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福建省莆田第六中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题文(新)


莆田六中 2015-2016 学年高二下期中考试文科数学
2016 年 5 月 6 日 满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题有且只有一项是符合题目要求的)
2 1.设集合 A ? ??1,0,1,2,3? , B ? x x ? 2 x ? 0 ,则 A ? B ? (

r />?

?



A. ?2,3?

B. (2,3)

C. ??1,3?

D (?1,3)

2 2.设集合 A ? x 1 ? x ? 4 ,集合 B ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 A ? (CR B) ? ( )

?

?

?

?

A. (1, 4)

B. (3, 4)

2 3.已知集合 A ? y y ? x , B ? x y ? lg(1 ? x ) ,则 A ? B ? (

?

C. (1,3)

?

?

D. (1, 2) ? (3, 4)

?



A. [0,1] 4. 复数 z ? A.

B. [0,1)

C. (??,1)

D. ? )

2 ( i 是虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点是( 1? i
B.

(1.1)

(1, ?1)

C.

(?1,1)

D. (?1, ?1)

5.如图,在复平面内,复数 z1 和 z2 对应的点分别是 A 和 B,则

z2 =( z1

)

A.

1 2 ? i 5 5

B.

2 1 ? i 5 5

C. ?

1 2 ? i 5 5

D. ?

2 1 ? i 5 5
)

6.i 为虚数单位,若 ( 3 ? i) z ? (1 ? 3i) ,则 z =( A.1 B. 2 C. 3 D.2 )

7.已知命题 p : ?x ? 0, x ? A. ?x ? 0, x ? C. ?x ? 0, x ?

1 ? 2 ,则 ?p 为( x
B. ?x ? 0, x ? D. ?x ? 0, x ?

1 ?2 x

1 ?2 x

1 ?2 x
2 2

1 ?2 x

8.“ a ? b ”是“ a ? b ”的( ) A.充分非必要条件. C.充要条件. B.必要非充分条件. D.既非充分又非必要条件.

9.在极坐标系中,与曲线 ? ? cos ? 关于直线 ? ?

?
6

( ? ? R )对称的曲线的极坐标方程是(

)A.

? ? ? cos( ? ? )
6

B. ? ? cos(

?
6

??)
x

C. ? ? cos(
?x

?
3

?? )

D. ? ? cos(

?
3

?? )

10.已知命题 p:对于 ?x ? R ,恒有 2 ? 2 论正确的是( )

? 2 成立,命题 q:奇函数 f ( x) 的图象必过原点.则下列结

1

A. p ? q 为真

B. (?p) ? q 为真 C. p ? (?q) 为真

D. ? p 为真 )

11.设函数 f ( x) ? ln( x ? A.充分必要条件 C.必要而非充分条件

x2 ? 1) ,则对任意实数 a , b , a ? b ? 0 是 f (a) ? f (b) ? 0 的(
B.充分而非必要条件 D.既非充分也非必要条件

12.已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? 1 , 若存在实数 t , 使得对任意实数 x ? [1, m] 都有 f ( x ? t ) ? x 成立, 则实数 m 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.无穷大 二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

3 ? bi (b ? R ) 的实部和虚部相等,则 | z | =___________ 2?i 14. 若不等 式 x ? 1 ? a 成立的充分条件是 0 ? x ? 4 ,则实数 a 的取值范围是
13.如果复数 z ?



15.已知对任意满足 x 2 ? 4 y 2 ? 4 的实数 x , y ,都有不等式 2 x ? y ? a ? 0 成立,则 a 的取值范围是______ 16.某工厂对新研发的一种产品进行试销,得到如下数据表: 单价 x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 销量 y(百件) 90 84 83 80 75

9 68

已知销量 y 与单价 x 具有线性回归关系,该工厂每件产品的成本为 5.5 元,请你利用所求的线性回归关系 预测:要使得利润最大,单价应该定为__________(元)

?x ? a ? ?b ? 中斜率和截距最小二乘估计计算公式: 附:线性回归方程 y

?? b

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i

n

?( x ? x)
i ?1 i

n

?x ? ? y ?b ,a

2

三、解答题:本大题共 6 小题,17 题 10 分,其它每题 12 分,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤。 17. 设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ? | x ? 2 | . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 4 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? m ? 2 的解集是非空集合,求实数 m 的取值范围.

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 18.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数).以原点为极点, x 轴正半轴 ?y ? 3 t ? ? 2
2

为极轴建立极坐标系,圆 C 的方程为 ? ? 2 3 sin ? . (Ⅰ)写出直线 l 的普通 方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 的直角坐标为 (1,0) ,圆 C 与直线 l 交于 A, B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值.

? x ? 1 ? cos? , (其中 ? 为参数), 以坐标原点 O 为极点, ? y ? sin ? x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? . (Ⅰ)若 A,B 为曲线 C1 , C2 的公共点,求直线 AB 的斜率;
19. 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数 方程为 ? (Ⅱ)若 A,B 分别为曲线 C1 , C2 上的动点,当 AB 取最大值时,求 ?AOB 的面积.

2 2 20.设 p :实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 , q :实数 x 满足 x ? 3 ? 1.

(1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若其中 a ? 0 且 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

21.为了增强消防安全意识,某中学对全体学生做了一次消防知识讲座,从男生中随机抽取 50 人,从女生 中随机抽取 70 人参加消防知识测试,统计数据得到如下列联表:

男生

女生

总计 (1)试判断能否认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关; (参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc )2 ) (a ? b )(c ? d )(a ? c )(b ? d )

P( K 2 ? k0 )

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

k0

(2)为了宣传消防知识,从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法,随机选出 6 人组成宣 传小组,现从这 6 人中随机抽取 2 人到校外宣传,求到校外宣传的同学中有男同学的概率。
3

22. 如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM|=2|DP|.当点 P 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上运动时. (Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 T(0,t)作圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线交曲线 C 于 A,B 两点, 求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标.

4

莆田六中 2015-2016 学年高二下期中考试文科数学评分标准 一.选择题 1-5:CBBAC 6-10: ADADC 11-12: AB 二、填空题 13、 3 2 14、 [3, ??) 15、 [ 17, ??) 16、9 三、解答题 17. 分析: (Ⅰ)化简 f(x)的解析式,结合单调性求出不等式 f(x)≥4 的解集. (Ⅱ) 利用 f(x)的单调性求出 f(x)≥3,由于不等式 f(x)<|m﹣2|的解集是非空的集合,得|m﹣ 2|>3,解绝对值不等式求出实数 m 的取值 范围.

解答: 解: (Ⅰ)f(x)=

,???3 分

令﹣x+4=4 或 3x=4,得 x=0,x= ,???4 分 所以,不等式 f(x)≥4 的解集是 ; ???5 分

(Ⅱ)由于不等式 f(x)<|m﹣2|的解集是非空的集合,所以, f min ( x) ? |m﹣2|???7 分 f(x)在(﹣∞,1]上递减,[1,+∞)上递增,所以, f min ( x) ? f(1)=3,???8 分 所以 m ? 2 ? 3 解之,m<﹣1 或 m>5,即实数 m 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(5,+∞) .???10 分

18.解: (Ⅰ)消去参数得直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 3 ? 0 , 由 ? ? 2 3 sin ? 得圆 C 的直角坐标方程 x2 ? y 2 ? 2 3 y ? 0 . (Ⅱ)由直线 l 的参数方程可知直线过点 P , ??7 分

???3 分

???6 分

把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程 x2 ? y 2 ? 2 3 y ? 0 , 得 (1 ?

1 2 3 t ) ? ( t ? 3)2 ? 3 , ????8 分 2 2
2

化简得 t ? 4t ? 1 ? 0 , ? ? 12 ? 0 ,故设 t1 , t2 是上述方程的两个实数根,所以

t1 ? t2 ? 4, t1t2 ? 1 ,??10 分
A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 ,
所以 | PA | ? | PB |?| t1 | ? | t2 |? t1 ? t2 ? 4 . ??????11 分 ??????12 分

19. 解: (Ⅰ)消去参数 ? 得曲线 C1 的普通方程 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 . ??(1)
2 2
2 2

????2 分

将曲线 C2 : ? ? 4 sin ? 化为直角坐标方程得 C2 : x ? y ? 4 y ? 0 .??(2)??4 分 由 (1) ? (2) 得 4 y ? 2 x ? 0 ,即为直线 AB 的方程,故直线 AB 的斜率为

1 . ???6 分 2

5

1 8 4 AB 的斜率为 . ?2 分】 2 5 5 2 2 ( ) (Ⅱ)由 C1 : ( x ? 1) ? y ? 1 知曲线 C1 是以 C 为圆心,半径为 1 的圆; 1 1,0
【注:也可先解出 A(0, 0), B ( , ) ?1 分,再求 由 C2 : x ? ( y ? 2) ? 4
2 2

) 知曲线 C2 是以 C( 为圆心,半径为 2 的圆. 2 0,2
因为 | AB |?| AC1 | ? | C1C2 | ? | BC2 | , 所以当 AB 取最大值时,圆心 C1 , C2 在直线 AB 上, 所以直线 AB (即直线 C1C 2 )的方程为: 2 x ? y ? 2 . ???9 分 因为 O 到直线 AB 的距离为 d ?

????7 分

2 5

?

2 5, 5

????10 分 ????11 分

又此时 | AB |?| C1C2 | ?1 ? 2 ? 3 ? 5 , 所以 ?AOB 的面积为 S ?

1 2 3 5 ? 5 ? (3 ? 5 ) ? ? 1 .??12 分 2 5 5

20.【分析】 (1)若 a=1,根据 p∧q 为真,则 p,q 同时为真,即可求实数 x 的取值范围; (2)根据¬p 是¬q 的充分不必要条件,建立条件关系即可求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)由 x2﹣4ax+3a2<0 得(x﹣3a) (x﹣a)<0 ????1 分 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3. ????2 分 由|x﹣3|<1,得﹣1<x﹣3<1,得 2<x<4 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x<4, ????4 分 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真, ????5 分 ∴实数 x 的取值范围是 2<x<3. ????6 分 (2)由 x ﹣4ax+3a <0 得(x﹣3a) (x﹣a)<0, 若¬p 是¬q 的充分不必要条件,则¬p? ¬q,且¬q?¬p, ????8 分 设 A={x|¬p},B={x|¬q},则 A?B, ????9 分 又 A={x|¬p}={x|x≤a 或 x≥3a}, ????10 分 B ={x|¬q}={x|x≥4 或 x≤2}, ????11 分 则 0<a≤2,且 3a≥4 ∴实数 a 的取值范围是 . ????12 分 ????1 分 ???? 5 分 ????6 分
2 2

21.解: (1)假设消防知识的测试成绩优秀与否与性别无关 因为 K ?
2 2

120(15 ? 40 ? 35 ? 30) ? 2.057 ,且 2.057 ? 2.706 45 ? 75 ? 50 ? 70

所以没有把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关。

(2)优秀同学中男生与女生人数之比为 1:2,又采用分层抽样的方法选 6 人。 所以其中男生 2 人,女生 4 人 ????7 分 记事件M: “到校外宣传的同学中有男同学” ????8分 设男生为 a , b ,女生为 ABCD 则所有基本事件为 ?a, b? , ?a, A? , ?a, B? , ?a, C? , ?a, D? , ?b, A? , ?b, B? , ?b, C? , ?b, D? ,

? A, B? , ? A, C? , ? A, D? , ?B, C? , ?B, D? , ?C, D? ,共15个
其中含有男生的基本事件有9个, ????11分 所以 P ( M ) ?

????10分

9 3 ? 15 5

????12分

22.解: (I)设点 M 的坐标为(x,y) ,点 P 的坐标为(x0,y0) ,
6

则 x=x0,y=2y0, 所以 x0=x,y0= ,① 因为 P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上,所以 x02+y02=1②, 将①代入②,得点 M 的轨迹方程 C 的方程为 x + (Ⅱ)由题意知,|t|≥1,
2

???2 分 ???3 分

=1; ???4 分

(i)当 t=1 时,切线 l 的方程为 y=1,点 A、B 的坐标分别为(﹣ 此时|AB|= ,当 t=﹣1 时,同理可得|AB|= ;

,1) , (

,1) ,

???5 分

(ii)当|t|>1 时,设切线 l 的方程为 y=kx+t,k∈R,





得(4+k )x +2ktx+t ﹣4=0③, 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) , 由③得:x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

2

2

2

???6 分

???7 分

又直线 l 与圆 x2+y2=1 相切,得

=1,即 t2=k2+1,

???8 分

∴|AB|=

=

???9 分

=

, ???10 分

又|AB|=

=

≤2,且当 t=±

时,|AB|=2, ???11 分

综上,|AB|的最大值为 2, 依题意,圆心 O 到直线 AB 的距离为圆 x +y =1 的半径, ∴△AOB 面积 S= |AB|×1≤ 1, 当且仅当 t=± 时,△AOB 面积 S 的最大值为 1, )或(0, ) .
2 2

相应的 T 的坐标为(0,﹣

???12 分

7


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