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山东省济南外国语学校2012届高三5月份适应性训练(数学理)试题


绝密★启用前

济南外国语学校 2012 届高三 5 月适应性训练 理科数学试题
本试卷共 5 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A

后的方框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸 上无效。 3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 答在试题卷、草稿纸上无效。 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的 2B 铅笔涂 黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选。答题答在答题卡上对应的答 题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? {? 1,0 ,1} , N ? {a , a } 则使 M∩N=N 成立的 a 的值是(
2

) )

A.1 A. 1 ? 2i

B.0 B. ? 1 ? 2i
2

C.-1 C. ? 1 ? 2i

D.1 或-1 D. 1 ? 2i )

2.若 ( a ? 2 i )i ? b ? i ,其中 a , b ? R , i 是虚数单位,复数 a ? bi ? (

3.如果随机变量ξ ~N(μ ,σ ) ,且 Eξ =3,Dξ =1,则 P(-1<ξ ≤1)=( A.2Φ (1)-1 B.Φ (-4)-Φ (-2) D.Φ (4)-Φ (2)

C.Φ (2)-Φ (4)

4.设 k ? R ,下列向量中,与向量 Q=(1,-1)一定不平行的向量是( ) A.b=(k,k) B.c=(-k,-k) 2 2 2 2 C.d=(k +1,k +1) D.e=(k 一 l,k —1) 2 5.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m),则该棱锥的全面积是( )m .

正视图 A. 4 ? 2 6 B. 4 ?
6

侧视图 C. 4 ? 2 2

俯视图 D. 4 ?

2

6.设函数 f ( x ) ? 3 sin( ? x ? ? )( ? ? 0 , ? 是 ? ,则( )

?
2

?? ?

?
2

) 的图像关于直线 x ?

2? 3

对称,它的周期

1 A. f ( x ) 的图象过点 ( 0 , ) 2 ? 2? ] 上是减函数 B. f ( x ) 在 [ , 12 3 5? ,0 ) C. f ( x ) 的一个对称中心是 ( 12 D. 将 f ( x ) 的 图 象 向 右 平 移 | ? | 个 单 位 得 到 函 数 y ? 3 sin ? x 的图象.

7.执行如图所示的程序框图,则输出的 S=( A.258 B.642 C.780 D.1538 8.双曲线
x a
2 2



?

y b

2 2

? 1( a ? 1, b ? 1) 的离心率为 2,则

b ?1
2

的最小值为(

).

3a
3? 3 3 1? 2 3

A.

4 3 3

B.

C.2

D.

? x 2 ? ( a ? b ) x ? 2, x ? 0 ? a 满足 x ? lg x ? 4 , b 满足 x ? 10 x ? 4 ,函数 f ( x ) ? ? 9.若 ,则 ? 2, x?0 ?

关于 x 的方程 f ( x ) ? x 的解的个数是( A.4 B.3

) C.2 D. 1

10.设 O 是正三棱锥 P ? ABC 的底面⊿ ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S ,与 PA 、
PB 的延长线分别交于 Q 、 R ,则

1 PQ

?

1 PR

?

1 PS

(

)

A、有最大值而无最小值 C、无最大值也无最小值

B、有最小值而无最大值 D、是与平面 QRS 无关的常数

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在 答题卡对应题号的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ....... (一)必考题(11—14 题)
3 2 ) x ) ) 11. 对任意的实数 x, x ? a 0 ?a 1 x( ? 2 ?a 2( ? 2 ?a (x ?2 有 3 3

, a2 的值是 则 .



12.若点 P (cos ? ,sin ? ) 在直线 y ? ? 2 x 上,则 sin 2? ? 2 cos 2? =

13.如图所示高脚杯的轴截面是方程为 x ? 2 py ( p ? 0 ) 的抛物线,现放一半径为 r 小球到高
2

脚杯中,若小球能落到杯子底部,则小球的半径 r 的取值范围为

.

? a11 ? 14 . 由 9 个 正 数 组 成 的 数 阵 ? a 21 ?a ? 31

a12 a 22 a 32

a13 ? ? a 23 ? 每 行 中 的 三 个 数 成 等 差 数 列 , 且 a 33 ? ?

a 11 ? a 12 ? a 13 , a 21 ? a 22 ? a 23 , a 31 ? a 32 ? a 33 成等比数列.给出下列结论:

①第二列中的 a 12 , a 22 , a 32 必成等比数列; ②第一列中的 a 11 , a 21 , a 31 不一定成等比数列; ③ a 12 ? a 32 ? a 21 ? a 23 ; ④若 9 个数之和大于 81,则 a 22 >9. 其中正确的序号有 . (填写所有正确结论的序号) . (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的 题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD ? AB ,垂足为 D ,且 A D ? 5 D B ,设 ? COD ? ? ,则 tan ? 的值为 . 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 已知直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为
? x ? t ? 3, . ( t 为 参 数 ) 以直角坐标系 xOy 中的原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,圆 C ? ? y ? 3t ,

的极坐标方程为 ? ? 4 ? cos ? ? 3 ? 0 ,则圆心 C 到直线 l 距离为
2



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 11 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, q=( 2 a ,1) ,p=( 2 b ? c , cos C ) 且 p // q .求: (I)求 sin A 的值; (II)求三角函数式
? 2 cos 2 C 1 ? tan C ? 1 的取值范围.

18. (本小题满分12分) 某高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在 每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术 辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也

可以放弃任何一门科目的辅导讲座。 (规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则 称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座的概率如下表:

根据上表: (1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望。

19. (本小题满分 12 分) 如图所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA?CD,PA = 1, PD= 2 ,E 为 PD 上一点,PE = 2ED. (Ⅰ)求证:PA ?平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 D-AC-E 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 PC 上是否存在一点 F,使得 BF // 平面 AEC? 若存在,指出 F 点的位置,并证明;若不存在,说明理由.
B A E D C P

20、 (本小题满分 13 分) 如图,F1、F2 分别为椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的焦点,椭圆的

???? ???? ? 右准线 l 与 x 轴交于 A 点,若 F1 ? ? 1, 0 ? ,且 AF1 ? 2 AF2 .

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过 F1、F2 作互相垂直的两直线分别与椭圆交于 P、Q、 M、N 四点,求四边形 PMQN 面积的取值范围.

21. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ?
1 4

, an ?

a n ?1 ( ? 1) a n ?1 ? 2
n

( n ? 2, n ? N ) 。

?

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ?
1 an
2

,求 ?b n ? 的前 n 项和 S n ;
( 2 n ? 1)? 2

(Ⅲ)设 c n ? a n sin

,数列 ?c n ? 的前 n 项和 T n ,求证:对 ? n ? N , T n ?
?

4 7



22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln ax ?
x?a x

?a ? 0?

(Ⅰ)求此函数的单调区间及最值; (Ⅱ)求证:对于任意正整数 n,均有 1 ?
1 2 ? 1 3 ?? ? 1 n ? ln e
n

n!

( e 为自然对数的底数) ;

(Ⅲ)当 a=1 时,是否存在过点(1,-1)的直线与函数 y ? f ( x ) 的图象相切? 若存在,


有多少条?若不存在,说明理由.

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理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1-5、CBDCA 6-10、CBABD 二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在 答题卡对应题号的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ....... 11、6 12、-2 13、 0 ? r ? p 14、①②③ 15.
5 2

16.

5 3 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、解: (I)∵ p // q ,∴ 2 a cos C ? 2b ? c , 根据正弦定理,得 2 sin A cos C ? 2 sin B ? sin C , 又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ,
? 1 2 sin C ? cos A sin C ,? sin C ? 0 ,? cos A ? 1 2

, ………………………5 分

又? 0 ? A ? ? ? A ?
? 2 cos 2 C

?
3

; sinA=

3 2
2 2

2 (cos C ? sin C ) 2 ?1 ?1? ? 1 ? 2 cos C ? 2 sin C cos C , (II)原式 ? sin C 1 ? tan C 1? cos C

? sin 2 C ? cos 2 C ?

2 sin( 2 C ?

?

∵0 ? C ? ∴?1?

2 3

? ,∴ ?
?
4 )?

?
4

? 2C ?

?
4

?

), 4 13

12

? ,∴ ?

2 2

? sin( 2 C ?

?
4

) ?1,

2 sin( 2 C ?

2 ,∴ f (C ) 的值域是 (? 1, 2 ] .

…………………………11 分

18、解(I)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A, 1 2 2 1 则 P ( A ) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? ………………………………………………………4 分 2 3 3 18 (II) ? 的可能值得为 0,1,2,3,4,5
, 2 3 48 1 3 2 1 4 2 1 1 1 P (? ? 1) ? C 4 ? ?(1 ? ) ?(1 ? ) ? (1 ? ) ? ? , 2 2 3 2 3 8 1 2 1 2 2 1 3 2 7 2 1 1 P (? ? 2) ? C 4 ?( ) ?(1 ? ) ?(1 ? ) ? C 4 ? (1 ? ) ? ? , 2 2 3 2 2 3 24 1 3 1 2 1 2 1 2 2 1 3 2 P (? ? 3) ? C 4 ?( ) ?(1 ? ) ?(1 ? ) ? C 4 ?( ) ?(1 ? ) ? ? , 2 2 3 2 2 3 3 P (? ? 0) ? (1 ? 1 ) ?(1 ?
4

2

)?

1

1 4 P (? ? 4) ? ( ) ?(1 ? 2 1 4 2 P (? ? 5) ? ( ) ? ? 2 3

1 3 1 2 1 3 ) ? C 4 ?( ) ?(1 ? ) ? ? , 3 2 2 3 16 1 , ……………………………………………………………9 分 24

2

所以随机变量 ? 的分布列如下:

?
P

0
1 48

1
1 8

2
7

3
1

4
3

5
1

24 3 16 24 1 1 7 1 3 1 8 故 E ? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? ………………………12 分 48 8 24 3 16 24 3

19、解: (Ⅰ) ? PA = PD = 1 ,PD = 2 , 2 2 2 ? PA + AD = PD , 即:PA ? AD 又 PA ? CD , AD , CD 相交于点 D, ? PA ? 平面 ABCD (Ⅱ)过 E 作 EG//PA 交 AD 于 G, 从而 EG ? 平面 ABCD, 1 1 且 AG = 2GD , EG = 3 PA = 3 ,

---2 分 -------4 分

------5 分

连接 BD 交 AC 于 O, 过 G 作 GH//OD ,交 AC 于 H, 连接 EH.? GH ? AC , ? EH ? AC , ? ? EHG 为二面角 D—AC―E 的平面角.
? tan?EHG =

-----6 分

EG 2 6 GH = 2 .? 二面角 D—AC―E 的平面角的余弦值为 3 -------8 分

(Ⅲ)以 AB , AD , PA 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 2 1 则 A(0 ,0, 0) ,B(1,0,0) ,C(1,1,0) ,P(0,0,1) ,E(0 , 3 ,3 ), AC = (1,1,0), 2 1 AE = (0 , 3 ,3 ) 设平面 AEC 的法向量 n = (x, y,z) , 则
? n ? AC ? 0 ?x ? y ? 0 ? ,即: ? , 令y=1, ? ? n ? AE ? 0 ?2 y ? z ? 0 ?

---9 分

则 n = (- 1,1, - 2 ) 假设侧棱 PC 上存在一点 F, 且 CF = ? CP , (0 ? ? ? 1), 使得:BF//平面 AEC, 则 BF ? n = 0. 又因为: BF = BC + CF

-------------10 分

= (0 ,1,0)+ (- ? ,- ? , ? )= (- ? ,1- ? , ? ),

?

1 BF ? n = ? + 1- ? - 2 ? = 0 , ? ? = 2 , ----------------12 分

所以存在 PC 的中点 F, 使得 BF//平面 AEC. 20、解:(I) 由 F1(-1,0)得 c ? 1 ,∴A 点坐标为 ? a , 0 ? ;……2 分
2

???? ???? ? ∵ AF1 ? 2 AF2
x
2

∴ F2 是 AF1 的中点 ∴ a ? 3, b ? 2
2 2

∴ 椭圆方程为

3

?

y

2

2

?1

……5 分
1 2 MN ? PQ ? 4 ;

(II)当直线 MN 与 PQ 之一与 x 轴垂直时,四边形 PMQN 面积 S ? …………6 分

当直线 PQ,MN 均与 x 轴不垂直时,不妨设 PQ: y ? k ? x ? 1 ? ? k ? 0 ? ,
? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 y 2 代入消去 y 得 ? 2 ? 3 k ? x ? 6 k x ? ? 3 k ? 6 ? ? 0 ? ?1 ? 2 ? 3

设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x 2 , y 2 ? 则 x1 ? x 2 ?

?6k

2 2

2 ? 3k

, x1 x 2 ?

3k ? 6
2

2 ? 3k

2

………8 分

∴ PQ ? 1 ? k

2

x1 ? x 2 ?

4 3 ? k ? 1?
2

2 ? 3k

2

? 1 ? 4 3 ? 2 ? 1? ?k ? ,同理 MN ? 1 2?3 2 k

? 2 1 ? 24 ? k ? 2 ? 2 ? 1 k ? ? ∴四边形 PMQN 面积 S ? MN PQ ? 1 ? 2 ? 2 6 ? k ? 2 ? ? 13 k ? ?

………10 分

令u ? k ?
2

1 k
2

,则 u ? 2, S ?

24 ? u ? 2 ? 6 u ? 13

? 4?

4 6 u ? 13

,易知 S 是以 u 为变量的增函数

所以当 k ? ? 1, u ? 2 时, S min ? 综上可知,
96

96 25

,∴

96 25

?S ?4

? 96 ? ? S ? 4 ,∴四边形 PMQN 面积的取值范围为 ? , 4 ? ………13 分 25 ? 25 ?

21、解: (Ⅰ)∵

1 an

? ( ? 1) ?
n

2 a n ?1

,∴

? 1 n n ?1 ? ? ( ? 1) ? ( ? 2 ) ? ? ( ? 1) ? , an ? a n ?1 ? 1

又∵

? 1 n? ? ( ? 1) ? 是首项为 3,公比为-2 的等比数列, ? ( ? 1) ? 3 ,∴数列 ? a1 ? an ?
1
n

1 an

? ( ? 1) = 3( ? 2 )

n ?1

,即 a n ?

( ? 1) 3?2

n ?1

n ?1

?1

。………………………………4 分

(Ⅱ) b n ? (3 ? 2 n ?1 ? 1) 2 ? 9 ? 4 n ?1 ? 6 ? 2 n ?1 ? 1 ,
Sn =9 ?
1 ? (1 ? 4 )
n

1? 4
( 2 n ? 1)? 2

? 6?

1 ? (1 ? 2 )
n

1? 2
n

? n = 3 ? 4 n ? 6 ? 2 n ? n ? 9 。………8 分

(Ⅲ)∵ sin

= (? 1) ,∴ c n ?
1 3?1 ? 1 7 ? 1 3?2 ?1 1 3?2
2

( ? 1) 3 ? (?2)
1 3?2 ?1
2

n ?1

n ?1

? ( ? 1)

n

?
1

1 3?2
n ?1

?1



当 n≥3 时, T n =

?

???

3?2

n ?1

?1

?

1 4

?

?

1 3?2
3

?? ?

1 3?2
n ?1

1 n?2 ? [1 ? ( ) ] 2 ? 12 = 1 28 1? 2 11

1

=

11 28

?

47 4 1 ? 1 n ? 2 ? 11 1 ? ? ? ,……………12 分 ? ?1 ? ( ) ? ? 28 6 84 7 6 ? 2 ? 4 7

? 又∵ T1 ? T 2 ? T 3 ,∴对 ? n ? N , T n ?

。……………………………13 分

22、 (Ⅰ)解:由题意 f ?( x ) ?

x?a x
2



………………1 分

当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0 , ?? ) , 此时函数在 (0, a ) 上是减函数,在 ( a , ?? ) 上是增函数,
f min ( x ) ? f ( a ) ? ln a ,无最大值.………………3 分
2

当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的定义域为 (?? , 0 ) , 此时函数在 ( ?? , a ) 上是减函数,在 ( a , 0) 上是增函数,
f min ( x ) ? f ( a ) ? ln a ,无最大值.………………5 分
2

(Ⅱ)取 a ? 1 ,由⑴知 f ( x ) ? ln x ? 故
1 x ? 1 ? ln x ? ln e x
1 2 ? 1 3

x ?1 x

? f (1) ? 0 ,


1 n e
n

取 x ? 1, 2, 3 ? , n ,则 1 ?

?? ?

? ln

.………………9 分
x0 ? 1 x0

n!

(Ⅲ)假设存在这样的切线,设其中一个切点 T ( x 0 , ln x 0 ?
x0 ? 1 x0
2

),

∴切线方程: y ? 1 ?

( x ? 1) ,将点 T 坐标代入得:

ln x 0 ?

x0 ? 1 x0

?1 ?
3 x

( x 0 ? 1) x0
2

2

,即 ln x 0 ?

3 x0

?

1 x0
3

2

?1 ? 0,



设 g ( x ) ? ln x ?
? x ? 0,

?

1 x
2

? 1 ,则 g ?( x ) ?

( x ? 1)( x ? 2 ) x

.………………12 分

? g ( x ) 在区间 ( 0 ,1) , ( 2 , ?? ) 上是增函数,在区间 (1, 2 ) 上是减函数,

故 g ( x ) 极 大 值 ? g (1) ? 1 ? 0, g ( x ) 极 小 值 ? g (2) ? ln 2 ?
1 1 又 g ( ) ? ln ? 12 ? 16 ? 1 ? ? ln 4 ? 3 ? 0 , 4 4

1 4

?0.

1 注意到 g ( x ) 在其定义域上的单调性,知 g ( x ) ? 0 仅在 ( ,1) 内有且仅有一根 4

方程①有且仅有一解,故符合条件的切线有且仅有一条.…………14 分


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