当前位置:首页 >> 高二数学 >>

2016新课标三维人教A版数学选修4-1 2.3 圆的切线的性质及判定定理




圆的切线的性质及判定定理

[对应学生用书 P25] 1.切线的性质 (1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. 如图,已知 AB 切⊙O 于 A 点,则 OA⊥AB. (2)推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. (3)推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 2.圆的切线的判定方法 (1)定义:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. (2)数量关系:到圆心距离等于半径的直线是圆的切线. (3)定理:过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线. 其中(2)和(3)是由(1)推出的,(2)是用数量关系来判定,而(3)是用位置关系加以判定的. [说明] 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论, “经过半径的外端”和“垂直于这 条半径”这两个条件缺一不可,否则该直线就不是圆的切线.

[对应学生用书 P25] 圆的切线的性质

[例 1] 如图,已知∠C=90° ,点 O 在 AC 上,CD 为⊙O 的直 径,⊙O 切 AB 于 E,若 BC=5,AC=12.求⊙O 的半径. [思路点拨] ⊙O 切 AB 于点 E,由圆的切线的性质,易联想到 连接 OE 构造 Rt△OAE,再利用相似三角形的性质,求出⊙O 的半 径. [解] 连接 OE, ∵AB 与⊙O 切于点 E, ∴OE⊥AB,即∠OEA=90° . ∵∠C=90° ,∠A=∠A, ∴Rt△ACB∽Rt△AEO,

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn



OE AO = . BC AB

∵BC=5,AC=12,∴AB=13, ∴ OE 12-OE = , 5 13

10 ∴OE= . 3 10 即⊙O 的半径为 . 3

利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线, 其中连接圆心和切点 的半径是常用辅助线,从而可以构造直角三角形,利用直角三角形边角关系求解,或利用勾 股定理求解,或利用三角形相似求解等.

1. 如图, AB 切⊙O 于点 B, 延长 AO 交⊙O 于点 C, 连接 BC.若∠A=40° , 则∠C=(

)

A.20° C.40°

B.25° D.50°

解析:连接 OB,因为 AB 切⊙O 于点 B,所以 OB⊥AB,即∠ABO= 90° ,所以∠AOB=50° . 又因为点 C 在 AO 的延长线上,且在⊙O 上, 1 所以∠C= ∠AOB=25° . 2 答案:B 2.如图,已知 PAB 是⊙O 的割线,AB 为⊙O 的直径.PC 为⊙O 的切线,C 为切点,BD⊥PC 于点 D,交⊙O 于点 E,PA=AO=OB =1. (1)求∠P 的度数; (2)求 DE 的长. 解:(1)连接 OC. ∵C 为切点,∴OC⊥PC,△POC 为直角三角形. ∵OC=OA=1,PO=PA+AO=2,

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

OC 1 ∴sin ∠P= = .∴∠P=30° . PO 2 (2)∵BD⊥PD,∴在 Rt△PBD 中, 由∠P=30° ,PB=PA+AO+OB=3, 3 得 BD= . 2 连接 AE.则∠AEB=90° ,∴AE∥PD. ∴∠EAB=∠P=30° ,∴BE=ABsin 30° =1, 1 ∴DE=BD-BE= . 2 圆的切线的判定 [例 2] 已知 D 是△ABC 的边 AC 上的一点, AD∶DC=2∶1, ∠C=45° , ∠ADB=60° , 求证:AB 是△BCD 的外接圆的切线.

[思路点拨] 连接OB,OC,OD → ∠BOD=90°→ ∠OBC=∠OCB=30°→ ∠ABO=90°→ 结论 . [证明] 如图,连接 OB,OC,OD,OD 交 BC 于 E.

? 所对的圆周角, ∵∠DCB 是 BD ? 所对的圆心角, ∠BOD 是 BD
∠BCD=45° , ∴∠BOD=90° . ∵∠ADB 是△BCD 的一个外角, ∴∠DBC=∠ADB-∠ACB =60° -45° =15° , ∴∠DOC=2∠DBC=30° , 从而∠BOC=120° , ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=30° . 在△OEC 中,因为∠EOC=∠ECO=30° , ∴OE=EC, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

在△BOE 中,因为∠BOE=90° ,∠EBO=30° . ∴BE=2OE=2EC, ∴ CE CD 1 = = , BE DA 2

∴AB∥OD,∴∠ABO=90° , 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线.

要证明某直线是圆的切线,主要是运用切线的判定定理,除此以外,还有圆心到直线的 距离等于半径等判定方法, 但有时需添加辅助线构造判定条件, 其中过圆心作直线的垂线是 常用辅助线.

3. 本例中, 若将已知改为“∠ABD=∠C”, 怎样证明: AB 是△BCD 的外接圆的切线. 证明:作直径 BE,连接 DE, ∵BE 是⊙O 的直径, ∴∠BDE=90° , ∴∠E+∠DBE=90° . ∵∠C=∠E,∠ABD=∠C, ∴∠ABD+∠DBE=90° . 即∠ABE=90° . ∴AB 是△BCD 的外接圆的切线. 1 4.如图,△ABC 内接于⊙O,点 D 在 OC 的延长线上,sin B= ,∠D= 2 30° . (1)求证:AD 是⊙O 的切线. (2)若 AC=6,求 AD 的长. 解:(1)证明:如图,连接 OA, 1 ∵sin B= ,∴∠B=30° , 2 ∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=60° , ∵∠D=30° , ∴∠OAD=180° -∠D-∠AOC=90° , ∴AD 是⊙O 的切线. (2)∵OA=OC,∠AOC=60° , ∴△AOC 是等边三角形,∴OA=AC=6,

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∵∠OAD=90° ,∠D=30° , ∴AD= 3AO=6 3. 圆的切线的性质和判定的综合考查

? 的中点,DE⊥AC 交 AC [例 3] 如图,AB 为⊙O 的直径,D 是 BC
的延长线于 E,⊙O 的切线 BF 交 AD 的延长线于点 F. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若 DE=3,⊙O 的半径为 5,求 BF 的长. [思路点拨] (1)连接 OD,证明 OD⊥DE;

(2)作 DG⊥AB. [证明] (1)连接 OD,

? 中点, ∵D 是 BC
∴∠1=∠2. ∵OA=OD, ∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3. ∴OD∥AE. ∵DE⊥AE,∴DE⊥OD,即 DE 是⊙O 的切线. (2)过 D 作 DG⊥AB, ∵∠1=∠2,∴DG=DE=3. 在 Rt△ODG 中,OG= 52-32=4, ∴AG=4+5=9. ∵DG⊥AB,FB⊥AB,∴DG∥FB. ∴△ADG∽△AFB. ∴ ∴ DG AG = . BF AB 3 9 10 = .∴BF= . BF 10 3

对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点, 其解答思路常常是先证明某直线是圆 的切线,再利用切线的性质来求解相关结果.

5.如图,已知两个同心圆 O,大圆的直径 AB 交小圆于 C、D,大圆的

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

弦 EF 切小圆于 C,ED 交小圆于 G,若小圆的半径为 2,EF=4 3,试求 EG 的长. 解:连接 GC,则 GC⊥ED. ∵EF 和小圆切于 C, 1 ∴EF⊥CD,EC= EF=2 3. 2 又 CD=4,∴在 Rt△ECD 中, 有 ED= EC2+CD2 = ?2 3?2+42=2 7.

由射影定理可知 EC2=EG· ED, EC2 ?2 3?2 6 7 ∴EG= = = . ED 7 2 7

6.如图,以 Rt△ABC 直角边 AC 上一点 O 为圆心,OC 为半径的 ⊙O 与 AC 的另一个交点为 E,D 为斜边 AB 上一点且在⊙O 上,AD2 =AE· AC. (1)证明:AB 是⊙O 的切线; (2)若 DE· OB=8,求⊙O 的半径. 解:(1)证明:连接 OD,CD, ∵AD2=AE· AC, ∴ AD AC = .又∵∠DAE=∠DAC, AE AD

∴△DAE∽△CAD,∴∠ADE=∠ACD. ∵OD=OC,∴∠ACD=∠ODC, 又∵CE 是⊙O 的直径, ∴∠ODE+∠CDO=90° ,∴∠ODA=90° , ∴AB 是⊙O 的切线. (2)∵AB,BC 是⊙O 的切线, ∴OB⊥DC,∴DE∥OB,∴∠CED=∠COB, ∵∠EDC=∠OCB,∴△CDE∽△BCO, ∴ DE CE = ,DE· OB=2R2=8, CO BO

∴⊙O 的半径为 2.

[对应学生用书 P27]

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

一、选择题 1.下列说法:①与圆有公共点的直线是圆的切线;②垂直于圆的半径的直线是圆的切 线;③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;④过直径的端点,垂直于此直径的直线是 圆的切线.其中正确的有( A.①② C.③④ 答案:C 2.如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,AC 交⊙O 于 D.AB =6,BC=8,则 BD 等于( A.4 C.5.2 解析:∵AB 是⊙O 的直径,∴BD⊥AC. ∵BC 是⊙O 的切线,∴AB⊥BC. ∵AB=6,BC=8,∴AC=10. AB· BC ∴BD= =4.8. AC 答案:B 3.如图,CD 切⊙O 于 B,CO 的延长线交⊙O 于 A,若∠C=36° ,则∠ ABD 的度数是( A.72° C.54° 解析:连接 OB. ∵CD 为⊙O 的切线,∴∠OBC=90° . ∵∠C=36° ,∴∠BOC=54° . 又∵∠BOC=2∠A,∴∠A=27° , ∴∠ABD=∠A+∠C=27° +36° =63° . 答案:B 4.如图,在⊙O 中,AB 为直径,AD 为弦,过 B 点的切线与 AD 的延长线交于 C,若 AD=DC,则 sin ∠ACO 等于( A. C. 10 10 5 5 B. D. 2 10 2 4 ) ) B.63° D.36° ) B.4.8 D.6 ) B.②③ D.①④

解析:连接 BD,则 BD⊥AC. ∵AD=DC,∴BA=BC, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∴∠BCA=45° . ∵BC 是⊙O 的切线,切点为 B, ∴∠OBC=90° . OB OB 5 ∴sin ∠BCO= = = , OC 5OB 5 BC 2OB 2 5 cos ∠BCO= = = . OC 5 5OB ∴sin ∠ACO=sin(45° -∠BCO) =sin 45° cos ∠BCO-cos 45° sin ∠BCO = 2 2 5 2 5 10 × - × = . 2 5 2 5 10

答案:A 二、填空题 5.如图,已知∠AOB=30° ,M 为 OB 边上一点,以 M 为圆心、2 为半径作⊙M.若点 M 在 OB 边上运动,则当 OM=________时,⊙M 与 OA 相切.

解析:若⊙M 与 OA 相切,则圆心 M 到直线 OA 的距离等于圆的半 径 2. 过 M 作 MN⊥OA 于点 N, 则 MN=2. 在 Rt△MON 中,∵∠MON=30° , ∴OM=2MN=2×2=4. 答案:4 6.已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA=2,AC 是圆 O 的直径,PC 与圆 O 交于 B 点,PB=1.则圆 O 的半径 R=________. 解析:AB= AP2-PB2= 3. 由 AB2=PB· BC, ∴BC=3,Rt△ABC 中, AC= AB2+BC2=2 3. ∴R= 3. 答案: 3 7.圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3,过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

AD,AD 分别与直线 l、圆交于点 D、E,则∠DAC=________,DC=________. 解析:连接 OC, ∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC. 又∠DCA+∠ACO=90° , ∠ACO+∠OCB=90° , ∴∠DCA=∠OCB, ∵OC=3,BC=3, ∴△OCB 是正三角形. ∴∠OBC=60° ,即∠DCA=60° . ∴∠DAC=30° . 在 Rt△ACB 中,AC= AB2-BC2=3 3, DC=ACsin 30° = 答案:30° 三、解答题 8.如图所示,D 是⊙O 的直径 AB 的延长线上一点,PD 是⊙O 的 切线,P 是切点,∠D=30 ° . 求证:PA=PD. 证明:如图,连接 OP, ∵PD 是⊙O 的切线,P 为切点. ∴PO⊥PD. ∵∠D=30° ,∴∠POD=60° . 又∵OA=OP, ∴∠A=∠APO=30° . ∴∠A=∠D.∴PA=PD. 9.如图, 已知在△ABC 中, AB=AC, 以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于 D, 过 D 点作⊙O 的切线交 AC 于 E. 求证:(1)DE⊥AC; (2)BD2=CE· CA. 证明:(1)连接 OD,AD. ∵DE 是⊙O 的切线,D 为切点, ∴OD⊥DE. ∵AB 是⊙O 的直径, 3 3 2 3 3. 2

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∴AD⊥BC.又 AB=AC, ∴BD=DC. ∴OD∥AC.∴DE⊥AC. (2)∵AD⊥BC,DE⊥AC, ∴△CDE∽△CAD. ∴ CD CE = .∴CD2=CE· CA. CA CD

∴BD=DC.∴BD2=CE· CA. 10.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BD 是⊙O 的直径,AE⊥CD,垂 足为 E,DA 平分∠BDE. (1)求证:AE 是⊙O 的切线; (2)若∠DBC=30° ,DE=1 cm,求 BD 的长. 解:(1)证明:连接 OA. ∵DA 平分∠BDE, ∴∠BDA=∠EDA. ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠OAD. ∴∠OAD=∠EDA. ∴OA∥CE. ∵AE⊥DE,∴∠AED=90° , ∴∠OAE=∠DEA=90° . ∴AE⊥OA. ∴AE 是⊙O 的切线. (2)∵BD 是直径, ∴∠BCD=∠BAD=90° . ∵∠DBC=30° ,∴∠BDC=60° . ∴∠BDE=120° . ∵DA 平分∠BDE, ∴∠BDA=∠EDA=60° . ∴∠ABD=∠EAD=30° . 在 Rt△AED 中,∠AED=90° ,∠EAD=30° , ∴AD=2DE. 在 Rt△ABD 中,∠BAD=90° ,∠ABD=30° , ∴BD=2AD=4DE.

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∵DE 的长是 1 cm, ∴BD 的长是 4 cm.

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn


赞助商链接
相关文章:
...第二讲三 圆的切线的性质及判定定 Word版含解析
2017年高中数学人教A版选修4-1学案:互动课堂 第二讲三 圆的切线的性质及判定定 Word版含解析 - 语文数学英语,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元...
...A版选修4-1创新应用教学案:第二讲三圆的切线的性质及判定定理-...
2018-2019学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案:第二讲三圆的切线的性质及判定定理-含答案 - 数学圆的切线的性质及判定定理 [对应学生用书 P25] 1...
...圆的切线的性质及判定定理课后导练新人教A版选修4_1...
高中数学讲直线与圆的位置关系第三节圆的切线的性质及判定定理课后导练新人教A版选修4_1(含解析)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学课后导练新...
...2.3 圆的切线的性质及判定定理教案 新人教A版选修4-...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.3 圆的切线的性质及判定定理教案 新人教A版选修4-1_数学_高中教育_教育专区。三 圆的切线的性质及判定定理...
...的判定和性质 作业(答案解析) 高中数学选修4-1 北师...
圆的切线的判定性质 作业(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版_高三数学_...2 所以∠APB=∠OPA-∠OPB=90°-65°=25°. 答案:A 3.如图所示,PA 为⊙...
...讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理创...
高中数学讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理创新应用教学案新人教A版选修4_1 - 三 圆的切线的性质及判定定理 [对应学生用书 P25] 1.切线的...
...判定和性质 课时作业(答案解析) 高中数学选修4-1 北...
圆的切线的判定性质 课时作业(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学选修4-1 北师大版知能优化训练 作业 同步练习...
...版数学选修4-1教学案:第一章22.2圆的切线的判定和性...
2018-2019学年度最新北师大版数学选修4-1教学案:第一章22.2圆的切线的判定性质 - 2.2 圆的切线的判定性质 [对应学生用书 P15] [自主学习] 1.切线的...
2017-2018学年高中数学北师大版选修4-1同步配套教学案:...
2017-2018学年高中数学北师大版选修4-1同步配套教学案:第一章 §2 2.2 圆的切线的判定性质 - 2.2 圆的切线的判定性质 [对应学生用书 P15] [自主学习...
【高中数学】2018-2019学年人教B版高中数学-选修4-1教...
【高中数学】2018-2019学年人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章圆的切线(可直接打印) - _1.2 圆周角与弦切角 1.2.1 圆的切线 [对应学生用书 P15] [...
更多相关标签: