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1.5


1.5函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(1)

在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的 关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中A, ω, φ都是常数). 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y y
6 4 2 6

4
2

o
-2
-4 -6

2

4

6

8

x

o
-2
-4 -6

0.01

0.02

0.03

0.04

x

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有 何关系?
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似, 从解析式来看,函数y ? sin x就是函数y ? A sin( ?x ? ? )在 A ? 1, ? ? 1,? ? 0时的情况.

你认为怎样讨论参数? , ? , A对y ? A sin( ?x ? ? )的 图象的影响?

(一)探索?对y ? sin( x ? ? ), x ? R的图象的影响.

结论 : y ? sin( x ? ? )(其中? ? 0)的图象, 可以看作 是把正弦曲线上所有的点向左(当? ? 0时) 或向右(当? ? 0时)平行移动? 个单位长度而得到.

例1、 画出函数 y ? sin( x ?
y ? sin( x -

p
3

) ,x ∈R ,及

p
4

) ,x∈R ,的简图。

y
1
-p O 3

y ? sin( x ? p ) 3

p
4

y=sinx p y ? sin( x ) 4 2p

p

x

-1

y
1
-p O 3

y ? sin( x ? p ) 3

p
4

p

y=sinx p y ? sin( x ) 4 2p

x

-1

结论:函数y=sin(x+φ) 的图象可以看作是把
y=sinx 的图象上所有的点向左(当 φ >0时)或
向右(当φ <0时)平移| φ |个单位而得到的。
所有的点向左( φ>0) 或向右( φ<0)平行移动

y=sinx, x∈R

y=sin(x+ φ),x∈R

| φ | 个单位长度

Φ的变化引起图象位置发生变化(左加右减)

(二)探索?对y ? sin( ?x ? ? )的图象的影响.
结论 : 函数y ? sin( ?x ? ? )的图象, 可以看作是把 y ? sin( x ? ? )的函数图象上所有点的横坐标 缩短(当? ? 1时)或伸长(当0 ? ? ? 1时)到原来的 1

?

倍(纵坐标不变)而得到的.

例2画出函数y=sin2x, x∈R ,y= sin 1 x,x∈R的简图
1) 列表:
2

2x

0 0

p p
2

p

x

p
2

4

3p 2p 2 3p p 4

1 x 2

0 0
x

p
2

p

3p 2p 2

x
sin 1 2

p 1

2p 3p 4p 0 -1 0

sin2 x 0

1

0 -1 0
y=sin2x

0

2) 描点、连线:

y

y ? sin x

1

o
-1

p p 3p 4 2 4

p

3p 2

2p

y ? sin1 x 2

4p

3p

x

y
1

y=sin2x

y ? sinx

o
-1

p p 3p 4 2 4

p

3p 2

2p

y ? sin1 x 2

4p

3p

x

结论:函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图象可以看作是把
y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当?>1时)或伸长 (当0<?<1时) 到原来的 1 倍(纵坐标不变) 而得到的。
横坐标伸长(0 ? ? ? 1) 1 或缩短 (? ? 1) ? 倍
纵坐标不变

?

y=sinx, x∈R

y=sinω x, x∈R
2p

?决定函数的周期T ? .

?

(三)探索A对y ? A sin( ?x ? ? )的图象的影响.
结论 : 函数y ? A sin( ?x ? ? )的图象, 可以看作是把 y ? sin( ?x ? ? )上所有点的纵坐标伸长(当A ? 1时) 或缩短(当0 ? A ? 1时)到原来的A倍(横坐标不变) 而得到.从而,函数y ? A sin( ?x ? ? )的值域是?- A, A?, 最大值是A, 最小值是 - A.

例3画出函数y=2sinx, x∈R , y= 1 sinx,x∈R的简图 sinx 2
解:列表

x

0 0

p
2

3p p 2p 2

1 2
1 2

0 -1 0 -2
1 0 2

0 0 0

y
2
1 2 1 2

1

y ? 2 sin x 1 1 y ? sin x y ? sin x sin x 2 3p 2

2sinx 0

0

o

-1
-2

p 2

2

p

2p

x

提问:观察讨论上述三个函数图象及所列的表格,什么发生了变
化?它又是怎样变化的?与系数A有什么关系?什么没有变?

结论: 一般地,函数y=Asinx,

x∈R (其中A>0且 A≠1)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐 标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的 A倍(横坐标不变)而得到。函数y=Asinx, x∈R 的 值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A。
纵坐标伸长 ( A ? 1 ) 或 缩短 ( 0 ? A ? 1 ) A 倍 横坐标不变

y=sinx, x∈R

y=Asinx, x∈R
( ymax ? A, ymin ? - A)

A的大小决定这个函数的 最大 (小)值.
快速训练 : 画出下列函数在长度为 一个周期的闭区间上的 简图 : 3 1 ? sin x , x ? R; ( 2) y ? sin x , x ? R. (1) y 2 3

1 p 思考 : 怎样由y ? sin x的图象得到y ? 2 sin( x - ) 3 6 的图象 ?
函数y ? sin x
(1)向右平移

p
6

y ? sin( x - )的图象 6 1 p y ? sin( x - )的图象 3 6 1 p y ? 2 sin( x - )的图象 3 6

p

(2)横坐标伸长到原来的3倍

纵坐标不变
(3)纵坐标伸长到原来的2倍

横坐标不变

例1

1 p 画出函数y ? 2 sin( x - )的简图. 3 6
p p

解 : (画法一)先把正弦曲线上所有点向右平移 个 6 单位长度, 得到y ? sin( x - )的图象; 再把后者所有 6 点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变), 得到 1 p y ? sin( x - )的图象; 再把所得图象上所有的纵坐标 3 6 1 p 伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y ? 2 sin( x - ) 3 6 的图象.

y
3

2
1

p y=sin(x- )① 6

1 p y ? 2 sin( x - ) ③ 3 6
y ? sin(
2p
7p 2

1 p x - )② 3 6
13p 2

o
-1

p 6

p 2

p
y=sinx

x

-2
-3

(1)列表 :

X x y

0
p 2

p 2

p
7p 2

3p 2

2p
13p 2

y

2p

5p

0

2

0

-2

0
2

(2)描点 :

O -2

p
2

2p

p 7p 13p ( ,0), (2p ,2), ( ,0), (5p ,-2), ( ,0) 2 2 2
(3)连线 :

7p 2

5p

13p 2

x

1 p (画法二)利用"五点法"画函数y ? 2 sin( x - )在 3 6 2p 一个周期(T ? 1 ? 6p )内的图象. 3

1 p p 令X ? x - , 则x ? 3( X ? ). 3 6 6 p 3p 当X取0, , p , ,2p时, 可求得相对应的x和y 2 2 的值, 得到"五点", 再描点作图. 然 后 将 简 图再"描 点 "作 . . , 五点
X x y
0
p 2
p 2

p
7p 2

3p 2

2p
13p 2

2p

5p

0

2

0

-2

0

1

y
p

步骤1
-1

o

p 2

3p 2

2p

x

(沿x轴平行移动)

y
步骤2
1
3p 2

2p

o
-1

p 2

p

x (横坐标伸长或缩短)

1

y o
p 2

步骤3
-1

p

3p 2

2p

x

(纵坐标伸长或缩短)
1

y o

步骤4
-1

p 2

p

3p 2

2p

x

3.作函数y=Asin(?x+?)的图象

y ? A sin( ?x ? ? )(其中A ? 0, ? ? 0)在简谐 运动中的相关概念: (1) A 振幅 2p ( 2)T ? 周期 ? 1 ? ( 3) f ? ? 频率 T 2p (4)?x ? ? 相位
(5)?

初相

例题讲解

π 例1. 画出函数y ? 3sin(2x ? )的简图. 3 解:(1)列表
2x ? p 3

0
-π 6

π 2
π 12

π
π 3

3π 2
7π 12


5π 6

x
3sin(2 x ? p ) 3

0

3

0

-3

0

(2) 描点: ( - p , 0) ( p , 3) 6 12

( p , 0) 3

( 7p , -3) 12

( 5p , 0) 6

y
3

p y ? 3 sin( 2 x ? ) 3

(3)连线:
π 6

o

p
12

p
3

7p 12

5p 6

x

-3

课堂练习 1.函数y=
1 3

sin(2x+

p
6

)的图象可以看作是把

1 函数y= sin2x的图象做以下平移 3

A.向左平移 12 2p C.向左平移
3

p

B.向右平移 12
2p C.向有平移 3

p

2.函数y=Asin(?x+?) (A>0,?>0)的一个周期内 的图象如图,则有 ( ) y p

( A) y ? 3 sin( x ? ( B ) y ? 3 sin( x ?

p

6

); );

3

3 p (C ) y ? 3 sin( 2 x ? ); 6 p ( D ) y ? 3 sin( 2 x ? ). 3

o

p
3

5p 6

x

-3

(1)为了得到函数y ? 3 sin( x - )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? ( A)向右平行移动 个单位长度. 5 ( B )向左平行移动 个单位长度. 5 2p (C )向右平行移动 个单位长度. 5 2p ( D )向左平行移动 个单位长度. 5

1.选择题 :已知函数y ? 3 sin( x ? )的图象为C. 5 p

p

p p

1.选择题 :已知函数y ? 3 sin( x ? )的图象为C. 5

p

(2)为了得到函数y ? 3 sin( 2 x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? B ? ( A)横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变 1 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C )纵坐标伸长到原来的2倍, 横坐标不变 1 ( D )纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2

p

1.选择题 :已知函数y ? 3 sin( x ? )的图象为C. 5 p (3)为了得到函数y ? 4 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ?

p

4 ( A)横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变 3 3 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 4 (C )纵坐标伸长到原来的 倍, 横坐标不变 3 3 ( D )纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4

2.把y ? sin( 2 x ? )的图象向右平移 个单位, 3 6 这时图象所表示的函数为? D ? A. y ? sin( 2 x ? ) 2 B. y ? sin( 2 x ? ) 6 3 C. y ? sin( 2 x ? ) 2 D. y ? sin 2 x

p

p

p p

x p x 3.要得到函数y ? sin( - )的图象, 可由y ? sin 2 6 2 的图象? C ? A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移

p
6

p
6

p
3

D. 向左平移

p
3

例2、某简谐运动图象 如图.试根据图象回 答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅,周期与频率各是多少?
(2)如果从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一 次往复运动?如果从A点算起呢?

(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
y/cm
A 0.4 B 0.8 D F 2 E 1.2

O

x/s

C

解:(1)从图像上可知,这个简谐振动的振幅为 2cm;周期为8s;频率为1.25

(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完 成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线 上的E点,表示完成了一次往复运动
(3)设这个简谐振动的函数表达式为
y ? A sin(? x ? ? ), x ?[0, ??)

那么,A=2;由于

2p 5p ? 0.8得? ? ; ? 2

由图象知初相为0,于是所求函数表达式是
y ? 2 sin 5p x , x ? [0,??). 2

由下图所示函数图象求y ? A sin(? x ? ? )( ? ? p )的表达式。 练习1:

解:A ? 2

7p p T? - - ) p ( ? 8 8
p

?可设y ? 2sin(2 x ? ? )
又y ? 2sin(2 x ? ? )过点(- , 0), 8 p ? 2sin[2(- ) ? ? ] ? 0, 8

y

2p ?? ?2 T

2
3p 8
7p 8

? 2(- ) ? ? ? kp, p 8 p p 8 取k=0,?? ? ?? ? ? kp , 4 4

p

x

? y ? 2sin(2 x ? ) 4

p

-2

下图所示的曲线是 y ? A sin(?x ? ? ) 练习2: ( A ? 0, ? ? 0)的图象的一部分,求这 个 函数的解析式 . 2p
3 5p p ? T? 4 6 12

解:A ? 2

?T ? p

??

T

?2

? ?可设y ? 2sin(2 x ? ? ) 又y ? 2sin(2 xy ? )过点( ,2) 12
? 2sin(2 ?

p

p

12

? ? ) ? 2,

2
p
5p 6

? sin( ? ? ) ? 1, ? ? ? ? ? 2kp, 6 6 2 ?? ?

p

p

p
3

? 2kp, ? 取k ? 0, 则? ?

p
3



o
-2

p 12

x

? y ? 2sin(2 x ? ) 3

p

练习4:

函数y ? A sin(? x ? ? ) ? k ( A ? 0, ? ? 0)

5p 7 在同一周期内,当x ? 时,y有最大值为 ; 3 3 11p 2 当x ? 时,y有最小值为 - ,求此函数的解析式. 3 3 7 2 3 解:2A ? - - )=3 ( ?A? 3 3 2
T 11p 5p ? ? ? 2p 2 3 3

?T ? 4p

2p 1 ?? ? T 2

7 2 ? (- ) 3 3 ?5 ?k ? 2 6 3 1 5 ? y ? sin( x ? ? ) ? 2 2 6

3 1 5p 7 11p 2 又y ? sin( x ? ? ) ? k 过点( , ), ( , - ). 2 2 3 3 3 3

p ? 5p ? 6 ? ? ? 2 ? 2 kp ? ?? ?11p ? ? ? 3p ? 2kp ? 6 2 ?
取k ? 0, 则? ? -

1 5p 5 7 ?3 sin( ? ??) ? ? ?2 ? 2 3 6 3 ?? ? 3 sin( 1 ? 11p ? ? ) ? 5 ? - 2 ?2 2 3 6 3 ?

5p ? ?sin( 6 ? ? ) ? 1 ? ?? ?sin(11p ? ? ) ? -1 ? 6 ?

?? ? -

p
3

? 2kp

p
3

3 1 p 5 ? y ? sin( x - ) ? 2 2 3 6

练习5:
若函数 y ? 3 sin(2 x -

p
3

) 表示一个振动量:

⑴求这个振动的振幅、周期、初相; ⑵不用计算机和图形计算器,画出该函数的简图; ⑶根据函数的简图,写出函数的单调区间. (1)振幅A=3、周期T=π、初相φ=-π/3 (3)单调递增区间为 单调递减区间为
5p [ - ? kp , ? kp ] 12 12 5p 11p [ ? kp , ? kp ] 12 12

p

先平移后伸缩
y ? sin x
向左平移

先伸缩后平移
y ? sin x

p
3

y ? sin( x ?

p
3

1 横坐标缩短到 倍 2

)

y ? sin 2 x
向左平移

1 横坐标缩短到 倍 2

p
6

y ? sin(2 x ?

p

3

)

y ? sin(2 x ?

p

3

)

纵坐标伸长到2倍

纵坐标伸长到2倍

y ? 2sin(2 x ?

p
3

)

y ? 2sin(2 x ?

p
3

)

作正弦型函数y=Asin(?x+?) 的图象的方法:
(1)利用变换关系作图; (2)用“五点法”作图。

P66 2.(3), (4)


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