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几何模型解概率问题


几何模型解概率问题

等可能事件中的一类特殊情形——几何概型,是其中一个重要的知识点,本文对这个 内容进行分析与归纳,以帮助同学们了解考点变化,提升解题能力。 1. 几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这 样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型。

2. 几何概型的特点 (1)试验中所

有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; (2)每个基本事件出现的可能性相等。

3. 几何概型的计算 P(A) ?
构 成 事 件 A的 区 域 长 度 (面 积 或 体 积 ) 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 (面 积 或 体 积 )

例 1. 某人午觉醒来,发现表停了,电台半小时报时一次,他打开收音机,想听电台 报时,求他等待的时间不超过 10 分钟的概率。 分析:此问题等价于:将一个 30 厘米长的物体折成两部分,求其中一段长度不超过 10 厘米的概率是多少? 易求其概率为 P(A) ?
A的 长 度 B的 长 度 ? 10 30 ? 1 3



例 2. 两人相约 8 点到 9 点在某地会面,先到者等候另一人 20 分钟,过时就可离去, 试求这两人能会面的概率。 分析:以 x,y 分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为 | x ? y | ? 20 。 这是一个几何概型问题,可能的结果全体是边长为 60 的正方形里的点,能会面的点的区

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域用阴影标出(如图 1) 。所求概率为 P ?

g的 面 积 G的 面 积

?

60 ? 40
2

2

60

2

?

5 9



图1 例 3. 在单位圆的圆周上随机取三点 A、B、C,求 ? A B C 是锐角三角形的概率。 解法 1:记 ? A B C 的三内角分别为 ? , ? ,? ? ? ? ? ,事件 A 表示“ ? A B C 是锐角三 角形”,则试验的全部结果组成集合
? ? {( ? , ? )|0 ? ? , ? ? ? ,0 ? ? ? ? ? ? } 。

因为 ? A B C 是锐角三角形的条件是
0 ? ? ,? ?

?
2

且? ? ? ?

?
2

所以事件 A 构成集合
A ? { ( ? , ? )| ? ? ? ?

?
2

,0 ? ? , ? ?

?
2

}

由图 2 可知,所求概率为
1 ? 2 ( ) 1 A的 面 积 2 2 ? ? P( A) ? 。 1 2 4 ?的 面 积

?

2

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图2 解法 2:如图 3 所示建立平面直角坐标系,A、B、C 1 、C 2 为单位圆与坐标轴的交点, 当 ? A B C 为锐角三角形,记为事件 A。则当 C 点在劣弧 C 1 C 2 上运动时, ? A B C 即为锐 角三角形,即事件 A 发生,所以
1 P( A) ? 4 2? ? 2? ?

1 4

图3 解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形, 利用图形的几何度量来求随机 事件的概率。

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