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高二排列与组合解决实际问题(理科)






高二

学科

数学

内容标题 编稿老师 一、 教学目标:

排列与组合解决实际问题(理科) 胡居化

(1)利用计数原理及排列组合知识解决综合性的实际问题, (2)体会方程的数学思想、等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想及捆绑法、插 空法、隔板法等数学思想方法的应用. 二、 知识要点: 1. 解决有限制条件的排列组合问题的常用的数学方法: (1)直接法:从问题的正面入手,其基本方法有(i)元素分析法:即以元素为主,优 先考虑特殊的元素的要求,再考虑其它的元素.(ii)位置分析法:即以位置为主,优先考 虑特殊的位置,再考虑其它位置. (2)间接法:就是剔除不符合条件的情况,也叫排除法. 在直接法和间接法中常用以下一些方法解决排列与组合问题. 枚举法:将所有排列的情形一一例举出来(适应排列数较少) 捆绑法:用于两个(或更多)元素排在一起(看成一个元素). 插空法:用于两个(或更多)元素不相邻排列. 隔板法:用于相同的元素分成若干部分.每部分至少一个的排列 2. 某些元素定序排列问题处理方法 对于某些元素定序排列问题的处理方法有两种: (1)整体法,即有 m+n 个元素的排成 一列,其中 m 个元素的排列顺序不变,将(m+n)个元素排成一列有
m? n Am ? n 种排法,然后任 m Am 种排法,其中只

取一个排列,固定其它 n 个元素位置不动,把 m 个元素交换顺序,共有

m? n Am ?n m 有一个排列是我们需要的,因此共有 Am 种不同的排法.(2)逐步插空法.

3. 分组分配问题的处理方法 (1)分组问题的处理途径: (a)非均匀不编号分组:即将 n 个不同的元素分成 m 组,每组元素个数均不同, (m 组中的元素个数分别是 a 1 , a 2 , ?, a m ,其中 则分法种数是

a1 ? a2 ? ? ? am ? n )

am a1 a2 Cn ? Cn ?a1 ? ?? Cam

(b)均匀不编号分组(平均分组) :将 n 个不同的元素平均分成 m 组(每组元素个数

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a a a Cn C n?a ? ? ? C a m Am 相同都是 a) ,则不同的分组方法有 , (其中 n=ma)

(2)分配问题:将 n 个不同的元素分给 m 个人称为分配问题,处理的方法:先分组后 分配.

【典型例题】
知识点一:有限制条件的排列组合问题 例 1. 某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别 60 元、70 元的单片软件 和盒装磁盘,根据需要,软件至少买 3 张,磁盘至少买 2 盒,则不同的选购方法有( A. 5 种 B. 6 种 C. 7 种 D. 8 种 )

题意分析:本题是限制条件的组合问题,根据所给选项数字较小,不好使用计数原理,可用 枚举法解决. 思路分析:本题的限制条件有三个,分别是(i)软件至少 3 张, (ii)磁盘至少 2 盒, (iii) 花钱总数不超过 500 元,故要对购买的软件数和磁盘数进行讨论. 解题过程:对购买的软件数、磁盘数进行讨论如下: (1)软件买 3 张,磁盘买 2 盒,花钱 320 元; (2)软件买 3 张,磁盘买 3 盒,花钱 390 元; (3)软件买 3 张,磁盘买 4 盒,花钱 460 元; (4)软件买 4 张,磁盘买 2 盒,花钱 380 元; (5)软件买 4 张,磁盘买 3 盒,花钱 450 元; (6)软件买 5 张,磁盘买 2 盒,花钱 440 元; (7)软件买 6 张,磁盘买 2 盒,花钱 500 元.故选购方式有 7 种,选 C. 解题后的思考:本题解决的关键是:购买的软件数 ? 60 ? 磁盘数? 70 ? 500(单位是元). 体现了分类讨论的数学思想的应用,易错点是:分类出现:重和漏的现象. 例 2. 某小组 6 个人排队照相留念: (1)若分成两排照相,前排 2 人,后排 4 人,有多少种不同的排法? (2)若分成两排照相,前排 2 人,后排 4 人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排, 有多少种不同的排法? (3)若排成一排照相,甲、乙两人必须相邻,有多少种不同的排法? (4)若排成一排照相,6 个人中有 3 名男生和 3 名女生,且男生不能相邻,有多少种 不同的排法? (5)若甲、乙、丙三人的顺序不变有多少种排法? 题意分析:本题是排队问题,这类问题都是排列问题. 思路分析:对于(1)是 6 个元素的全排列, (2)采用元素分析法,优先安排甲,乙两个特 殊元素, (3)采用捆绑法, (4)采用插空法, (5)定序问题采用倍缩法. 解题步骤: (1)分两排照相实际上与排成一排照相一样,只不过把第 3~6 个位子看成是第 二排而已,所以实际上是 6 个元素的全排列 A 6 6 =720 种;
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1 (2)先确定甲的排法,有 A1 2 种,再确定乙的排法,有 A 4 种,最后确定其他人的排法, 1 1 4 有 A4 4 种,共有 A 2 A 4 A 4 =192 种;

(3)采用“捆绑法”,先把甲、乙看成 1 人,与其他人排队有 A 5 5 种,然后甲、乙之间再
2 5 排队,有 A 2 2 种,共有 A 5 A 2 =240 种;

(4)采用“插空法”,先把 3 名女生的位子拉开,在两端和她们之间放进 4 把椅子,如:
3 ×女 ×女 ×女 × ,再将 3 名男生排在这 4 个位置上有 A 3 4 种,3 名女生之间有 A 3 种排法,
3 共有 A 3 4 A 3 =144 种排法.

3 (5)在不考虑任何限制的条件下 6 个人的排列有 A 6 6 种,其中甲乙丙三人的排列有 A 3

A6 种,由于甲乙丙顺序不变,故只有其中的一种排法符合要求,即有 6 ? 120 种. A3 3
解题后的思考: 对于排列组合中必须在一起的元素处理时把它捆绑为一个整体, 然后考虑其 内部的位置关系;对于排列中不能相邻的元素,采用插空法处理,即把整个位置看作是一个 抽屉, 把无条件限制的元素作为隔板安置在抽屉中, 最后把要求不相邻的元素放置在由隔板 所形成的空格中,这里应注意,如果无条件限制的元素有 n 个,那么它们所形成的空格数目 为 n+1 个.

例 3. 3 个大人和 2 个小孩要过河,现有 3 条船,分别能载 3 个、2 个和 1 个人,但这 5 个人要一次过去,且小孩要有大人陪着,问有多少种过河的方法? 题意分析:这是一道排列与组合综合性的试题,是有限制性的排列组合问题,其限制条件是 在每只船载人的人数限制下小孩与大人同船,因此需把小孩分类. 思路分析:假设 1 号船载 3 人,2 号船载 2 人,3 号船载 1 人,小孩显然不能进第 3 号船, 也不能两个同时进第 2 号船.(1 个小孩进 3 号船或 2 个小孩进 2 号船没有大人陪伴) ,由此 对小孩“进船”的情形进行分类. 解题步骤:从“小孩”入手.可分为两类 第一类:2 个小孩同时进第 1 号船,此时必须要有大人陪着 (i) 2 个大人同时进第 2 号船只有 1 种情形, 先选 3 个大人中的一个进 1 号船有 此时共有
1 1 ? C3 种过河方法.
1

1 C3 种,

2 (ii)2 个大人分别进 2、3 号船有 A2 种,再从 3 个大人中选一个人进 1 号船有 C3 种,

1 2 1 1 2 此时共有 C3 A2 ,有 N1= 1 ? C3 + C3 A2 =9(种)过河方法

第二类:2 个小孩分别进第 1、2 号船,此时第 2 号船上的小孩必须要有大人陪着,另

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3 号船, 外 2 个大人同时进第 1 号船或分别进第 1、 有过河方法 N 2 ? A2 C3 (1 ? A2 ) =18 (种) .
2 1 2

因此,过河的方法共有:N=N1+N2 =27 种. 解题后的思考:本题解题的关键是对“元素” (小孩)分类,即元素分析.只有合理的分类才 能解决复杂的问题,然后先选后排.体现了分类讨论的数学思想的应用,易错点:分类不清. 小结: 本组试题主要是解决有限制条件的排列组合问题, 解决问题的关键是看什么样的限制 条件?根据限制条件的不同采用不同的方法, 如排列数较小的问题采用枚举法, 相邻问题用 捆绑法,不相邻问题用插空法等都是我们解决排列组合问题的常用的方法. 知识点二:分组分配问题 例 4. (1) 8 个相同的小球放入四个不同的盒子中, 每个盒子至少放一个, 共有_______ 种方法? A.
3 C7

B.

3 A7

C.

C84

D.

A84

题意分析:本题是分组问题,把小球分组放入盒子中,如何分才能保证每一个盒子中至少一 个小球? 思路分析:要把 8 个小球分成 4 组,可用三块“隔板”隔开,采用隔板法. 解题过程:将 8 个球摆成一列,设法分成四部分,则每种分法对应一种放法.要想分成四部 分, 只需用 3 个隔板将它们隔开.8 个球共有 7 个空隙, 选其中 3 个空隙插隔板, 共有 种分法,故共有 35 种放法. 解题后的思考: 本题是元素无条件的分组问题, 把 8 个小球分成 4 组, 每组的个数是不定的, 只要在 8 个元素之间的 7 个空位插入三块隔板 (实际是插入法) 体现了等价转化思想的应用. 易 错 点 : 不 能 对 小 球 正 确 分 组 . 该 题 的 数 学 模 型 为 : 方 程 x1 ? x 2 ? ? ?
-1 ? x n ? m (m,n ? N* , m ? n) 有 C n m-1 个正整数解.

C3 7 ? 35

例 5. 现有 4 套不同的练习题: (1)平均分给 2 名同学有多少种不同的分法? (2)平均分成 2 份,有多少种不同的分法? 题意分析:本题是分组分配组合问题,注意(1) (2)的区别. 思路分析: (1)4 套练习题平均分给 2 名同学,一名同学从 4 套练习题中选 2 套,余下 2 套 给另一名同学, (2)把 4 套练习题分成 2 份有 2 种重复的情形.
2 2 解题过程: (1)甲学生得 2 套,有 C 4 种,乙学生得 2 套有 C 2 种分法,根据乘法原理共有 2 2 =6 种分法. C4 C2

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(2)按(1)分法有 A 2 2 种重复,所以不同的分法有

2 C2 4C2 =3 种. A2 2

实验检验:把 A、B、C、D 四个字母分成 2 份:⑴AB,CD; ⑵AC,BD;⑶AD,BC; ⑷BC,AD;⑸BD,AC;⑹CD,AB;从这个具体例子可以发现,AB,AC,AD,BC, BD,CD 各出现两次,重复计为 A 2 2. 解题后的思考:对平均分组问题要注意重复的情形,例如:把 A,B,C,D,E,F 六个字 母平均分成 3 份,出现 A 3 3 种重复. 一般地,把 4 个元素平均分成 2 份,不同的分法有
2 C2 4C2

A2 2

,把 6 个元素平均分成 3 份,

2 2 2 2 2 2 2 C6 C4C2 C8 C6C4C2 不同的分法有 ,把 8 个元素平均分成 4 份,不同的分法有 等,本题的 3 A3 A4 4

易错点:忽视平均分组中的重复问题,把(1) (2)混淆为同一答案. 例 6. 将 4 个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中; ①恰有一个空盒的放法共有多少种? ②恰有 2 个空盒的放法共有多少种? 题意分析:本题是分组分配问题,解题的原则是先选后排,选盒子或是选球都可以. 思路分析:对①可以从 4 个盒子中选一个空盒子,4 个球分在余下的 3 个空盒子中或对小球 先分组,分为“2,1,1” ,三组然后装入盒子中.对②可以从 4 个小球中选出 2 个,看作一 个球,问题转化为“3 个球” ,4 个盒子,再求解. 解题过程:①解法一:先从 4 个盒子中选一个为空,然后从剩余的 3 个盒子中选出一个,再 从 4 个小球中选出 2 个放入此盒,还有 2 个盒子放 2 个球,每个盒子放一个球,显然有 2 种放法,共有 C 4
1

1 2 C3 C4 · 2=144 种.

解法二:先从 4 个小球中选出 2 个,看作一个球.问题转化为“3 个球,4 个盒子,每个 球都放入盒内,每个盒子至多放一个球,共有几种放法.”将 4 个不同的小球分成“2,1,1” 三堆,有 C 4 种分法,再将三堆分别放入 4 个盒中,有 A 3 4 种,恰有一个空盒的放法共有
3 C2 4 A 4 =144 种. 2

②解(分类法) :先从 4 个盒子中任选 2 个盒子,在这两个盒子中不放入小球,问题转 化为“4 个球,2 个盒,每个盒子必须放小球,共有几种放法?” ,从放球的数目考虑分为两
1 3 =8 种放法;另一 类;一类是其中一个盒子放入 3 个球,另一个盒子放入 1 个球,有 C 2 C4
2 2 × 1=6,共有 C 4 × 类是每个盒子放 2 个球,放法数为 C 4 (8+6)=84 种.

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解题后的思考: 本题是组合问题中的分组与分配问题, 对均匀分组或部分均匀分组要注意重
2 2 1 复的情形.如第一问:把 4 个小球分组为 2,1,1,分法种数是 C 4 不是 C 4 C 2 (部分均匀分

组) ,在分配的时候是有序的.本题的易错点:均匀分组时忽视重复分组情形. 小结:在知识点二的三个例题中都是分组分配问题,对这类问题一般方法是先分组后分配, 关键是如何分组?在分组的时候是均匀分组还是非均匀分组还是部分均匀分组, 对均匀分组 或部分均匀分组都要要注意重复问题.要注意等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想的 应用. 【本讲涉及的数学思想、方法】 本讲主要讲述了利用排列组合知识解决实际问题, 在解决实际问题中运用了等价转化的 数学思想、分类讨论的数学思想以及捆绑法、插空法、隔板法、倍缩法等数学思想方法的应 用.

【模拟试题】 (答题时间:60 分钟,满分 60 分)
一、选择题(每题 5 分,计 25 分) 1. 有 A、B、C、D、E 共 5 人并排站在一起,如果 A、B 必须相邻,并且 B 在 A 的右 边,那么不同的排法有 A. 60 种 A. 480 种 B. 48 种 C. 36 种 ( ) D. 24 种 ) C. 240 种 D. 360 种

2. 6 个人排成一排,其中甲、乙两人中间至少有一人的排法有( B. 720 种

3. 将 10 个完全相同的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子内,要求放入盒子的球数不 小于它的编号数,则不同的放法有( A. 20 种 种排法. A. B. 15 种 ) C. 14 种 D. 12 种 )

4. 10 个人排成一队,其中甲一定要在乙的左边,丙一定要在乙的右边,一共有(

1 10 A10 2
) B. 3

1 B. A10 10 3

1 C. A10 10 6

D. A10 10

5. 用 1,4,5, x 四个数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为 288,则 x=( A. 2 C. 4 D. 6

二、计算题(共 35 分) 6.(10 分)平面上有 9 个点,其中 4 个点在同一条直线上,此外任三点不共线. (1)过每两点连线,可得几条直线? (2)以每三点为顶点作三角形可作几个? (3)以一点为端点作过另一点的射线,这样的射线可作出几条? (4)分别以其中两点为起点和终点,最多可作出几个向量? 7.(10 分)有五张卡片,它们的正反面分别写有 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9, 将其中任意三张排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?

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8. (15 分)有 3 名男生,4 名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数. (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置. (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边. (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起. (4)全体排成一行,男、女各不相邻. (5)全体排成一行,男生不能排在一起.

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【试题答案】
一、选择题 1. D 解析:利用捆绑法:把 A,B 看作一个元素,共有 4!种排法. 2. A 解析:插空法:除甲乙两人外,四个人排在一起有 5 个空位(包括首末) ,从 5
2 个空位中选 2 个插入甲乙的排列数是 A 5 种排法,其余 4 人排列有 A4 种排法 . 故共有
4 A52 A4 =480 种排法. 4

3. B 解析:设编号为 1,2,3 的三个盒子中分别放入 x,y,z 个小球,于是题中不同 的放法即为方程:x+y+z=10,且 x≥1,y≥2,z≥3 的非负整数解的个数.令 u=x-1,v=y-2, w=z-3,得 u+v+w=4,所以该方程的非负整数解的个数即为所求的放法数目 C 4 4?3?1 ? 15 4. C 解析:甲、乙、丙三人排列一共有 6 种排法,在这 6 种排法中各种排列顺序在 10 个人的所有排列中出现的机会是均等的,因此符合题设条件的排法种数为

1 10 A 10 . 6

5. A 解析:若 x 不为 0,在每一个数位上 1,4,5, x ,出现的机会是均等的.由于一 共可以得到 24 个四位数,所以每一个数字在每一个数位上出现 6 次,于是得到:

6 ? 4 ? (1 ? 4 ? 5 ? x) ? 288,解得 x ? 2 .若 x 为 0,无解.

二、计算题
2 6. 解: (1) C9 ? C2 4 ? 1 ? 31 ;

3 (2) C3 9 ? C 4 ? 80 2 (3)不共线的五点可连得 A 5 条射线,共线的四点中,外侧两点各可得到 1 条射线,

内部两点各可得到 2 条射线; 而在不共线的五点中取一点, 共线的四点中取一点而形成的射
2 1 1 2 1 2 线有 C1 4 C 5 A 2 条.故共有: A 5 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? C 4 C5 A 2 ? 66 条射线. 2 (4)任意两点之间,可有方向相反的 2 个 向量各不相等,则可得到 A 9 ? 72 个向量.

7. 解: (1)0 不能作百位,但可以作十位或个位. (2)0 与 1 在同张卡片上,因此直 接分类既要考虑 0 又要考虑 1 分类较复杂. 于是先不考虑任何情况算出总数,然后减去 0 在左边第一位的号码即为所求. 由于任取三张可以组成不同的三个数的号码有:

C ?2 ?A
3 5 3 5

3

3 3 3 3

,其中 0 在左边第一位的号码有: -

C

2 4

? 2 2 ? A 2 ,故所求的不同三位数共有:

2

C ?2 ?A
3

C

2 4

? 2 2 ? A 2 =432 个.

2

8. 解: (1)利用元素分析法,甲为特殊元素,故先安排甲,左、右、中共三个位置可
6 1 6 供甲选择.有 A 1 3 种,其余 6 人全排列,有 A 6 种.由乘法原理得 A 3 A 6 =2160 种.

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(2)位置分析法. 先排最右边,除去甲外,有 A 6 种,余下的 6 个位置全排列有 A 6 种,
5 1 6 5 5 但应剔除乙在最右边的排法数 A 1 5 A 5 种. 则符合条件的排法共有 A 6 A 6 -A A 5 =3720 种.
1

1

6

( 3 )捆绑法 . 将男生看成一个整体,进行全排列 . 再与其他元素进行全排列 . 共有
5 A3 3 A 5 =720 种.
4 (4)插空法.先排好男生,然后将女生插入其中的四个空位,共有 A 3 3 A 4 =144 种.

3 (5)插空法.先排女生,然后在空位中插入男生,共有 A 4 4 A 5 =1440 种.

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