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第八章 第二节 直线的交点坐标与距离公式


第二节

直线的交点坐标与距离公式

考 纲 展 示
1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式, 会求两条平行直线间的距离.

高频考点全通关——距离公式的应用
闯关一:了解考情,熟悉命题角度
【考情分析】
距离公式包括两点间

的距离、点到直线的距离和两平行线间的距.这 三种距离在高考中经常体现,试题难度不大,多为容易题或中档题,以选 择、填空的形式呈现,有时也会在解答题中有所体现.

【命题角度】 高考中对距离公式的考查主要有以下几个命题 角度: ( 1 ) 求距离; ( 2 ) 已知距离求参数值; ( 3 ) 求距离的最值.

高频考点全通关——距离公式的应用
闯关二:典题针对讲解——已知距离求参数

[例 1] (2014·安康模拟)点 P 到点 A′(1,0)和直线 x=-1 的距离
相等,且 P 到直线 y= x 的距离等于 A.1 个 B.2 个 2 ,这样的点 P 共有 ( 2 C. 3 个 D. 4 个 )

【解析】设点 P(x,y),由题意知
2= 4x, y | x - y | 2 x-1 2+y2=|x+1|,且 = ,所以 2 |x-y|=1, 2 y2=4x, y2=4x, 即 ① 或 ② x- y=1, x- y=-1, x=3-2 2, x=3+2 2, x= 1, 解①得 或 解②得 y=2-2 2 y=2+2 2, y= 2, 因此,这样的点 P 共有 3 个.

【答案】C

高频考点全通关——距离公式的应用 闯关二:典题针对讲解——求距离的最值
[例 2](2014·启东模拟)l1,l2 是分别经过 A(1,1),B(0,-1)
两点的两条平行直线,当 l1,l2 间的距离最大时,直线 l1 的方程是____________.

【解析】当两条平行直线与 A、B 两点连线垂直时,
两条平行直线的距离最大.又 kAB= -1-1 =2,所以两 0- 1 1 条平行直线的斜率为 k=- , 所以直线 l1 的方程是 2 1 y-1=- (x-1),即 x+2y-3=0. 2

【答案】

x+2y-3=0

高频考点全通关——距离公式的应用 闯关三:总结问题类型,掌握解题策略
与距离有关问题的常见类型及解题策略
(1)求距离. 利用两点间的距离公式,点到直线的距离公式,两平行线的 距离公式直接求解,也可利用 “化归 ”法将两条平行线间的 距离转化为点到直线的距离. (2)已知距离求参数值. 可利用距离公式,得出含参数的方程,解方程即可求解. (3)求距离的最值. 可利用距离公式得出距离关于某个点的函数,利用函数知识 求最值.

高频考点全通关——距离公式的应用
闯关四:及时演练,强化提升解题技能
1.
在△OAB 中,O 为坐标原点,A(1, cos θ),B(sin θ,1), 则△ OAB 的面积的取值范围是( ) 1 3 1 3 1 3 , , , A.(0,1] B. 2 2 C. 4 2 D. 4 4

OA 的方程为 y= cos θx,且 |OA|= 1+ cos2θ, |sin θcos θ-1| 1-sin θcos θ 而 B 到 OA 的距离 d= = , 2 2 cos θ+1 1+ cos θ 1 1 - sin 2θ 1 1 1 所以 S△ O A B= |OA|d= (1- sin θcos θ)= = 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 - sin 2θ,又∵- 1≤ sin 2θ≤ 1,∴ ≤ - sin 2θ≤ . 2 4 4 2 4 4 解析:选 D

2. 已知直线 l1:mx+8y+n=0 与 l2:2x+my-1=0 互相平行,
且 l1, l2 之间的距离为 5,求直线 l1 的方程.
n m 8 解:因为 l1 与 l2 平行,所以 = ≠ .解得 m=±4.当 m=4 时, 2 m -1 l1:4x+8y+n=0,l2:2x+4y-1=0,两平行线间的距离 n +1 2 d= 2 = 5,解得 n=18 或 n=-22.此时 l1 的方程为 2 +42 4x+8y+18=0 或 4x+8y-22=0,即 2x+4y+9=0 或 2x+4y-11=0. 当 m=-4 时,l1:-4x+8y+n=0,l2:2x-4y-1=0, n - +1 2 两平行线间的距离 d= 2 = 5,解得 n=22 或 n=-18. 2 2 +4 此时 l1 的方程为-4x+8y+22=0 或-4x+8y-18=0,即 2x-4y-11=0 或 2x-4y+9=0.综上可知 l1 的方程为 2x+4y+9=0 或 2x+4y-11=0 或 2x-4y-11=0 或 2x-4y+9=0.

高频考点全通关——距离公式的应用 闯关四:及时演练,强化提升解题技能

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