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2012年高考文科数学解析分类汇编:概率


2012 年高考文科数学解析分类汇编:概率
一、选择题 1 . (2012 年高考(辽宁文) 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 )

C. 现作一矩形,邻边长

分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20cm 的概率为 : A.
1 6

2

( B.
1 3



C.

2 3

D.

4 5

?0 ? x ? 2 2 . (2012 年高考(北京文) 设不等式组 ? ) 表示的平面区域为 ?0 ? y ? 2

D.在区域

D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 ( ) ? ? ?2 ? 4?? A. B. C. D.
4
2

6

4

3 . (2012 年高考(安徽文) 袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球 ,其中有 1 个红球,2 个 )

白球和 3 个黑球,从袋中 任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 A.
1


3 5



B.

2 5

C.

D.

4 5

5 二、填空题

4 . (2012 年高考(浙江文) 从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两 )

点,则该两点间的距离为

2 2

的概率是___________.

5 . (2012 年高考(上海文) 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个 )

项目,则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示).
三、解答题 6 . (2012 年高考(重庆文) (本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 6 分) )

甲、 乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,一直每人都已投球 3 次时投篮结束,设甲每次投篮投中的概率为
1 3

,乙每次投篮投中的概率为

1 2

,且各次投篮

互不影响.(Ⅰ)求乙获胜的概率;(Ⅱ)求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率.

7 . (2012 年高考(天津 文) 某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采取分层抽样的方 )

法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (II)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, (1)列出所有可能的抽取 结果; (2)求抽取的 2 所学校均为小学的概率.

8 . (2012 年高考(四川文) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B , )

系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 源:www.shulihua.netZ+X+X+K] (Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
49 50

1 10

和 p .[ 来

,求 p 的值;

(Ⅱ)求系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.

9 . (2012 年高考(陕西文) 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了 )

解他们的使用寿命,现从两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计如 下:

(Ⅰ)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (Ⅱ)这两 种品牌产品中,,某个产品已使 用了 200 小时,试估计该产品是甲品牌的概率.

10. (2012 年高考(山东文) 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡 )

片两张,标 号分别为 1,2. (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张, 求这两张卡片颜 色不同且标号之和小于 4 的概率.

11. (2012 年高考(课标文) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以 )

每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝,n∈N)的函数解析式. (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日 需 求 14 15 16 17 18 19 20 量

n

频 10 20 16 16 15 13 10 数 (i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均 数;[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net] (ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的 概率,求当天的利润不少于 75 元的概率.

12

如 图 , 从 A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0,)B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点.
. ( 2012 年 高 考 ( 江 西 文 ) )

(1) 求这 3 点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率; (2) 求这 3 点与原点 O 共面的概率.

13. (2012 年高考(湖南文) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随 )

机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示.[来源:数理化网] 一次购物 量 1 至 4 件
x

5 至 8 件 30 1.5

9至 12 件 25 2

13 至 16 件
y

17 件 及以 上 10 3

顾 客 数 (人) 结算时间 ( 分 钟 / 人 )[ 来 源:数理 化网]

1

2.5

已知这 100 位顾客中 的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将频率视为概率) ... [来源:www.shulihua.net]

14. (2012 年高考(大纲文) 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续 )

发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次轮换.每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲. 乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0 .6 ,各次发球的胜负结果相互独立,甲、 乙的一局比赛中,甲先发球. (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲.乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ)求开始第 5 次发球时,甲得分领先的概率.

15. (2012 年 高考(安徽文) 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1mm 时,则视 )

为合格品,否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随

机抽取 5000 件进行检测,结果发现有 50 件不合格品.计算这 50 件不合格品的直径长与 标准值的差(单位:mm), 将所得数据分组, 得到如下频率分布表: 分组 [-3, -2) [-2, -1) (1,2] (2,3] (3,4] 合计 50 1 10 8 0.5 频数 频率 0.1

(Ⅰ)将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置; (Ⅱ)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的 概率; (Ⅲ)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有 20 件不合格品.据此估算这批 产品中 的合格品的件数.

2012 年高考文科数学解析分类汇编:概率参考答案 一、选择题 1.

【答案】C 【解析】设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为( 1 2 ? x )cm,那么矩形的面积为
x (1 2 ? x ) cm ,
2

由 x (1 2 ? x ) ? 2 0 ,解得 2 ? x ? 1 0 .又 0 ? x ? 1 2 ,所以该矩形面积小于 32c m 的概率为
2 3

2

,故选 C

【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问 题的能力,属于中档题. 2. 【答案】D 【解析】题目中 ?
?0 ? x ? 2 ? ?0 ? y ? 2 ?

表示的区域表示正方形区域,而动点 D 可以存在的位置为正
1

2?2 ?

? ?2

2

方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此 p ?

4 2?2

?

4?? 4

,故选 D

【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公 式、概率. [来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]
3.

【解析】选 B

1 个红球,2 个白球和 3 个黑球记为 a1 , b1 , b 2 , c1 , c 2 , c 3
a 1 , b1 ; a 1 , b 2 ; a 1 , c1 ; a 1 , c 2 ; a 1 , c 3 ; b1 , b 2 ; b1 , c1 ; b1 , c 2 ; b1 , c 3 b 2 , c1 ; b 2 , c 2 ; b 2 , c 3 ; c1 , c 2 ; c1 , c 3 ; c 2 , c 3

从袋中任取两球共有

15 种;

满足两球颜色为一白一黑有 6 种,概率等于
二、填空题 4.

6 15

?

2 5

【答案】

2 5

【命题意图】本题主要了以正方形中某些点为背景的随机事件的概率问题. 【解析】若使两点间的距离为
2 2

,则为对角线一半,选择点必含中心,概率为

C4 C5

1 2

?

4 10

?

2 5

. [来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

5.

[解析] 设概率 p= k ,则 n ? C 3 ? C 3 ? C 3 ? 27 ,求 k,分三步:①选项目相同的二人,有 C 3 n
1 1 1 1
1

2

种;②确定上述二人所选相同的项目,有 C 3 种;③确定另一人所选的项目,有 C 2 种. 所以
k ? C 3 ? C 3 ? C 2 ? 18 ,故 p= 18 ? 27
2 1 1

2 3

.

三、解答题 6.

【答案】:(Ⅰ)

13 27

(Ⅱ)

4 27

独立事件同时发生的概率计算公式知 p ( D ) ? p ( A1 B1 A2 B 2 ) ? p ( A1 B1 A2 B 2 A3 )
? p ( A1 ) p ( B1 ) P ( A 2 ) P ( B 2 ) ? p ( A1 ) p ( B1 ) P ( A 2 ) P ( B 2 ) p ( A3 )
2 2 1 2 2 2 1 2 1 4 ? ( ) ( ) ?( ) ( ) ? 3 2 3 2 3 27

7.

解:(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1 (2)①在抽取到的 6 年学校中,3 所小学分别记为 A1 , A 2 , A3 ,2 所中学分别记为 A 4 , A5 ,大 学 记 为
A6

, 则 抽 取

2

所 学 校 的 所 有 可 能 结 果 为 ,

? A1 , A2 ? , ? A1 , A3 ? , ? A1 , A4 ? , ? A1 , A5 ? , ? A1 , A6 ?

? A 2 , A3 ? , ? A 2 , A 4 ? , ? A 2 , A 5 ? , ? A 2 , A 6 ? , ? A 3 , A 4 ? , ? A 3 , A 5 ? ? A3 , A6 ? , ? A4 , A5 ? , ? A4 , A6 ? , ? A5 , A6 ? ,共 15 种.

,

②从 6 年学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B )的所有可能结果为

? A1 , A2 ? , ? A1 , A3 ? , ? A2 , A3 ? ,共 3 种,所以 P ( B ) ?
8.
1 10 49 50 1 5

3 15

?

1 5

.

[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么 1-P(C)=1P= ,解得 P= 6 分

(2)设“系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为 事件 D, 那么 P(D)= C 3
2

1 10

? (1 ?

1 10

) ? (1 ?
2

1 10

) ?
3

972 1000

?

243 250

答:检测中不发生故障的次数大于发生故障的 次数的概率为

243 250

.

[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算,考查 运用概率知识与方法解决实际问题的能力.

9. 10.解:(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种:红 1 红 2,红 1 红 3,红 1 蓝 1,红 1

蓝 2,红 2 红 3,红 2 蓝 1,红 2 蓝 2,红 3 蓝 1,红 3 蓝 2,蓝 1 蓝 2.其中两张卡片的颜色不同且标号 之和小于 4 的有 3 种情况,故所求的概率为 P
? 3 10

.

(II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的 10 种情况外,多 出 5 种情况:红 1 绿 0,红 2 绿 0,红 3 绿 0,蓝 1 绿 0,蓝 2 绿 0,即共有 15 种 情况,其中颜色不同 且标号之和小于 4 的有 8 种情况,所以概率为 P
? 8 15

.

11. 【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事

件的和概率,是简单题.

【解析】(Ⅰ)当日需求量 n ? 17 时,利润 y =85; 当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 10 n ? 85 ,
?1 0 n ? 8 5, n ? 1 7 , ? 8 5, n ? 17,

∴ y 关于 n 的解析式为 y ? ?

(n ? N ) ;

(Ⅱ)(i)这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元,16 天的日利润为 75 元,54 天的日利润为 85 元,所以这 100 天的平均利润为
1 100 (5 5 ? 1 0 ? 6 5 ? 2 0 ? 7 5 ? 1 6 ? 8 5 ? 5 4 ) =76.4;

(ii)利润不低于 75 元当且仅当日需求不少于 16 枝,故当天的利润不少于 75 元的概率为
p ? 0 .1 6 ? 0 .1 6 ? 0 .1 5 ? 0 .1 3 ? 0 .1 ? 0 .7

12. 【解析】(1)总的结果数为 20 种,则满足条件的种数为 2 种所以所求概率为

2 20

?

1 10

[ 为

(2)















( A1 , A 2 , B1 ) , ( A1 , A 2 , B 2 ) , ( A1 , A 2 , C 1 ) , ( A1 , A 2 , C 2 ) , ( B1 , B 2 , A1 ), ( B1 , B 2 , A 2 ) , ( B1 , B 2 , C 1 ) , ( B1 , B 2 , C 2 ) ,, ( C 1 , C 2 , A1 ), ( C 1 , C 2 , A 2 ), ( C 1 , C 2 , B1 ), ( C 1 , C 2 , B 2 ) , 所 以 所 求 概 率 为
1 2 2 0 ? 3 5

.

13. 【解析】(Ⅰ)由已知得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35,? x ? 15, y ? 20 ,该超市所有顾客一

次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个 容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其 估计值为:
1 ? 1 5 ? 1 .5 ? 3 0 ? 2 ? 2 5 ? 2 .5 ? 2 0 ? 3 ? 1 0 100 ? 1 .9 (分钟).

(Ⅱ)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”, A1 , A 2 , A3 分别表示事 件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为 1 .5 分

钟”, “该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率,得
P ( A1 ) ? 15 100 ? 3 20 , P ( A2 ) ? 30 100 ? 3 10 , P ( A3 ) ? 25 100 ? 1 4

.

? A ? A1 ? A2 ? A3 , 且 A1 , A2 , A3 是互斥事件, ? P ( A ) ? P ( A1 ? A 2 ? A3 ) ? P ( A1 ) ? P ( A 2 ) ? P ( A3 ) ?
3 20 7 10 ? 3 10 ? 1 4 ? 7 10

.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为

.

【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统 计 表 和 100 位 顾 客 中 的 一 次 购 物 量 超 过 8 件 的 顾 客 占 55%, 知
2 5 ? y ? 1 0 ? 1 0 0 ? 5 5 % , x ? y ? 3 5, 从而解得 x , y ,再用样本估计总体,得出顾客一次

购物的结算时间的平均值的估计值;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而 求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率. ...
14. 【命题意图】 本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解.首先要理解发球的具体情

况,然后对于事件的情况分析,讨论,并结合独立事件的概率求解结论. 解 : 记
Ai

为 事 件 “ 第 .

i

次 发 球 , 甲 胜 ”,i=1,2,3, 则

P ( A1 ) ? 0 .6, P ( A2 ) ? 0 .6, P ( A3 ) ? 0 .4

(Ⅰ)事件“开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 ”为 由互斥事件有一个发生的概率加法公式得
P ( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 )
? 0.352 .

A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3

,

? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.4

即开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率为 0.352 (Ⅱ)五次发球甲领先时的比分有: 3 : 1, 4 : 0 这两种情况 开始第 5 次发球时比分为 3 : 1 的概率为:

C 2 0 .6 ? C 2 0 .4 ? 0 .6 ? C 2 0 .6 ? 0 .4 ? C 2 0 .4 ? 0 .1 7 2 8 ? 0 .0 7 6 8 ? 0 .2 4 9 6
2 2 1 1 2 2

开始第 5 次发球时比分为 4 : 0 的概率为:
C 2 0 .6 ? C 2 0 .4 ? 0 .0 5 7 6
2 2 2 2

故求开始第 5 次发球时,甲得分领先的概率为 0.2496 ? 0.0576 ? 0.3072 . 【点评】首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上 求解进行分类讨论的思想的运用.情景比较亲切,容易入手,但是在讨论情况的时间,容 易丢情况. 15. 【解析】(I) 分组 [-3, -2)[来 源:www.shulihua.netwww.shuli hua.net] [-2, -1) (1,2] (2,3] (3,4] 合计 频数
5

频率 0.1
0.16

8
25

0.5
0 .2 0 .4

10
2

50

1

(Ⅱ)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为 0 .5 ? 0 .2 ? 0 .7 (Ⅲ)合格品的件数为 2 0 ?
5000 50 ? 2 0 ? 1 9 8 0 (件)

答:(Ⅱ)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为 0 .7 (Ⅲ)合格品的件数为 1 9 8 0 (件)


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