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1-1-1回归分析的基本思想及其初步应用


高二文选修 1-2 第一章

§1.1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(一)
主编: 张勇 一、学习目标 1.了解变量之间的相关关系 2.会用相关系数 r 判断两个变量是否具有显著线性相关关系 3.掌握回归直线方程的推导和求法. 二、重点难点 重点:用相关系数 r 判断两个变量是否具有显著线性相关关系 回归直线方程的求法. 难点:会用相关系数 r 判断两个变量是否具有显著线性相关关系 掌握回归直线方程的求法. 三、知识链接 1. 函数关系是一种 _______ 关系,而相关关系是一种 _______ 关系.函数关系和相 关关系都是指两变量间的关系 2. 回归分析是对具有 _______ 关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 3. 散点图:表示具有 _______ 的两个变量的一组数据的图形。散点图形象的反映了 各对数据之间的密切程度 4. 回归直线方程:设 x 与 y 是具有相关关系的两个变量,且相应于 n 个观测值的 n 个 点大致分布在某一条直线的附近,就可以认为 y 对 x 的回归函数的类型为直线型:

y ?bx?a

?

?

?

b ? _________

?

a ? _________

?

称这个方程为 y 对 x 的回归直线方程,相应的直线为回归直线,而对这两个变量所 进行的上述统计分析叫做线性回归分析。 四、学习过程 1. 变量之间的相关关系 例1 在下列四组变量中 ①正方形的面积与边长 ②一块农田的水稻产量与施肥量 ③人的身高与原子弹的研发 ④人的视力与射击的命中率 其中两变量具有相关关系的是 _______ . 反思: 2.相关系数 r (相关性检验) (1)相关系数 r ? __________ (2)r 的取值范围是 _______ (3)用 _______ 来描述线性相关关系的强弱,当 r ? 0 时,两个变量 _______ ;当

r ? 0 时,两个变量 _______ 。相关系数的绝对值越接近于 1,两个变量的线性相关关
系越 _______ ,它们的散点图越接近一条直线,这时用线性回归模型拟合这组数据就越 _______ ,此时建立的线性回归模型是有意义的. 相关系数的绝对值越接近于 0,两个 变量的线性相关关系越 _______ , 表明两个变量之间几乎 _____ 线性相关关系。 通常当

r 大于 _______ 时,认为两个变量有很强的线性相关关系,因而求回归直线方程才有意
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高二文选修 1-2 第一章

义 例 2 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相 应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据。 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 ①画出数据的散点图; ②根据散点图你能得出什么结论? ③求相关系数 r,判断 y 与 x 是否具有显著的线性相关关系?

反思:

3.回归直线方程的求法 (1)线性回归模型 y ? bx ? a ? e(e为 ________) ,因变量 y 的值由自由变量 x 和随 机误差 e 共同确定,即自变量 x 只能解释部分 y 的变化,在统计中,我们也把自变量 x 称为 __________ _ ,因变量 y 称为 _________ 。 (2)在线性回归模型

? y ? bx ? a ? e 中, ? 2 E ( e ) ? 0 , D ( e ) ? ? ?

b ? _________ a ? _________ (其中 x ? ________, ) y ? ________
另外, _________ 称为样本点的中心。 例 3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相 应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据。 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 ①求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a ; ②已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤, 试根据①求出的线性回归 方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
? ? ?

?

?

反思:① 求线性回归方程的步骤:
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高二文选修 1-2 第一章

② 提问:技改后生产 100 吨甲产品的生产能耗一定是 70.35 吨标准煤吗? ③ 解释线性回归模型与一次函数的不同? ④产生随机误差 e 的原因?(1) (2) 4. 基础自测 (1)散点图在回归分析过程中的作用是( ) A. 查找个体个数 B.比较个体数据大小关系 C.探究个体分类 D.粗略判断两个变量是否线性相关 (2)设一个回归方程 y ? 2 ? 1.5 x ,则变量 x 增加一个单位时( ) A.y平均增加1.5个单位 B.y平均增加2个单位 C.y平均减少1.5个单位 D.y平均减少2个单位 (3)对于线性相关系数 r,下列说法正确的是( ) A. r ? ?0, ? ?, r 越大,线性相关程度越强;反之,程度越弱 B. r ? ? ?,?? , r 越大,线性相关程度越强;反之,程度越弱 C. r ? 1且 r 越接近于 1,线性相关程度越强,反之,程度越弱 D. 以上说法均不对 (4)在研究硝酸钠的可溶性程度时在不同的温度观测他在水中的溶解度,得到观测 结果如下表所示
温度 (x) 溶解度 (y) 0 66.7 10 76.0 20 85.0 50 112.3 70 128.0
?

?

?

则由此得到的回归直线的斜率是 _________ 。 五.方法规律小结 ⑴ 相关关系是一种 _______ 关系. ⑵描述两个变量之间线性相关关系的强弱的相关系数: r = 范围: ⑶在线性回归模型 y ? bx ? a ? e 中,

b ? _________ a ? _________ (其中 x ? ________, ) y ? ________
另外, _________ 称为样本点的中心。 ⑷ 求线性回归方程的步骤
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?

高二文选修 1-2 第一章

六.当堂检测 1. 下列变量中具有线性相关关系的是( ) A. 正方体的体积与棱长 B. 匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 C. 人的身高与体重 D. 人的身高与视力 2. 若回归直线方程中的回归系数b=0,则相关系数是( ) A.r=1 B.r=-1 C.r=0 D.无法确定 3. 对于一组具有相关关系的数据 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ? ,…, ?xn , y n ? ,其回归方程中 的截距为( ) A. B. C. D.

a ? y ? bx
?
y

·D(3,10) ·C(4,5) ·B(2,4)

·E(10,12)

a ? y ?bx a ? y ? bx a ? y ?bx
? ? ?

·A(1,3)

O

x

4. 如上图所示的 5 组数据中,去掉哪组数据后, 剩下的四组数据的线性相关系数最大( ) A. B B.C C. E D.D 5. 为了考察两个变量 x 与 y 之间的线性相关性,甲乙两位同学各自独立的做了 400 次和 350 次试验,并且利用了回归直线方程求得了回归直线分别为 l1和l2 ,两个人在实验 中发现,对变量 x 的观测数据的平均值都是 a,对变量 y 的观测数据的平均值都是 b,下 列说法正确的是( ) A. l1和l2 有交点(a,b) B. l1和l2 相交,但交点不一定是(a,b) C. l1和l2 必定平行 D.

l1和l2 必定重合

6.假设关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计 资料: x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 ①画出数据的散点图; ②根据散点图你能得出什么结论? ③用相关系数判断 y 与 x 是否具有显著的线性相关关系? ④若有显著的线性相关关系,试求出线性回归方程 ⑤若估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少?

__________ __________ _______ 学后反思: __________ __________ __________ _______ 今天的得: __________ __________ __________ _______ 今天的失: __________
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