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浙江省杭州二中2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷


杭州二中 2015 学年第一学期高二年级期中考试数学试卷
命题:李 鸽 校对:金 迪 时间:100 分钟
注意:本试卷不得使用计算器 参考公式: 球的表面积公式 S=4πR
2

审核:徐存旭

柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S2 ? S 2 3

球的体积公式 V=
4 πR 3 3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式
1 V= Sh 3

?

?

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 不等式 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是 A. (?3,1) B. (?1,3) C. (??,?1) ? (3,??) D. (??,?3) ? (1,??)

2.已知 a, b ? 0 ,且 a ? 3b ? 1 ,则 ab 的取值范围是

A. [

3 ,??) 6

B. (0,

1 ] 12

C. (

1 1 , ] 24 12

D. (0,

3 ] 6

3. 设 m 为一条直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列说法正确的是 A.若 m // ? , ? // ? , 则m // ? C.若 m//? , ? ? ? , 则m ? ? B.若 ? ? ?,m ? ? , 则 m ? ? D.若 m ? ? , ? // ? , 则m ? ?

4. 在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 20 ,前 n 项和为 S n ,且 S10 A.110
2

? S15 ,则 S n 的最大值是
D.140

B.120

5. 若关于 x 的不等式 x ? ax ? 2 ? 0 在区间 1,5 上有解,则实数 a 的取值范围为 A. ( ?

? ?

C.130

23 ,?? ) 5

B. [ ?

23 , 1] 5

C.(1,+∞)

D. (??,?1)

6.已知各棱长均为 1 的四面体 ABCD 中, E 是 AD 的中点,P∈直线 CE,则|BP|+|DP|的最小 值为 A.1+ 6 3 B. 1+ 6 3 1+ 3 C. 2 D. 1+ 3 2

7.若 x ? 2 y ? a x ? y 对 x, y ? R 恒成立,则实数 a 的最小值是 A.

?

2

B.

3

C.

5

D. 2

8.设三个底面半径都为 1 的圆柱侧面两两相切,且它们的轴两两互相垂直,则与这三个圆柱侧 面都相切的球的半径最小值等于 A.

2 ?1

B.

3 ?1

C.

5 ?2

D. 1

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 9. 已知圆锥的底面半径为 1,高为 1,则圆锥的侧面面积 S ? .

10.右图是某三棱锥的三视图,各个视图是全等的等腰直角三角形,且直 角边长为 1,则这个三棱锥外接球的表面积是 . 11.在等比数列 {an}中,各项均为正值,且 a2 a14 ? a2 a6 ? 48 , a3 a9 ? 6 , 则 a4 ? a8 ? .

12.设函数 f ( x) ? log 1

1? x 1 ,则不等式 f (log1 x) ? ? f ( ) 的解集是 1? x 2 2 2

.

13.空间四边形 ABCD 中,AB=CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30° ,E、F 分别为 BC、AD 的中 点,则 EF 与 AB 所成角的大小为 . 14. 对一切实数 x ,二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的值均为非负实数,则
2

a?b 的最小值 c
?



.

15.已知三棱锥 A ? BCD , DA, DB, DC 两两垂直,且 ?DAB ? ?BAC ? ?CAD ? 90 ,则 二面角 A ? BC ? D 的余弦值的最大值为 .

杭州二中 2015 学年第一学期高二年级期中考试数学答题卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 题号 答案 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在题中的横线上. 9. 11. 13. 10. 12. 14. 1 2 3 4 5 6 7 8

15. 三、解答题:本大题共 4 小题.共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 如图:已知四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面是菱形,该菱形的边长为 1, ?ABC ? 60 ,
?

AA1 ? 平面AC .
(1)设棱形 ABCD 的对角线的交点为 O ,求证: A1O //平面 B1 D1C ; (2) 若四棱柱的体积 V ? 所成角的正弦值.

3 , 求 C1C 与平面 B1 D1C 2
B1 A1

C1

D1

A B

D C

17.(本小题满分 12 分) (1)求关于 x 的不等式 ax ? x ? a ? 1 ? 0(a ? R) 的解集.
2

(2)求证: (ac ? bd) ? (a ? b )(c ? d ) , a, b, c, d ? R .
2 2 2 2 2

18. (本小题满足 12 分)

如图: 已知正六边形 ABCDEF 边长为 1, 把四边形 CDEF 沿着 FC

向上翻折成一个立体图形 ABCD1 E1 F . (1)求证: FC ? E1 A ;
E D E1 D1

F

C

F

C

A

B

A

B

(2)若 E1 B ?

10 时,求二面角 E1 ? FB ? C 的正切值. 2

19.(本小题满足 12 分)数列 ?an ? 满足 a1 ? (1)求证: a n ?1 ? a n ; (2)设 m ?

4 2 , an?1 ? an ? an ? 1(n ? N* ) . 3

1 1 1 ,求不超过 m 的最大整数. ? ??? a1 a 2 a 2015

杭州二中 2015 学年第一学期高二年级期中考试数学答案
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 题号 答案 1 B B 2 3 D 4 C 5 A 6 B 7 B 8 A

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在题中的横线上.

9.

2?

10.

3?

11.

2 15

12.

1 ( , 2) 2

13.

? 5? 或 12 12
1 3

14.

-1

15.

三、解答题:本大题共 4 小题.共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 10 分)
A1

如图:已知四棱锥 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面是棱形,该棱形的边长为 1, ?ABC ? 60 , AA 1 ? 平面AC .
?

B1 D1 C1

(1)设棱形 ABCD 的对角线的交点为 O,求证: A1O //平面 B1 D1C ;
B

A

(2)若四棱柱的体积 V ? 的正弦值.

3 ,求 C1C 与平面 B1 D1C 所成角 2
B1 G

D

A1
C

(1)证明:连接 A1C1 , B1 D1 交于点 G,连接 GC,因为

D1 C1

A1G // CO, A1G ? CO ,于是四边形 A1GCO 是平行四边形,故

A B O D C

A1O // OG ,又 OG ? 平面B1 D1C ,故 A1O // 平面B1 D1C
(2) 解: 设 AA1 ? h , 因为 S 底 ? AB ? BC ? sin ?ABC ?

3 3 , 所以 V ? Sh ? , 所以 h ? 1 . 2 2

因为 B1 D1 ? A1C1 , B1 D1 ? A1 A ,所以 B1 D1 ? 平面A1C 所以 平面B1 D1C ? 平面A1C ,过 C1 H ? GC ,于是 C1 H ? 平面B1 D1C

CG 5 所以 ?C1CG 为所求角,且 sin ?C1CG ? 1 ? . GC 5
17.(本小题满分 12 分) (1)求关于 x 的不等式 ax2 ? x ? a ? 1 ? 0, a ? R 的解集. 解:若 a ? 0 ,解集为 (

A1 B1 G D1 C1 H

1 ? 1,1) ; a
B

若 a ? 0 ,解集为 (??,1) ; 若0 ? a ? 若a ?

A

1 1 ,解集为 (?? ,1) ? ( ? 1,?? ) ; 2 a
C

O D

1 ,解集为 (??,1) ? (1,??) ; 2 1 1 若 a ? ,解集为 (?? , ? 1) ? (1,?? ) ; 2 a
(2)求证: (ac ? bd) ? (a ? b )(c ? d ) ,其中 a, b, c, d 都是实数.
2 2 2 2 2

证明: (ac ? bd) ? (a ? b )(c ? d ) ? 2acbd ? a d ? b c ? ?(ad ? bc) ? 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

故 (ac ? bd) ? (a ? b )(c ? d ) .
2 2 2 2 2

18.(本小题满足 12 分)
E' D'

E

D

F'

C'

F

C

A'

B'

A

B

如图: 已知正六边形 A' B' C ' D' E ' F ' , 边长为 1, 沿着 F ' C ' 向上翻折成一个立体图形 ABCDEF. (1)求证: FC ? EA ;
F H

E

D

C

A

B

(2)若 EB ?

10 时,求二面角 E-FB-C 的正切值. 2

(1)证明:过 E 作 EH ? FC ,连接 AH,于是 AH ? FC 又 AH ? EH ? H ,于是 FC ? 平面AHE ,又 EA ? 平面AEH ,故 FC ? EA . (2)解:连接 HB,计算可得: EH ?

3 , 2 7 2
F S H

E

D

BH ? CH 2 ? CB 2 ? 2CH ? CB cos60? ?

C

由 EB ?

10 2 2 2 ,故 BH ? EH ? EB ,所以 EH ? HB , 2
A B

又 EH ? FC , HB ? FC ? H ,所以 EH ? 平面ABCF 过 H 作 SH ? FB ,连接 ES,则 ?ESH 为所求角. 在 ?ESH 中, SH ?

EH 1 3 ? 2 3. , EH ? , tan ?ESH ? HS 4 2
4 2 , an?1 ? an ? an ? 1(n ? N* ) . 3

19.数列 ?an ? 满足 a1 ?

(1)求证: a n ?1 ? a n ;

1 1 1 ? ? ?? ,求不超过 m 的最大整数. a1 a2 a2013 4 (1)因为 a1 ? ? 1 ,故 3
(2)设 m ?

an ? (a n ? an?1 ) ? (an?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a 2 ? a1 ) ? a1 ? (an?1 ? 1) 2 ? (a n?2 ? 1) 2 ? ? ? (a2 ? 1) 2 ? a1 ? 1
2 于是 an?1 ? an ? an ? 1 ? 2an ? an ? an .



(2)解: an?1 ? 1 ? an (an ? 1) ,于是

1 an?1 ? 1

?

1 1 1 ? ? an (an ? 1) an ? 1 an

所以

1 1 1 ? ? an an ? 1 an?1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ??? ( ? ) ? 3? a1 ? 1 a2 ? 1 a 2 ? 1 a3 ? 1 a2013 ? 1 a2014 ? 1 a2014 ? 1
4 1 4 an ? , 于 是 a n ?1 ? 1 ? ( a n ? 1) , 故 3 3 3

于是 m ? (

当 n ? 2 时 , a n ?1 ? a n (a n ? 1) ? 1 ?

a 2014 ?

1 4 2014 1 ?( ) ? 1 ? 2 ,所以 0 ? ? 1 ,所以不超过 m 的最大整数是 2. 3 3 a 2014 ? 1


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