ANM =∠MRA,所以∠MBK=∠MRA,所以 B,M,R,K 共圆。同理可证 C,N,R,K 共圆。证毕 C
B O K

1? ?3? ? ?1? ?1? 2 2、解:因 x ? x ? 4 ? ? x ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? , 2? ?2? ? ?2? ?2?
2

2

2

2

2

故 n=5 是可以的,下证 n=4 不可以。 反证法 设 x ? x ? 4 ?
2

? (a x ? b )
t ?1 i i
4 4

4

2

, ai , bi ? Q,
1 4 2 , ? bi ? 4, 2 t ?1



? ai2 ? 1,? ai bi ?
t ?1 t ?1



15 ? 4 2 ?? 4 2 ? ? 4 ? ? ? ? ai ?? ? bi ? ? ? ? ai bi ? 4 ? i ?1 ?? i ?1 ? ? i ?1 ?
? (?a1b2 ? a 2 b1 ? a3b4 ? a 4 b 3 ) 2
第9页

? (?a1b3 ? a3b1 ? a 4 b2 ? a 2 b 4 ) 2 ? (?a1b4 ? a 4 b1 ? a 2 b3 ? a3b 2 ) 2
上表表明

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 15d 2 ? ?d 2 (mod 8)
有理,不妨搞 a,b,c,d 至少有一个奇数,且

a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ? 0,1,4(mod 8), 上式显然无解,矛盾。
3、解: (1)将集合 I ? {1,2,3, ,199}的所有元素分组为 {1,199} 、 {2,198} 、……、 ?

{99,101} 、 {100} ,共 100 组;由已知得,集合 A 的 100 个元素只能从以上 100 个集合中
各取一个元素组成. ∵以上 100 个集合中,奇数同时出现,且含奇数的集合共 50 个, ∴集合 A 的所有元素之和必为偶数. (2)不妨设 a1 , a 2 ,?, a99 为依次从以上前 99 个集合中选取的元素, a100 ? 100 , 且记各集合的落选元素分别为 b1 , b2 ,?, b99 ,则 ai ? bi ? 200 , (i ? 1,2,?,99) ,

n(n ? 1)( 2n ? 1) 6 2 2 2 2 2 2 2 ∴ (a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a100 ) + (b1 ? b2 ? ? ? b99 ) 2 2 2 2 199 (199 ? 1)( 2 ? 199 ? 1) = 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 199 = =2646700,……① 6 而 (a1 ? a 2 ? ? ? a99 ) + (b1 ? b2 ? ? ? b99 ) = 200 ? 99= 19800 , (a1 ? a2 ? ? ? a99 ) =10002-100=9902,
由于 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n =
2 2 2 2

∴ ∴
2

(b1 ? b2 ? ? ? b99 ) =19800-9902=9898
2 2 2 2 2 (a12 ? a 2 ? a3 ? ? ? a100 ) - (b12 ? b2 ? ? ? b99 )

= (a1 ? b1 ) + (a 2 ? b2 ) +…+ (a99 ? b99 ) + a100
2 2 2
2 2 2

= (a1 ? b1 )( a1 ? b1 ) + (a 2 ? b2 )( a 2 ? b2 ) +…+ (a99 ? b99 )( a99 ? b99 ) + a100
2

=200 [( a1 ? a 2 ? ? ? a99 ) - (b1 ? b2 ? ? ? b99 )] )+10000 = 200 9902 ? 9898) 10000= ( ? 10800 由①②得: (a ? a ? a ? ? ? a
2 1 2 2 2 3 2 100

……②

) =1328750 .

4、解 设不同的染色法有 pn 种.易知 p3 ? 6 . 当 n ? 4 时,首先,对于边 a1 ,有 3 种不同的染法,由于边 a2 的颜色与边 a1 的颜色不 同,所以,对边 a2 有 2 种不同的染法,类似地,对边 a3 ,…,边 an ?1 均有 2 种染法.对于 边 an ,用与边 an ?1 不同的 2 种颜色染色,但是,这样也包 括了它与边 a1 颜色相同的情况,而边 a1 与边 an 颜色相同的 不同染色方法数就是凸 n-1 边形的不同染色方法数的种数

an a1

an-1

pn?1











pn ? 3 ? 2n ?1 ? pn ?1
n 2 ? ? ( ?1 2 , 2 ) ? ?



pn ? 2n ? ? ? pn ?1 ? 2n ?1 ? .
于是

a2
3

pn ? 2n ? ( 1 n?3 ? p3 ? ? )

a3

第 10 页

pn ? 2n ? (?1) n ? 2 , n ? 3 .
综上所述,不同的染色方法数为 pn ? 2 ? (?1) ? 2 .
n n

第 11 页


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