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31 和差化积与积化和差


课题

教 学 目 标

课型 新 知识与技能: 1.三角函数的积化和差与和差化积,这两种互化,对于求三角函数的值、化商三角函数 式及三角函数式的恒等变形,都有重要的作用,它们的作用和地位在三角函数值的变形中 是十分重要的. 2. 积化和差与和差化积公式的推导过程本身也运用了许多重要的教学思想和方法, 在课堂 教学中应作为重要一环给予足够的重视. 过程方法与能力: 培养逆向思维能力初步理解解析法解决问题的方法,培养学生运用数学工具在实践中探索 知识,进而获取知识的能力 培养探索和创新的能力和意识 探究发现
王新敞
奎屯 新疆

和差化积与积化和差

课时

1

王新敞
奎屯

新疆

情感态度与价值观: 培养探索和创新的能力和意识 探究发现,通过本节的学习,理解并掌握三角函数各个公式 的灵活变形, 体会公式所蕴涵的和谐美, 增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.
王新敞
奎屯 新疆

重 点 分 析 难 点 分 析 学法 教具 板 书 设

理顺三角公式变换的相互关系,掌握积化和差与和差化积公式的推导过程, 并能用它们 解决一些实际问题, 以及用好用活

(1)公式的推导.(2)公式的应用.(3)三角式的恒等变换的一般规律.

三角板 投影仪

和差化积与积化和差

一、公式内容:

四、例题


五、练习题讲解: 二、公式变形
三、逆用公式

教 学 过 程 与 内 容 一、复习和、差角的正弦与余弦公式 师:前阶段我们已学习了和差、倍、半角的三角函数的公式,请问学生回忆一下这 些三角公式的推导,变换过程. 生:所有这些三角公式都是从一个公式演化而来的,主要是证明了两角和的余弦函 数公式.之后,利用换元法以及诱导公式,同角三角函数之间的关系等而导出一系列公 式来,他们相互之间是有紧密关系的. 师:和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式,它们在解决三角恒等变 换等方面有许多重要应用.但是,光是这些关系还不足以解决问题,今天我们还要进一 步把握它们的内在联系,寻求新的关系式. 二、讲解新课: 1.积化和差公式的推导 sin(? + ?) + sin(? ? ?) = 2sin?cos? ? sin?cos? =

师生活动

1 [sin(? + ?) + sin(? ? ?)] 2

sin(? + ?) ? sin(? ? ?) = 2cos?sin? ? cos?sin? =

1 [sin(? + ?) ? sin(? ? ?)] 2 1 [cos(? + ?) + cos(? ? ?)] 2 1 [cos(? + ?) ? cos(? ? ?)] 2

cos(? + ?) + cos(? ? ?) = 2cos?cos? ? cos?cos? =

cos(? + ?) ? cos(? ? ?) = ? 2sin?sin? ? sin?sin? = ?

这一组式子也有一共同特点,即,左式均是乘积形式,右式均为和差形式,利用这 一式可将乘积形式转化为和差形式,也可称为积化和差公式. 和差形式是否可以化为乘 积的形式呢?看这一例子. 2.和差化积公式的推导

2 ? ?? ? ?? 1 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? 1 sin cos ? [sin( ? ) ? sin( ? )] ? (sin ? ? sin ? ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ?? ? ?? cos ∴ sin ? ? sin ? ? 2sin 2 2 ? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2sin sin 2 2
这组式子的特点是左式为和差形式,右式为积的形式,所以这组式子也可称为和差 化积公式,只要求掌握这种推导方法,不要求记忆. 例题 1 求 sin75°·cos15°的值.

若令 ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ,则 ? ?

? ??
2

,? ?

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代入得:

教 学 过 程 与 内 容

师生活动

三、课堂练习
1.求 sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值。

解:sin20·cos70°+sin10°·sin50°

2.求 cos37.5°·cos22.5°的值。

解:cos37.5°·cos22.5°

4、证明 cos2α cosα —sin5α sin2α =cos4α ·cos3α .
利用积化和差公式,可得

学生练习、教师巡视、答疑,对一些有困难的学生作些提示,适当时候, 安排几个学生作板演. sin 40?(1 ? 2 cos 40?) 例 2:求值: 2 cos 2 40? ? cos 40? ? 1 sin 40? ? 2 sin 40? cos 40? sin 40? ? sin 80? ? 解:原式= cos 80? ? cos 40? cos 80? ? cos 40? 2 sin 60? cos 20? ? ? tan 60? ? 3 2 cos 60? cos 20?
例 3、 求 sin42°-cos12°+sin54°的值.

解:原式=sin42°-sin78°+sin54°=-2cos60°sin18°+sin54°

= sin54°-sin18°=2 cos36°sin18°. 师:进行到此,本题的化简能进行下去吗? 生:可试着使用正弦函数的倍角公式化简.

教 学 过 程 与 内 容

师生活动

2cos36°sin18°

补充练习: 1.求 cos20°+cos100°+cos140°. 解:原式=2cos60°cos40°+cos140°=cos40°+cos140°=0. 2.△ABC 中,求证 cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC. 证明:∵A、B、C 为△ABC 的三内角.∴A+B+C=π ,即 C=π -(A+B). ∴原式左边=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1 =2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1=2cos(A+B)[cos(A+B)+cos(A-B)]-1 =4cos(A+B)cosAcosC-1=-1-4cosAcosBcosC. 3.求 sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值.

4.求 cot70°+4cos70°的值. 分析:由于本题余切函数与余弦函数共存,∴首先应化切为弦,接着自然是要做通 分,最后再考虑分子的化简,由于分子的三角函数的系数不同,一拆为二就是必然的了. 5.已知:sin(A+B)= 求值: 1 ?

3 , 5

sin(A-B)=﹣

4 , 5

1 2 sin 2A ? sin 2 B ? cos 4 A . 4

6、求 tg20°+2tg40°+4tg10°-tg70°的值。 7、设 25sin x+sinx-24=0,x 是第二象限角,求 cos 反 馈 练 习
2

x 的值。 2

8、已知 sinα=

12 4 ? ,sin(α+β)= ,α, β均是锐角,求 cos 的值。 13 5 2

9、求 tan 10°+sec50°的值。

教 学 后 记

10、求 sin42°-cos12°+sin54°的值.
2 11、求 sin 20°+cos250°+sin20°·cos50°的值.


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