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【步步高】2014届高三数学大一轮复习 2.1函数及其表示教案 理 新人教A版


§2.1
2014 高考会这样考

函数及其表示

1.考查函数的定义域、值域、解析式的求法;2.考查分段函数的简单

应用;3.由于函数的基础性强,渗透面广,所以会与其他知识结合考查. 复习备考要这样做 1.在研究函数问题时,要树立“定义域优先”的观点;2.掌握求函数

解析式的基本方法;

3.结合分段函数深刻理解函数的概念.

1. 函数的基本概念 (1)函数的定义 设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集 合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的 值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域 是集合 B 的子集. (3)函数的三要素:定义域、对应关系和值域. (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法、列表法. 2. 映射的概念 设 A、B 是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A→B 为从集 合 A 到集合 B 的一个映射. 3. 函数解析式的求法

1

求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法. 4. 常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数被开方式大于或等于 0. (3)一次函数、二次函数的定义域为 R. (4)y=a (a>0 且 a≠1),y=sin x,y=cos x,定义域均为 R.
? ? π (5)y=tan x 的定义域为?x|x∈R且x≠kπ + ,k∈Z?. 2 ? ?
x

(6)函数 f(x)=x 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}. [难点正本 疑点清源] 1. 函数的三要素 函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系所确定 的.两个函数的定义域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等. 2. 函数与映射 (1)函数是特殊的映射,其特殊性在于,集合 A 与集合 B 只能是非空数集,即函数是非 空数集 A 到非空数集 B 的映射. (2)映射不一定是函数,从 A 到 B 的一个映射,A、B 若不是数集,则这个映射便不是函 数. 3. 函数的定义域 (1)解决函数问题,函数的定义域必经优先考虑; (2)求复合函数 y=f(t),t=q(x)的定义域的方法: ①若 y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式得 a<q(x)<b 即可求出 y=f(q(x))的定义 域; ②若 y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定义域.

a

4 1. (2011·浙江)设函数 f(x)= ,若 f(a)=2,则实数 a=________. 1-x 答案 -1 解析 ∵f(x)= 4 4 ,∴f(a)= =2,∴a=-1. 1-x 1-a

2. (课本改编题)给出四个命题: ①函数是其定义域到值域的映射; ②f(x)= x-2+ 2-x是函数; ③函数 y=2x (x∈N) 的图象是一条直线;④f(x)= 与 g(x)=x 是同一个函数.

x2 x

2

其中正确命题的序号有________. 答案 ①② 解析 对于①函数是映射,但映射不一定是函数; 对于②f(x)是定义域为{2},值域为{0}的函数. 对于③函数 y=2x (x∈N)的图象不是一条直线; 对于④由于这两个函数的定义域不同,所以它们不是同一个函数. 3. 函数 y=f(x)的图象如图所示,那么,f(x)的定义域是________;值域是________;其 中只与 x 的一个值对应的 y 值的范围是________.

答案 [-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 4. (2012· 江 西 ) 下 列 函 数 中 , 与 函 数 y = 1 3 ( ) A.y= 1 ln x B.y= sin x x
x

定义域相同的函数为

x

C.y=xe 答案 D

sin x D.y=

x

解析 函数 y=

1 3

的定义域为{x|x≠0},选项 A 中由 sin x≠0? x≠kπ ,k∈Z,故 A

x

不对;选项 B 中 x>0,故 B 不对;选项 C 中 x∈R,故 C 不对;选项 D 中由正弦函数及分 式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0},故选 D. 1,x>0, ? ? 5. (2012·福建)设 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0, 为 ( )
? ?1,x为有理数, ?0,x为无理数, ?

g(x)=?

则 f(g(π ))的值

A.1 B.0 C.-1 D.π 答案 B 解析 根据题设条件,∵π 是无理数,∴g(π )=0, ∴f(g(π ))=f(0)=0.

3

题型一 函数与映射 例1 有以下判断:
?1 ? ? | x| (1)f(x)= 与 g(x)=? x ?-1 ? ?

x≥0? x<0?

表示同一函数;

(2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; (3)f(x)=x -2x+1 与 g(t)=t -2t+1 是同一函数;
2 2

? ?1?? (4)若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f? ??=0. ? ?2??
其中正确判断的序号是________. 思维启迪:可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断. 答案 (2)(3) | x| 解析 对于(1),由于函数 f(x)= 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0},而函数 g(x)=

x

? ?1 ? ?-1 ?

? ?

x≥0? x<0?

的定义域是 R,所以二者不是同一函数;对于(2),若 x=1 不是 y

=f(x)定义域的值,则直线 x=1 与 y=f(x)的图象没有交点,如果 x=1 是 y=f(x)定 义域内的值, 由函数定义可知, 直线 x=1 与 y=f(x)的图象只有一个交点, 即 y=f(x)的图象与直线

x
=1 最多有一个交点;对于(3),f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应关系均相同,所以

f(x)

?1? ?1 ? ?1? 和 g(t)表示同一函数;对于(4),由于 f? ?=? -1?-? ?=0, ?2? ?2 ? ?2? ? ?1?? 所以 f?f? ??=f(0)=1. ? ?2??
综上可知,正确的判断是(2)(3). 探究提高 函数的三要素:定义域、值域、对应关系.这三要素不是独立的,值域可由 定义域和对应关系唯一确定; 因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函 数. 特别值得说明的是, 对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同, 只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值, 按照这两个对应关系算出的函 数值是否相同)不是指形式上的.即对应关系是否相同,不能只看外形,要看本质;若 是用解析式表示的,要看化简后的形式才能正确判断.
4

已知 a,b 为两个不相等的实数,集合 M={a -4a,-1},N={b -4b+1, -2},f:x→x 表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x,则 a+b 等于 A.1 答案 D 解析
?a -4a=-2, ? 由已知可得 M=N,故? 2 ?b -4b+1=-1 ?
2 2

2

2

(

)

B.2

C.3

D.4

?a -4a+2=0, ? ?? 2 ?b -4b+2=0, ?

2

所以 a,b 是方程 x -4x+2=0 的两根,故 a+b=4. 题型二 求函数的解析式

?2 ? 【例 2】 (1)已知 f? +1?=lg x,求 f(x); ?x ?
(2)设 y=f(x)是二次函数, 方程 f(x)=0 有两个相等实根, 且 f′(x)=2x+2, 求 f(x) 的解析式; (3)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数 f(x)的解析 式. 思维启迪:求函数的解析式,要在理解函数概念的基础上,寻求变量之间的关系. 解 2 2 (1)令 t= +1,则 x= , x t-1 2 2 ,即 f(x)=lg . t-1 x-1
2

∴f(t)=lg

(2)设 f(x)=ax +bx+c (a≠0), 则 f′(x)=2ax+b=2x+2,∴a=1,b=2, ∴f(x)=x +2x+c. 又∵方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴Δ =4-4c=0,c=1,故 f(x)=x +2x+1. (3)当 x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1).① 以-x 代替 x 得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).② 由①②消去 f(-x)得,
2 2

f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1).
探究提高 函数解析式的求法 (1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以

2 3

1 3

x 替代 g(x),便得 f(x)的解析式;
(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范 围;
5

?1? (4)消去法:已知关于 f(x)与 f? ?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外 x ? ?
一个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x). (2012·武汉模拟)给出下列两个条件: (1)f( x+1)=x+2 x; (2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出 f(x)的解析式. 解 (1)令 t= x+1,∴t≥1,x=(t-1) .
2 2 2

则 f(t)=(t-1) +2(t-1)=t -1, ∴f(x)=x -1 (x≥1). (2)设 f(x)=ax +bx+c (a≠0),又 f(0)=c=3. ∴f(x)=ax +bx+3, ∴f(x+2)-f(x)=a(x+2) +b(x+2)+3-(ax +bx+3)=4ax+4a+2b=4x+2.
?4a=4 ? ∴? ? ?4a+2b=2
2 2 2 2 2 2

,∴?

?a=1 ? ? ?b=-1



∴f(x)=x -x+3. 题型三 函数的定义域 【例 3】 (1)函数 y= ln?

x+1? 的定义域为______________. -x -3x+4
2

(2) 若 函 数 y = f(x) 的 定 义 域 是 [0,2] , 则 函 数 g(x) = ( ) A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)

f? 2x? 的定义域是 x-1

思维启迪: 函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; 抽象函数的定义域要 注意自变量的取值和各个字母的位置. 答案 (1)(-1,1) (2)B
? ?x+1>0 解析 (1)由? 2 ?-x -3x+4>0 ? ? ?0≤2x≤2, (2)依已知有? ?x-1≠0, ?

,得-1<x<1.

解之得 0≤x<1,定义域为[0,1).故选 B. 探究提高 (1)求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列 出不等式或不等式组,然后求出它们的解集. (2)已知 f(x)的定义域是[a,b],求 f[g(x)]的定义域,是指满足 a≤g(x)≤b 的 x 的取

6

值范围,而已知 f[g(x)]的定义域是[a,b],指的是 x∈[a,b]. (1)若函数 f(x)= __________.

x -4 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是 mx +4mx+3
2

? 3? 答案 ?0, ? 4 ? ?
2

解析 f(x)的定义域为 R,即 mx +4mx+3≠0 恒成立. ①当 m=0 时,符合条件. ②当 m≠0 时,Δ =(4m) -4×m×3<0, 3 即 m(4m-3)<0,∴0<m< . 4
2

? 3? 综上所述,m 的取值范围是?0, ?. ? 4?
(2)已知 f(x)的定义域是[0,4],则 f(x+1)+f(x-1)的定义域是__________. 答案 [1,3]
? ?0≤x+1≤4 解析 由? ?0≤x-1≤4 ?

,得 1≤x≤3.

故 f(x+1)+f(x-1)的定义域为[1,3]. 题型四 分段函数
? x≤0, ?log2? 1-x? , 【例 4】 )定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? ?f? x-1? -f? x-2? , x>0, ?

则 f(2

014) 的值为________. 思维启迪:注意到 2 014 较大,较难代入计算求出值,所以可通过 x 取较小数值探究函 数 f(x)值的规律性,再求 f(2 014).也可以先用推理的方法得出 f(x)的规律性,再求

f(2 014).
答案 1 解析 方法一 由已知得

f(-1)=log22=1,f(0)=log21=0, f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1, f(3)=f(2)-f(1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=1, f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0, f(7)=f(6)-f(5)=-1,f(8)=f(7)-f(6)=-1,?,
所以 f(x)的值以 6 为周期重复出现, 因此,f(2 014)=f(4)=1.
7

方法二 ∵x>0 时,f(x)=f(x-1)-f(x-2), ∴f(x+1)=f(x)-f(x-1). 两式相加得 f(x+1)=-f(x-2), ∴f(x+3)=-f(x),f(x+6)=-f(x+3)=f(x), ∴f(x)的周期为 6. 因此,f(2 014)=f(6×335+4)=f(4)=1. 探究提高 求分段函数的函数值时,应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求

解,有时每段交替使用求值.若给出函数值求自变量的值,应根据每一段的解析式分别 求解,但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围.
?2 ,x≤2, ? 设函数 f(x)=? ?log81x,x>2, ?
-x

1 则满足 f(x)= 的 x 值为 4 ( )

A.2 C.2 或 3 答案 C

B.3 D.-2

1 1 -x 解析 当 x≤2 时,由 f(x)= ,得 2 = .解得 x=2. 4 4 1 1 当 x>2 时,由 f(x)= ,得 log81x= ,解得 x=3. 4 4 3.忽视函数的定义域 1 2 典例:求函数 y=log (x -3x)的单调区间. 3 易错分析 忽视函数的定义域,认为 x 的范围是全体实数,导致错误. 解 设 t=x -3x, 由 t>0, 得 x<0 或 x>3, 即函数的定义域为(-∞, 0)∪(3, +∞). 函 3 数 t 的对称轴为直线 x= ,故 t 在(-∞,0)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增. 2 1 1 2 而函数 y=log t 为单调递减函数,由复合函数的单调性可知,函数 y=log (x -3x) 3 3 的单 调递增区间是(-∞,0),单调递减区间是(3,+∞). 温馨提醒 函数的单调区间是函数定义域的子区间, 所以求解函数的单调区间, 必须先 求出函数的定义域.如果是复合函数,应该根据复合函数单调性的判断方法,首先判断 两个简单函数的单调性, 根据同增异减的法则求解函数的单调区间. 由于思维定势的原 因,容易忽视定义域,导致错误. 4.分段函数意义理解不清
2

8

?x +bx+c? ? 典例:设函数 f(x)=? ?2 ? x>0? ?

2

x≤0?

,若 f(-2)=f(0),f(-1)=-3,求关

于 x 的方程

f(x)=x 的解.
易错分析 (1)条件中 f(-2),f(0),f(-1)所适合的解析式是 f(x)=x +bx+c.所以 可构建 方程组求出 b,c 的值.(2)在方程 f(x)=x 中,f(x)用哪个解析式,要进行分类讨论, 不能忽视自变量的限制条件. 规范解答 解 当 x≤0 时,f(x)=x +bx+c,因为 f(-2)=f(0),
? ?? f(-1)=-3,∴? ? ??
2 2 2

-2? -1?

2 2

-2b+c=c -b+c=-3 , [6 分]

,解得?

? ?b=2, ? ?c=-2,

[4 分]

?x +2x-2? x≤0? ? ∴f(x)=? ?2 ? x>0? . ?

当 x≤0 时,由 f(x)=x 得,x +2x-2=x, 得 x=-2 或 x=1.由 x=1>0,所以舍去.[8 分] 当 x>0 时,由 f(x)=x 得 x=2,[10 分] 所以方程 f(x)=x 的解为-2、2.[12 分] 温馨提醒 (1)对于分段函数问题,是高考的热点.在解决分段函数问题时,要注意自 变量的限制条件. (2)就本题而言,当 x≤0 时,由 f(x)=x 得出两个 x 值,但其中的 x=1 不符合要求, 上述解法中没有舍去此值,因而导致了增解.分段函数问题分段求解,但一定注意各段 的限制条件.

2

方法与技巧 1.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域相同;二是对应关系相同. 2.定义域优先原则:函数定义域是研究函数的基础依据,对函数性质的讨论,必须在定 义域上进行. 3.函数的解析式的几种常用求法:待定系数法、换元法、配凑法、消去法. 4.分段函数问题要分段求解. 失误与防范 求分段函数应注意的问题:
9

在求分段函数的值 f(x0)时,一定要首先判断 x0 属于定义域的哪个子集,然后再代入相 应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.

(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1 . (2012· 山 东 ) 函 数 ( ) A.[-2,0)∪(0,2] C.[-2,2] 答案 B B.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,2]

f(x) =

1 ln? x+1?



4-x 的 定 义 域 为

2

x+1>0, ? ? 解析 由?ln? x+1? ≠0, ? ?4-x2≥0

得-1<x≤2,且 x≠0.

2 .

x +1,x≤1, ? ? (2012· 江 西 ) 设 函 数 f(x) = ?2 ,x>1, ? ?x
)

2



f(f(3)) 等 于

(

A.

1 5

B.3

2 C. 3

13 D. 9

答案 D 2 ?2? ?2?2 13 解析 由题意知 f(3)= ,f? ?=? ? +1= , 3 ?3? ?3? 9

?2? 13 ∴f(f(3))=f? ?= . ?3? 9
3 . ( ) A.-2x+1 C.2x-3 答案 D 解析 由 g(x)=2x+3,知 f(x)=g(x+2)=2(x+2)+3=2x+7. 4.若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|-2≤x≤2}, 值域为 N={y|0≤y≤2}, 则函数 y=f(x)
10



g(x) = 2x + 3 , g(x + 2) = f(x) , 则

f(x) 等 于

B.2x-1 D.2x+7

的图象可能是

(

)

答案 B 解析 可以根据函数的概念进行排除,使用筛选法得到答案. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 已知 f(x)=x +px+q 满足 f(1)=f(2)=0,则 f(-1)=________. 答案 6
?1 +p+q=0 ? 解析 由 f(1)=f(2)=0,得? 2 ? ?2 +2p+q=0
2 2



∴?

? ?p=-3 ?q=2 ?

,∴f(x)=x -3x+2.
2

2

∴f(-1)=(-1) +3+2=6. 6. 已知 f?

?1-x?=1-x ,则 f(x)的解析式为____________. ? ?1+x? 1+x2

2

2x 答案 f(x)= 2 1+x

?1-t?2 1-? ? 1-x 1-t 2t ?1+t? 解析 令 t= ,由此得 x= ,所以 f(t)= = 2,从而 f(x)的解析 1+x 1+t 1-t?2 1+t ? 1+? ? ?1+t?
式为 2x 2. 1+x
2

f(x)=

7. 若函数 f(x)= 2x +2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为________. 答案 [-1,0] 解析 由题意知 2x +2ax-a-1≥0 恒成立. ∴x +2ax-a≥0 恒成立, ∴Δ =4a +4a≤0,∴-1≤a≤0. 三、解答题(共 25 分) 8. (12 分)已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1.求函数 f(x)的解 析式. 解 设 f(x)=ax +bx+c (a≠0),又 f(0)=0, ∴c=0,即 f(x)=ax +bx.
11
2 2 2 2 2

又 f(x+1)=f(x)+x+1. ∴a(x+1) +b(x+1)=ax +bx+x+1. ∴(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1, 1 ? ?a=2 ,解得? 1 ? ?b=2
2 2

? ?2a+b=b+1 ∴? ?a+b=1 ?

1 2 1 .∴f(x)= x + x. 2 2

9. (13 分)记 f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合 M,函数 g(x)= 合 N, 求: (1)集合 M、N;(2)集合 M∩N,M∪N. 解
? ? 3? (1)M={x|2x-3>0}=?x|x> ?, 2? ?

1-

2

x-1

的定义域为集

≥0?={x|x≥3 或 x<1}; N=?x|1- x -1 ? ? 3 (2)M∩N={x|x≥3},M∪N={x|x<1 或 x> }. 2 B 组 专项能力提升 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 已知映射 f:A→B.其中 A=B=R,对应关系 f:x→y=-x +2x,对于实数 k∈B,在集 合 A 中不存在元素与之对应,则 k 的取值范围是 A.k>1 答案 A 解析 由题意知,方程-x +2x=k 无实数根,即 x -2x+k=0 无实数根.∴Δ =4(1 -k)<0,∴k>1 时满足题意.
?2 ,x>0, ? 2. (2011·福建)已知函数 f(x)=? ?x+1,x≤0, ?
x
2 2 2

2

?

( D.k≤1

)

B.k≥1

C.k<1

若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于

(

) A.-3 答案 A 解析 由题意知 f(1)=2 =2.∵f(a)+f(1)=0, ∴f(a)+2=0. ①当 a>0 时,f(a)=2 2 +2=0 无解; ②当 a≤0 时,f(a)=a+1,∴a+1+2=0,∴a=-3.
a, a
1

B.-1

C.1

D.3

12

?x ,|x|≥1, ? 3. 设 f(x)=? ?x,|x|<1, ?

2

g(x)是二次函数,若 f(g(x))的值域是[0,+∞),则 g(x)

的值域是 ( A.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.[0,+∞) 答案 C B.(-∞,-1]∪[0,+∞) D.[1,+∞) )

解析 f(x)的图象如图.

g(x)是二次函数,且 f(g(x))的值域是[0,+∞),∴g(x)的值域是[0,+∞).
二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 4. (2012·江苏)函数 f(x)= 1-2log6x的定义域为________. 答案 (0, 6]
?x>0, ? 解析 要使函数 f(x)= 1-2log6x有意义,则? ?1-2log6x≥0. ?

解得 0<x≤ 6. 5. 对任意两实数 a、b,定义运算“*”如下:a*b=? (3x- 2)*log2x 的值域为________. 答案 (-∞,0] 1 解析 f(x)=log2 *log2x 3x-2 1 log ? ? 3x-2 ? x≥1? =? 2 log x ? <x<1? ? ? 3
2 2

?a ?

? ?

a≤b? a>b?

? ?b

1 ,则函数 f(x)=log 2

.

1 ∴当 x≥1 时, ≤1,f(x)≤0; 3x-2 2 2 当 <x<1 时,log2 <f(x)<0. 3 3 ∴f(x)的值域为(-∞,0].
13

?2x+a,x<1, ? 6. (2011·江苏)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? ?-x-2a,x≥1. ?

若 f(1-a)=f(1+a),

则 a 的值 为______. 3 答案 - 4 解析 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 所以 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a;

f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2.
因为 f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2, 3 所以 a=- . 4 当 a>0 时,1-a<1,1+a>1, 所以 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a;

f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1.
因为 f(1-a)=f(1+a), 3 所以 2-a=-3a-1,所以 a=- (舍去). 2 3 综上,满足条件的 a 的值为- . 4 三、解答题(13 分)
? ?x-1,x>0 2 7. 已知 f(x)=x -1,g(x)=? ?2-x,x<0 ?

.

(1)求 f(g(2))和 g(f(2))的值; (2)求 f(g(x))和 g(f(x))的解析式. 解 (1)∵g(2)=1,∴f(g(2))=f(1)=0,

∵f(2)=3,∴g(f(2))=g(3)=2. (2)f(g(x))=(g(x)) -1
? ?? =? ?? ?
2

x-1?
2-x?

2

-1, x>0 -1, x<0
2

2

.

? ?x -2x,x>0 ∴f(g(x))=? 2 ?x -4x+3,x<0 ?

.

g(f(x))=?

? f? ?

x? -1,f? x? >0 x? ,f? x? <0

?2-f? ?

.

14

?? x -1? -1,x -1>0 ? =? 2 2 ?2-? x -1? ,x -1<0 ?
2

2

2

.

? ?x -2,x >1或x <-1 ∴g(f(x))=? 2 ?3-x ,-1< x <1. ?

15


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