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2013届南通高三数学二轮复习:专题一 集合与常用逻辑用语(1)


专题一

集合与常用逻辑用语(1)

(解决集合与其它知识交汇问题) 考试说明要求:对集合及其表示要求是 A 级:对子集、交集、并集、补集要求是 B 级。 高考试题应用:纯集合一般在前 3 题中出现,主要考查集合的性质和运算,重点是集合中元 素的性质,集合和集合的关系,但很多试题呈现方式或所求结论的形式要用集合. 解决问题指南:首先对代表元

素维数确认(数集、点集或某类图形) ,再研究元素的性质, 然后确定处理此类问题的方法。注意函数的定义域、值域、方程、不等式、曲线间的相交等 问题。当心搞错元素与集合的关系、集合与集合间的关系,经常用到数形结合法和分类讨论 及求补(反证)法。 一、能力展示 1.已知集合 P ? {x | x ? 3或x ? ?1}, S ? {x | x ? ?a或x ? ?1} .如果 x ? S , 那么x ? P ,则实数 a 的取值范围为 . .

2.若集合 {( x, y) | x ? y ? 2 ? 0且x ? 2 y ? 4 ? 0} ? {( x, y) | y ? 3x ? b} ,则 b =

3. P, Q 是两个非空集合, 设 定义集合 P ? Q ? {a ? b | a ? P, b ? Q}.若P ? {0,2,5}, Q ? {1,2,6} ,

P ? Q 中的元素有

个.

4.设集合 M ? {x | x ? 3m ? 1, m ? Z}, N ? {x | x ? 3n ? 2, n ? Z}, x0 ? M , y0 ? N . 现有下列四个

x0 y0与M , N 的关系:① x0 y0 ? M ;② x0 y0 ? N ;③ x0 y0 ? M ;④ x0 y0 ? N . 其中关系正确
的序号为 二、能力培养 1 . 已 知 方 程 x2 ? p ? x .

0q 的 两 个 不 相 等 实 根 为 ? , ? ?

, 集 合

A ? {? , ? } ? B,

{ 2 , C ? , 5 , 6 } A,? C { 1 A, 2 ?, 3p,,q 的值. , 4 ? A ? ? ,求 B 4 }

,

( , )| 2 1 | } , 2. 已知集合 A ? {( x, y) | x2 y 2 ? 4, x ? N, y ? N且x ? y} , S ? { xy | x|, | ? y 且

?

C求 A

S

?

(变题)已知集合 A ? {( x, y) | x2 y 2 ? 4, x ? N , y ? N}, 且S ? {( x, y) | x ? 2, y ? 1, x ? N, y ? N} , 在集合 A ? S 中任取一个元素 z ,则 z ? A 的概率等于 .

1

2 2 2 2 a 3 . 设 a1 , a2 , a3 , a4 ,为 5 自 然 数 , A ? {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 }, B ? {a12 , a2 , a3 , a4 , a5 }, 且

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,并满足 A ? B ? {a1 , a4 }, a1 ? a4 ? 10, A ? B 中各元素之和为 256,求集
合 A. 三、能力测评 1.集合 M ? {x | x ? 3k , k ? Z }, P ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z }, Q ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z } ,若 a ? M ,

b ? P, c ? Q, 则a ? b ? c ?

(从 M , P, Q, M ? P 中选一个)

2.若集合 A ? {( x, y) | y ? 1 ? 4 ? x2 }, B ? {( x, y) | y ? k ( x ? 2) ? 4} ,当集合 A ? B 有 3 个真 子集时,实数 k 的取值范围是 .

3.已知集合 A ? {x | x ? m2 ? n2 , m ? Z , n ? Z}. 求证:偶数 4k ? 2(k ? Z ) 不属于 A.

专题一

集合与常用逻辑用语(1)
. . 个.

1.数集 {0,1, x2 ? x}中的x 不能取的数值为

2.若集合 M ? {a, b, c} 中的元素是 ?ABC 的三边长,则 ?ABC 一定不是

3. 已知 A ? {?1,0,1} ? {0,1}, A ? {?2,0, 2} ? {?2,0,1, 2} , 则满足上述条件的集合 A 共有

4. 集合 A 中的代表元素设为 x , 集合 B 中的代表元素设为 y, 若 ?x ? B且?y ? A , A与 B 的 则 关系是 .

5.含有三个实数的集合既可表示为 {a, ,1} ,又可表示为 {a2 , a ? b,0} ,则 a 2012 ? b2012 的值 为 .

b a

6.设全集 U ? R, A ? {x |

x?2 3 ? 0}, B ? {x | sin x ? } ,则 A ? B = x ?1 2
2

.

7 . 设 集 合 A ?{ 1 , a , ? } , 3 B

a, 1 , 是}否 存 在 这 样 的 实 数 a , 使 得 { 问

A ? B ? 1 , a2 ,与 } ? { a A

? 同时成立?若存在,求出实数 a ;若不存在,说明理由. B { 1a } ,

8 . a , b 均 为 实 数 , 设 数 集 A ? { x | a ? x ? a ?1} , B ? { x | b? 1? x ? b} 且 A, B 都 是 集 合 ,

{x | ? 1? x ? 1} 的子集.
(1)求 a , b 的取值范围; (2)如果把 n ? m 叫做集合 {x | m ? x ? n} 的“长度” ,当集合 A ? B 的“长度”取得最大时, 求 a 关系 b 的解析式.
2

9.设二次方程 x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0和x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的解集分别为 A和B. (1)若 A ? B ? A ? B ,求实数 a 的值; (2)若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

且 ? 10 . 集合 A ? {( x, y) | x2 ? mx ? y ? 2 ? 0} , 集 合 B ? {( x , y _ | x? y? 1? 0, 0 x ? 2} 又 ,
A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围.

专题一
一、能力展示

集合与常用逻辑用语(1)

1.分析;这是数集,如果 x ? S , 那么x ? P 可转化为 S ? P ,用数形结合法.答案: a ? ?3 2.分析:这是点集,实际上是两直线交点在第三条直线上.答案:2 3.分析:这是一种新定义的集合算,用列举法写出 a ? b 的值.答案:8 4 . 分 析 : 这 是 一 个 简 单 数 论 , 关 键 是 化 成 M 或N 中 元 素 的 形 式 ,

x0 y0 ? 9mn ? 6m ? 3n ? 2 ? 3(3mn ? 2m ? n) ? 2 ? N . 答案:②③
精要点评: 第 1 题:易错点:端点问题. 第 3 题:易错点:因为求元素的个数不是求出元素,故易忘元素的互异性. 第 4 题:用逻辑关系: a ? A.若A ? B ? ? ,则必有 ? B ,快速得出③成立.其他必不成立. 二、能力培养 1.分析:由 A ? C ? A知A ? C, 又A ? {? , ? }, 则? ,? ? C, 而A ? B ? ? ,故 ? ? ? , ? ? B. 显然 即属于 C 又不属于 B 的元素只有 1 和 3.不妨设 ? ? 1, ? ? 3. 对于方程 x2 ? px ? q ? 0 等价于

( x ? 1)( x ? 3) ? 0, 解得 : p ? ?4, q ? 3
2 . 分 析 ; 由

A ? {( x, y) | x2 y 2 ? 4, x ? N, y ? N且x ? y}, 得A ? {(2,1)}
2 , | | 1 } ,





S ? { ( x , y ? x| | 得| y ) ? S ? { (? 2 ? , 1? ) ,

( 得 2 SC, 1A ) , ?

( 2 , ,? 1 )? , } ( ? , ?1 ) } ? 1 ) 2

{ (

2

3

(变题)分析: A ? {(2,1),(1, 2)} 共 2 个元素, S{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)} ,

A ? S ? {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1, 2),(2,0),(2,1)} ,共 7 个元素.所求的概率为

2 . 7

3 . 分 析 : 由 A ? B ? {a1 , a4 } , 且 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a.5 所 以 只 可 能 a1 ? a12 ,即a1 ? 1. 由

a1 ? a4 ? 10, 得 a4 ? 9 ,且 a4 ? 9 ? ai2 (2 ? i ? 3), a2 ? 3 或 a3 ? 3.
2 当 a3 ? 3 时, a2 ? 2 ,此时 A ? {1,2,3,9, a5}, B ? {1,4,9,81, a5 } . 2 2 2 因 a5 ? a5 ,故 1 ? 2 ? 3 ? 9 ? 4 ? a5 ? 81 ? a5 ? 256 ,从而 a5 ? a5 ? 156 ? 0 ,解得 a5 ? 12. 得

A ? {1,2,3,9,12}
2 2 当 a2 ? 3 时,此时 A ? {1,3, a3 ,9, a5 }, B ? {1,9, a3 ,81, a5 } 2 2 2 2 因 1 ? 3 ? 9 ? a3 ? a5 ? 81 ? a3 ? a5 ? 256 ,从而 a5 ? a5 ? a3 ? a3 ? 162 ? 0 .

因为 a2 ? a3 ? a5 , 则3 ? a3 ? 9.当a3 ? 4,6,7,8 时, a 5 无整数解. 当 a3 ? 5 时, a5 ? 11得A= {1,3,5,9,11} 所求的 A ? {1,2,3,9,12}或A ? {1,3,5,9,11}. 方法指导: 第 1 题:在诸多条件中怎么样抓住主要条件,其功夫在审题.不相等实根等价于 A ? ? ,
A ? C ? A 等价于 A ? C ,从而找到解题入口.

第 2 题: (变题)本题看上去简单实际上易错.主要是 x ? N 中少 x ? 0 ,最好用数形结合法。 第 3 题:在审题中对显性条件作等价变换(必须等价) ,挖掘隐性条件是正确快速找到解题 入口的关键.本题的关键词是:①自然数;② a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ;③ A ? B ? {a1 , a4 }, ④

a1 ? a4 ? 10. 所用方法是分类讨论法,注意最后的答案要“有分必合”.
三、能力测评 1.分析: a ? b ? c ? 3k1 ? 3k2 ? 3k3 ? 1 ? 3(k1 ? k2 ? k3 ) ? 3n ? 1 ,答案: Q 2.分析:集合 A 表示半圆,集合 B 表示过定点的直线,集合 A ? B 有 3 个真子集等价于有 2 个元素,即直线与半圆有两个不同的交点.答案:

5 3 ?k ? . 12 4

3.分析:设 4k ? 2 ? A ,得存在 m, n ? Z . 使 4k ? 2 ? m2 ? n2 成立. (m ? n)(m ? n) ? 4k ? 2 , 当 m, n 同奇或同偶时, m ? n, m ? n 均为偶数
4

? (m ? n)(m ? n) 为 4 的倍数,与 4k ? 2 不是 4 倍数矛盾.
当 m, n 同分别为奇,偶数时, m ? n, m ? n 均为奇数

(m ? n)(m ? n) 为奇数,与 4k ? 2 是偶数矛盾,? 4k ? 2 ? A
防错机制: 第 1 题:因是填空题,有的可用特殊值法解决,但特殊法具有局限性,不具备普通性. 第 2 题:用数形结合法时必须注意两点:①要特别重视式的特征和形的特点;②形、式必须 对应,不能有半点的马虎. 第 3 题:求补法一般用于正面不好求的情形,若正反两面求法难易相当时还是从正面下手. 反证法与求补法是同功异法,正面说不清时从反面下手. 三、能力提升 1.分析:由元素的互异性可知 x 2 ? x ? 0且x 2 ? x ? 1 ,答案: 0,1, 2.分析:由元素的互异性可知 a ? b ? c ,答案,等腰三角形

1? 5 2

} 3.分析:由 A ? {?1,0,1} ? {0,1} ,得 A 中必有 0,1,而没有 1,由 A ? {?2,0,2
2,0,1,2} ,答案:4 得 A 中还可能有-2,2,即 {0,1},{0,1, ?2},{0,1,2},{ ?
4.分析: ?x ? B 等价于 A ? B, ?y ? A 等价于 A ? B ,答案: B ? A 5.分析:必然结果是 a ? ?1 ,从而 b ? 0 ,答案:1 6.分析:用数形结合法,先作 y ? sin x ?

= {?2,0,1, 2} ,

3 3 ? ,y? 的图象,再在 (?1, 2) 上,答案:[ ,2) 2 2 3

7.分析:先确定一种情况,如:假设存在,则由 A ? B ? {1, a} ,得 a2 ? a,即a ? 0或a ? 1 当

a ? 0时A ? B ? {1, a, a2 } ,当 a ? 1 时都不成立,故不存在这样的实数.
?a ? ?1 ?b ? 1? ? 1 ? 8 . 分 析 : 1 ) A, B 都 是 集 合 {x |? 1 x ? 1} 子 集 , ? ( 的 解得 和? ?a ? 1 ? 1 ?b ? 1 ?a ? b ? 1 ?1 ? a ? 0 , ? b ? /(2)? 集合 A与 B 的长度相等为 1,?当? 0 1 时 A ? B 的“长度” ?a ? 1 ? b
取得最大时,即 a ? b ? 1(0 ? b ? 1) 9.分析: (1)由 A ? B ? A ? B ,得 A ? B ,解得 a ? 5 ; (2)由 A ? B ? B , 得A ? B ,当 A

2 57 2 57 2 57 或a ? ,当 A 为非空集合时,解得 a ? ? (不合题意) 3 3 3 2 57 2 57 或a ? 或a ? 5 或 a ? 5 ,综上,得 a ? ? 3 3
为空集时,解得 a ? ?

5

? x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 10.分析:方程组 ? 在 0 ? x ? 2 内有解,消去 y ,得 x2 ? ( m ? 1) x ? 0 在 x ? y ?1 ? 0 ?
x ? x ? 2 内有解, ? ? (m ? 1)2 ? 4 ? 0即m ? 3或m ? ?1.
若 m ? 3 ,则 x1 ? x2 ? 1 ? m ? 0, x1 x2 ? 1 ,方程只有负根, (舍弃) ; 若 m ? ?1, x1 ? x2 ? 1 ? m ? 0, x1 x2 ? 1 ,方程有两正根,且两根均为 1 或两根一个大于 1,一个 小于 1,即至少有一根在 [0, 2] 内,因此 {m | ?? ? m ? ?1} .

专题二

集合与常用逻辑用语(2)
(解决语言转换判断真伪问题)

考试说明要求:命题的四种形式要求是 A 级;充分条件、必要条件、充分必要条件的要求 是 B 级;简单的逻辑联结词 A 级;全称量词与存在量词 A 级。 高考试题应用:常用逻辑用语一般在前 8 题,不会单独命题,经常跟其他知识结合在一起, 在知识的交汇点处命题。以命题形式出现的较多,即充分与必要、任意与存在、 “非、且、 或” 。 解决问题指南: 充要条件的判断最好还原成原命题形式, 考虑命题的等价性, 用命题的转换、 逻辑推理解决问题。如果常用逻辑用语在大题中出现,那仅是“帽子” ,只要学会摘“帽子” (即语言转换)问题不难。 一、能力展示 1.已知条件 p, q, r, s ,其中 p是r 的必要条件, s是r 的充分条件, s 的充分条件是 q ,那么

p是q的

条件(从充分、必要、充要中填一个). .


2.命题“若 a ? b, 则ac 2 ? bc 2 ” a , b ? R )否命题的真假性为 (

3.已知命题 P :“对 ?x ? R, ?m ? R, 使4x ? 2x ?1 ? m ? 0 ” ,若命题 P 是假命题,则实数 m 的 取值范围是 二、能力培养 1、 命题 p : 方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根, 命题 q : 方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无 实数根.若“ p或q ”为真命题,求 m 的取值范围 .
6

.

2. P : 2 x2 ? 3x ? 1 ? 0; q : x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 , 设 若 p 是 q 的必要条件, 则实数 a 的
┑ ┑

取值范围为

.
┑ ┑

(变题)已知 P : ?4 ? x ? a ? 4, q : ( x ? 2)(3 ? x) ? 0 ,若 p 是 q 的充分条件,则实数 a 的取 值范围是 .

3.下列三个不等式:① | x ? 1| ? | x ? 4 |? a; ② (a ? 3) x2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 ;③ a ? x2 ? 其中至多有两个不等式的解集为空集,求实数 a 的取值范围.

1 .若 x2

三、能力测评 1.已知 p : x2 ? 8x ? 20 ? 0, q : x2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ,若 p是q 的充分不必要条件,则实 数 m 取值范围 .

2.对命题 p “1 是集合 {x | x2 ? a} 中的元素” ,命题 q “2 是集合 {x | x2 ? a} 中的元素” ,如 果“ p或q ”为真命题, p且q ”是假命题,则 a 的取值范围为 “ .

3.若 r ( x) : sin x ? cos x ? m, s (x ) : x2 ? mx ? 1? 0 ,如果对 ?x ? R , r ( x) 为假命题且 s( x) 为 真命题,求实数 m 的取值范围.

专题二

集合与常用逻辑用语(2)
┑ ┑

1.已知 A和 B 是两个命题,如果 A是 B 的充分条件,那么 A 是 B 的

条件. . 条件.

2.若命题“ ?x ? R ,使得 x2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是 3.如果命题“若 A则 B ”的否命题是真命题.而它的逆命题是假命题,则 A是 B 的

4.若三条抛物线 y ? x2 ? 4ax ? 4a ? 3, y ? x2 ? (a ? 1) x ? a2 , y ? x 2 ? 2ax ? 2a 中至少有一条 与 x 轴有公共点,则 a 的取值范围是 .

5. 命题 p : 方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根; 命题 q : 方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? m2 ? 0 无实数根.若“ p或q ”为真, p且q ”为假,则下列结论:① p, q 都为真;② p, q 都为假; “ ③ p, q 一真一假;④ p, q 至少有一个为真;⑤ p, q 至少有一个为假. 其中正确结论的序号是 .
7

6.已知命题 p : “若 x ? 1且y ? 2, 则x ? y ? 3 ” ,试写出 p 的否命题和 P 命题,它们的真假




.

7.命题 p : 关于 x 的不等式 | x ? 1| ? | x ? 3 |? m 恒成立,命题 q : 函数 f ( x) ? (7 ? 3m) x 为减函 数,若“ p或q ”为真命题,求 m 的取值范围.

s 8 . 给 出 命 题 p : “ 在 平 面 直 角 坐 标 系 x o y中 , 已 知 点 P( 2 c o x?

1, 2 c o? 2 和 2 ) xs

Q(cos x, ?1), ?x ?[0,? ], OP ? OQ ”.试判断该命题的真假,并证明.

9.已知命题 p :| 4 ? x |? 6, q : x2 ? 2 x ? 1 ? a 2 ? 0(a ? 0) ,若非 p是q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围.

10.已知关于 x 的一元二次方程 mx2 ? 4 x ? 4 ? 0, x2 ? 4mx ? 4m2 ? 4m ? 5 ? 0, m ?Z ,试 求方程的根都是整数的充要条件.

专题二
一、能力展示

集合与常用逻辑用语(2)

1.分析:因为 r ? p, s ? r , q ? s, 所以q ? s ? r ? p ,答案:必要. 2.分析:否命题“若 a ? b, 则ac 2 ? bc 2 ” ,答案:真. 3.分析:命题 P 是假命题,即命题 P 是真命题,关于 x 的方程 4 x ? 2 x ?1 ? m ? 0 有实数解,


即 m ? ?(4x ? 2x ?1 ) ? (2x ? 1) ? ?(2x ? 1) ? 1, 答案 : m ? 1. 精要点评: 第 1 题:细析表述形式, s是r 的充分条件”与“ s 的充分条件是 q ”在表述上不同. “ 第 2 题:可用等价命题,逆命题“若 ac2 ? bc2 , 则a ? b ”是真命题,否命题与逆命题等价. 第 3 题:可转化为函数,若从方程角度考虑,既要考虑有实数解,又要考虑 2 x ? 0. 二、能力培养

8

?? ? m2 ? 4 ? 0 ? 1.分析: (一真即真)当 p 为真命题时,则 ? x1 ? x2 ? ?m ? 0, 得 m ? ?2; 当 q 为真命题时, ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2
则 ? ? 16(m ? 2)2 ? 16 ? 0, 得 ? 3 ? m ? ?1,? “ p或q ”为真,?取

{m | m ? ?2} ? {m | ?3 ? m ? ?1} ,答案:? m ? ?1
2 . 分 析 : P : {x |?

1 2

x ?


1 }q ,

1 ┒ x ? a |? x ? a p : }{x | x ? 或x ? 1}, : { 1 , 2





q :

{x | x ? a或x ? a ? 1}

, ?

p

q

的 必 要 不 充 分 条 件 ,

1 ? 1 1 1 ?a ? ?{x | x ? a或x ? a ? 1} ? {x | x ? 或x ? 1} .? ? 解得 0 ? a ? , 又当 a ? 0 或 a ? 时 2 , 2 2 2 ?a ? 1 ? 1 ?
成立,答案: [0, ] . (变题)分析:


1 2

p : a ? 4 ? x或a ? 4 ? x,



┒ ┒ q : x ? 2或x ? 3 , 由 p ? q , 即

{x | x? a? 4 x? a? 4 ? {x | x ? 2 x ? 3} 或 } 或 ,答案: [?1,6]
3.分析:①由 | x ? 1| ? | x ? 4 |? ( x ? 1) ? ( x ? 4) ? 5 ,所以不等式的解集为空集时, a ? 5. ②当 a ? 3 时,不等式的解集为 x ? 1 ,不是空集; a ? 3 时,如不等式的解集为空集,则

?2 2 ? a ? 2 2;
③因为 x 2 ?

1 ? 2 ,所以不等式解集为空集时, a ? 2. x2

当三个不等式的解集都为空集时,?2 2 ? a ? 2 ,也即要使三个不等式至多有两个不等式的 解集为空集, a 的范围是 {a | a ? ?2 2或a ? 2}. 方法指导: 第 1 题: p或q ”为真, “ (一真即真)“ p或q ”为假, , (二假即假)“ p且q ”为真, : (二真 即真) p且q ”为假, “ (一假即假)“ p ”真“ p ”真“ p ”假.掌握这些必然关系后,解 ; 题思路明、运算简单. 第 2 题:在进行充分条件与必要条件的推理判断中,要注意转化,命题的“或、且、非”或 用集合运算解决,充分条件与必要条件可用集合间的关系解决.对端点必须慎重考虑. 第 3 题:遇到“至多”或“至少”等问题时,常用问题的对立面解决,即采用补集的思想,


9

同时也体现了“正难则反”的解题策略. 三、能力测评 1 . 分 析 ;

p 对 应 集 合 A ? {x | x ? ?2或x ? 10} , q 对 应 集 合 ,

?m ? 0, ?m ? 0 ? ? B ? {x | x ? 1 ? m, 或x ? 1 ? m, m ? 0} ,A ? B , ?1 ? m ? ?2, 或 ?1 ? m ? ?2 解得 0 ? m ? 3 , ? ? ?1 ? m ? 10, ?1 ? m ? 10 ? ?
实数 m 的取值范围是 (0,3] . 2.分析:因为 1 是集合中的元素,所以有 a ? 1 ;又因为 2 是集合中的元素,所以 a ? 4 .由 于 p或q 是真命题,所以有 {a | a ? 1} ? {a | a ? 4} ? {a | a ? 1} ,由于 p且q 是假命题,所以取 集合 {a | a ? 1} ? {a | a ? 4} ? {a | a ? 4} 的补集,答案: a ? 4. 3.分析:由于 sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

?
4

) ?[? 2, 2] ,所以如果对任意的 ?x ? R, r ( x) 为

假命题,则不等式 sin x ? cos x ? m 恒不成立,所以 m ? 2, ?x ?R, s( x) 为真命题,即不等式

x 2 ? mx ? 1 ? 0 恒成立,所以 ? ? m2 ? 4 ? 0,即 ? 2 ? m ? 2 ,答案: 2 ? m ? 2.
防错机制: 1.用集合来分析时, A ? B 是充分不必要; A ? B 是充分,两者不可混. 2.用求补思想可简化过程.如“ p且q ”是假命题“一假即假” ,先求“ p且q ”是真命题, 再取反面. 3.区别不恒成立与恒不成立(不都成立与都不成立) ,实际上 m ? ? 2 时“ ?x ? R, r ( x) ” 为真命题. 三、能力提升 1.分析: 否合题与逆命题等价,答案:必要条件. 2 . 分 析 : 函 数 f ( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? 1 的 图 象 与 x 轴 有 两 个 不 同 的 交 点 , 答 案 :

(??, ?1) ? (3, ??).
3.分析:用等价命题来判定,答案:必要不充分. 4.分析:先求都没有交点时 a 的取值范围,再求补,答案: (??, ? ] ? [?1, ??) 5.分析; p或q ”为真②⑤不正确; p且q ”为假①④不正确,答案:③ “ “

3 2

10

6.分析: p 的否命题: “若 x ? 1或y ? 2, 则x ? y ? 3 ” ,此为假命题,取 x ? 0, y ? 3, P : “ADK


x ? 1且y ? 2 则 x ? y ? 3 ”.答案:假命题.
7.分析: p 真,则 m ? 2 ; q 真,则 2 ? m ?

7 7 ,所以 p或q 真,则 m?{??,2} ? {2, } 3 3

1) (2cos2 x 2) 0, ? ? 8.分析;命题 p 是真命题.证明如下:由 OP ? OQ ,得 cos x(2cos x ? ?
变形得:2cos2 x ? cos x ? 0, 所以cos x ? 0或cos x ? , 故存在 x ? 成立,因而命题 p 是真命题. 9.分析: p : | 4 ? x |? 6, x ? 10, 或x ? ?2, A ? {x | x ? 10或x ? ?2}


1 2

?
2

或x ?

?
3

使向量 OP ? OQ

q : x2 ? 2 x ? 1 ? a2 ? 0, x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a, 记B ? {x | x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a}
?1 ? a ? ?2 ? ? 而 p ? q : A ? B ,即 ?1 ? a ? 10,? 0 ? a ? 3. ?a ? 0 ?


? m ? 1, ??1 ? 16 ? 16m ? 0 ? ? 10.分析:两方程有实数根,则 ? ,即 ? 5 2 2 ??2 ? 16m ? 4(4m ? 4m ? 5) ? 0 ?m ? ? 4 ? ?
解得 ? ? m ? 1,因为m ? Z ,所以 m ? ?1,0,1. 当 m ? ?1 时,方程 x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 无整数根; 当 m ? 0 时,方程 x 2 ? 5 ? 0 无整数根; 当 m ? 1 时,方程 x2 ? 4 x ? 4 ? 0, x2 ? 4 x ? 5 ? 0 均有整数根; 反之,若两方程有整数根,则 m ? 1. 故方程均有整数根的充要条件是 m ? 1.

5 4

专题三

函数与导数(1)

(解决函数基本性质问题) 考试说明要求:幂函数、函数与方程为 A 级,其它都是 B 级。 高考试题应用:函数是一大主线,涉及函数的解析式、定义域、值域、奇偶性、单调性、周 期性;不动点、零点、恒成立等问题。填空题主要考查函数的性质,解答题主要考查建模, 通过具体问题找出变量间的函数关系,进而解决实际问题。 解决问题指南:紧扣定义和性质及图象,求解时要注意三要素。对复合函数要分步解决,注
11

意有分必合。常用的方法有:换元法、数形结合法、转换法(函数、不等式、方程) 、分类 讨论法、导数法等。解题时要根据需要,选择适当的方法,灵活运用。 一、能力展示 1.函数 y ?

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为

.

2.函数 f ( x) ? ?

?| x2 ? 2 x ? 1| ( x ? 0) ? 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围为 x ?1 ( x ? 0) ?2 ? a ?

.

3.已知函数 f ( x) ?| lg( x ? 1) |, 若a ? b且f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是

.

4.定义在 (??, ??) 上的偶函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且 f ( x) 在 [?1,0] 上是增函数, 下面五个关于 f ( x) 的命题: f ( x) 是周期函数; f ( x) 图像关于 x ? 1 对称; f ( x) 在 [0,1] ① ② ③ 上是增函数;④ f ( x) 在 [1, 2] 上为减函数;⑤ f (2) ? f (0) ,其中是真命题的序号为 二、能力培养 1.已知集合 M 是满足下列两个条件的函数 f ( x) 的全体:① f ( x) 在定义域上是单调函数; ②在 f ( x) 的定义域内存在闭区间 [a, b] ,使 f ( x) 在 [a, b] 上的值域为 [ , ] .现有四个函数: (1) f ( x) ? x2 ; (2) f ( x) ? 2x ; (3) f ( x) ? log 2 x ; (4) f ( x) ? tan 是集合 M 中的元素有 2.已知函数 f ( x) ?| x | ?(a ? x)(a ? R) . (1)当 a ? 4 时,画出函数 f ( x) 的大致图像,并写出其单 调递增区间; (2)若函数 f ( x) 在 x ?[0, 2] 上是单调递减函数,求实数 a 的取值范围; (3) 若不等式 | x | ?(a ? x) ? 6, 对x ?[0,2] 恒成立, 求实数 a 的 取值范围. 3 . 已 知 a ? 1 , 函 数 f ( x) 的 图 像 与 函 数 y ? a x ? 1 的 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 , .

a b 2 2

1 2

?
4

x, x ? (?2,2) .其中

(将所有符合条件的序号都填上).

g ( x) ? log a ( x2 ? 2 x ? 2).
(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数 f ( x) 在区间 [ m, n] ( n ? m ? ?1) 上的值域为 [loga

p p ,loga ] ,求实数 p 的取值 m n
12

范围; (3) 设函数 F ( x) ? a f ( x )? g ( x ) , w ? F ( x) 对一切 x ? (?1, ??) 恒成立, 若 求实数 w 的取值范围. 三、能力测评 1.已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足 f ( 范围为 . .

2 x2 ? x ? 1 ) ? f [lg( x 2 ? 6 x ? 20)] ? 0 的 x 的取值 x2 ? 2x ? 1

2.设 loga x ? logb y ? 2, a ? b ? 2, 则x ? y 的取值范围为 3.已知函数 f (log 2 x) ?

ax ? b (a ? R, x ? 0), x? 2

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)判断函数 y ? f ( x) 的单调性;

, (3) a ? 0 b ? 2 时, 当 分别计算 f (0) ? f (1), f (?1) ? f (2) 的值, 由此概括出函数 y ? f ( x)
所具有的一个性质,并加以证明.

专题三

函数与导数(1)
3 则实数 m ? x2 , 2

1. 已知关于 x 的方程 x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ? 0 的两个实根 x1 , x2 满足 x1 ? 的取值范围 .

2.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,并且 f ( x ? 2) ? ?

1 ,当 2? x ? 3 f ( ) x ,则 时 x ? f ( x)

f (105.5)=
3.关于函数 f ( x) ? lg

.

x2 ? 1 ( x ? 0, x ? R ) 有下列命题: | x|

①函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称;②在区间 (??,0) 上,函数 y ? f ( x) 是减函数; ③函数 f ( x) 的最小值为 lg 2 ;④在区间 (1, ?) 上,函数 f ( x) 是增函数. 其中正确命题序号为 .

4.若函数 f ( x) 的零点与 g ( x) ? 4x ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25.现有四个函数: ① f ( x) ? 4 x ? 1 ;② f ( x) ? ( x ? 1)2 ;③ f ( x) ? ex ? 1 ;④ f ( x) ? In( x ? ) ,则 f ( x) 可以是 其中的 (填序号).

1 2

13

5 . 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有

5 x f ( x? 1) ? (1? x ) f (x,则 f ( f ( )) = ) 2

.

6.某工厂统计资料显示,一种产品次品率 P 与日产量 x( x ? N* ,80 ? x ? 100) 件之间的关系 如下表所示: 日产量 x 80 81 82 ?

x

?

98

99

100

1 1 1 1 1 1 P( x) ? ? 10 9 28 27 26 8 1 k 其中 p( x) ? ,已知生产一件正品盈利 k 元,生产一件产品亏损 元( k 为给 (a 为常数) a?x 3
次品率 P 定的常数).求出 a ,并将该厂的日盈利额 y (元)表示成日产量 x (件)的函数.

7.已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ ?1,1] 上有零点, 求 a 的取值范围.

8.对于两个定义域相同的函数 f ( x), g ( x) ,若存在实数 m, n 使 h( x) ? mf ( x) ? ng ( x) ,则称 函数 h( x) 是由“基函数 f ( x), g ( x) ”生成的. (1)若 f ( x) ? x 2 ? 3x和g (x) ? 3x ? 4 生成一个偶函数 h( x) ,求 h(2) 的值;
2 2 ( 2 ) 若 h( x) ? 2 x ? 3x ? 1 函 数 f ( x) ? x ? ax g( x ? x b a ? 且 由 , ) ? ( , b R ,

ab 0) 成 , 求 ? 生

a ? 2b 的取值范围;
(3)试利用“基函数 f ( x) ? log4 (4x ? 1), g ( x) ? x ? 1 ”生成一个函数 h( x) ,使之满足下列条 件:①是偶函数;②有最小值 1;求出函数 h( x) 的解析式并进一步研究该函数单调性(无需 证明).

专题三
一、能力展示 1. 分析:由 ?

函数与导数(1)

?x ? 1 ? 0
2 ?? x ? 3x ? 4 ? 0

,答案: (-1,1)

14

2. 分析:当 x ? 0 时,存在一个零点 ? 2 ? 1 ,当 x ? 0 时, y ? 2 x ?1 ? a 必须有一个零点,

1 1 a ? ?2x?1 ? ? , 答案:a < 2 2
3. 分析: 由函数 f ( x) ?| lg ( x ? 1) | 的图象可知, ?1 ? x ? 0 时为减函数, x ? 0 为增函数, 当 当 又由 a ? b, f (a) ? f (b) ,可令 ?1 ? a ? 0 ? b , 则 f (a) ? ? lg(a ? 1), f (b) ? lg(b ? 1), 得lg(a ? 1) ? lg(b ? 1) ? lg(a ? 1)(b ? 1) ? 0 , 整 理 得

a?b a?b 2 (0,+ ? ) (a ? b ) ab ? ? ab ? ? 0 , 2( ? ab ,即 (a ? b) ? ( ? 0 , ) ) ? 0 ,答案: 2 2
? 4. 分析: f ( x ? 1) ? ? f ( x),? f ( x ? 2) ? f ( x), f ( x) 以 2 为周期的周期函数; x1 ? x2 ? 2 , 令
则 x1 ? 2 ? x2 , f ( x1 ) ? f (2 ? x2 ) ? f (? x2 ) ? f ( x2 ), f ( x) 图像关于 x ? 1 对称;由 f ( x) 定义 在 (??, ??) 上的偶函数且在 [?1,0] 上是增函数,故 f ( x) 在 [0,1] 上是减函数:在 [1, 2] 上 单调性与在 [?1,0] 上的单调性一致:由 f ( x ? 2) ? f ( x) ,令 x ? 0 ,得 f (2) ? f (0) ,答 案:①②⑤ 精要点评: 第 1 题:在求复合函数定义域时易忘记基本初等函数本身的定义域,故要分步求。 第 2 题:解决分段函数问题必须分段处理。在 x ? 0 时有且只有一个零点,故另一个零点在

x ? 0 时取得。若只有一个零点,则如何处理?
第 3 题:利用数形结合,先作图后去掉绝对值,再由条件观察 a , b .求的是取值范围,必产 生关于 a ? b 的不等式. 第 4 题:显条件:偶函数; ( x ? 1) ? ? f ( x) 的递推;在 [?1,0] 上是增函数,三个条件联动才 能得出总体性质。由于是填空题还可用满足条件的特殊法(作简图)来观察。 二、能力培养 1. 分析: 函数 (1) 不满足条件①, 不是集合 M 中的元素; 函数 (2) 不满足条件②. f ( x) ? 2 x

1 x 没有交点,不是集合 M 中的元素;函数(3)满足条件①,又 f ( x) ? log 2 x 图 2 1 1 象与 y ? x 有两个交点(2,1)(4,4) , ,是集合 M 中的元素;函数 (4)与y ? x 图象有两 2 2 1 1 个交点 (?1, ? ),(1, ) ,是集合 M 中的元素,答案: (4). (3) 2 2
图象与 y ? 2.分析: (1)a ? 4 时, f ( x) ? ?

?? x2 ? 4 x( x ? 0) ? , f ( x) 的图象如图,单调递增区间为 [0, 2] ; 2 ? x ? 4 x( x ? 0) ?

15

a a2 (2) 数形结合方法,x ?[0, 2] 时, f ( x) ? x(a ? x) ? ? x 2 ? ax ? ?( x ? ) 2 ? , 若函数 f ( x) 2 4
在 x ?[0, 2] 上是单调递减函数,则

a ? 0, 所以a ? 0; 2

(3)当 x ? 0 时, 0 ? 6 成立,所以 a ? R ; 当 0 ? x ? 2 时, a ? x ? , 设g ( x) ? x ?

6 x

6 , (可用导数来求 x

得)g ( x) 在 (0, 6] 上递减, [ 6, ??) 上递增, 0 ? x ? 2 在 当 时, g ( x)min ? g (2) ? 5 ,所以 a ? 5 ,综上,实数 a 的取值 范围是 (??,5] . 3.分析: (1)? 点 ( x, y ) 与点 ( y , x ) 关于直线 y ? x 对称,

? x ? a y ? 1, 得f ( x) ? loga ( x ? 1)(a ? 1, x ? ?1).
(2)因为 a ? 1 ,所以 f ( x) ? log a ( x ? 1) 在 (?1, ??) 上是增函数, 所以 f (m) ? loga (m ? 1) ? loga 即 m ?1 ?

p p , f (n) ? loga (n ? 1) ? loga , m n

p p , n ? 1 ? (n ? m ? ?1且m ? 0, n ? 0), m n p 即 m, n 是方程 x ? 1 ? ( x ? (?1,0) ? (0, ??) 的两个不同解. x
即关于 x 的方程 x2 ? x ? p ? 0在(?1,0) ? (0,1) 有两个不同的解.

? ?? ? 1 ? 4 p ? 0 ? 1 1 所以 ?(?1) 2 ? (?1) ? p ? 0, 解得 ? ? p ? 0 ,所以数 p 的取值范围是 (? ,0) . 4 4 ? 1 ?? ? ?1 ? 2
x ?1 , x2 ? 2x ? 2 t t 1 令 t ? x ? 1, t ? 0, 则x ? t ? 1 ,于是 F ( x) ? ,因为 ? 2 ? 2 (t ? 1) ? 2(t ? 1) ? 2 t ? 4t ? 5 t ? 5 ? 4 t
(3) F ( x) ? a loga ( x ?1) ? loga ( x
2

? 2 x ? 2)

?a

log a

x ?1

x2 ? 2 x ? 2

?

t ? 0 ,所以 t ?

1 5?2 t ? . ? 4 ? 2 5 ? 4 ,当且仅当 t ? 5 时取等号.所以 F ( x) max ? 2 5 2 5 ?4
5?2 , ?? ). 2

因为 x ? F ( x) 对一切 x ? (?1, ??) 恒成立,因此 w 的取值范围是 [ 方法指导:

第 1 题:正确地将数学语言与数学式子互化,采用构造函数法.如本题中:使 f ( x) 在 [a, b] 上
16

的值域为 [ , ] ,实际上可转化的函数 y ?

a b 2 2

1 x ,然后利用数形结合法解决问题. 2

第 2 题:作简图要依据性质,先作特殊点和拐点.求参数的取值范围时可用数形结合.恒成立 问题用分离法,可先用导数确定单调区间,再求最值来解决. 第 3 题:关于直线 y ? x 对称实际是用 ( y , x ) 代 ( x, y ) ,然后解方程,关键是定义域问题.已知 定义域和值域求参数时必须先讨论单调性再求最值.当式子较繁时可用换元法,但必须等价. 三、能力测评 1,分析:先判断出 lg( x2 ? 6 x ? 20 _ ? lg[( x ? 3)2 ? 11] ? lg11 ? 1, 即 f [lg( x 2 ? 6 x ? 20)] ? 0.于是f (

2 x2 ? x ? 1 2x ? 1 ) ? 0 ,由图象可知 ? 1 ,故 x 的取值范围为 x2 ? 2x ? 1 x ?1

x ?[?2,1).
2 2 2 2.分析: x ? a2 ( a ? 1), y ? b2 (b ? 1), x ? y ? a ? b ? ( a ? b) ? 2 ab ? a ? b ? 2 ? 2 ab , ,

当且仅当 a ? b ? 1 时取等号, ? a ? 1, b ? 1 , 0 ? ab ? 1, x ? y ? (a ? b)2 ? 2ab ? 4 ? 2 ? 2, 答 又 ? 案: (2, ??) 3.分析: (1)解:设 t ? log 2 x, 则x ? 2t . f ( x) ?

a ? 2x ? b 2x ? 2

( x ? R) ;

(2) 由 f ( x) ? 解:

a ? 2x ? b 2 ? 2
x

?a?

b ? 2a 2x ? 2

, 所以当 b ? 2a 时,y ? f ( x) 单调减, b ? 2a 当

时, y ? f ( x) 不单调,当 b ? 2a 时, y ? f ( x) 单调增. (3)解:当 a ? 0, b ? 2 时, f ( x) ?

2 2 ? 2
x

, f (0) ? f (1) ? 1, f (?1) ? f (2) ? 1,由此猜想出

f ( x) ? (1 ? x) ? 1 ;证明: f ( x) ? f (1 ? x) ?
防错机制:

2 2 ? 2
x

?

2 2
1? x

? 2

?1

第 1 题:有图也有式的试应从图中分析性质,如单调性、奇偶性、与坐标轴的交点、在坐标 轴的上下左右等,再在式中求解。本题图中 x ? 1 十分重要,决定符号. 第 2 题:直截用 a2 ? b2 ? 2ab与0 ? ab ? 1 是不能得出 x ? y 的取值范围。要十分注意等式成 立的条件,为防错,等式后面必须跟条件. 第 3 题:本题是分式函数,判断单调性时用导数处理反而显得繁。用分离法化为

17

f ( x) ? a ? g ( x) ,然而用基本函数的单调性来判断。
三、能力提升 1.分析:令 f ( x) ? x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16. 则 f ( ) ? 0 ,答案: {m | ? ? m ? } 2.分析:? f ( x ? 2) ? ?

3 2

1 2

7 2

1 1 ,? f ( x ? 4) ? ? ? f ( x) , f ( x) f ( x ? 2)

周期为 4, f (105.5) ? f (4 ? 27 ? 2.5) ? f (?2.5) ? f (2.5) ? 2.5 ,答案: 2.5 3.分析:是偶函数,①成立:

x2 ? 1 x2 ? 1 1 ?| x | ? ? 2, 在区间 (??,0) 上是增,②不成立: | x| | x| | x|

③成立:

x2 ? 1 在区间 (1, ??) 上增,④成立,答案:①③④ | x|

4. 分析: 估算 g ( x) ? 4x ? 2 x ? 2 的零点, 因为 g (0) ? ?1, g ( ) ? 1 , 所以 g ( x) 的零点 x ? (0, ), ①的零点为 x ?

1 2

1 2

1 3 ;②的零点为 1 x ? 1 ;③的零点为 x ? 0 ,④的零点为 x ? ,又函数 f ( x) 4 2

的零点与 g ( x) ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,只有 f ( x) ? 4 x ? 1 的零点适 合,答案:①.

1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? f ? ? f 即 )f, =0(, ) ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 1? x 5 5 3 5 3 1 5 f ( x ? 1) ? f ( x), f ( ) ? f ( ) ? ? f ( ) ? 0, f ( f ( )) ? f (0) ? 0 ,答案:0 x 2 3 2 3 2 2 2 1 6.分析:由表可知 a ? 108, p (x ) ? (x ? N * ,80 ? x ? 100) ,当日产量为 x 时,次品数 108 ? x x 1 1 1 k 为 , 正 品 数 为 (1 ? ) x , 所 以 y ? (1 ? )? x?k ? ? x? , 得 108 ? x 108 ? x 108 ? x 108 ? x 3 kx 4 ,答案:略 y ? ( 3? )x(? N * , ? 0 ? 8x 100) 3 1 0? x 8
5 . 分 析 : 当 x ? 0 时 , f (0) 0, x? ? 时 ? f ? 当 , 7.分析:在区 [ ?1,1] 上有零点,即方程 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a在[?1,1] 上有解, a ? 0 时, 不 符 合 题 意 , 所 以 a ? 0 . 方 程 f ( x )? 0在 [ ?1,1] 上 有 解 ? f (?1) ? f (1) ? 0 或

?af (?1) ? 0 ?af (1) ? 0 ? ? ?? ? 4 ? 8a(3 ? a) ? 0 ? 1 ? a ? 5或a ? ? 3 ? 7 或 2 ? ? 1 ?? ? [?1,1] ? a

18

a??

3?7 3? 7 3? 7 或a ? 5 ? a ? ? 或a ? 1. 所以实数 a 的取值范围是 a ? ? 或a ? 1. 2 2 2

8.分析: (1)设 h( x) ? m( x2 ? 3x) ? n(3x ? 4) ? mx2 ? 3(m ? n) x ? 4n, ? h( x) 是偶函数,

? m ? n ? 0,? h(2) ? 10m ? 10n ? 0;
(2)设 h( x) ? 2x 2 ? 3x ?1 ? m( x 2 ? ax) ? n(x ? b) ? mx 2 ? (am ? n )x ? nb

3? n ? ?m ? 2 ?a ? 2 3? n 2 3 n 2 ? ? ? ?am ? n ? 3 ? ? ? a ? 2b ? ? ? ? ? 1 2 n 2 2 n ?nb ? ?1 ?b ? ? ? ? n ?
由 ab ? 0 知, n ? 3,?a ? 2b ? (??, ? ] ? [ , ??) (3)设 h( x) ? m log 4 (4 x ?1) ? n( x ?1), ?h( x) 是偶函数,? h(? x) ? h( x) ? 0, 即 m log4 (4? x ? 1) ? n(? x ? 1) ? m log 4 (4x ? 1) ? n( x ? 1) ? 0, ?(m ? 2n) x ? 0得m ? ?2n

1 2

7 2

1 1 1 1 x ? ] = ?2n[log4 (2x ? x ) ? ] , 2 2 2 2 1 1 1 ? h( x) 有最小值则必有 n ? 0, 且有 ? 2n ? 1 ,? m ? 1, n ? ? , h( x) ? log4 (2x ? x ) ? , 2 2 2
则 h( x) ? ?2n log4 (4x ? 1) ? n( x ? 1) ? ?2n[log4 (4x ? 1) ?

h( x)在[0, ??) 是为增函数,在 (??,0] 上为减函数.

19


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