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广东省珠海市2015届高三9月摸底考试理科数学试卷(带解析)


广东省珠海市 2015 届高三 9 月摸底考试理科数学试卷 (带解析)
1.已知全集 U ? {0 , ? 1, ? 2} ,集合 M ? {0} ,则 CU M ? () A. {?1, ? 2} 【答案】A 【解析】 试题分析:由题知 CU M ? {?1, ? 2} ,故选 A. 考点:集合的补集运算 2.复数 (2 ? i)i 的虚部是 () A. ?2 【答案】D 【解析】 B. 1 C. ?1 D. 2 B. {0 , ? 1, ? 2} C. {0 , ? 1} D. {0 , ? 2}

试题分析: (2 ? i )i = ?1 ? 2i ,故虚部为 2,故选 D. 考点:复数的概念;复数的运算 3.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 s 值是()

A.7 【答案】C 【解析】

B.67

C.39

D.1525

2 试题分析:运行第 1 次,k=k+1=1<4,是,循环,S= s ? k =2;

2 运行第 2 次,k=k+1=2<4,是,循环,S= s ? k =6;

2 运行第 3 次,k=k+1=3<4,是,循环,S= s ? k =39;

运行第 4 次,k=k+1=4<4,否,输出,S=39;故选 C 考点:程序框图 4.等比数列 {an } 中, a3 ? ?3 ,则前 5 项之积是() A. 3
5

B. ?3

5

C. 3

6

D. ?3

6

【答案】B 【解析】
2 5 试题分析: 由等比数列性质知, =9, 所以前 5 项之积为 a1a2 a3a4 a5 = a3 =-243, a1a5 ? a2a4 ? a3

故选 B.

1

考点:等比数列性质 5.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()

A.

16? 3

B. 16?

C.

8? 3

D. 8?

【答案】A 【解析】 试 题 分 析: 由 三视 图 知, 对 应 的几 何 体为 底 面半 径 为 2 高为 4 的圆锥 , 其 体积 为

16? 1 ? ? 22 ? 4 = ,故选 A. 3 3
考点:三视图;圆锥的体积公式 6.向量 a ? (0,1,?1) , b ? (0,1,0) ,则 a 与 b 的夹角为() A. 0? B. 30 ? 【答案】C 【解析】 C. 45 ? D. 60 ?

试题分析:因为 cos a, b = 考点:空间向量夹角

2 a ?b = ,所以 a 与 b 的夹角为 45 ? ,故选 C. | a |?| b | 2

7.在区间 [0 , 2] 上随机取两个数 x ,y 其中满足 y ? 2 x 的概率是( ) A.

1 2

B.

1 4

C.

1 8

D.

1 16

【答案】B 【解析】 试题分析:在区间[0,2]上随机取两个数 x,y,对应区域的面积为 4, 满足 y≥2x,对应区域的面积为

1 1 ×1×2 =1,∴所求的概率为 ,故选 B. 2 4

考点:几何概型 8.下列命题中是真命题的是() A. ?? 、? ? R ,均有 cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ?

2

B.若 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) 为奇函数,则 ? ? k? , k ?Z C.命题“ p ”为真命题,命题“ q ”为假命题,则命题“ ? p ? q ”为假命题 D. x ? 0 是函数 f ( x) ? x3 ? 2 的极值点 【答案】C 【解析】 试题分析:当 ? =0 时,则 cos ? =1- cos ? ,对 ?? ? R 不成立,故 A 错; 对 B, f ( x) ? cos(2 x ? ? ) 为奇函数,则 ? = k? ?

?
2

, k ? Z ,故 B 不成立.

对 C,因为“ p ”为真命题,则 ? p 是假命题,又因为“ q ”为假命题,则命题“ ? p ? q ” 为假命题,故 C 成立. 考点:

9.不等式 3x ? 4 ? 4 的解集是 【答案】 ?0, ? 3 【解析】 试题分析:原不等式可化为 ?4 ? 3x ? 4 ? 4 ,解得 0 ? x ? 考点:绝对值不等式解法 10. ( x ? )5 ( x ? R )展开式中 x 3 的系数为 10,则实数 a ? _____ . 【答案】2 【解析】
r 5?r ? r r 5?2 r 1 3 , 试题分析: 故 5 ?2 r ? 解得 r=1,所以 aC5 =10, 所以 a =2. Tr ?1 = ar C5 x x = ar C5 x ,

? 8? ? ?
8 . 3

a x

考点:二项式定理 11.

? e dx ?
x 0

1



【答案】 e ? 1 【解析】 试题分析:

? e dx ? e
x 0

1

x 1 0

| = e ?1 .

考点:定积分

? 2x ? y ? 0 ? 12.已知变量 x 、 y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则函数 z ? x ? y 的最大值是 ?x ? 0 ?
【答案】3



3

【解析】 试题分析:作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线 l0 : x ? y ? 0 ,平移直线 l0 ,由图 像知直线 l : z ? x ? y 过点 A 时,z 取最大值,由 ? 最大值为 3.

?2 x ? y ? 0 解得 A(1,2) ,所以 z 的 ?x ? 2 y ? 3 ? 0

考点:简单线性规划 13.在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C : x ? ?2 py ( p ? 0) 的焦点 F ,点 M ( p,yM ) ? C ,
2

若 M 为圆心的圆与曲线 C 的准线相切,圆面积为 36? ,则 p ? 【答案】6 【解析】 试题分析:由题知,圆的半径为 6,所以 M( p , ?



p ) ,所以 p ? 6. 2

考点:直线与圆的位置关系;抛物线的性质 14.如图,在 Rt ?ABC 中,斜边 AB ? 12 ,直角边 AC ? 6 ,如果以 C 为圆心的圆与 AB 相切于 D ,则 C 的半径长为

【答案】 3 3 【解析】 试题分析:由已知及勾股定理知,BC= 6 3 ,设 C 的半径长为 r,所以 AC×BC=AB×r,所 以 r= 3 3 . 考点:面积射影定理 15.以直角坐标系的原点为极点,x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,在两种坐标系中取

4

相同的单位长度,点 A 的极坐标为 (2 2 , ) ,曲线 C 的参数方程为 ?

?

4

? x ? 2 ? cos ? ,则 ? y ? ?2 ? sin ?

曲线 C 上的点 B 与点 A 距离的最大值为 . 【答案】5 【解析】 试题分析:点 A 的直角坐标为(2,2) ,曲线 C 是圆心为(2,-2) ,半径为 1 的圆,结合图像
2 2 知,点 B 与点 A 的距离的最大值为 (2 ? 2) ? (2 ? 2) +1=5.

考点:极坐标与直角坐标互化;圆的参数方程;数形结合思想 16.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos2 x, x ? R . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)已知 f ( ) ?

?

2

1 ? , ? ? [0, ? ] ,求 cos(? ? ) 的值. 3 6

【答案】 (1) ? ; (2) ? 【解析】

2 2 3

试题分析: (1)先用二倍角公式及降幂公式,将函数 f ( x ) 中的 2 次降成 1 次,然后利用设 辅助角公式,化为一个角的三角函数,再用周期公式求出函数 f ( x) 的周期; (2) 将

?
2

代入 f ( x) , 结合 f ( ) ?

?

2

1 ? ? 求出 sin(? ? ) , 结合所给角 ? 的范围, 求出 ? ? 3 6 6

的取值范围,利用同角三角函数基本关系式中的平方关系,即可求出 cos(? ? 意根号前的符号要与 cos(? ? 试 题 解

?

?
6

6

) 的值,注

) 的符号一致..
析 : ( 1 )

f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 2(
f ( x) 的最小正周期为 ? 。
(2)因为 f ( ) ? 2 sin( 2( ) ? 所以 sin(? ?

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x) ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 分 2 2 6
6分

?

?

?
6

1 ) ? ? ? 0, 6 3 ? ? 7? ], ∵ ? ? [0, ? ] , ? ? ? [ , 6 6 6

?

2

2

) ? 1 ? 2 sin(? ?

?
6

) ?1 ?

1 , 3

7分 8分

5

∵ sin(? ? 10 分 ∴ cos(? ?

?

1 ? 7? 5? ? ) ? ? ? 0 , ∴ ? ? ? (? , ] , ? ? ( , ? ] , cos( ? ? ) ? 0 , 6 3 6 6 6 6

?
6

)??

2 2 , 3

12 分

考点:二倍角公式及其变形;两角和与差的三角公式;三角函数周期公式;同角三角函数基 本关系式;运算求解能力 17. 某校兴趣小组进行了一项 “娱乐与年龄关系” 的调查, 对 15~65 岁的人群随机抽取 1000 人的样本,进行了一次“是否是电影明星追星族”调查,得到如下各年龄段样本人数频率分 布直方图和“追星族”统计表:

(1)求 a , b 的值. (2)设从 45 岁到 65 岁的人群中,随机抽取 2 人,用样本数据估计总体, ? 表示其中“追 星族”的人数,求 ? 分布列、期望和方差. 【答案】 (1)300;0.1; (2)见解析 【解析】 试题分析: (1)先由频率分布直方图计算出在[15,25]年龄段的样本人数,再根据“追星族” 统计表即可计算出该段追星人数 a;先由频率分布直方图计算出在[45,55]年龄段的样本人 数,再由“追星族”统计表知该组“追星族”人数为 3,3 除以该组样本人数即为占本组的 频率; (2)由[45,65]范围内样本数据即可求出抽到“追星族”的概率,由二项分布知识知, 在该组中随机抽 2 人,抽到“追星族”的人数符合二项分布,由二项分布即可写出分布列, 计算出期望与方查. 试题解析:(1)由题设知[15,25)这组人数为 0.04×10×1000=400, 1分 故 a=0.75×400=300 2分 [45,55)这组人数为 0.003×10×1000=30,故 b= 综上,a=300,b=0.1. (2).由[45,65]范围内的样本数据知,抽到追星族的概率为 p ?

3 ? 0.1 30 1 10

3分 4分

6

? ~B(2,

1 ) 10

6分

故 ? 的分布列是 ξ p 0 0.81 1 0.18 2 0.01 10 分 12 分

1 1 ? ? 0.2 10 5 1 9 9 ? 0.18 ? 的方差是 D? ? 2 ? ? ? 10 10 50

? 的期望是 E? ? 2 ?

考点:频率分布直方图;二项分布;应用意识 18 .如图,长方体 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1中, E 、F 、 G 分别为 AB 、C1 D 1 、DC 中点,

AB ? 2 ,AD ? 3 ,AC1 ? 3
(1)求证: C1E 平面AFC . (2)求二面角 F ? AC ? G 的正切值.

D1 A1

F B1

C1

D A E

G B

C

【答案】 (1)见解析(2)

42 3

【解析】 试题分析: (1)由长方体及 E、F 分别为 AB、C1D1 的中点知,AE 平行且等于 C1F,所以 AEC1F 是平行四边形,所以 C1E∥AF,由线面平行的判定定理知,C1E∥面 ACF; (2)易证 FG⊥面 ABCD,过 F 作 FH⊥AC 于 H,连结 HG,因为 FG⊥面 ABCD,则 FG⊥AC,所 以∠FHG 为二面角 F—AC—G 的平面角,然后通过解三角形,求出 FG、GH 的长,即可求出∠ FHG 的正切值,即为二面角 F-AC-G 的正切值. 试题解析:(1)证明:在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,

E 、F 分别为 AB 、C1D1 中点,? AE C1F 且 AE ? C1F

7

?四边形 AEC1F 是平行四边形 ? C1E AF
AF ? 平面AFC , C1E ? 平面AFC
3分

? C1E 平面AFC
D1 A1 F B1 C1

5分

D A
(2) .

G E H B

C

长 方 体 A B C? D1 A C D F 、G 分 别 为 C1D1 、DC 中 点 , 1 B 1 中 1 ,

AB ? 2 ,AD ? 3 ,AC1 ? 3

? FG ? 平面ABCD
过 F 做 FH ? AC 于 H ,又 AC ? FG

7分

? AC ? 平面FGH

? GH ? AC
9分

? ?FHG 就是二面角 F ? AC ? G 的平面角
FG ? 2 ,在 ?ACG 中, GH ? AC ? AD ? CG ? GH ?
AD ? CG 3 ? AC 7

11 分

?直角三角形 FGH 中 tan ?FHG ?

FG ? GH

2 42 ? 3 3 7

13 分

?二面角 F ? AC ? G 的正切值为

42 3
5an ? 8 , a1 ? 3 2an ? 3

14 分

考点:线面平行的判定定理;二面角的计算;逻辑推理能力 19.已知数列 {an } , an ? 2 , an ?1 ?

8

(1)证明:数列 {

1 } 是等差数列. an ? 2
n 项 和 为 Sn , 求 使

( 2 ) 设 bn ? an ? 2 , 数 列 {bnbn ?1} 的 前

(2n ? 1) ? 2n?2 ? Sn ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 192 成立的最小正整数 n.
【答案】 (1)见解析; (2)6 【解析】 试题分析: (1)先由题中的条件变形为 an ?1 ? 2 ?

5an ? 8 a ?2 ,然后两边取倒数, ?2? n 2an ? 3 2an ? 3

通过常量分量化为

1 1 1 } 是等差数列; ? ? 2 ,根据等差数列定义知,数列 { an ? 2 an?1 ? 2 an ? 2

(2)由(1)知,数列{1/ bn }是等差数列,由等差数列的通项公式求出数列{1/ bn }的通项 公式,进而写出数列 {bnbn ?1}的通项公式,由数列 {bnbn ?1} 的通项公式之知,用拆项相消法 即可求数列 {bnbn ?1}的其前 n 项和,列出关于 n 的不等式,解出 n 的取值范围,即可求出满 足条件的最小值 n. 试题解析:(1).证明:由 an ?1 ?

5an ? 8 5a ? 8 a ?2 得 an ?1 ? 2 ? n ?2? n 2an ? 3 2an ? 3 2an ? 3

2分

an ? 2 ,?


2a ? 3 1 1 1 1 ? ?2 ? n ? ? 2 ,? an?1 ? 2 an ? 2 an?1 ? 2 an ? 2 an ? 2

5

?数列 {

1 } 是公差为 2 的等差数列. an ? 2

6分

(2).由①知

1 1 ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 an ? 2 a1 ? 2

7分

bn ? an ? 2 ?

1 1 1 1 1 1 bnbn ?1 ? ? ( ? ) 9分 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n Sn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] ? (1 ? )? 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
11

分 故 (2n ? 1) ? 2n?2 ? Sn ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 192 等价于 n ? 2 即2
n ?1

n?2

? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 192
13
9

? 64 ? 26 ,故 n ? 5



?使 (2n ?1) ? 2n?2 ? Sn ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 192 成立的最小正整数 n=6.

14 分

考点:等差数列定义;等差数列通项公式;拆项消去法;指数不等式;转化思想;运算求解 能力 20 . 焦 点 在 x 轴 的 椭 圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 (3 ? a ? 4) , 过 C1 右 顶 点 A2 (a , 0 )的 直 线 a2 4
ak 相切,交 C1 于 A2 、E 二点. 4

C2 : y ? x 2 ? l : y ? k( x? a ) ( k? 0与曲线 )
(1)若 C1 的离心率为

5 ,求 C1 的方程. 3

(2)求 | A2 E | 取得最小值时 C2 的方程.

【答案】 (1) 【解析】

x2 y 2 ? ? 1 (2) y ? x2 ? 12 9 4

试题分析: (1)由离心率和题中已知条件即可列出关于 a 的方程,解出 a 值,从而可写出 C1 的方程; (2)将 l 方程与 C2 方程联立,化为关于 x 的一元二次方程,利用直线 l 与 C2 相切, 判别式等于 0,求出 a 与 k 的关系,再将 l 与 C1 联立消去 y 化为 x 的一元二次方程,利用直 线 l 与 C1 的交点为 E 和 A2 ,求出 E 点坐标,将 | A2 E | 表示为关于 a ,利用换元法与导数求 出 | A2 E | 取最小值时的 a 值,进而求出 k 的值,从而写出 C2 的方程. 试题解析:(1).由 C1 的离心率 e ?

a2 ? 4 5 2 得a ? 9 ? a 3
3分

2分

? C1 :

x2 y 2 ? ?1 9 4
3ak ?0 4

2 (2). l 与 C2 方程联立消 y 得 x ? kx ?

2 由 l 与 C2 相切知 ? ? k ? 3ak ? 0 ,由 k ? 0 知 k ? 3a

5分 ① 6分

l 与 C1 方程联立消 y 得 (4 ? a2k 2 ) x2 ? 2a3k 2 x ? a4k 2 ? 4a2 ? 0
设点 E( xE ,yE )

l 交 C1 于 A2 、E 二点,? xE 、 a 是①的二根
10

? xE ?

a 3 k 2 ? 4a ?8a ,故 xE ? a ? 2 2 4 ? a2k 2 4?a k

8分

2 ? (1 ? k 2 )( xE ? a)2 ? (1 ? 9a 2 ) ? | A2 E |2 ? ( xE ? a)2 ? yE

64a 2 (4 ? 9a 4 )2

? 64

9a 4 ? a 2 (4 ? 9a 4 )2

10 分

9t 2 ? t 令 t ? a ?[9 , 16] ,则 | A2 E | ? 64 (4 ? 9t 2 )2
2

2

令 f (t ) ? 成立

9t 2 ? t 18t (4 ? 9t 2 ) ? (4 ? 27t 2 ) ? , 则 (9 ? t ? 16) f ( t ) ? ? 0 在 t ?[9 , 16] 上恒 (4 ? 9t 2 )2 (9t 2 ? 4)3

故 f (t ) 在 [9 , 16] 上单减 故 t ? 16 即 a ? 4 , k ? 12 时 f (t ) 取得最小值,则 | A2 E | 取得最小值 此时 C2 : y ? x2 ?12

12 分

14 分

考点:椭圆的性质;直线与抛物线的位置关系;直线与椭圆的位置关系;最值问题,运算求 解能力 21.已知函数 f ( x ) ?

1 ? ln x x

(1)若函数 f ( x) 在 (a ? 1,a ? 1) (a ? 1,a ? 1) (a ? 1) 上有极值点,求实数 a 的范围. (2)求证: x ? 1 时, x( x ? 1) f ( x) ? 【答案】 (1) (1,2) ; (2)见解析 【解析】 试题分析: (1)先求出 f ( x ) 的导数,求出 f ( x ) 的单调区间,找出 f ( x ) 的极值点,让 f ( x ) 的极值点在 (a ? 1,a ? 1) ,列出关于 a 的不等式,从而求出 a 的取值范围; (2)构造函数 ? ( x) ? x( x ? 1) f ( x) ?

2(2 x ? 1) e2 x

2(2 x ? 1) ,利用导数的运算法则求出 ? ( x) 的导函数, e2 x

可判定当 x ? 1 时, 所以 ? ( x) 在 (1, +?) 上是增函数, 所以当 x ? 1 ? ( x) 的导函数恒大于 0, 时, ? ( x) > ? (1) >0,从而证明原不等式成立. 试题解析:(1) x ? 0 , f ?( x ) ? ? 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x ) ? ?

ln x x2

2分

ln x ln x ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? ? 2 ? 0 2 x x
11

故 f ( x ) 在 (0 , 1) 单增,在 (1, ? ?) 上单减 若函数 f ( x) 在 (a ? 1,a ? 1) 上有极值点

4分

?a ? 1 ? 1 ? 须 ?a ? 1 ? 1 解得 1 ? a ? 2 ? a ?1 ?
故实数 a 的范围是 (1, 2) (2) 证 明 : 证 法 一 : 设 6分

? ( x) ? x( x ? 1) f ( x) ?

2(2 x ? 1) e2 x





2 x (? 2 1 ) 1 ? ) x ( 2 x1 ? l n ) e 2(2 x ? 1) ? ( x) ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ? , e2 x 1 8x 求导化简得, ? ?( x) ? 2 ? ? ln x ? 2 x x e 1 8x 1 8x x ? 1,? ln x ? 0, ? 0, 2 x ? 0 ?? ?( x) ? 2 ? ? ln x ? 2 x ? 0 x e x e

? ( x ?)

x( ?

7分 9分 11 分

? ( x) 在 [1, ? ?) 上单增,故 ? ( x) ? ? (1) ? 2 ?

6 2(e2 ? 3) ? ?0 e2 e2

13 分

? x ? 1 时, x( x ? 1) f ( x) ?

2(2 x ? 1) e2 x

14 分

证法二:令 ? ( x) ? x( x ? 1) f ( x) ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)

1 1 x ?1 ? ln x , 令 h( x) ? 2 ? ? ln x ,则 h?( x ) ? 2 x x x x ?1 当 x ? 1 时 h?( x ) ? 2 ? 0 ,故 h( x) 在 [1, ? ?) 单增 x
则 ? ?( x) ? 2 ?

8分

故 ? ?( x) ? h( x) ? h(1) ? 3 ? 0 , 故 ? ( x) 在 [1, ? ?) 上 单 增 , 故 ? ( x )? ? ( ? 1) 10 分 令 g ( x) ? e ? ( x ? 1) ,则 g?( x) ? e ?1 ,当 x ? 1 时 g ?( x) ? e ? 1 ? e ? 1 ? 0
x x x

2

故 g ( x) 在 [1, ? ?) 上单增,故 g ( x) ? g (1) ? e ? 2 ? 0

12 分

2x ?1 2(2 x ? 1) ? 1? ?2 13 分 2x e e2 x 2 ( x2 ? 1) 2 ( x2 ? 1) ? 1 ) f (x ? ) ?2 2x ? 1 )f ( ? x ) 2x ? x ? 1 时 , x( x ? x ? 1 时 , x( x e e

? ex ? x ? 1

2 x ? 2 ? e2 x ? 2 x ? 1 ? 0 ?

14 分 考点:常见函数的导数;导数的运算法;导数与函数单调性关系;导数与函数极值关系;利

12

用导数证明不等式;运算求解能力

13


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