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山东省济南市2015届高三上学期期末考试数学


山东省济南市 2015 届高三上学期期末考试数学(文)试题

锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3 第 I 卷(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中只有一 项符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位.

若复数 z 满足 ?1 ? i ? ? z ? 2i ,则复数 z=
3

A. 1 ? i

B. 1 ? i

C. ?1 ? i

D. ?1 ? i

2.设全集为 R,集合 A ? x x 2 ? x ? 2 ? 0 , B ? x x ? 0 ,则 A ? CR B ? A.

?

?

?

?

? ?1, 0 ?

B.

? ?2, 0 ?

C.

?0,1?

D.

?0, 2?

3.已知函数 f ? x ? ? ? A. ?1

? ? x, x ? 2 ,则 f ? f ? ?1? ? 的值为 ? ?3 ? x, x ? 2
C.1 D.2

B.0

4.已知 ? 为第二象限角, sin ? ?

3 ?? ? ,则 sin ? ? ? ? 的值等于 5 6? ?

4?3 3 4?3 3 3 3?4 ?4 ? 3 3 B. C. D. 10 10 10 10 r r r r r r 5.已知 a ? 1, b ? 2, a ? 2b ? 5 ,则向量 a, b 的夹角为
A. A. C.

?

?

6

B. D.

? ?
3 2

6.某程序框图如右图所示,当输出 y 值为 ?8 时,则输出 x 的值为 A.64 B.32 C.16 D.8 7.设 p : x ? 0, q : log 1 ? x ? 1? ? 0,则?p 是 q 的
2

4

A.充分而不必要条件 C.充要条件 8.函数 y ?

B.必要而不充分条件 D.既不充分敢不必要条件

x e
cos x

? ?? ? x ? ? ? 的大致图象为

9.已知函数 f ? x ? ? ax ? e , f ? ? ?1? ? ?4 ,则函数 y ? f ? x ? 的零点所在的区间是
2 x

A.

? ?3, ?2 ?

B.

? ?1, 0 ?

C.

? 0,1?

D.

? 4,5?

10.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 过点 F2 与双曲线的一条 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左右两个焦点, a 2 b2

渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M,若点 M 在以线段 F1 F2 为直径的圆外,则 该双曲线离心率的取值范围是 A. 1, 2

?

?

B.

?

2,3

?

C.

?

3, 2

?

D.

? ?? ? 2,

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.一个容量为 n 的样本,分成若干组,已知某组的频数和频率分别为 30 和 0.25,则 n 等于 _________. 12.一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等,体积为

4 2 ,则它的表面积为________. 3

?x ? 0 ? 13.设实数 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值是________. ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
14.已知直线 l : 2mx ? y ? 8m ? 3 ? 0 和圆 C : x ? y ? 6 x ? 12 y ? 20 ? 0 相交于 A,B 两点,
2 2

当线段 AB 最短时直线 l 的方程为________. 15.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, A (1, 0) , B (0, 3) , C (3, 0) , 动点 D 满足 CD ? 1 , 则 OA ? OB ? OD 的最小值是__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分) 某省为了研究雾霾天气的治理,一课题组对省内 24 个城市进行了空气质量的调查,按地域 特点把这些城市分成了甲、乙、丙三组.已知三组城市的个数分别为 4,8,12,课题组用分 层抽样的方法从中抽取 6 个城市进行空气质量的调查. (I)求每组中抽取的城市的个数; (II)从已抽取的 6 个城市中任抽两个城市,求两个城市不来自同一组的概率.

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1 .
2

(I)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (II) 将函数 f ? x ? 的图象向左平移 C 的对边分别为 a, b, c ,若 g ?

?
3

个单位, 得到函数 g ? x ? 的图象.在 ?ABC 中, 角 A, B,

? A? ? ? 1, a ? 2, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积. ?2?

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 A1 B1C1 中,四边形 ABB1 A1和ACC1 A1 都为矩形. (I)设 D 是 AB 的中点,证明:直线 BC1 / / 平面 A1 DC ; (II) 在 ?ABC 中, 若 AC ? BC , 证明: 直线 BC ? 平面 ACC1 A1 . 19. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 S5 ? 50, a2 ? a5 ? 24 ,?bn ? 为递增的等比数列, 且 b1 , b3 是方程 x 2 ? 10 x ? 16 ? 0 的两个根. (I)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 cn ? 20. (本小题满分 13 分)

an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . bn

x2 y 2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,直线 y ? x ? 1 经过椭圆 C 的左焦点. a b 2
(I)求椭圆 C 的方程; ( II )若过点 M ? 2, 0 ? 的直线与椭圆 C 交于 A , B 两点,设 P 为椭圆上一点,且满足

uur uuu r uuu r OA ? OB ? tOP (其中 O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围.
21. (本小题满分 14 分) 函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? ln x ? a ? R ? .
2

(I)函数 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,求 a 的值;

?

?

(II)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (III)不等式 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 在区间 ? 0, e ? 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

(a1,b1 ), (a1,b2 ), (a1, c1 ), (a1, c2 ), (a1, c3 ), (b1, c1 ), (b1, c2 ), (b1, c3 ), (b2 , c1 ), (b2 , c2 ), (b2 , c3 ) 共
种. …………10 分 所以 P ( A) ?

11

11 .即从已抽取的 6 个城市中任抽两个城市,两个城市不来自同一组的概率为 15

11 .……12 分 15
17. 解: (Ⅰ) f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1 ?
2

3 sin 2 x ? cos 2 x

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? …………………4 分 6? ?
所以,函数 f ? x ? 的最小正周期为 T = (Ⅱ) g ? x ? ? f ( x ?

2? =? .…………………………………………5 分 2

?

? ?? ? ? ) ? 2sin ? 2( x ? ) ? ? ? 2sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x ------------7 分 3 3 6? 2 ?

1 ? ? A? g ? ? ? 2 cos A ? 1, cos A ? , 0 ? A ? ? ,? A ? ,--------------------------------------8 分 2 3 ?2?

在 ?ABC 中, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A.? 22 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ?

1 , 2

? 4 ? (b ? c) 2 ? 2bc ? bc, 4 ? 42 ? 3bc,? bc ? 4 .
1 1 ? 3 3 S ?ABC ? bc sin A ? bc sin ? bc = ? 4 ? 3 .………………………………12 分 2 2 3 4 4
18. 证 明 : (Ⅰ)连接 AC1 交 A1C 于点 O,连接 OD.………………………………2 分 四边形 ACC1 A1 为矩形, O 为 A1C 的中点,D 是 AB 的中点, OD 为△ABC1 的中位线,OD//BC1, ………………………………4 分 因为直线 OD?平面 A1DC,BC1?平面 A1DC. 所以直线 BC1∥平面 A1DC. ………………………………6 分 (Ⅱ)因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形, 所以 AA1⊥AB,AA1⊥AC. ………………………………7 分 因为 AB,AC 为平面 ABC 内的两条相交直线, 所以 AA1⊥平面 ABC. ………………………………9 分 因为直线 BC?平面 ABC,所以 AA1⊥BC. ………………………………10 分 由 BC ⊥AC ,BC⊥AA1, AA1,AC 为平面 ACC1A1 内的两条相交直线, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. ………………………………12 分 19. 解: (Ⅰ) S5 ?
A D B O B1 A1 C1

C

a1 ? a5 ? 5 ? a3 ? 5 ? 50 ,? a3 ? 10 ,…………………………………1 分 2

a2 ? a5 ? a3 ? a4 ? 10 ? a4 ? 24 , a4 ? 14 ,? d ? a4 ? a3 ? 4 ,……………………………2 分 an ? a3 ? (n ? 3)4 ? 4n ? 2 .…………………………………3 分

?b1 ? b3 ? 10 ?b1 ? 2 ? b1 ? 8 ?b1 ? 2 ,解得 ? 或? ,因为 {bn } 为递增数列,所以 ? ,……5 分 ? ? b1 ? b3 ? 16 ?b3 ? 8 ?b3 ? 2 ?b3 ? 8

q ? 4 ? 2,? bn ? 2 n



数列 ?an ? , {bn } 的通项公式分别为 a n ? 4n ? 2(n ? N * ), bn ? 2 n (n ? N * ) .…………6 分 (Ⅱ) c n ?

a n 4n ? 2 2n ? 1 ? ? n ?1 .…………………………………………………7 分 bn 2n 2

1 3 5 2n ? 1 Tn ? ? ? 2 ? ? ? n ?1 ①, 1 2 2 2 1 1 3 2n ? 1 ②, Tn ? ? 2 ? ? ? 2 2 2 2n
①-②得

(8k 2 ) 2 (?4k ) 2 ?2 2 ?2, ∵点 P 在椭圆上,∴ 2 t (1 ? 2k 2 ) 2 t (1 ? 2k 2 ) 2
∴ 16k ? t (1 ? 2k )
2 2 2

…………………………………………………………………11 分

16k 2 16 16 t ? ? ? ? 4,则-2 ? t ? 2 , 2 1 1 ? 2k 2?2 ? 2 k2
2

∴ t 的取值范围是为 (?2,2) .

…………………………13 分

21. 解: (I)函数 f ( x) 定义域为 (0,??) , f / ( x) ? 2 x ? 2a ?

1 ,……………………………………1 分 x 1 1 5 f / (1) ? 3 ? 2a ,由题意 f / (1) ? ? (3 ? 2a) ? ? ?1 ,解得 a ? .……………………4 分 2 2 2
(II) f / ( x) ? 2 x ? 2a ? 令

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 , ? x x


g ( x) ? 2 x 2 ? 2ax ? 1

? ? 4a 2 ? 8



(i) 当? 2 ? a ? 上单调递增; (ii)当 a ? 上单调递增;

, , f / ( x) ? 0 , 函数 f(x) 在 (0,??) 2 时, ? ? 4a 2 ? 8 ? 0 g ( x ) ? 0 , , f / ( x) ? 0 函数 f(x) 在 (0,??)

2或 ? 2 时,

? ? 4a 2 ? 8 ? 0

g ( x) ? 0

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 (iii)当 a ? 2 时, 2 x ? 2ax ? 1 ? 0, x1 ? ? 0, x2 ? ? 0, 2 2
2

在区间

(0, x1 )

上,

g ( x) ? 0

, f / ( x) ? 0 , 函 数 f(x) 单 调 递 增 ; 在 区 间

( x1 , x2 )

上,

g ( x) ? 0

, f / ( x) ? 0 ,函数 f(x)单调递减;在区间

( x2 ,??)

上,

g ( x) ? 0

, f / ( x) ? 0 ,函数

f(x)单调递增; (iv)当 a ? ? 2 时,

2 x ? 2ax ? 1 ? 0,
2

x1 ?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 ? 0, x2 ? ? 0, 2 2

在区间 (0,??) 上, g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 ,函数 f(x)单调递增.………………8 分 综上所述:当 a ? 当 a?

2 时,函数 f(x)在区间 (0,??) 上是单调递增;
a ? a2 ? 2 ) 上单调递增;在区间 2

2 时 , 函 数 f(x) 在 区 间 (0,

(

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 , ) 上单调递减;在区间 ( ,??) 上 单 调 递 2 2 2

增.……………………9 分 法二: (i)当 a ? 0 时, f / ( x) ? 0 恒成立,函数 f(x)在 (0,??) 上单调递增;

f / ( x ) ? 2 x ? 2a ?
(ii)当 0 ? a ? 单调递增; (iii)当 a ? 在区间

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 ,令 , , ? g ( x) ? 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? ? 4a 2 ? 8 x x

2 时, ? ? 4a 2 ? 8 ? 0,

g ( x) ? 0

, f / ( x) ? 0 ,函数 f(x)在 (0,??) 上

2 时, 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0, x1 ?


a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 ? 0, x2 ? ? 0, 2 2
( x1 , x2 )
上,

(0, x1 )

g ( x) ? 0

,f / ( x) ? 0 , 函数 f(x) 单调递增; 在区间

g ( x) ? 0



f / ( x) ? 0 ,函数 f(x)单调递减;在区间
递增.………………8 分 综上所述:当 a ? 当 a?

( x2 ,??)



g ( x) ? 0

, f / ( x) ? 0 ,函数 f(x) 单调

2 时,函数 f(x)在区间 (0,??) 上是单调递增;
a ? a2 ? 2 ) 上单调递增;在区间 2

2 时 , 函 数 f(x) 在 区 间 (0,

(

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 , ) 上单调递减;在区间 ( ,??) 上 单 调 递 2 2 2
法三:因为 x>0,? 2 x ? (i)当 a ? (ii)当 a ? 在区间

增.……………………9 分

1 ?2 2. x

2 时,在区间 (0,??) 上 f / ( x) ? 0 函数 f(x) 单调递增;

2 时, 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0, x1 ?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 ? 0, x2 ? ? 0, 2 2
( x1 , x2 )
上, f / ( x) ? 0 ,函

(0, x1 )

上, f / ( x) ? 0 ,函数 f(x) 单调递增;在区间

数 f(x) 单调递减;在区间 综上所述:当 a ? 当 a?

( x2 ,??)

上, f / ( x) ? 0 ,函数 f(x) 单调递增.………8 分

2 时,函数 f(x)在区间 (0,??) 上是单调递增;
a ? a2 ? 2 ) 上单调递增;在区间 2

2 时 , 函 数 f(x) 在 区 间 (0,

(

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 , ) 上单调递减;在区间 ( ,??) 上 单 调 递 2 2 2

增.……………………9 分

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