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山东省淄博市六中2014—2015学年高二数学上学期期末考试试题 理


2013 级高二上学期学分认定考试 理倾数学试题
注意事项: 1.答卷前,考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的 相应位置处。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3.非选择题答案必须写在答题纸相应位置处,不按要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡和答题纸一并收回。

第 I 卷(选择题 共 50 分) 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 数列 0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式 an 可以等于 ( ) A. ?-1? n +1 2 nπ B. cos 2 C. cos n+1 2 π D. cos n+2 2 π

2. 设 a<b<0,则下列不等式中不成立的是 ( ) 1 1 A. a>b B. 1 1 > a-b a C. |a|>-b D. -a> -b )

3. 有一长为 1 的斜坡, 它的倾斜角为 20°, 现高不变, 将倾斜角改为 10°, 则斜坡长为( A.1 C.2cos 10° B.2sin 10° D.cos 20°

4. 等差数列{an}前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 一个等比数列的前三项的积为 3,最后三项的积为 9,且所有项的积为 729,则该数列的 项数是 ( ) A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 x2 y2 6. 双曲线 C : a2 - b2 = 1 的焦距为 10 ,点 P(2,1) 在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 ( x2 y2 A. 80-20=1 ) x2 y2 B. 20-80=1 x2 y2 C. 20- 5 =1 x2 y2 D. 5 -20=1

1 1 7. 若 a>0,b>0,且 ln(a+b)=0,则 a+b 的最小值是 ( 1 A. 4 ) B. 1 C. 4 D. 8

8. 如图所示,平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 A1C1
1

→ → → → 与 B1D1 的交点 . 若 AB = a , AD = b , AA1 = c ,则下列向量中与 BM 相等的向量是 (

?

?

?

? 1? ? 1 A.- a + b + c
2 2

)

1 1 B. 2 a +2 b + c 1 1 D. 2 a -2 b + c

?

?

?

? 1? ? 1 C.- a - b + c
2 2

?

?

?

9. 数列 若 (

{an } 的前 n 项和为 Sn ,
恒 成 立

a1 ?

1 5 ,且对任意正整数 m , n ,都有 am? n ? am ? an ,
则 实 数

Sn ? t
)



t











A.

4

4 B. 3

3 C. 4

1 D. 4

x2 y 2 ? 2 ? 1( a ? 0,b ? 0 ) 2 2 2 2 b 10.过双曲线 a 的左焦点 F( ?c, 0 ) 作圆 x ? y ? a 的切线,切点
??? ? 1 ??? ? ??? ? OE ? ( OF ? OP ) 2 为 E,延长 FE 交抛物线 y ? 4cx 于点 P,O 为原点,若 ,则双曲线离
2

心率为(

)

1? 5 A. 2

3? 3 B. 3

5 C. 2

1? 3 D. 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 若点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0,3)的距离,则点 P 的轨迹方程是_________. 12.推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得 sin21°+sin22°+sin23° +…+sin288°+sin289°=________________. 3 π 13. 已知△ABC 的面积为 2 , AC= 3, ∠ABC=3, 则△ABC 的周长等于_________________. 14. 若 x<m-1 或 x>m+1 是 x2-2x-3>0 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围是 _______.

2

x+2y-3≤0, ? ? 15. 已知变量 x, y 满足条件?x+3y-3≥0, 若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,0)处取 ? ?y-1≤0, 得最大值,则 a 的取值范围是_____________________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 设 p: 关于 x 的不等式 ax>1 的解集是 {x|x<0} ; q: 函数 y= ax2-x+a 的定义域为 R. 若 p∨q 是真命题,p∧q 是假命题,求实数 a 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1) 若 c=2,C=3,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; (2) 若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状.

18. (本小题满分 12 分) an? an +1? 已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且 Sn= , n∈N*. 2 (1) 求证:数列{an}是等差数列; 1 (2) 设 bn=2Sn,Tn=b1+b2+…+bn,求 Tn. 19.(本小题满分 12 分) 某市近郊有一块大约 500m ? 500m 的接近正方形的荒地,地方政府准备在此建一个综合性 休闲广场,首先要建设如图所示的一个矩形场地,其中总面积为 3000 平方米,其中阴影部 分为通道,通道宽度为 2 米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个 小场地形状相同) ,塑胶运动场地占地面积为 S 平方米. (1) 分别用 x 表示

y 和 S 的函数关系式,并给出定义域;

(2) 怎样设计能使 S 取得最大值,并求出最大值.

20. (本小题满分 13 分) 已知四边形 ABCD 是菱形, ?BAD ? 60 ,四边形 BDEF 是矩
0

形 ,平面 BDEF ? 平面 ABCD , G、H 分别是 CE、 CF 的中 点.
3

(1) 求证 : 平面 AEF / / 平面 BDGH ;
0 (2) 若平 面 BDGH 与 平 面 A B C D所 成的角 为 60 , 求 直 线

CF 与平面 BDGH 所成的角的正弦值.

21.(本小题满分 14 分)

1 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 2 ,短轴长为 4 3 .
(1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 直线 x=2 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,A、B 是椭圆 O 上位于直线 PQ 两侧的动点,且直线

1 AB 的斜率为 2 。
①求四边形 APBQ 面积的最大值; ②设直线 PA 的斜率为 判断

k1 ,直线 PB 的斜率为 k2 ,

k1 + k2 的值是否为常数,并说明理由.

2013 级高二上学期学分认定考试 理倾数学答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.D 2. B 3.C 4. A 5. B 6. C 7. C 8. A 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11. x2=12y ; 14. [0,2]; 12.44.5 ; 13.3+ 3 ; 1 ? ? 15. 2,+∞ ? ?

9. D

10.A

4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.) 16.(本小题满分 12 分) 解: 根据指数函数的单调性,可知命题 p 为真命题时, 实数 a 的取值集合为 P={a|0<a<1},-----------------------------------------------------2 分 对于命题 q:函数的定义域为 R 的充要条件是 ax2-x+a≥0 恒成立.-----------4 分 当 a=0 时,不等式为-x≥0,解得 x≤0,显然不成立;----------------------------6 分 当 a≠0 时,不等式恒成立的条件是
? ?a>0, 1 ? ,解得 a≥2.?Δ=?-1? 2 -4a×a≤0 ?

1 所以命题 q 为真命题时,a 的取值集合为 Q={a|a≥2}.------------------------------8 分 由“p∨q 是真命题,p∧q 是假命题”,可知命题 p,q 一真一假, 1 1 当 p 真 q 假时,a 的取值范围是 P∩(?RQ)={a|0<a<1}∩{a|a<2}={a|0<a<2}; 1 当 p 假 q 真时,a 的取值范围是(?RP)∩Q={a|a≤0 或 a≥1}∩{a|a≥2}={a|a≥1}.

? 1? 综上,a 的取值范围是 0,2 ∪[1,+∞).---------------------------------------------12 分 ? ?
17. (本小题满分 12 分) π 解: (1)∵c=2,C=3, ∴由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C 得 a2+b2-ab=4.-------------------------------2 分 1 又∵△ABC 的面积为 3,∴2absin C= 3,ab=4. ----------------------------------4 分
? ?a2+b2-ab=4, 联立方程组? 解得 a=2,b=2. ------------------------------------6 分 ?ab=4, ?

(2)由 sin C+sin(B-A)=sin 2A, 得 sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A, 即 2sin Bcos A=2sin Acos A,∴cos A· (sin A-sin B)=0,----------------------------8 分 ∴cos A=0 或 sin A-sin B=0, 当 cos A=0 时,∵0<A<π, π ∴A=2,△ABC 为直角三角形;---------------------------------------------------------10 分 当 sin A-sin B=0 时,得 sin B=sin A, 由正弦定理得 a=b,即△ABC 为等腰三角形. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.------------------------------------------------12 分 18. (本小题满分 12 分) an? an +1? (1)证明 ∵Sn= ,n∈N*, 2 a1? a1 +1? ∴当 n=1 时,a1=S1= (an>0),∴a1=1. -------------------------------------2 分 2

5

?2Sn=a2 n+an, ? 当 n≥2 时,由? ? n-1+an-1 ?2Sn-1=a2

得 2an=a2 n+an-a2 n-1-an-1. ------------------------------------------------------------------4 分 即(an+an-1)(an-an-1-1)=0, ∵an+an-1>0,∴an-an-1=1(n≥2). 所以数列{an}是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列. ----------------------------------6 分 n? n +1? 1 1 1 1 (2)解 由(1)可得 an=n,Sn= , bn=2Sn= = - .-----------------8 分 2 n? n +1? n n+1 1 1 1 1 1 ∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=1-2+2-3+…+n- n+1 1 n =1- = .--------------------------------------------------------------------------------12 分 n+1 n+1 19. (本小题满分 12 分)

?y ? 解:(1)由已知 xy ? 3000 ,

3000 x ,其定义域是 (6,500) .----------------------------2 分


S ? ( x ? 4)a ? ( x ? 6)a ? (2 x ? 10)a,
3000 ?6 y ?6 1500 x ?a ? ? ? ?3 2 2 x ,

? y ? 2a ? 6



1500 15000 S ? (2 x ? 10)( ? 3) ? 3030 ? ( ? 6 x) x x , 其定义域是 (6, 500).---------------------------6


(2)

15000 15000 S ? 3030 ? ( ? 6 x) ? 3030 ? 2 6x ? ? 3030 ? 2? 300 ? 2430 x x



--------------8 分

15000 ? 6x 当且仅当 x ,即 x ? 50 ? (6,500) 时,上述不等式等号成立,
此时, x ? 50 , y ? 60 ,

Smax ? 2430 .

答:设计 x ? 50m , y ? 60m 时,运动场地面积最大,最大值为 2430 平方米. -----------12 分 20. (本小题满分 13 分) 解: (1) G、H 分别是 CE、CF 的中点 所以 EF / / GH ----① 连接 AC 与 BD 交与 O ,因为四边形 ABCD 是菱形,

6

所以 O 是 AC 的中点 连 OG , OG 是三角形 ACE 的中位线 OG / / AE ---------② 由①②知,平面 AEF / / 平面 BDGH --------------4 分 (2) BF ? BD, 平面 BDEF ? 平面 ABCD ,所以 BF ? 平面 ABCD 取 EF 的中点 N , ON / / BF ? ON ? 平面 ABCD , ---------------------5 分

??? ? ??? ? ???? { OB , OC ,ON} 建系

设 AB ? 2,BF ? t ,

则 分

B ?1, 0, 0 ? , C 0,3, 0 , F ?1, 0,t ?

?

?

?1 3 t ? H? ?2, 2 ,2? ? ? ?

----------------------------------------------7

??? ? ???? ? 1 3 t ? ?? OB ? ?1, 0, 0 ? , OH ? ? ?2, 2 ,2? ? ? ? 设平面 BDGH 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ?? ??? ? ? n1 ? OB ? x ? 0 ? ? ?? ???? 1 3 t ?? y? z ?0 ?n1 ? OH ? x ? n 3 1 ? 0 ,?t , ? 2 2 2 ,所以 ----------------------------------------------9

?

?



n ? ? 0,0,1? 平面 ABCD 的法向量 2
?? ?? ? | cos ? n1 , n2 ?|? 3 3 ? t2 ? 1 2 ,所以 t 2 ? 9, t ? 3

?? ?

---------------------------------------------------11 分

所以

??? ? CF ? 1, ? 3,3

?

? ,设直线 CF 与平面 BDGH 所成的角为?
6 3 3 13 ? 13 13 ? 2 3
---------------------------------------------------13 分

sin ? ?| cos?CF , n1 ? |?

21. (本小题满分 14 分)

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 解: (1)设椭圆 C 的方程为 a . 由已知 b= 2 3
e?


离心率

c 1 2 x2 y2 ? , a ? b2 ? c2 ? ?1 a 2 ,得 a ? 4 所以,椭圆 C 的方程为 16 12 . --------------------4

(2)①由(Ⅰ)可求得点 P、Q 的坐标为 P(2,3) , Q(2,?3) ,则 | PQ |? 6 ,

7

设 A ?x1 , y1 ?, B( x2 , y2 ), 直 线 AB 的 方 程 为

y?

1 x2 y2 x?t ? ?1 2 , 代 人 16 12 得:

x 2 ? tx ? t 2 ? 12 ? 0 .

? x1 ? x2 ? ?t ? x x ? t 2 ? 12 由△>0,解得 ? 4 ? t ? 4 ,由根与系数的关系得 ? 1 2
s?
四边形 APBQ 的面积 故当

---------------------------7 分

1 ? 6 ? x1 ? x2 ? 3 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 3 48 ? 3t 2 2
-------------------------------------------------------------------------------9 分

t ? 0, S max ? 12 3

k1 ?
②由题意知,直线 PA 的斜率

y1 ? 3 y ?3 k2 ? 2 x1 ? 2 ,直线 PB 的斜率 x2 ? 2 则

1 1 x ?t ?3 x2 ? t ? 3 y1 ? 3 y2 ? 3 2 1 k1 ? k2 ? ? ? ?2 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 1 1 ( x1 ? 2) ? t ? 2 ( x2 ? 2) ? t ? 2 t?2 t?2 2 ?2 ?1? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2
------12 分

1?
=

(t ? 2)(x1 ? x2 ? 4) x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ,

? x1 ? x2 ? ?t ? x x ? t 2 ? 12 由①知 ? 1 2
所以 k1 ? k2 的值为常数 0.

可得

k1 ? k2 ? 1 ?

(t ? 2)(?t ? 4) ? t 2 ? 2t ? 8 ? 1 ? ? 1?1 ? 0 t 2 ? 12 ? 2t ? 4 t 2 ? 2t ? 8

-------------------------------------------------------------------14 分

8


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