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余弦定理第一课时导学案


第二课时 余弦定理
编写人: 审核人:高二数学组 班级:_____________ 姓名:______________ ●教学目标

知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会
运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握
运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能
力;通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之 间的普遍联系与辩证统一
●教学重点:

余弦定理的发现和证明过程及其基本应用
●教学难点:

勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用


教学过程:
和它所对角的 的 相等, 即 =

复习 1: 在一个三角形中, 各 = .

复习 2:在△ABC 中,已知 c ? 10 ,A=45?,C=30?,解此三角形.
Ⅰ.课题导入

如图 1.1-4,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ? C,求边 c
b A

C a B

c

Ⅱ.【探索——】

探究 1 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题? 用正弦定理试求,发现因 A、B 均未知,所以较难求边 c。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A 如图 1.1-5,设 CB ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 c ? a ? b ,则

b

c

c ? c ?c ? a ? b a ? b ? a ? a ? b ? b ? 2a ? b 2 2 ? a ? b ? 2a ? b
从而

2

?

??

?
C

a

B

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

(图 1.1-5)

同理可证

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 新知:余弦定理:三角形中任何一边的 两边与它们的夹角的 的积的两倍.

等于其他两边的

的和减去这

思考:这个式子中有几个量? 从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论:
cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 , 2bc
. [理解定理] ,

(1)若 C= 90? ,则 cos C ? ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. (2)余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角. 试试: (1)△ABC 中, a ? 3 3 , c ? 2 , B ? 150 ,求 b .

(2)△ABC 中, a ? 2 , b ? 2 , c ? 3 ? 1 ,求 A .

[范例讲解]

例 1 在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 , B ? 45 ,求 A, C 和 c .

变式:在△ABC 中,若 AB= 5 ,AC=5,且 cosC=

9 ,则 BC=________. 10

例 2 在△ABC 中,已知三边长 a ? 3 , b ? 4 , c ? 37 ,求三角形的最大内角

变式:在 ? ABC 中,若 a2 ? b2 ? c2 ? bc ,求角 A.

Ⅲ.课堂练习:
1.

在△ABC 中,已知 a=7,b=8,cosC=

13 ,求最大角的余弦值. 14

2. 在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,求 AB ? BC 的值.

[当堂检测]
1. 已知 a= 3 ,c=2,B=150°,则边 b 的长为(

).

A.

34 2

B.

34

C.

22 2

D.

22

2. 已知三角形的三边长分别为 3、5、7,则最大角为( ). A. 60 B. 75 C. 120 D. 150 3. 已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( ). A. 5 ? x ? 13 B. 13 <x<5 C. 2<x< 5 D. 5 <x<5 4. 在△ABC 中,| AB |=3,| AC |=2, AB 与 AC 的夹角为 60°,则| AB - AC |= ________. 5. 在△ABC 中,已知三边 a、b、c 满足 b2 ? a 2 ? c 2 ? ab ,则∠C 等于 .

Ⅳ.课时小结__

1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定 理是余弦定理的特例; 2. 余弦定理的应用范围: ① 已知三边,求三角; ② 已知两边及它们的夹角,求第三边.


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