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金版教程:2014高考科学复习解决方案 数学理科 第6章 第4讲


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第4讲 基本不等式

第六章 第4讲

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不同寻常的一本书

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1.了解基本不等式的证明过程.

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

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1个重要思想

基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”
转化为“和式”的放缩功能,在证明或求最值时,要注意这种 转化思想.

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2 个必会变形
2 2 a + b a+b 2 2 1. 公式的逆用:a +b ≥2ab 的逆用就是 ab≤ ; 2 2

a+b 2 ≥ ab(a,b>0)的逆用就是 ab≤( ). 2 a+b 2 a2+b2 2. ab≤( 2 ) ≤ 2 (当且仅当 a=b 时取等号),这个不等 式链用处很大.

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3项必须注意 1. 使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提 “一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,

这三个条件缺一不可.
2. 在运用重要不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑” 等技巧,使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件. 3. 在同一个问题中连续多次使用均值不等式,要注意判断 等号是否能同时成立.

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课前自主导学

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a+b 1. 基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:________. (2)等号成立的条件:当且仅当________时取等号. a+b (3)两个平均数: 称为正数 a,b 的________, ab称 2 为正数 a,b 的________.

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归纳拓展:常用的几个重要不等式: (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). a+b 2 (2)ab≤( 2 ) (a,b∈R). a+b 2 a2+b2 (3)( )≤ (a,b∈R). 2 2 b a (4) + ≥2(a· b>0). a b a+b (5)1 1≤ ab≤ 2 ≤ a+b 2 a2+b2 2 (a>0,b>0).
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(1)若 a,b∈R,且 ab>0,下列不等式 ① a + b >2ab ≥2
2 2

② a + b≥2 ab

1 1 2 ③a +b> ab

b a ④a + b

a+b 2 ⑤ab≤( ) ,其中恒成立的是________. 2 a+b (2)设 0<a<b, 则 a, b, ab, 2 的大小关系为________.

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2.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有 最小值是 2 p(简记:“积定和最小”). (2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有 s2 最大值是 4 (简记:“和定积最大”).

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4 (1)当 x>1 时,则 x+ 的最小值________. x-1 2 (2)当 x<0 时,则 x+ 的最大值________. x (3)已知 x,y>0,且 x+4y=1,则 xy 的最大值________, 1 1 x+y的最小值________.

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1. a>0,b>0

a=b 算术平均数 几何平均数

a+b 填一填:(1)④⑤ (2)a< ab< <b 2 1 2.填一填:(1)5 (2)-2 2 (3) 9 16

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核心要点研究

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例 1 (1)[2011· 重庆高考]已知 a>0,b>0,a+b=2,则 1 4 y= + 的最小值是( a b 7 A. 2 9 C.2 ) B.4 D.5

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(2)[2011·浙江高考]若实数x、y满足x2+y2+xy=1,则x+y

的最大值是________.
[审题视点 ] 通过拆、拼、凑创造条件,利用基本不等式 求最值,但要注意等号成立的条件.

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[解析] 2

1 4 1 4 b 4a (1)2y=2(a+b)=(a+b)(a+b)=5+a+ b ≥5+

b 4a b 4a 2 4 a· b =9(当且仅当a= b ,a+b=2 即 a=3,b=3时等号

9 成立),所以 y 的最小值为 . 2 (2)∵x2+y2+xy=1,∴(x+y)2=xy+1. x+y 2 又∵xy≤( 2 ) , x+y 2 3 ∴(x+y) ≤( 2 ) +1,即4(x+y)2≤1.
2
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4 2 3 2 3 ∴(x+y) ≤ .∴- ≤x+y≤ . 3 3 3
2

2 3 ∴x+y 的最大值为 3 .

[答案]

(1)C

2 3 (2) 3

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奇思妙想:本例(1)改为“若a>0,b>0,且a+b=2ab,求y =4a+b的最小值”,则结果如何?

解:由 a+b=2ab 1 1 得a+b=2, 11 1 ∴4a+b= ( + )(4a+b) 2a b 1 4a b 9 9 =2(5+ b +a)≥2,∴4a+b 的最小值为2.

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利用基本不等式求最值时,必须注意三点: “ 一正,二

定,三相等”,缺一不可.如果项是负数,可转化为正数后解
决,当和( 或积) 不是定值时,需要对项进行添加、分拆或变系 数,将和(或积)化为定值.

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[变式探究] 已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0, 求(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.

解:(1)∵2x+8y=xy≥2 16xy, ∴xy-8 xy≥0,∴解得 xy≥64. 当 x=16,y=4 时,xy 最小值为 64. 8 2 (2)∵2x+8y=xy,∴x +y =1, 8 2 8y 2x 则 x+y=(x+y)( + )=10+ + ≥18, x y x y 当 x=12,y=6 时,x+y 的最小值为 18.
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例 2 [2012· 湖北高考]设 a,b,c∈R+,则“abc=1” 1 1 1 是“ + + ≤a+b+c”的( a b c A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
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)

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[审题视点 ]

按照化繁为简的原则,先对不等式的左侧进

行变形化简,关键是题设条件“abc=1”的灵活应用.
[解析] 先考查充分性:

1 1 1 abc abc abc 当 abc=1 时, + + = + + = ab a b c a b c + bc+ ca, 又因为 2(a + b + c) = (a + b) + (b + c)+ (c+ a)≥2 ab + 2 bc+2 ca(当且仅当 a=b=c=1 时取等号),
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1 1 1 即 + + = ab+ bc+ ca≤a+b+c,故充分性 a b c 成立; 再考查必要性: 1 1 1 取 a = b = c = 3 ,显然有 + + ≤a + b + c ,但 a b c abc≠1,故必要性不成立.应选 A.
[答案] A

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利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情

况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等
式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项、 并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.

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[变式探究] ( )

[2012· 福建高考]下列不等式一定成立的是

1 A.lg(x +4)>lgx(x>0)
2

1 B.sinx+sinx≥2(x≠kπ,k∈Z) C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1
答案:C
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解析:本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用, 解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条 1 1 2 件.对于 A 选项,当 x=2时,lg(x +4)=lgx;所以 A 不一 定正确;B 命题,需要满足当 sinx>0 时,不等式成立,所以 B 也不正确;C 命题显然正确;D 命题不正确,∵x2+1≥1, 1 ∴0< 2 ≤1,所以正确的是 C. x +1

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例 3 [2012· 江苏高考]如图,建立平面直角坐标系 xOy, x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 km,某 1 炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx- (1 20 +k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射 程是指炮弹落地点的横坐标.

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(1)求炮的最大射程;

(2)设在第一象限有一飞行物 (忽略其大小),其飞行高度为
3.2 km,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请 说明理由.

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[解]

1 (1)令 y=0, 得 kx- (1+k2)x2=0, 由实际意义和 20

题设条件知 x>0,k>0, 20k 20 20 故 x= = 1≤ 2 =10,当且仅当 k=1 时取等号. 1+k2 k+k 所以炮的最大射程为 10 km.

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(2)因为 a>0,所以炮弹可以击中目标等价于存在 k>0, 1 使 ka-20(1+k2)a2=3.2 成立,即关于 k 的方程 a2k2-20ak +a2+64=0 有正根. 由 Δ=(-20a)2 -4a2(a2 +64)≥0 得 a≤6,此时, k= 20a+ ?-20a?2-4a2?a2+64? >0(不考虑另一根). 当 a 不超过 2a2 6 千米时,炮弹可以击中目标.

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解实际应用题要注意以下几点:

(1) 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函
数; (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不 等式求得函数的最值; (3) 在求函数的最值时,一定要在定义域 ( 使实际问题有意

义的自变量的取值范围)内求解.

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[变式探究] ( ) A.4 C.16

[2013·郑州模拟]把一段长16米的铁丝截成两

段 , 分 别围 成 正 方形 , 则 两个 正 方 形面 积 之 和的 最 小 值为 B.8 D.32

答案:B

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解析:设截成的两段铁丝长分别为 x,16-x,16>x>0,则 x 2 围 成 的 两 个 正 方 形 面 积 之 和 为 S = ( 4 ) + x 16-x 2 16-x 2 ?4+ 4 ? x 16-x ( )≥ =8,当且仅当 = ,即 x=8 时, 4 2 4 4 等号成立.故两个正方形面积之和的最小值为 8,故选 B.

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课课精彩无限

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【选题· 热考秀】 [2012· 浙江高考]若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+ 4y 的最小值是( 24 A. 5 C.5 ) 28 B. 5 D.6
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[规范解答] ∵x+3y=5xy, 1 3 ∴ + =5, y x 1 3 3x 12y ∵ x>0 , y>0 , ∴ (3x + 4y)( + ) = + +9+ y x y x 4≥2 3x 12y y ·x + 13=25,∴5(3x+4y)≥25,∴3x+4y≥5 ,

当且仅当 x=2y 时取等号,∴3x+4y 的最小值是 5,选 C.
[答案] C
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【备考· 角度说】 No.1 角度关键词:易错分析

(1)不能根据函数解析式的特征适当变形, 化为两式之和 为定值,使题目无法进行. (2)两次使用基本不等式时, 忽视等号的一致性出错. 如 本题易出现:

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12 x+3y=5xy≥2 3xy,∴xy≥ ,又 3x+4y≥2 12xy≥2 25 12 24 12· 25= 5 ,误选 A 项,第一个等号成立条件“x=3y”, 而第二个等号成立条件为“3x=4y”,显然等号不能同时成 立,故不正确.

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No.2

角度关键词:备考建议

(1)重视基本不等式的形式及其条件,在解题中要根据不同 的情况进行适当地变形,为使用基本不等式提供前提;

(2)对于在同一问题中连续使用基本不等式的情况,要注意
及时判断等号能否同时取得,以防止出错; (3)要注意利用常数代换法对代数式进行转化的技巧.

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经典演练提能

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1.[2012· 陕西高考]小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则( A.a<v< ab a+b C. ab<v< 2
答案:A

)

B.v= ab a+b D.v= 2

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解析:由小王从甲地往返到乙地的时速为 a 和 b,则全 2ab 2a2 2ab 程的平均时速为 v = = ,又∵ a<b ,∴ < s s a+b 2a a+b ? + ? a b 2s 2ab < = ab,∴a<v< ab,A 成立. 2 ab

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1 2.[2013· 青岛质检]已知 a>0,b>0,且 2a+b=4,则 ab 的最小值为( 1 A. 4 1 C. 2
答案:C

) B.4 D.2

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解析:由 4=2a+b≥2 2ab,得 ab≤2,又 a>0,b>0, 1 1 所以ab≥2,当且仅当 a=1,b=2 时等号成立.

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a 3. [2013· 福建质检]设 a>0, 若关于 x 的不等式 x+ ≥5 x-1 在(1,+∞)上恒成立,则 a 的最小值为( A.16 C.4
答案:C

)

B.9 D.2

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a 解析:∵关于 x 的不等式 x+ ≥5 在(1,+∞)上恒 x-1 成立,∴a≥(5-x)(x-1)在(1,+∞)上恒成立.∵(5-x)(x -1)=-(x-3)2+4≤4,∴a≥4,即 a 的最小值为 4.

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2 1 4.[2013· 金版原创]已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+ x y 2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A.m≥4 或 m≤-2 C.-2<m<4 )

B.m≥2 或 m≤-4 D.-4<m<2

答案:D

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2 1 解析:∵x>0,y>0,且 + =1, x y 2 1 4y x ∴x+2y=(x+2y)( x +y )=4+ x +y≥4+2 4y x x· y= 8 ,

4y x 2 1 2 2 当且仅当 x =y,即 4y =x ,x=2y 时取等号,又 x+y=1, 此时 x=4,y=2, ∴ (x + 2y)min = 8 ,要使 x + 2y>m2 + 2m 恒成立,只需 (x + 2y)min>m2+2m 恒成立,即 8>m2+2m,解得-4<m<2.

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5.[2013· 提升题]已知 a>0,b>0,给出下列四个不等式: 1 ①a+b+ ≥2 2; ab 1 1 ②(a+b)(a+b)≥4; a2+b2 ③ ≥a+b; ab 1 ④a+ ≥-2. a+4

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其中正确的不等式有________(只填序号). 答案:①②③
解析:∵a>0,b>0, 1 1 ∴①a+b+ ≥2 ab+ ≥2 ab ab 1 1 1 ②(a+b)(a+b)≥4 ab· ab=4. 1 2 ab· =2 2. ab

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③∵

2 a2+b2 a+b ? a + b ? a+b 2 2 ≥ ,∴a +b ≥ =(a+b)· 2 2 2 2

a2+b2 ≥(a+b) ab,∴ ≥a+b. ab 1 1 ④a+ = (a+4)+ -4≥2 a+4 a+4 1 ?a+4?· -4= a+4

1 -2,当且仅当 a+4= ,即(a+4)2=1 时等号成立,而 a+4 a>0,∴(a+4)2≠1.∴等号不能取得.综上①②③正确.

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限时规范特训

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2014金版教程物理大一轮复习(必修部分)第4章 第4单元
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