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2013—2014学年度新课标高中数学人教A版必修5章节素质测试题——第二章


新课标高中数学人教 A 版必修 5 章节素质测试题——第二章 数列

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 以下给出的四个备选答案中,只有一个正确) 1.(09 安徽文 5)已知 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105 , a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,则 a 20 等于( A. ? 1 B. 1 C. 3 D.7 ) )

2.(12 福建理 2)等差数列 {an } 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 {an } 的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4

3.(10 全国Ⅱ理 4)如果等差数列 ?an ? 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +…+ a7 =( A. 14 B. 21 C. 28 D.35



4. (08 福建理 3) 设 ?an ? 是公比为正数的等比数列, 若 a1 ? 1, a5 ? 16 ,则数列 ?an ? 前 7 项的和为 ( A.63 B.64 C.127 D.128 5.(10 全国Ⅰ理 4)已知各项均为正数的等比数列 ?an ? , a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,则 a4a5a6 =( A. 5 2 B. 7 C. 6 D. 4 2 )





6.(12 安徽文 5)公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 =( A. 1 B. 2
*

C. 4

D. 8

7.(08 北京理 6)已知数列 ?an ? 对任意的 p,q ? N 满足 a p?q ? a p ? aq ,且 a2 ? ?6 ,那么 a10 等 于( ) A. ?165 B. ?33 C. ?30 D. ? 21

8.(09 重庆文 5)设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn =( )

A.

n 2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n ? n
2

9.(09 宁夏理 6)设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若

S6 S =3 ,则 9 =( S3 S6
8 3



A. 2

B.

7 3

C.

D.3

10.(11 湖北文 9) 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数 列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为( ) A.1 升 B.

6 7 升 6 6

C.

4 7 升 4 4

D.

3 7 升 3 3

1

11.(11 江西理 5)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ? S m ? S n?m , a1 ? 1 ,那么 a10 ? ( A.1 B.9 C.10 D.55 12.(09 广东理 4)已知等比数列 ?an ? 满足 an ? 0, n ? 1, 2, 时, log2 a1 ? log2 a3 ? A. n(2n ? 1)



,且 a5 ? a2 n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1

? log2 a2n?1 ? (
B. (n ? 1) 2

) C. n
2

D. (n ? 1)2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在对应题号后的横线上) 13.(09 全国Ⅰ 理 14)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 ? _________. 14.(11 广东文 11)已知 ?an ? 是递增等比数列, a2 ? 2,a4 ? a3 ? 4 ,则此数列的公比 q ? ______. 15.(12 江西文 13)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,公比不为 1.若 a1 ? 1 ,且对任意的 n ? N 都
*

有 an?2 ? an?1 ? 2an ? 0 ,则 S 5 ? _________. 16. (11 广东理 11) 等差数列 ?an ? 前 9 项的和等于前 4 项的和. 若 a1 ? 1 则 k ? ______ . ,ak ? a4 ? 0 , 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分,09 全国Ⅱ 文 17)已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项和 Sn

2

18.(本题满分 12 分,10 北京文 16) 已知 ?an ? 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 . (Ⅰ )求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )若等比数列 ?bn ? 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 ?bn ? 的前 n 项和公式.

19.(本题满分 12 分,10 山东文 18)已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 ,?an ? 的前 n 项和 为 Sn . (Ⅰ )求 an 及 Sn ; (Ⅱ )令 bn ?

1 (n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . a ?1
2 n

3

20.(本题满分 12 分,11 湖北文 17) 成等差数列的三个正数之和等于 15,并且这三个数分别加上 2,5,13 后成为等比数列 ?bn ? 中的 b3 , b4 , b5 . (Ⅰ )求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ )数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求证:数列 ?S n ? ? 是等比数列.

? ?

5? 4?

21. (本题满分 12 分, 09 山东文 20) 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N , 点 (, nS )n ,
?

均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
x

(Ⅰ )求 r 的值;

(Ⅱ )当 b ? 2 时,记 bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 4an

4

22.(本题满分 12 分,11 山东文 20)等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某 一个数,且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1)n ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2 n 项和 S 2 n .

5

新课标高中数学人教 A 版必修 5 章节素质测试题——第二章 数列(参考答案)
一、选择题答题卡: 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 C 5 A 6 A 7 C 8 A 9 B 10 B 11 A 12 C

二、填空题 13. ___24____. 三、解答题

14. ___2____.

15. ___11____.

16.____10____.

17.解:设 ?an ? 的公差为 d ,则 ?

? ?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 , a ? 3 d ? a ? 5 d ? 0 ? ? 1 1


即?

?a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 ?a1 ? ?4d

解得

?a1 ? ?8, ?a1 ? 8 . 或? ? ?d ? 2, ?d ? ?2

因此 Sn ? ?8n ? n ? n ?1? ? n ? n ? 9?,或Sn ? 8n ? n ? n ?1? ? ?n ? n ? 9? .

18.解: (Ⅰ )设等差数列 {an } 的公差 d . 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 ,所以 3d ? a6 ? a3 ? 6, 从而d ? 2, a1 ? a3 ? 2d ? ?10. 所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 . (Ⅱ )设等比数列 {bn } 的公比为 q . 因为 b1 ? ?8, b2 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?24 ,所以 ?8q ? ?24 .即 q =3. 所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ?

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) . 1? q

19. 解: (Ⅰ )设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d.

? 2a6 ? a5 ? a7 ? 26,? a6 ? 13.
由?

?a3 ? a1 ? 2d ? 7 解得 a1 ? 3,d ? 2. a ? a ? 5 d ? 13 1 ? 6
n(a1 ? a n ) ? n 2 ? 2n. 2

? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1, S n ?

6

(Ⅱ )? an ? 2n ? 1 ,? an ? 1 ? 4n(n ? 1) , bn ?

2

1 1?1 1 ? ? ? ? ?. 4n(n ? 1) 4 ? n n ? 1 ?

?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 4 2 2 3 n n ?1 1 1 ) = (1 ? 4 n ?1
= =

n . 4(n ? 1) n . 4(n ? 1)

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

20. 解: (Ⅰ )设成等差数列的三个正数分别为 a ? d , a, a ? d , 依题意,得 a ? d ? a ? a ? d ? 15, 解得a ? 5. 所以 {bn } 中的 b3 , b4 , b5 依次为 7 ? d ,10,18 ? d . 依题意,有 (7 ? d )(18 ? d ) ? 100, 解得d ? 2或d ? ?13 (舍去) 故 {bn } 的 b3 ? 7 ? d ? 5, b4 ? 10 ,公比 q ? 2 . 由 b3 ? b1 ? 2 , 即5 ? b1 ? 2 , 解得b1 ?
2 2

5 4

.

5 5 n ?1 n ?3 为首项,2 为以比的等比数列,其通项公式为 bn ? ? 2 ? 5 ? 2 . 4 4 5 (1 ? 2n ) 5 5 4 (Ⅱ )数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? ? 5 ? 2n?2 ? ,即 S n ? ? 5 ? 2 n ? 2 4 1? 2 4 5 Sn ?1 ? n ?1 5 5 4 ? 5 ? 2 ? 2. 所以 S1 ? ? , 5 4 2 5 ? 2n ? 2 Sn ? 4 5 5 因此 {S n ? }是以 为首项,公比为 2 的等比数列. 4 2
所以 {bn } 是以 21.解: (Ⅰ )因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)
x
?

的图像上.所以得 Sn ? b ? r , a1 ? S1 ? b ? r , a2 ? S 2 ? S1 ? (b ? r ) ? (b ? r ) ? b ? b ,
n

2

2

7

a3 ? S3 ? S 2 ? (b3 ? r ) ? (b 2 ? r ) ? b3 ? b 2 ,
? ?an ? 为等比数列,? a2 ? a1a3 .从而 b 2 (b ? 1) 2 ? (b ? r ) ? b 2 (b ? 1).
2

又? b ? 0且b ? 1,? b ? 1 ? b ? r. 解得 r ? ?1 .
(Ⅱ )当 b ? 2 时,由(Ⅰ )知, S n ? 2 n ? 1 . 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? (2 n ? 1) ? (2 n?1 ? 1) ? 2 n ? 2 n?1 ? (2 ? 1)2 n?1 ? 2n?1.

a1 ? b ? 1 ? 1 满足上式,所以其通项公式为 an ? 2 n?1 (n ? N * ) .
所以 bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? n ?1 ,………………(1) 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ? 2 ……(2) 3 2 2 2 2 2 2 Tn ?
( 1) ? (2) ,得: 1 2 1 1 1 1 n ?1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ?1 ) 3 1 n ?1 2 ? ?2 ? n?2 1 2 2 1? 2 3 1 n ?1 ? ? n ?1 ? n ? 2 . 4 2 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 . 2 2 2 2 2
22. 解: (Ⅰ)当 a1 ? 3时,不合题意; 当 a1 ? 2 时,当且仅当 a2 ? 6, a3 ? 18 时,符合题意; 当 a1 ? 10 时,不合题意. 因此 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18, 所以公比 q=3. 故 an ? 2 ? 3n?1. (Ⅱ)因为 bn ? an ? (?1)n ln an

8

? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (2 ? 3n ?1 ) ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n [ln 2 ? (n ? 1) ln 3] ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (ln 2 ? ln 3) ? (?1) n n ln 3,
所以 S 2n ? b1 ? b2 ? ? ? b2n

? 2(1 ? 3 ? ?3 2 n ?1 ) ? [?1 ? 1 ? 1 ? ?(?1) 2 n ](ln 2 ? ln 3) ? [?1 ? 2 ? 3 ? ? ? (?1) 2 n ? 2n] ln 3 1 ? 32n ? n ln 3 1? 3 ? 3 2 n ? n ln 3 ? 1. ? 2?
1.在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的个数为( ) A.34 B.35 C.36 D.37 考查等差数列的应用. 【解析】观察出 100 至 500 之间能被 11 整除的数为 110、121、132、…它们构成一个等差数列, 公差为 11,数 an=110+(n-1) ·11=11n+99,由 an≤500,解得 n≤36.4,n∈N*,∴n≤36. 【答案】C 2.在数列{an}中,a1=1,an+1=an2-1(n≥1) ,则 a1+a2+a3+a4+a5 等于( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 考查数列通项的理解及递推关系. 【解析】由已知:an+1=an2-1=(an+1) (an-1) , ∴a2=0,a3=-1,a4=0,a5=-1. 【答案】A 3.{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9 的值是( ) A.24 B.27 C.30 D.33 考查等差数列的性质及运用. 【解析】a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9 成等差数列,故 a3+a6+a9=2×39-45=33. 【答案】D 4.设函数 f(x)满足 f(n+1)= A.95 B.97 考查递推公式的应用.

2 f (n) ? n (n∈N*)且 f(1)=2,则 f(20)为( 2
C.105 D.192



1 ? ? f (2) ? f (1) ? 2 ? 1 ? ? f (3) ? f (2) ? 1 ? 2 n ? 【解析】f(n+1)-f(n)= ? ? 2 2 ? ? ? ? ? f (20) ? f (19) ? 1 ? 19 ? 2 ?
相加得 f(20)-f(1)=

1 (1+2+…+19) ? f(20)=95+f(1)=97. 2


【答案】B 5.等差数列{an}中,已知 a1=-6,an=0,公差 d∈N*,则 n(n≥3)的最大值为(

9

A.5 B.6 考查等差数列的通项.

C.7

D.8

【解析】an=a1+(n-1)d,即-6+(n-1)d=0 ? n=

6 +1 d

∵d∈N*,当 d=1 时,n 取最大值 n=7. 【答案】C 6.设 an=-n2+10n+11,则数列{an}从首项到第几项的和最大( ) A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 10 项或 11 项 D.第 12 项 考查数列求和的最值及问题转化的能力. 【解析】由 an=-n2+10n+11=-(n+1) (n-11) ,得 a11=0,而 a10>0,a12<0,S10=S11. 【答案】C 7.已知等差数列{an}的公差为正数,且 a3·a7=-12,a4+a6=-4,则 S20 为( ) A.180 B.-180 C.90 D.-90 考查等差数列的运用. 【解析】由等差数列性质,a4+a6=a3+a7=-4 与 a3·a7=-12 联立,即 a3,a7 是方程 x2+4x-12=0 的两根,又公差 d>0,∴a7>a3 ? a7=2,a3=-6,从而得 a1=-10,d=2,S20=180. 【答案】A 8.现有 200 根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能的少,那么剩余 钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 考查数学建模和探索问题的能力.

n(n ? 1) <200. 2 19 ? 20 显然 n=20 时,剩余钢管最少,此时用去 =190 根. 2
【解析】1+2+3+…+n<200,即 【答案】B 9.由公差为 d 的等差数列 a1、a2、a3…重新组成的数列 a1+a4, a2+a5, a3+a6…是( ) A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 2d 的等差数列 C.公差为 3d 的等差数列 D.非等差数列 考查等差数列的性质. 【解析】 (a2+a5)-(a1+a4)=(a2-a1)+(a5-a4)=2d. (a3+a6)-(a2+a5)=(a3-a2)+ (a6-a5)=2d.依次类推. 【答案】B 10.在等差数列{an}中,若 S9=18,Sn=240,an-4=30,则 n 的值为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 考查等差数列的求和及运用.

9(a1 ? a9 ) =18 ? a1+a9=4 ? 2(a1+4d)=4. 2 n(a1 ? an ) ∴a1+4d=2,又 an=an-4+4d.∴Sn= =16n=240. 2
【解析】S9= ∴n=15. 【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分)

10

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.在数列{an}中,a1=1,an+1=

2a n 2 (n∈N*) ,则 是这个数列的第_________项. an ? 2 7

考查数列概念的理解及观察变形能力. 【解析】由已知得

1 a n ?1

=

1 1 1 1 1 + ,∴{ }是以 =1 为首项,公差 d= 的等差数列. an 2 an a1 2



1 1 2 2 =1+(n-1) ,∴an= = ,∴n=6. an 2 n ?1 7

【答案】6 12.在等差数列{an}中,已知 S100=10,S10=100,则 S110=_________. 考查等差数列性质及和的理解. 【解析】S100-S10=a11+a12+…+a100=45(a11+a100)=45(a1+a110)=-90 ? a1+a110=-2. S110=

1 (a1+a110)×110=-110. 2

【答案】-110 13.在-9 和 3 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成和为-21 的等差数列,则 n=_______. 考查等差数列的前 n 项和公式及等差数列的概念. 【解析】-21= 【答案】5 14.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若 考查等差数列求和公式及等差中项的灵活运用.

(n ? 2)( ?9 ? 3) ,∴n=5. 2
Sn a 2n = ,则 11 =_________. b11 Tn 3n ? 1

(a1 ? a 21 ) 21(a1 ? a 21 ) a11 S 2 ? 21 21 2 2 ? ? 【解】 = = 21 ? . b11 (b1 ? b21 ) 21(b1 ? b21 ) T21 3 ? 21 ? 1 32 2 2
【答案】

21 32

三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 8 分)若等差数列 5,8,11,…与 3,7,11,…均有 100 项,问它们有多少 相同的项? 考查等差数列通项及灵活应用. 【解】设这两个数列分别为{an}、{bn},则 an=3n+2,bn=4n-1,令 ak=bm,则 3k+2=4m-1. ∴3k=3(m-1)+m,∴m 被 3 整除. 设 m=3p(p∈N*) ,则 k=4p-1. ∵k、m∈[1,100] . 则 1≤3p≤100 且 1≤p≤25. ∴它们共有 25 个相同的项.

11

16. (本小题满分 10 分)在等差数列{an}中,若 a1=25 且 S9=S17,求数列前多少项和最大. 考查等差数列的前 n 项和公式的应用. 【解】∵S9=S17,a1=25,∴9×25+ 解得 d=-2,∴Sn=25n+

9 ? (9 ? 1) 17(17 ? 1) d=17×25+ d 2 2

n(n ? 1) (-2)=-(n-13)2+169. 2

由二次函数性质,故前 13 项和最大. 注:本题还有多种解法.这里仅再列一种.由 d=-2,数列 an 为递减数列. an=25+(n-1) (-2)≥0,即 n≤13.5. ∴数列前 13 项和最大. 17. (本小题满分 12 分)数列通项公式为 an=n2-5n+4,问 (1)数列中有多少项是负数?(2)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. 考查数列通项及二次函数性质. 【解】 (1)由 an 为负数,得 n2-5n+4<0,解得 1<n<4. ∵n∈N*,故 n=2 或 3,即数列有 2 项为负数,分别是第 2 项和第 3 项. (2)∵an=n2-5n+4=(n-

5 2 9 5 ) - ,∴对称轴为 n= =2.5 2 4 2

又∵n∈N*,故当 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,最小值为 22-5×2+4=-2. 18. (本小题满分 12 分)甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动,甲第一分钟走 2 m,以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后,几分钟相遇. (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙继续每分钟 走 5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇? 考查等差数列求和及分析解决问题的能力. 【解】 (1)设 n 分钟后第 1 次相遇,依题意得 2n+

n(n ? 1) +5n=70 2

整理得:n2+13n-140=0,解得:n=7,n=-20(舍去) ∴第 1 次相遇在开始运动后 7 分钟. (2)设 n 分钟后第 2 次相遇,依题意有:2n+

n(n ? 1) +5n=3×70 2

整理得:n2+13n-6×70=0,解得:n=15 或 n=-28(舍去) 第 2 次相遇在开始运动后 15 分钟. 19. (本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·Sn-1=0(n≥2) ,a1= (1)求证:{

1 . 2

1 }是等差数列; Sn

(2)求 an 表达式; (3)若 bn=2(1-n)an(n≥2) ,求证:b22+b32+…+bn2<1. 考查数列求和及分析解决问题的能力. 【解】 (1)∵-an=2SnSn-1,∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2) Sn≠0,∴

1 1 1 1 1 - =2,又 = =2,∴{ }是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列. Sn S n ?1 S 1 a1 Sn

12

(2)由(1)

1 1 =2+(n-1)2=2n,∴Sn= Sn 2n
1 2n( n ? 1)

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-

?1 (n ? 1) ? 1 ?2 n=1 时,a1=S1= ,∴an= ? 1 2 ?(n ? 2) ? 2n(n - 1) ?
(3)由(2)知 bn=2(1-n)an= ∴b22+b32+…+bn2=

1 n

1 1 1 1 1 1 + 2 +…+ 2 < + +…+ 2 ( n ? 1)n 3 n 1? 2 2 ? 3 2

=(1-

1 1 1 1 1 1 )+( - )+…+( - )=1- <1. 2 2 3 n ?1 n n

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