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集合之间的关系和运算


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集合之间的关系和运算 集合之间的关系和运算 1、 复习巩固集合的相关概念,会用列举法、描述法表示集合; 2、 理解集合的相等、包含关系及其关系符号,掌握子集的概念; 3、 掌握集合的“交、并、补”运算,会求几个集合的交集、并集及已知集合的补集;

教学目标

重点、难点 重点、

1、集合的意义及其属性,集合的关系及其运算; 2、根据集合之间的运算关系求所含字母的值或范围; 1、理解集合的意义,掌握集合的表示方法; 2、掌握子集的概念及“交、并、补”运算; 教学内容

考点及考试要求

一、集合的相关概念 集合:能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合,简称集。 1、集合:能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合,简称集。 集合中的各个对象叫做这个集合的元素。 集合中的各个对象叫做这个集合的元素。 的元素, 若 a 是集合 A 的元素,记作 a ∈ A 。 2、集合的属性:1)确定性; 2)互异性; 3)无序性。 、集合的属性: )确定性; )互异性; )无序性。 3、有限集、无限集、空集(不含任何元素的集合,记作 ? 。空集是有限集。 空集是有限集。 、有限集、无限集、空集(不含任何元素的集合, ) 常见的数集: 4、常见的数集: (1)自然数集: N , N = {0,1,2, L} )自然数集: (2)正整数集: N , )正整数集:
?

N * = { ,2,3, L} 1

± ± L (3)整数集: Z , Z = {0, 1, 2, } )整数集:
(4)有理数集: Q )有理数集: (5)实数集: R )实数集:

5、集合符号的使用。 、集合符号的使用。
2 2 【注】正确表示一个集合:1) 符号书写规范。如 A = { y | y = x + 1, x ∈ R} , B = {( x, y ) | y = x + 1, x ∈ R} 是 正确表示一个集合: 符号书写规范。

完全不同的两个集合。 完全不同的两个集合。 2) 合理选择表示方法。 合理选择表示方法。 用适当的方法表示下列集合: 【 例 1】 用适当的方法表示下列集合: 的全体整数组成的集合; (1) 被 3 除余 2 的全体整数组成的集合;

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( 2) 使

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6 ∈ Z 的整数 x 组成的集合。 组成的集合。 x ?1

【例2】 】

构成的集合。 求满足 x ∈ {1, 2, x } 的所有实数 x 构成的集合。
2

(主要考查学生对集合中元素性质的掌握情况) 【 例 3】 已知集合 A = {x | ax + 4 x + 4 = 0, a ∈ R, x ∈ R}
2

中有且只有一个元素, (1)若 A 中有且只有一个元素,求 a 及 A ; 中至多有一个元素 的取值范围。 (2)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围。

反馈练习: 反馈练习: 1、 (1)已知集合 A = { y | y = x 2 ? 2, ?1 < x < 3, x ∈ N } ,试用列举法表示集合 A ; (2)已知集合 B = { y | y = x 2 ? 2, ?1 < x < 3, y ∈ N } ,试用列举法表示集合 B ; (3)已知集合 C = {( x, y ) | y = x 2 ? 2, ?1 < x < 3, x ∈ N } ,试用列举法表示集合 C 。 2、集合 A = {x | ( m ? 1) x 2 + 2 x + 1 = 0} 中只有一个元素(这时称 A 为单元素集) ,则 m = _____ 。 3、如果 M = {(1, 2), (1, 0)} ,则下列写法正确的是( (A) 1 ∈ M (B) {1, 0} ∈ M ) (D) 2 ∈ M

(C) (1, 0) ∈ M

4、已知函数 f ( x ) = x 2 + ax + b ,集合 A = {x | f ( x ) = 2 x} ,若 A = {2} ,求 a 、 b 的值以及 f ( x ) 。

二、集合之间的关系 1、子集:对于两个集合 A 与 B ,如果集合 A 中的任何一个元素都属于集合 B ,那么集合 A 叫做集合 B 的子 、子集: 集,记作 A ? B (或 B ? A ) 。 2、真子集:对于两个集合 A 与 B ,如果 A ? B ,并且 B 中至少有一个元素不属于 A ,那么集合 A 叫做集合 B 叫做集合 、真子集: 的真子集, 的真子集,记作 A ? B 。 ≠ 3、集合的相等:对于两个集合 A 与 B ,如果 A ? B 且 B ? A ,那么 A = B 。 、集合的相等: 4、说明: )任何一个集合是它本身的子集; 、说明: (1)任何一个集合是它本身的子集; ( (2)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集; )空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集;
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n

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n

个元素组成的集合, (3)子集个数的计算:由 n 个元素组成的集合,其子集的个数为 2 个,真子集个数为 2 ? 1 个。 )子集个数的计算:

2 【例 1】 1)若集合 A = {1, a} , B = {1, a } ,且 A = B ,则实数 a = ___ 。 (1 (

的取值范围是______。 (2)设集合 M = {x | ?1 < x < 3} , N = {x | x > a} ,若 M ? N ,则实数 a 的取值范围是 ) 。 (3)已知集合 A= { -1,3,2 m -1 } ,集合 B= { 3, m } 若 B ? A,则实数 m = ) = , , = , 则实数
2
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

( 高考) 。 06 高考)

(4)满足条件 {0,1} ? A ? {0,1, 2,3, 4} 的集合 A 的个数是_____个。 ) 的个数是 个 ≠

2 的值。 【例 2】已知集合 M = {x | x + x ? 6 = 0} , N = {x | ax + 1 = 0} ,且 N ? M,求 a 的值。 】 ≠ ,

(主要考查学生对子集概念的掌握情况,特别是遇到参数要有分段讨论的意识, 分类讨论时要防止在空集上出问题。 )
2 的值。 【例 3】已知集合 A = {1, a, b} , B = {a, a , ab} ,且 A = B ,求实数 a, b 的值。 】

(考查学生对集合相等概念的理解情况,并要求能用集合的属性来检验结果的正确性。 ) 反馈练习: 反馈练习: 1、填空: (1) {a} ____ {a, b, c} (3) {b, c, a} ____ {a, b, c} (2) {a, c, b} ____ {a, b} (4) ? ____ {a, b, c}

2、设 A = {x | ?3 ≤ x ≤ 2} , B = {x | 2m ? 1 ≤ x ≤ 2m + 1} ,若 B ? A ,则实数 m 的取值范围是_______。 3、若 {1} ? A ? {1, 2, 3} ,则集合 A 的个数是_____个。 4、满足 {1,3, 5} U A = {1,3, 5, 7} 的 A 有_____个。 5、有三种表示法:① ? ? A ;② ? ? {0} ;③ ? ∈ {0} 。其中错误的是___________。 ≠
2 6、已知集合 M = {x | x + x ? 6 = 0} , N = {t | at + t + 1 = 0} ,若 N ? M,求 a 的值。 ≠

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7、已知集合 A = {x | ?2 ≤ x ≤ 2} 。 (1)若集合 B = {x | x ≤ a} 满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围。

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(2)若非空集合 C = {x | 2a ? 5 ≤ x ≤ a + 1} 满足 A ? C ,求实数 a 的取值范围。 (3)若集合 C = {x | 2a ? 5 ≤ x ≤ a + 1} 满足 C ? A ,求实数 a 的取值范围。

8、设 A = {x | x ? a < 2} , B = {x |

2x ?1 < 1} ,若 A ? B ,求实数 a 的取值范围。 x+2

三、集合的运算 1、交集: A I B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B} 交集: 2、并集: A U B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B} 并集: 3、补集: CU A = {x | x ∈ U 且 x ? A } 补集: 4、说明: )如果 A ? B ,则 A I B = A , A U B = B ; 、说明: (1) ( (2) A I ? = ? , A U ? = A 。 )

四、集合的性质 (1)交集的性质: A I B = B I A , A I A = A , A I ? = ? , A I B ? A , A I B ? B ; 交集的性质: (2)并集的性质: A U B = B U A , A U A = A , A U ? = A , A ? A U B , B ? A U B ; 并集的性质: ( 3) A I B = A ? A ? B , A U B = A ? B ? A ; (4)集合的运算满足分配律: A I ( B U C ) = ( A I B ) U ( A I C ) , A U ( B I C ) = ( A U B ) I ( A U C ) ; 集合的运算满足分配律: (5)补集的性质: A I Cu A = ? , A U Cu A = U , Cu (Cu A) = A ; 补集的性质:
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(6)摩根定律: Cu ( A U B ) = Cu A I Cu B , Cu ( A I B ) = Cu A U Cu B ; 摩根定律:

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(1)若集合 【例 1】 (1)若集合 A = {x | ?1 < x < 2} , B = {x |1 < x < 3} ,则 A U B = _________, A I B =__________。 , 。
2 (2)设集合 A = {x | x < 4} , B = {x | x ? 4 x + 3 > 0} ,则集合 {x | x ∈ A 且 x ? A I B} =_________。 2)设集合 。

的取值范围是__________。 ) (09) (3)已知集合 且 则实数 a 的取值范围是 。 ( (3)已知集合 A = {x | x ≤ 1} ,B = {x | x ≥ a} , A U B = R , ={1,2,3,4,5 ={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则 1,2,3,4,5} (4)设集合 U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则 ( A U B ) I (CU C ) = ) 。

2 2 【例 2】设集合 A = {2,3, a + 4a + 2} , B = {0, 7, a + 4a ? 2, 2 ? a} ,且 A I B = {3, 7} ,求 B。 】 。

的取值范围。 【例 3】若 U = R , A = {x | 3 < x ≤ 4} , B = {x | x > a} ,求满足 A I CU B = ? 时实数 a 的取值范围。

2 2 的取值范围 【例 4】设 A = {x | x ? 4 x + 3 = 0} , B = {x | x ? ax + 9 = 0} ,且 A U B = A ,求实数 a 的取值范围。

如图, 是全集, 、 、 个子集,则阴影部分所表示的集合是( 【例 5】 如图,U 是全集,M、P、S 是 U 的 3 个子集,则阴影部分所表示的集合是(



A. C.

( M I P) I S ( M I P ) I Cu S

B. D.

( M I P) U S ( M I P ) U Cu S

(考查学生用文氏图表示集合运算关系的掌握情况)

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反馈练习: 反馈练习 1、 已知 A = {x | ?1 < x ≤ 2} , B = {x | 2 ≤ x ≤ 4} ,则 A I B = ___________。 、

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2、 已知全集 U = {0, ?1, ?2, ?3, ?4} ,集合 M = {0, ?1, ?2} , N = {0, ?3, ?4} ,则 CU M I N = ______。 、 3、 已知 M = {x | x ? a = 0} , N = {x | ax ? 1 = 0} ,若 M I N = N ,则 a =________。 、 4、 设集合 A = {x | ?1 < x ≤ 1} , B = {x | a ? x ≥ 0} , A I B = ? ,则实数 a 的取值范围是__________。 、 5、 设 M , P 是两个非空集合,定义: M ? P = {x | x ∈ M 且 x ? P} 。若 M = {x |1 ≤ x ≤ 2005, x ∈ N } , 、

P = { y | 2 ≤ y ≤ 2006, y ∈ N } ,则 P ? M = (
(A) {1} 6、若集合 M = y | y = 2 (A) (0, +∞ ) (B) {2006}
?x

) (D) P

(C) M

{

} , N = {x | y =
(B) [0, +∞ )

x ?1 , 则 M ∩ N = ( )
(C) [1, +∞) (D) (1, +∞)

}

7、设 A = {a 2 , a ? 1,3} , B = {a + 3, a + 2, a 2 ? 1} ,并且 A I B = {3} ,求实数 a 的值。

8、已知 A = {x | x 2 + ( p + 2) x + 1 = 0} ,若 A I R = ? ,求实数 p 的取值范围。

+

9、设 A = {x | x 2 ? 3 x + 2 = 0} , B = {x | x 2 ? ax + a ? 1 = 0} , C = {x | x 2 ? bx + 2 = 0} 。若 A U B = A ,

A I C = C ,求 a, b 的值。

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