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向量与三角练习题


1.将函数 y ? cos(x ? 左平移

?
3

? 个单位,所得图象的一条对称轴方程为( ) 6 ? ? ? A. x ? B. x ? C. x ? D. x ? ? 9 8 2 ? ? ? x ? ? )( ? ? 0, ? ?? ? ) 2. 【改编】函数 f ( x ) ? A sin( 的部分图象如图所示 , 则


2 2

,再向 ) 的图象上各点的横坐标伸长到原的 倍(纵坐标不变) 2

f ( x) 的单调增区间为(



[ k? ?
A.

?
3

,k ? ?

?
6

], k ? Z

? 2? [k? + ,k? ? ], k ? Z 6 3 B.
[ k? ?
C.

?
12

,k ? ?

5? ], k ? Z 12

[ k? +
D.

5? 11? ,k? ? ], k ? Z 12 12
3 1 , tan( ? ? ? ) ? ? , 则 tan ? ? 5 3
D.

3.已知角 ? , ? 均为锐角,且 cos ? ? A.3 B.

1 3

C.

9 13

13 9

4.设向量 , 满足| + |= A. B.

,| |=1,| |=2,则 ? 等于( ) C. D.

5.已知 a ? 1, b ?

2 , a ? b ? 5 ,则向量 a, b 的夹角为

? 6 ? C. 4
A.

? 3 ? D. 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 6.若 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 b 的夹角为(
B. A.



?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

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7. 【原创】 (本小题满分 12 分) △ ABC 的内角 A ,B ,C 所对边的长分别为 a ,b ,c , 向量 m = (sin C ? sin A,sin A ? sin B) , n = (sin C,sin A ? sin B) , m ⊥ n . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)求 2cos A ? cos C 的取值范围. 8.已知平面向量 a ? (2, ?1) ,向量 b ? (1,1) ,向量 c ? (?5,1) . 若 (a ? kb)//c ,则实 数 k 的值为 .

?? ? ? ? ? ? ? ? 9.已知向量 a ? (?1,2) , b ? (2,3) ,若 m ? ? a ? b 与 n ? a ? b 共线,则实数 ? 的值
是 .

10.已知向量 a ? (?1,2) , b ? (2,3) ,若 m ? ?a ? b 与 n ? a ? b 的夹角为钝角,则实 数 ? 的取值范围是 .

?

?

??

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? 11.已知向量 a , b 的夹角为 120? ,且 a ? ? ?2, ?4? , b ? 5 ,则 a ? b ?
12.在 ?ABC 中,已知 AB ? 4, AC ? 1 ,且 ?ABC 的面积 S ? 3 ,则 值为 . 。

??? ?

????

??? ? ??? ? AB ? AC 的

? ? ? ? ? ? ? ? 13. 已知向量 a, b 满足 b ? (1, 3) ,b ? (a ? b) ? ?3 , 则向量 a在b 方向上的投影为
14. (本题满分 12 分) 已知 ?ABC 的面积为 2, 且满足 0 ? AB? AC ? 4, 设 AB 和 AC 的夹角为 ? . (Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f (? ) ? 2 sin (
2
? ?

?

?

?
4

? ? ) ? 3 cos 2? 的值域.

15. (本小题 13 分)平面内给定三个向量 a ? (3,2) , b ? (?1,2) , c ? (4,1) .

?

?

?

? ? 5? ? 7? ? a? b ,且 | d |? 10 ,求向量 d 的坐标; 8 8 ? ? ? ? (Ⅱ)若 (a ? kc ) //(2b ? a) ,求实数 k 的值.
(Ⅰ)设向量 d ?

?

16.已知 a ? ( 3 cos x, sin x),b ? (sin x, 3 cos x) ,函数 f ( x) ? a ? a ? a ? b . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)已知 f ( ) ? 3 ,且 ? ? (0, ? ) ,求 ? 的值.

?

2

17 . ( 本 题 满 分 14 分 ) 设 函 数 f ( x) ? m ? n , 其 中 向 量 m ? (2cos x ,1) ,

?? ?

??

? n ? (cos x , 3sin 2x) , x ? R .

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(1)求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间; (2)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,已知 f ( A) ? 2 , b ? 1 ,

b?c 3 ,求 的值. sin B ? sin C 2 ? 3 ? 18.已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . 4 ? (1)当 时,求 tan( x ? ) 的值; 4
△ ABC 的面积为 (2)设函数 f ? x ? ? 2(a ? b) ? b ,当 x ? ? 0,

? ? ?

? ?? ? 时,求 f ? x ? 的值域. ? 2?

19. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? (2cos x,1) , n ? (cos x, 2 3sin x cos x ?1) , 函数 f ( x) ? m ? n . (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , 若 fB () 1 ,? b 7 ? 求 ?ABC 的面积. 20. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos x ? sin x, 2sin x), b ? (cos x ? sin x,cos x) . 令 f ( x) ? a ? b , (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)当 x ? ?

??

?

?? ?

sin A ? 3sin C , ,

?

?

? ?

? ? 3? ? 时,求 f ( x ) 的最小值以及取得最小值时 x 的值. , ?4 4 ? ?

21.已知向量 a ? (2 3 sin x, cos2 x),b ? (cosx,2) ,函数 f ( x) ? a ? b (1)求函数 f ( x) 的单调递减区间. (2)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

? 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为 12

原来的

? ?? 1 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 ?0, ? 上的值域. 2 ? 4?
?
? 1 2

22.已知向量 a ? (sin x, ?1) , b ? ( 3 cos x, ? ) ,函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期 T 与值域; (2) 已知 a ,b ,c 分别为 ?ABC 内角 A , B ,C 的对边, 其中 A 为锐角,a ? 2 3 ,
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? ? ?

c ? 4 ,且 f ( A) ? 1,求 A , b 和 ?ABC 的面积 S .
a? 23.已知向量 a ? ( 3,cos ? x), b ? (sin ? x,1) (? ? 0) ,函数 f ( x) ? a · b b ,且最小
正周期为 4? . (1)求 ? 的值; (2)设 ? , ? ? ? ? , ? ? , f (2? ? ? ) ? 6 , f (2 ? ? 2? ) ? ? 24 ,求 sin(? ? ? ) 的值. ? 3 13 3 5 ?2 ? ?

?

?

? ?? ?

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析:将函数 y ? cos(x ?

?
3

, ) 的图象上各点的横坐标伸长到原的 2 倍(纵坐标不变)

再向左平移

?1 ? ?? ?? ?? ? ?1 个单位,所得图象的函数解析式 y ? cos? ? x ? ? ? ? ? cos? x ? ? , 6 6 ? 3? 4? ?2 ?2 ?
1 ? ? ? x ? ? k? ,解得 x ? 2k? ? ,当 k ? 0 时,对称轴方程 x ? ,故答案 2 4 2 2

对称轴方程为

为 C. 考点:余弦函数的性质;函数图象平移. 2.C 【解析】

? ? 5? ? ? ? ? ? ? 12 2 ? 11 ? 3? ? ? ? ?? ? ? ?? ? 2 ,解得 ? =2, 3 ,所以 试题分析:由题知 A=2,由五点法作图知, ? 12
f ( x)

=

2sin(2 x ? ) 3

?

2 k? ?
, 令

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z
, 解 得

k? ?

5? ? 5? ? ? x ? ?k , ? k Z [k? ? ,k? ? ], k ? Z f ( x ) 1 2 1 2 ,所以 12 12 的单调增区间为 ,

?

故选 C. 考点:三角函数的图像与性质 3.A 【解析】 试 题 分 析 : 由 于 ? , ? 均 为 锐 角 , cos ? ?

3 4 4 , 则 sin ? ? , tan ? ? , 5 5 3

tan[? ? (? ? ? )] ?

tan ? ? tan(? -? ) ? 1 ? tan ? tan(? ? ? )
考点:凑角求值 4.D 【解析】

4 1 ? 3 3 =3 4 1 1? ? 3 3

答案第 1 页,总 11 页

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试题分析:因为 a ? b ? 6 ,所以 a ? b

? ?

?

? ?

?

2

?2 ? ? ?2 ? 6 ? a ? 2a ? b ? b ? 6
? ? 1 , 2

又因为 a ? 1, b ? 2 ,所以 1 ? 2a ? b ? 4 ? 6 ,解得: a ? b ? 故选 D. 考点:平面向量的概念与运算. 5.C 【解析】向量 a, b 的夹角为 ? ,? a ? 1, b ? 即 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 cos? ? 5 ,解得 cos? ? 考点:平面向量的模长公式. 6.D 【解析】

?

?

? ?

2 , a ? b ? 5 ,?a ? 2a ? b ? b ? 5 ,

2

2

? 2 ,? 0 ? ? ? ? ,? ? ? . 4 2

试题分析:由题意可知, a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0 , 又 a ? b ? 2 a ? a ? b ? 4 a ? b ? 3 a ,设 a ? b 与 b 的夹角为 ? ,

? ?

? ? ?

? ?2 ?

? ?2

? ?

? ?

?

? ?2

?2

? ?

?

? a ? b? ? b 则 cos ? ? ? ? ? ?
a ?b b

? ? ?

?2 ?3 a 3 5? ,又 ? ??0, ? ? ,所以 ? ? , ? ? ? ?2 ?? 6 2 2a? 3a 2 3a ?2 ?b

故选 D 考点:本题考查求向量的夹角,向量的数量积运算 点评:解决本题的关键是求出向量 a, b 之间的关系 7. (Ⅰ)

? ?

? 3 (Ⅱ) ( , 3] 2 3

【解析】 试题分析:(Ⅰ)由向量垂直得出 A,B,C 的关系式,利用正弦定理,再用余弦定理求出 B 值; (Ⅱ)用正弦定理化为关于 A(或 B)角的三角函数在某个区间上值域问题,利用设辅助 角化为一个角的三角函数问题. 试题解析(Ⅰ)∵ m ⊥ n , ∴ m ? n = (sin C ? sin A)sin C ? (sin A ? sin B)(sin A ? sin B) =0,
2 2 2 即 sin C ? sin A ? sin B ? sin A sin C ? 0 ,

2 2 2 由正弦定理得 c ? a ? b ? ac ,

由余弦定理得 cos B =

a 2 ? c 2 ? b 2 ac 1 = = , 2ac 2 2ac

答案第 2 页,总 11 页

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? ; 3 ? 2? 2? 2? ? A ,0< A < (Ⅱ)由(Ⅰ)知, B = ,∴ A ? C = , ∴C = , 3 3 3 3
∵0< B < ? , ∴B = ∴ 2cos A ? cos C = 2 cos A ? cos(

2? 1 3 ? A) = 2cos A ? cos A ? sin A 3 2 2

= ( 3

? 3 1 cos A ? sin A) = 3 sin( A ? ) , 3 2 2



? ? ? 3 ? 3 < A ? <? , ∴ < sin( A ? ) ≤ 1 ,∴ < 3 sin( A ? ) ≤ 3 , 6 2 3 3 3 2
3 , 3 ]. 2

∴ cos A ? cos C 的取值范围(

考点:正弦定理;余弦定理;三角函数公式;三角函数性质

1 8. 2
【解析】 试题分析: (a ? kb)//c ?

(2 ? k , ?1 ? k ) / /( ?5,1) ? 2 ? k ? 5 ? 5k ? k ?

1 . 2

考点:向量平行的坐标表示 9. ?1 【解析】 试题分析: m ? ? a ? b ? (?? ? 2,2? ? 3) , n ? a ? b ? (?3, ?1) ,又 m与n 共线, 则

??

?

?

?

?

?

?? ?

?(?? ? 2) ?3 (2? ? 3) ? 0 ,即: ? ? ?1 ;
考点:1.共线向量;2.共线向量的坐标运算; 10. ? ? 9 且 x ? ?1 【解析】 试 题 分 析 : m ? ? a ? b ? (?? ? 2,2? ? 3) , n ? a ? b ? (?3, ?1) , 若 m ? ? a ? b 与

??

?

?

?

?

?

??

?

?

? ? ? ? ? ? ? n ? a ? b 的夹角为钝角,则 (? a ? b) ? (a ? b) ? ?3(?? ? 2) ? (2? ? 3) ? 0 ,即: ? ? 9 ,
又 m与n 不共线,则 ?(?? ? 2) ?3

?? ?

(2? ? 3) ? 0 ,即: ? ? ?1 ,则 ? ? 9 且 x ? ?1
考点:1.向量的夹角;2.向量的数量积;3.共线向量;4.向量的坐标运算公式;
答案第 3 页,总 11 页

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11. ?5 【解析】 试题分析: a ? b ? a ? b ? cos120 ?
?

? ?

? ?

? ?2? ? ? ?4?
2

2

? 1? ? 5 ? ? ? ? ? ?5 ? 2?

考点:向量的数量积 12. ?2 【解析】 由三角形的面积公式, 得

? ???? 1 ??? 1 3 AB ? AC sin A ? ? 4 ? 1sin A ? 3 ,即 sin A ? , 2 2 2

1 ; 2 ??? ? ???? ??? ? ???? 1 则 AB ? AC ? AB ? AC cos A ? 4 ? 1 ? (? ) ? ?2 . 2 cos A ? ?
考点:三角形的面积公式、平面向量的数量积. 13.

1 2

【解析】 试题分析: b ? 12 ?

?

? 3 ? ? 2 且由 b ? (a ? b) ? ?3解得: a?b ? 1 ,所以 a在b 方向上的

? ? ?

? ?

? ?

? ? ? ? ? a? b 1 1 投影为: a cos a, b ? ? ? ,所以答案为: . 2 2 b
考点:1.向量的坐标运算;2.向量的数量积. 14. (1)[ 【解析】 试题分析:利用三角形面积公式表示面积为 2,再利用平面向量数量积公式表示 AB ?

? ?
4

, ), (2)[2,3] 2

??? ??? ?

AC ,

把等式中的 bc 代入不等式中解三角不等式求出 ? 的范围;第二步先用降幂公式再用辅助角 公式把函数式化为标准形式,再根据

?
4

? ? ?

?
2

,求出 2? ?

?
3

的范围,最后求出函数

的值域; ,B,C 的对边分别为 a,b,c , 试题解析: (Ⅰ)设 △ ABC 中角 A 则由已知:

1 bc sin ? ? 2 , 0 ? bc cos ? ? 4 , 2

可得 tan ? ? 1 ,所以: ? ? [

? ? , ). 4 2
? ?π ?? ? ?1 ? cos ? ? 2? ? ? ? 3 cos 2? ?2 ?? ?







?π ? f (? ) ? 2sin 2 ? ? ? ? ? 3 cos 2? ?4 ?
答案第 4 页,总 11 页

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? (1 ? sin 2? ) ? 3 cos 2?
? 2 sin(2? ?

?
3

)? 1

? ? ? ? 2? π? ? ?? ? [ , ) ,? 2? ? ? [ , ) ,∴ 2 ≤ 2sin ? 2? ? ? ? 1≤ 3 . 4 2 3 6 3 3? ?
即当 ? ?

5π π 时, f (? )max ? 3 ;当 ? ? 时, f (? )min ? 2 . 12 4

所以:函数 f (? ) 的值域是 [2,3] 考点:三角形和三角函数的性质 15. (1) d ? (1,3) 或 d ? (?1,?3) ; (2) k ? ? 【解析】 试题分析: (1)由题可知,通过向量的直角坐标运算可将 d 的坐标计算出来,d ? (? ,3? ) , 又因为 | d |? 10 ,可将 ? 的具体数值求解出来,代入即可得到 d 的坐标; (2)用平面向量 坐标表示向量共线的条件,若 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) ,则 a // b ? a1b2 ? a2b1 ? 0 ,于

?

?

16 ; 13

?

?

?

?

?

?

? ?

16 ; 13 ? 5? ? 7? ? 15? 10? 7? 14? a? b ?( , ) ? (? , ) ? (? ,3? ) ,又 试题解析: (Ⅰ) 由题可知, d ? 8 8 5 8 8 8 ? ? ? 因为有 | d |? ?2 ? 9?2 ? 10 ,解得 ? ? ?1 ,因此 d ? (1,3) 或 d ? (?1,?3) ;
是有 2 ? (3 ? 4k ) ? (?5) ? (2 ? k ) ? 0 ,解得 k ? ?

a ? kc ? (3 ? 4k ,2 ? k ) , (Ⅱ) 由题得 2 ? (3 ? 4k ) ? (?5) ? (2 ? k ) ? 0 , 2b ? a ? (?5,2) ,
解得 k ? ?

?

?

? ?

16 ; 13

考点:①向量的直角坐标运算②用坐标表示向量共线的条件

2p 16. (1) p (2) 3
【解析】 试题分析: (1)利用辅助角公式把三角函数化简,然后利用周期公式(2)代入值,得到关 a 于 的方程,利用已知范围,可求得. 试题解析:解: (1) f ( x) ? 3cos2 x ? sin 2 x ? 2 3sin x cos x 2分

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 4 分

答案第 5 页,总 11 页

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= 2sin(2 x ?

? 函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? 2? ? ? . 2
(2)由 f ? ∴ sin(? ?

π )?2. 6分 6

8分

π ?? ? ? ? 3 ,得 2sin(? ? 6 ) ? 2 ? 3 , ?2? π 1 )? . 6 2
10 分

? ? ? ? 0, π ? ,∴ ? ?
∴? ?

?

? ? 7π ? ?? , ? 6 ?6 6 ?

11 分

?

6 2π ∴? ? . 3
17. (1) [

?

5? 6
12 分

考点:三角函数的辅助角公式,周期公式.

?

6 b?c ?2 (2) sin B ? sin C
【解析】

? k? ,

2? ? k? ] , k ? Z ; 3

试题分析: (1) 根据向量数量积的坐标运算以及二倍角公式、 辅助角公式可得 f ( x) ? m ? n ?

2? ? ? 3? ? ? ,再由 ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z , 6 2 2 6 2 ? 2? ? ? k? ] , k ? Z ; 可 得 单 调 减 区 间 为 [ ? k? , ( 2 ) 由 f ( A) ? 2 , 可 得 A ? , 6 3 3 2 sin( 2 x ?

?

) ? 1 ,故周期 T ?

S ?ABC ?

1 1 3 3 bc sin A ? ? 1 ? c ? ? 2 2 2 2

? c ? 2 , 由 余 弦 定 理 可 得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc c o A s? 3 ? a ? 3 , 再 由

b c a ? ? ? s iB n s iC n s iA n

3 3 2
b?c ?2 sin B ? sin C
2

? b ? 2 sin B , c ? 2 sin C ,故

试题解析: (1) f ( x) ? m ? n ? 2 cos x ? 3 sin 2x

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1

4分

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∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 令

?
2

6 ? 2? ? k? , k ? Z 解得 ? k? ? x ? 6 3
∴函数 f ( x) 的单调递减区间是 [

? 2k? ? 2 x ?

?

?

3? ? 2k? , k ? Z , 2

2? ?? 2

5分

?

6

? k? ,

(2)由 f ( A) ? 2 ,得 2 sin( 2 A ?

?
6

2? ? k? ] , k ? Z 3

7分

) ? 1 ? 2 ,即 sin( 2 A ?

?
6

)?

5? ? 在△ ABC 中,∵ 0 ? A ? ? ,∴ 2 A ? ? ,得 A ? 6 6 3
又∵ S ?ABC ?

?

1 2
9分

1 1 3 3 ,∴ c ? 2 bc sin A ? ? 1 ? c ? ? 2 2 2 2

2 2 2 ∴由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 3 ,∴ a ?

3

12 分



b c a ? ? ? sin B sin C sin A
b?c ?2 sin B ? sin C

3 3 2

,得 b ? 2 sin B , c ? 2 sin C



14 分

考点:三角函数性质及解三角形 18.(1)-7, (2) [ ,

1 3 ? 2]. 2 2

【解析】 试 题 分 析 : (1) 由 向 量 共 线 得 到 等 量 关 系 , 求 出 角 的 正 切 值 ,

? ? 3 3 ? a / / b ? cos x ? sin x ? 0, tan x ? ? 再 利 用 两 角 差 正 切 公 式 求 解 : 4 4 ? tan x ? 1 ? tan( x ? ) ? ? ?7 (2)先根据向量数量积,利用二倍角公式及配角公式得到三 4 1 ? tan x
角函数关系式 f ( x ) ? 2(a ? b ) ? b ?

?

? ?

2 sin(2x ?

?
4

)?

3 ? ?? ,再从角 x ? ? 0, ? 出发研究基本 2 ? 2?















? ? ? 5? 2 ? ? x ? [0, ], ? 2 x ? ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 4 4 4 2 4

1 3 ? ? f ( x) ? ? 2 2 2 ? ? 3 3 试题解析:(1)? a / / b ? cos x ? sin x ? 0, tan x ? ? , 4 4 ? tan x ? 1 ? tan( x ? ) ? ? ?7 6分 4 1 ? tan x
答案第 7 页,总 11 页

3分

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(2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ?

?

? ?

2 sin(2 x ?

?
4

)?

3 2

8分

? ? ? 5? 2 ? ? x ? [0, ], ? 2 x ? ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 4 4 4 2 4
1 3 1 3 ? ? f ( x) ? ? 2 , f ? x ? 的值域为 [ , ? 2]. 2 2 2 2
考点:向量平行坐标表示,三角函数性质 19. (1) [? 【解析】

11 分

14 分

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z) ; (2) S ?ABC ?

3 3. 4

试题分析: (1)首先根据平面向量数量积的坐标运算得到 f ( x) 的表达式,再由二倍角公式 的降幂变形以及辅助角公式将 f ( x) 的表达式进行化简,从而可得 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

),

再 由 正 弦 函 数 y ? sin x 的 单 调 性 , 可 知 要 求 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 , 只 需 令

?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?
? k? ,

?
6

?

?
2

? 2k ?

, 即 可 得

f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为

[?

?
3

?

5 ? k? ](k ? Z) ; (2)由(1)及条件 f ( B) ? 1可得 B ? ? ,再由正弦定理可 6 6

将条件 sin A ? 3 sin C 变形为 a ? 3c ,再结合余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,联立方程 组即可解得 a ? 3 , c ? 1 ,从而 S ?ABC ?

1 3 ac sin B ? 3. 2 4

试题解析: (1)∵ f ( x) ? m ? n ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x ?1 ? 3sin 2x ? cos 2x , ∴

?? ?

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) , 令 ? ? 2k? ? 2? x 6 2

?

?

?

x ? [?

?

3

? k? ,

?

? 6

?

?
2

?2k , (k ? Z)



6

? k? ](k ? Z) ,

∴ 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 [?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z) ;( 2 ) ∵

f ( B) ? 2sin(2 B ? ) ? 1 , 6 ? ? 1 ? 5? ∴ sin(2 B ? ) ? ? 2 B ? ? ,∴ B ? ,∵ sin A ? 3 sin C ,∴ a ? 3c , 3 6 2 6 6 1 3 c ? 1 , ∴ S ?ABC ? ac sin B ? 3. b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , ∴ a ? 3 , 又∵ b ? 7 , 2 4
考点:1.三角恒等变形;2.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的性质;3.正余弦定理解三角形. 20. (1) ? ; (2)当 x ? 【解析】
答案第 8 页,总 11 页

?

5? 时,函数 f ( x) 取得最小值 ? 2 . 8

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试题分析:本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调性、最值等 基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 先利用平方差公式 把原式展开,再利用倍角公式进行化简,最后利用两角和的正弦公式将 f ( x ) 化简成

f ( x) ? A sin( ? x? ? ) ? B的形式,第一问,由最小正周期公式得出结果;第二问,借助于
三角函数的图象判断出函数 f ( x ) 的单调性,求出函数 f ( x ) 的单调区间,从而确定出函数

f ( x) 最大值的位置,同时求出最大值.
试题解析: f ( x) ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) ? 2sin x ? cos x .2 分

? cos2 x ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x

...4 分

? 2 sin(2 x ? ) 4
(1)由最小正周期公式得: T ? (2) x ? [

?

5分

2? ?? 2
3? 7? , ] 4 4

6分

? 3?
,

4 4 4 5? ? 3? 令 2x ? ? ,则 x ? , .8 分 8 4 2 ? 5? 5? 3? ] 单调递减,在 [ , ] 单调递增 从而 f ( x) 在 [ , .10 分 4 8 8 4 5? 即当 x ? 时,函数 f ( x) 取得最小值 ? 2 12 分 8
考点: y ? A sin ?? x ? ? ? 的图象及性质. 21. (1) [ k? ? 【解析】 试题分析: (1)∵ f ( x) ? a ? b ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ?

] ,则 2 x ?

?

?[

7分

?
6

, k? ?

2? ], k ? Z ; (2) [1 ? 3,3] 3 ? ?

) ?1 6 ? ? 3? ? 2? , k ? Z ,解得 k? ? ? x ? k? ? 令 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? 2 6 2 6 3 ? 2? ], k ? Z . 所以,减区间为 [ k? ? , k? ? 6 3
(2)因为将函数 f(x)向左平移

?

? ?? ? ,得到 y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 ,横坐标缩短为原来 12 3? ?



1 倍,纵坐标不变, 2

答案第 9 页,总 11 页

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得到 g ? x ? ? 2sin ? 4 x ?

? ?

??

? ?1 , 3?

∵0 ? x ?

?
4

,∴

?
3

? 4x ?

?
3

?

4? 3 ?? ? ,∴ ? ? sin ? 4 x ? ? ? 1 3 2 3? ?



∴ 1 ? 3 ? 2sin ? 4 x ? 所以值域为 [1 ? 3,3]

? ?

??

? ?1 ? 3 , 3?

考点:本题考查平面向量与三角函数的综合,两角和与差的三角函数,函数

y ? Asin ??x ? ? ? 的图象和性质
点评:解决本题的关键是根据向量的数量积的坐标运算,以及辅助角公式,把函数 f(x) 化简为 y ? Asin ??x ? ? ? 形式 22. (1) T ? 【解析】 试题分析: (1)首先利用向量数量积的坐标运算得到 f ? x ? 的解析式,在根据二倍角的正弦 和余弦公式的逆用及辅助角公式将函数 f ? x ? ? sin(2 x ? 周期 T ?

2? ? ? ? 值域为 [ ?1,1] ; (2) A ? , b ? 2, S ?ABC ? 2 3 . 2 3

?
6

) 化为一角一函数,进一步得到

2? ? ? ? 及值域 [ ?1,1] ; (2)利用角 A 为锐角及 f ? A? ? 1 求得角 A ? ,再利用 2 3

2 2 2 余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 解得边 b ? 2 , 将之前求得的值 c ? 4, b ? 2, A ?

?

3

, 代入

1 bc sin A 即得到所求. 2 ? ? ? ?2 ? ? 1 2 试题解析: (Ⅰ) f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 ? a ? a ? b ? 2 ? sin x ? 1 ? 3 sin x cos x ? ? 2 2
三角形的面积公式 S ? 2分

?

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2 2

? sin(2 x ? ) 6
因为 ? ? 2 ,所以 T ?

?

4分

2? ? ? 值域为 [ ?1,1] 2

6分

(Ⅱ) f ( A) ? sin(2 A ? 因为 A ? (0,

?

?
2

), 2 A ?

?
6

6

) ? 1.

? (?

? 5?
6 , 6

) ,所以 2 A ?

?
6

?

?
2

,A?

?
3



8分

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2 由 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,得 12 ? b ? 16 ? 2 ? 4b ?

1 ,即 b2 ? 4b ? 4 ? 0 . 2

解得 b ? 2 故S ?

10 分 12 分

1 1 bc sin A ? ? 2 ? 4 ? sin 60? ? 2 3 . 2 2
1 2
(2) ?

考点:1.平面向量数量积的坐标运算;2.三角公式;3.余弦定理和三角形的面积公式. 23. (1) 【解析】 (1)由已知,易得 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? 2sin(? x ? ? ) 6

56 65

f ( x) 的最小正周期为 4? ,即 T ?

2?

?

? 4? ,解得 ? ?

由(1) ,知 f ( x) ? 2sin( 1 x ? ? ) ,则 f (2? ? ? ) ? 2sin ?(? ? ) ? ? ? ? 2sin ? ? 6 ? 2 6 3 6 6? 5 ? ? ∴ sin ? ?

1 2 ?

3 4 ?? ? 2 ,又∵ ? ? ? , ? ? ,∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 5 5 ?2 ?

又∵ f (2? ?

2? ? ?? ? 24 ? ) ? 2 sin ?( ? ? ) ? ? ? 2 sin(? ? ) ? 2 cos ? ? ? 3 3 6? 2 13 ?

∴ cos ? ? ?

12 5 ?? ? 2 ,又∵ ? ? ? , ? ? ,∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? 13 13 ?2 ?

∴ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?

3 12 4 5 56 ? (? ) ? (? ) ? ? ? 5 13 5 13 65

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