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蒙特卡洛法基本原理


第2章 基本原理
2.5 表面辐射换热原理与计算方法简介
物体表面间的辐射换热是每个表面发射、吸收、反射辐射能的综合作用结果,取决于 每个表面的热辐射能发射能力、吸收能力、反射方式以及物体之间的相对空间几何关系[15]。 对辐射换热而言,物体的热辐射特性包括:热辐射发射特性、对投入辐射能的吸收、反射特 性三个方面[14,15]。 基尔霍夫定律表明:物体的光谱方向发射率等于其同一温度下的光谱方向吸收率,即:

ε λ (T ,θ , ? ) = α λ (T ,θ , ? ) 。对漫灰体而言,则有: ε (T ) = α (T ) 。
在飞机内部物体表面之间的辐射换热中,将所涉及的物体表面均视为漫灰体表面。多 个漫灰体表面之间的辐射换热方法主要有: 净热量法、 Gebhart法、 网络法、 蒙特卡罗法[16]等。 网络法:利用电路来比拟辐射热流的传递路径,在投入辐射、有效辐射以及角系数概 念的基础上,将辐射换热系统模拟为由表面辐射热阻、空间辐射热阻构成的网络系统,通过 求表面的有效辐射,获得各表面的净辐射换热量[15-18]。 上述方法都要首先获得各表面之间的角系数。某一表面 Ai 发射的辐射能投射到另一表 对黑体或漫灰体表面, 角系数是纯几何因子, 面 A j 上的份额称为前者对后者的角系数 X i , j 。 仅反映两表面的几何特性及空间几何关系。 如图 2.1 所示, 根据兰贝特定律, 可推导出温度、 发射率分别均匀的两个表面微元 dA1 、 dA2 之间的角系数为:

X d 1, d 2 =
X d 2, d 1 =

dA2 cosθ 1 cosθ 2

π r2 dA1 cosθ 1 cosθ 2
π r2
dA2

(2.7)

(2.8)

θ

n2

n1

d?
θ

r

dA1
图 2.4 两表面单元间的辐射换热角系数 对两个有限大小的表面,可在此基础上,通过积分求出二者的角系数,或利用角系数的 性质(相对性、完整性)通过代数分析求得。

对结构复杂的系统,特别是各物体表面之间存在复杂的遮挡、部分遮挡关系,应用上 述求解方法困难很大。 目前, 蒙特卡罗法已成为复杂几何系统内辐射换热计算的最主要方法。

2.6 蒙特卡罗法计算辐射换热的基本原理
蒙特卡罗方法(Monte-Carlo Method 或MCM)是一种概率模拟方法,它是通过随机 变量的统计试验来求解数学物理或工程技术问题的一种数值方法。早期的随机试验是用投 针、 掷骰子、 掷钱币等方法进行, 由于受模拟试验工具的限制, 能真正解决的实际问题很少。 20 世纪 40 年代中期, 由于电子计算机的发明,MCM首先在核武器的研制中得到应用。 1964 年,Howell将MCM引入到辐射换热计算领域[18-24]。 MCM模拟计算的基本思想是:将热辐射的传输过程分解为发射、反射、吸收、散射等 一系列独立的子过程, 并建立每个子过程的概率模型。 令每个单元发射一定量的能束, 跟踪、 统计每个能束的归宿(被哪些单元吸收,或反射) ,从而得到该单元辐射能量分配的统计结 果[24
,25]



在辐射传递计算中应用的 MCM 主要有两种方法: (1) 抽样能束携带能量, 概率模拟和 能量平衡方程的求解没有分离;(2) 抽样能束不携带能量,概率模拟和温度场的迭代计算分 离。前一种方法中,温度场每变化一次就需要重新进行一次 MCM 模拟计算,计算量巨大; 后一种方法中,由 MCM 模拟计算的是各表面之间的辐射换热能量份额,通常以辐射传递系 数(或辐射传递因子、辐射交换因子、辐射网络系数)表示,只要各表面的辐射物性不变, 辐射传递系数不变。当温度场变化时,只需重新求解能量平衡方程即可,因此,目前普遍采 用后一种方法。 改进的 MCM 鉴于分解难点的思想,抽样能束本身不携带能量,利用概率模拟求辐射 传递系数 RDi , j ,然后将 RDi , j 代入能量方程。 表面间的辐射传递系数 RDi , j 的定义为:在一个换热系统中,由表面单元 Ai 发射的辐 射能经直接投射以及系统中任意表面的一次或多次散射(反射、折射和衍射)后,最终被表 面单元 A j 吸收的份额。显然,若已知 RDi , j ,两表面间的辐射换热量为:

= Φ i , j σ ( Aiε iTi 4 ? RDi , j ? A j ε jT j4 ? RD j , i )
可以证明,表面间的辐射传递系数 RDi , j 与 RD j , i 存在相对关系:

(2.9)

Aiε i ? RDi , j =A j ε j ? RD j , i
引入归一化辐射传递系数 RDi= RDi , j ? ε i ? Ai ,式(2.10)可改写为: ,j
?

(2.10)

Φ i , j =σ ? RDi*, j (Ti 4 ? T j4 )
根据定义, RDi , j 可表示为:

(2.11)

RDi , j =Φ i , j / Φ i =N i , j / N i

(2.12)

式中, N i 是代表表面单元 Ai 发射辐射能的抽样能束数, N i , j 是统计获得的最终被表

面单元 A j 吸收的抽样能束数。 从上述介绍可看出,采用 MCM 进行辐射换热计算的关键在于建立系统内物体表面的 数学描述、各种表面的热辐射统计行为概率模型、能束抽样、跟踪与统计。

2.7 辐射能束与表面的数学描述
采用标准的二次方程来描述所有的表面,这种标准化处理对软件的通用性非常有 益
[21]

。在直角坐标系中,表面方程标准形式为:

F ( x, y, z ) = C1 x 2 + C2 y 2 + C3 z 2 + C4 xy + C5 xz + C6 yz + C7 x + C8 y + C9 z + C10 = 0
式中, C1 ~ C10 是方程的系数与常数项。

(2.13)

为了区别表面的朝向,还必须确定表面的正法向。对不透明表面,通常定义指向辐 射能束传递空间的法向为表面正法向。对式(2.14)描述的标准表面,表面正法向 n 为:

?

? ? ? ? n= ±( Fx i + Fy j + Fz k ) /

Fx2 + Fy2 + Fz2

(2.15)

? ? ? 式中, Fx 、 Fy 、 Fz 是函数 F ( x, y, z ) 的偏导数; i 、 j 、 k 分别是 x 、 y 、 z 三个

坐标轴的方向矢量。 另外,由于某一部件表面只是其方程所表示表面中的部分区域,其边界约束可以通 过将相关的约束表面方程改写成解析不等式来表示。即

Fk ( x, y, z ) ≥ 0

(2.16)

其中, Fk ( x, y, z ) = 0 是第 k 个约束表面方程。这样,由表面方程、正法向和边界约 束三部分构成了对一个实际部件表面的完整数学描述。 用几何射线来模拟辐射能束,以参数方程形式表示。设辐射能束的源点坐标为

? ? ? ? ( x0 , y0 , z0 ) 、方向矢量为 m = m1 i + m2 j + m3k ,则辐射能束的参数方程为:
x = x0 + m1 ? t y = y0 + m2 ? t z = z0 + m3 ? t
其中,参数 t ≥ 0 ,代表辐射能束到达点与源点之间的距离。辐射能束的源点坐标 (2.17)

? ( x0 , y0 , z0 ) 由发射点概率模型或入射线与表面的交点确定,而方向矢量 m 的确定比较复 ? ? 杂。对镜反射能束,根据 Fresnel 反射定律, m 由入射线的方向矢量 m 0 与表面的正法向矢
? ? 量 n 通过矢量合成得到。经推导,镜反射辐射能束的方向矢量 m 为:

? ? ? ? ? (2.18) m = m 0 ? 2(n ? m 0 )n ? 对漫发射、漫反射及各向异性发射和反射, m 由相应的概率模型确定。通常根据概率
再通过下式转换为方向矢量 模型得出光线传播方向在当地坐标系下的纬度角 θ 与经度角 ? ,

? ? ? ? m = m1 i + m2 j + m3k 。
= m1 sin θ ? cos ? = m2 sin θ ? sin ? m3 = cos θ
(2.19)

2.8 表面辐射传递的主要概率模型
表面辐射传递的概率模型是描述表面发射、 反射、 吸收统计规律的数学模型, 根据热辐射的基本定律可构造辐射传递各子过程的概率模型。

2.8.1 能束光线的发射点分布概率模型
温度、发射率均匀的表面或表面单元的发射点分布均匀。选择合适的发射点坐标系、 并根据表面的具体形状构造发射点分布概率模型, 对保证模拟计算中发射点抽样的均匀、 随 机分布很重要。 对平面,以平面内某点为发射点坐标系原点、其表面法向为某一坐标轴比较合适,如 为 z 轴,则 x 、 y 两坐标轴在平面内。最简单的是矩形与平行四边形平面,可使其相对的两 条边与 x 轴平行,则发射点 ( x0 , y0 , z0 ) 的分布概率模型为:

x0 = xmin + Rx ? ( xmax ? xmin ) z0 = 0

y = f1 ( x0 ) + Ry ? [ f 2 ( x0 ) ? f1 ( x0 ) ] 0

(2.20)

式中, [ xmin , xmax ] 是 x 值域, Rx 、 Ry 分别是 x 、 y 方向的发射点分布随机数,

y = f1 ( x) 、 y = f 2 ( x) 分 别 是 y 方 向 上 游 、 下 游 两 边 界 的 直 线 方 程 , 对 矩 形 平 面 , f1 ( x) = ymin 、 f 2 ( x) = ymax 。
对三角形、梯形等其它形状平面,可先按矩形平面进行发射点随机抽样,然后根据边 界约束条件剔除边界外的点。 这样处理比较简便, 缺点是需进行一系列的边界约束条件判断, 增加了计算量。 对大规模的计算, 由此引起的计算量增加是比较明显。 为了直接在指定形状、 大小的平面内进行发射点抽样,可结合具体的形状、尺寸构造发射点概率模型。 另外一类典型的发射平面是圆形、扇形、环型平面,可统一为环扇形平面。对这类平 面, 先按极坐标形式的发射点概率模型进行抽样, 然后再将发射点坐标转换为直角坐标[27-30]。 极坐标形式的发射点概率模型如下:

r= 0

2 2 2 rmin + Rr ? (rmax ? rmin )

? 0 = ? min + R? ? (? max ? ? min )

(2.21)

式中, Rr 、 R? 分别是发射点的径向和圆周方向分布随机数。相应的发射点直角坐标 为 (r0 cos ? 0 , r0 sin ? 0 , 0) 。 对圆柱表面、圆锥(台)表面、球形(球冠、球带) 表面等典型旋转曲面,在圆柱坐标系 下建立发射点的分布概率模型比较方便。 以球形表面为例, 如图 2.5 所示。 若球面半径为 r0 , 极角与圆周角的值域分别为 [θ min , 概率模型:

θ max ] 、 [? min , ? max ] ,可推导出发射点的圆柱坐标系

= θ 0 arccos[cos θ min + Rθ ? (cos θ max ? cos θ min )]

? 0 = ? min + R? ? (? max ? ? min )

(2.22)

式中, Rθ 、 R? 分别是球面上发射点沿极角与圆周方向的分布随机数。转换为直角坐 标形式为:

x0 = r0 ? sin θ 0 ? cos ? 0 y0 = r0 ? sin θ 0 ? sin ? 0 z0 = r0 ? (cos θ 0 ? cos θ max )
除圆柱面、球形表面外,还有一些表面是旋转抛物面、旋转椭球面或旋转双曲面等复 杂的旋转曲面。 对这些复杂曲面, 原则上也可采用与前面类似的方法建立发射点分布概率模 型。如某曲面在柱坐标系中的方程为 z = f ( r ) ,则表面上发射点的径向分布概率模型原则 上可表示为:
r0 ? ?f ? Rr = ? ? rdr ∫rmin 1 + ? ? ?r ? 2

(2.23)

∫r

rmax
min

? ?f ? 1 + ? ? ? rdr ? ?r ?

2

(2.24)

?max
x

θmax

?min

r0
? ( x0 , y0 , z0 )

θmin

z

图 2.5 球形表面发射点坐标系 其中, Rr 是发射点的径向分布随机数, rmax 和 rmin 分别是曲面的最大和最小半径。在

实际应用中,由于曲面的面形方程 z = f ( r ) 较复杂,往往不能得到关于半径 r 的显函数表 达式。我们 提出了一种便于应用的离散化概率模型,先将表面沿半径方向离散分区,然后 再进行发射点的随机抽样。 如图 2.6 所示,先将曲面沿半径方向离散为面积相等的 NR 个区域,第 i(i=1,… , NR)个区域的内、外半径 ri ?1 和 ri 满足关系式:

∫r

ri
i ?1

δA ? ?f ? 1 + ? ? ? rdr = 2π ? ?r ?
z

2

(2.25)

rmax

z = f (r )

rmin

图 2.6 复杂旋转曲面上发射点坐标系及离散分区 其中,离散区域的面积 δ A 为:

= δA

2π NR



rmax rmin

? ?f ? 1 + ? ? ? rdr ? ?r ?

2

(2.26)

则发射点的径向分布离散化概率模型为:

= r 0

* ? δ A /(π ? 1 + (?f / ?r ) 2 ri2 + Rr

r = ri

)

(2.27)

其中,i 由不等式 i < Rr ? NR < i + 1 确定,R* r =Rr ? NR ? i , Rr 是直接由随机数 程序产生的伪随机数。

2.8.2 能束光线传递方向的空间分布概率模型
光线传递方向的空间分布有漫发射、各向异性发射、镜反射、漫反射、各向异性反射 几种情况。其中,镜反射光线的方向确定无须概率模型,表面与边缘的散射、衍射均视为各 向异性反射。 漫发射和漫反射光线方向分布符合 Lambert 定律。在以光线发射点或反射点为坐标原 点、以当前点处的表面法向为径向的当地球坐标系内,光线方向的锥角 θ 和圆周角 ? 分布

概率模型为:

θ = arcsin( Rθ )
= ? 2π ? R?

(2.28) (2.29)

其中, Rθ 、 R? 分别为锥角 θ 和圆周角 ? 方向的分布随机数。

2.8.3 能束光线与表面的作用结果概率模型
当热辐射能束投射到表面上时,其中一部分被吸收,一部分被反射。用蒙特卡罗法 模拟时,认为大量抽样能束与表面作用的统计结果反映上述特性[17-22]。而某一抽样能束与 表面作用后的去向只有一种,即要么完全被表面吸收,要么被反射,至于产生哪种结果, 由其概率模型确定。对不透明表面,设其吸收率为 α ,抽样能束到达表面后产生的作用结 果随机数为 R α ,则作用结果概率模型为: 抽样能束被表面吸收, 记录并停止对其跟踪, 进行下一能束抽样与跟踪; 当 Rα ≤ α 时,

Rα > α ,则抽样能束被表面反射,需继续跟踪反射后能束的传递行为——确定反射方向,
并以反射点为反射光线的源点,继续求解下一个交点。

2.9 跟踪求解与坐标转换
对抽样能束在物体表面间的传播过程进行跟踪时,一个重要环节是确定抽样能束离开 一个表面后将要到达的下一个表面及到达点的具体位置, 即求解抽样能束与系统内表面的交 点。 由于系统内结构表面往往很多, 无法直接推导出任一束抽样能束与表面的交点求解表达 式。采用蒙特卡洛法进行计算时,原则上采用如下的方法求解抽样能束与表面的交点[17-21]。 1) 首先将一束光线的参数方程与组成封闭系统的多个表面方程联立求解,得到光 线在各表面上的交点所对应的射线方程参数 t j :j ∈ [1, N ] 、 N 为最大可能交点 数目,为保证参数方程确实反应射线性质,舍去 tk : tk ≤ 0 。 2) 对不透明表面, 根据光线的入射方向矢量与表面在交点处的法矢量判断光线是 否为正向入射,其正向入射的必要条件是 n ? m 0 < 0 ;根据判断,再舍去不符合 条件的参数 t j 。 3) 根据各表面的边界约束条件,判断所求出的参数 t j 确定的交点是否在其限定区 域内,舍去不在其限定区域内的交点对应的参数 t j 。 4) 比较满足上述条件的各参数 t j 对应的交点与光线源点的距离(即 t j 值) ,其中 离源点最近的交点(即最小的 t j 值)为该射线与表面的真正交点。 这种求解方法的优点是容易实施,能保证计算方法与软件的通用性;缺点是每一次确 定光线与系统内表面的交点,原则上要将光线方程依次与每个表面方程组成的方程组进行 求解与约束判断,对结构表面很多的光学系统,计算量巨大。解决该问题的一种有效方法是

? ?

基于区域分解算法的分系统、分区域求解技术。 如前所述,大型复杂系统中的物体表面和能束光线的数学描述是以系统坐标系为参 考的。对比较复杂的几何结构系统,初始建立表面数学描述、确定发射点坐标和发射方向 时,直接采用系统坐标系往往比较困难,也不利于计算软件的通用化。 对每一个表面,根据其几何特点,采用当地坐标系完成数学描述、进行发射点坐标 和发射方向抽样, 然后再转换为系统坐标系下的表述形式, 可容易地解决上述问题。 这样, 在采用蒙特卡洛法进行辐射换热计算时,需将点坐标、方向矢量、表面方程的数学表述形 式在各级坐标系之间进行转换。 坐 设某级坐标系 Oxyz 的坐标原点在另一级坐标系 O? x? y ? z ? 中的坐标为 (b1 , b2 , b3 ) , 标方向矢量 ( i , j , k ) 在坐标系 O? x? y ? z ? 中的表述为:

? ? ?

( i , j , k ) = ( i ? , j? , k ? ) Di, j
为坐标系 O? x? y ? z ? 中的坐标 (x0 , y0 , z0 ) 为:
* ? ?

? ? ?

?

?

?

(2.29)

式中, Di , j 是转换系数矩阵。若某点 P 在 Oxyz 坐标系中的坐标为 (x0 , y0 ,z0 ) ,转换

?? ? x0 ? x0 ? ? b1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? y0 ? =Di, j ? y0 ? + ? b2 ? (2.30) ? ?? ? ? ?z ? b ? z0 ? ? 0 ? ? 3? ? ? ? ? ? ? 若 某 一 方 向 矢 量 在 Oxyz 坐 标 系 中 的 表 述 为 m = m1 i + m2 j + m3k , 则 该 矢量 在 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i + m2 j + m3 k 为: O? x? y ? z ? 坐标系中的表述 m? = m1 ?? ? m1 ? m1 ? ? ? ? ? ? ? m2 ? =Di, j ? m2 ? ? ?? ?m ? ? m3 ? ? 3? ? ?

(2.31)

2.10 热网络法
航空航天器内部的结构复杂,各种仪器和设备的分布纵横交错星罗棋布,这 给其温度计算带来了很多困难,而热网络法是解决这一问题的有效方法之 一[23,24],并在此基础上发展了几种航空航天温度场的商业软件,如美国NASA的 SINDA、欧洲 ESA的ESATAN软件及中国空间技术研究院的人分析软件等。采用 蒙特卡罗法计算各节点间的辐射交换因子并与热网络法相结合计算了卫星的温 度分布,本文采用该求解方法计算飞机的温度场[25-30]。 本文中节点总体上可以分为两大类,体节点与面节点,如图 2.7 所示。





图 2.7: 节点类型示意图 其中,面节点的控制质量为零,面节点间存在着辐射换热,并通过导热实现与体节点间 的能量传递,面节点没有内热源但存在对流换热热源;体节点有控制质量但没有辐射换热, 体节点没有对流换热但存在内热源,体节点间或与面节点的传热方式是热传导。

特殊节点处理
1)蒙皮节点处理:




图 2.8:蒙皮几点处理示意图 如图 2.8 所示,在计算中某处飞机的单元蒙皮处理为两个节点,其一是体节点它位于蒙 皮的中心;其二是面节点,它位于蒙皮的内表面上。由于蒙皮的外表面上存在太阳辐射、气 动加热、 及其自身的对外辐射等换热方式, 将它们全部作为蒙皮体节点的热源项引入到蒙皮 节点的温度场计算中, 并通过内表面的面节点的自然对流和辐射换热实现同舱内其它器件的 热交换。 按照蒙皮节点所处的位置可以分为两类: 其一能够接受太阳的辐射加热, 该类蒙皮的自 身辐射背景是温度为 0 K 的太空; 其二是不能接受太阳辐射加热的, 该类蒙皮朝向地球表面, 其自身辐射背景是温度为 250 K 的地球。两类蒙皮在计算气动加热方面是一致的。 2)公共节点:






图 2.9: 公共节点处理示意

如图 2.9,两个物体叠放在一起其中间点即为公共节点。在单独描述任一物 体时该节点均按照面节点处理, 但是当两个物体叠放在一起后该点必须按照体节 点处理,由于其控制体为零,因此可以取其质量为一个很小数值进行计算。

2.11 热网络方程的建立
由能量平衡,对节点 i 列热网络方程[27-31]:

Ci M i ∑ RD*j ?iσ (T j4 ? Ti 4 ) + ∑ Dk ?i (Tk ? Ti ) + h i (TF f ? Ti ) + qi =
j 1= k 1
*

N

N

dTi dτ

(2.32)

其中,N 为热网络系统中所有节点数;RD j ?i 为节点 j 与节点 i 间的辐射交换因子;σ 为斯蒂芬-玻耳兹曼常数; h 为舱内自然对流换热系数;Fi 为节点 i 与舱内空气的接触面积;

T f 为舱内空气温度; Ci 、 M i 分别为节点 i 的比热与质量; Dk ?i 为节点 k 与节点 i 间的传
热因子,对于导热和对流,分别由傅里叶公式和牛顿公式可知:

?λ F / ?x Dk ?i = ? ?α F
距离; α 为对流换热系数。 节点的内热源 qi 由四部分组成,他们分别是: 1)内热源 q1 :他即是节点的发热功率,该项由给定的条件获得;

(2.33)

(2.33)式中 λ 为导热系数; F 为节点 k 与节点 i 间接触面积; ?x 为节点 k 与节点 i 间的

2)蒙皮气动加热(冷却)热源 q2 : 本文采用已知的飞机外部流场,并将计算数据拟 合而成; 3)蒙皮的太阳辐射加热热源 q3 :即 q3 = q ? Si ? cos θ ,其中 q 为太阳辐射常数,本文 计算采用 q = 900W / m 2 ; Si 为节点面积; θ 为节点表面法向量与太阳投射方向的 夹角。太阳辐射加热热源仅存在能接受太阳照射的蒙皮表面节点上。 4)蒙皮的对外辐射热源 q4 :
4 ? ??ε iσ Ti Si q4 = ? 4 4 ? ??ε iσ Ti Si + σ T0 Si

, up , down

(2.34)

即,对于飞机上表面蒙皮节点其辐射背景为绝对温度为 0K 的太空,而对下表面蒙皮节 点其辐射背景为地球, 地球对外辐射力等效为 250K 的黑体, 上式中 T0 即为地球的等效温度。 方程的离散: 将式(2.35)采用隐式离散,由于辐射换热中存在温度的四次方项,这给计算带来麻烦,解 决的方法是采用该时刻上次计算的数值来代替, 并令,

Ci M i 、 bi a= i = ?τ

∑ RD
j =1

N

* j ?i

σ (T j04 ? Ti 04 )

(2.36)

则,式(1)可变为:
0 bi + ∑ Dk ?i (Tk ? Ti ) + h i (TF f ? Ti ) + qi = ai (Ti ? Ti ) k =1 N

(2.37)

再令, 最终得方程

Ai = ai + ∑ Dk ?i + hFi 、 Bi = ?(bi + aiTi 0 + qi + hFT i f )
k =1

N

(2.38)

= AT i i

∑D
k =1

N

k ?i k

T ? Bi

(2.39)

求解线性方程组可得节点的温度分布。

对所有离散舱段依次完成一次温度求解从而组成在某个时间微元上的计算, 在获得某舱段的温度场后需要对相邻前舱段的公共节点的温度场进行修正, 当整 个飞机的所有舱段公共节点温度达到收敛标准后即完成了该时间微元的计算。

2.12 本章小结
对辐射换热的原理与方法以及利用蒙特卡洛方法计算辐射传递因子。


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