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四川省成都市外国学校2016届高三数学3月月考试题理(新)


成都外国语学校 2016 届高三 3 月月考 数 学(理工类)

一.选择题:共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给 出的四个选项中,有且只有一项是符合题目 要求的.

? 1 ? 1.已知集合 M ? x x 2 ? 1 ? 0 , N ? ? x ? 2 x ?1 ? 4, x ? Z ? ,则 M ? N ? (

? 2 ?

?

?

)

A. ?1? 2.抛物线 x ? A.

B. ??1,0?

C. ??1,0,1? ) D.8

D. ?

1 2 y 的焦点到准线的距离为( 4
B.

1 8

1 2

C.2

3.已知复数 z ? (cos ? ? i sin ? )(1 ? i) , 则“ ? ? A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

3? ” 是“ z 为纯虚数” 的( 4



D.既不充分也不必要条件 )

4.如图 1 所示的程序框图,若输出的 S=41,则判断框内应填入的条件是( A.k>3? ( ) B.若 m ? ? , n / / ? , ? ? ? ,则 m ? n B.k>4? C.k>5? D.k>6?

5. 已知 l , m, n 为三条不同直线 , ? , ? , ? 为三个不同平面 , 则下列判断正确的是 A .若 m / /? , n / /? ,则 m / / n 图1

C.若 ? ? ? ? l , m / /? , m / / ? ,则 m / / l D .若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, l ? m, l ? n ,则 l ? ? 6.五个人站成一排照相,其 中甲与乙不相邻,且甲与丙也不相邻的不同站法有( A. 60 种 B. 48 种 C. 36 种 D. 24 种 )

? y 2 ? 4 x2 ? 0 7.已知 P ? x, y ? 为区域 ? 内的任意一点, 当该区域的面积为 2 时,z ? x ? 2 y 的最大值是( ?0 ? x ? a
A.5 B.0 C.2 D. 2 2

)

8. 已 知 f ? x? ? s i n x , 若 函 数 g ? x? ? f? ? ? 2 c ox s x?

在 x ? ? 0, ? ? 上 有 两 个 不 同 零 点 ? 、 ? , 则 m

cos ? ( ? ?) ? (
A. ? 1



m2 ?1 B. 5

C.

4 5

D.

3 5

9.设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线

x2 y2 (a ? b ? 0) 两条渐近线分别交于点 A, B , 若点 P ( m,0) ? ?1 a 2 b2
-1-

满足 PA ? PB ,则该双曲线的离心率为( A. 3 B.

) D. 5

5 2

C.

3 ?1 2

10.已知 a 为常数,函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 则( )

1 2 1 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? 2
A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2 1 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? 2
B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

二.填空题:本大题共 5 小题,每 小题 5 分,共 25 分. 11.在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图 2 所示,若将运动员按成绩由 好到差编为 1 到 35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人 ,则其中成绩 在区间 [139,151] 上的运动员人数 是 .

图2

3 n 12.若 ( x ? ) 展开式的各项系数绝对值之和为 1024 ,则展开式中 x 项的系数为_______. x
13.某三棱锥的三视图如图 3 所示,该三棱锥的表面积是_________ 14.已知 O(0,0) , M (2,0) , N (1,0) ,动点 P 满足:
? ?

图3

? | PM | ? 2 ;若 OC ? 1 ,在 P 的轨迹上存在 A , B | PN |

两点,有 CA? CB ? 0 成立,则 AB 的取值范围是________.

?

15. 已 知 m ? R , 函 数 f ( x) ? ? _________________

?| 2 x ? 1 |, x ? 1 , g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2m ?1 , 下 列 叙 述 中 正 确 的 有 ?log2 ( x ? 1), x ? 1

①函数 y ? f ( f ( x)) 有 4 个零点;②若函数 y ? g ( x) 在 (0,3) 内有零点,则 ? 1 ? m ? 1 ; ③函数 y ? f ( x) ? g ( x) 有两个零点的充要条件是 m ? ? 零点则实数 m 的取值范围是 (0, ) ;

1 1 或m ? ? ;④若函数 y ? f ( g ( x)) ? m 有 6 个 2 8

3 5

-2-

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 3 16.(本小题满分 12 分)已知公比为 q 的等比数列{an}的前 6 项和 S6=21,且 4a1, a2,a2 成等差数列. 2 (1)求 an; (2)设{bn}是首项为 2,公差为-a1 的等差数列,求数列 {| bn |} 前 n 项和为 Tn .

17.(本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? S . (1)求 tan 2 A 的值; (2)若 B ?

?
4

, CB ? CA ? 3 ,求 ?ABC 的面积 S .

18.(本小题满分 12 分)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 60 名学生,将其数学成绩(均为 整数)分成 六段 [40,50),[50,60),...,[90,100]后得到如图所示 的部分频率分布直方图.观察图形的信 息,回答下列问题:

(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图,统计方法中,同一组数据常用该组区间 的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分; (2) 若从 60 名学生中随机抽取 2 人, 抽到的学生成绩在[40,60)记 0 分, 在[60,80)记 1 分, 在[80,100] 记 2 分,用 ? 表示抽取结束后的总记分,求 ? 的分布列和数学期望.

19.(本小题满分 12 分)如图 4,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面ABCD ,

BC? ?CD CD? ?2, 2,AC AC ? ? 4, 4,? ?ACB ACB ? ?? ?ACD ACD ? ? ? , F 为 PC 的中点, AF ? PB . BC 3 3
(1)求 PA 的长; (2)求二面角 B ? AF ? D 的正弦值.

?

-3-

图4

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 2 3 20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 M : a 的一个焦点为 F ( ?1,0) ,左右顶点分别为 A ,B .
经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点. (1)求 椭圆方程,并求当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求线段 CD 的长。 (2)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S 2 ,求 | S1 ? S2 | 的最大值.

? 是自然对数的底数. 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? xe ? e ? 1 ,其中 t ? R, e ? 2.71828
tx x

(Ⅰ)当 t ? 0 时,求 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? 1 无 实数根,求实数 t 的取值范围; (III)若函数 f ( x) 是 (0, ? ? ) 内的减函数,求实数 t 的取值范围.

-4-

成外 2016 届高三 3 月月考理科数学参考答案 一.选择题:BCABC CADBD 二.填空题:11. 4 ;12. ? 15 ; 13. 30 ? 6 5 ;14. [ 3 ?1, 3 ? 1];15.①②④ 三.解答题 3 16. 【解析】(1)4a1 , a2,a2 成等差数列,∴ 4a1 ? a2 ? 3a2 即 4a1 ? 2a2 ∴ q ? 2 ??3 分 2

1 a1 (1 ? 26 ) 2n?1 ? 21解得 a1 ? 所以 an ? ??6 分 3 1? 2 3 1 1 7 (2)有(1)可知{bn}是首项为 2,公差为 ? 的等差数列,∴ bn ? ? n ? ??7 分 3 3 3 1 2 13 n ??8 分 设 Sn 为 bn 的前 n 项和,则 S n ? ? n ? 6 6 1 2 13 n ??9 分 当 n ? 7 时, Tn ?| b1 | ? | b2 | ? ? ? | bn |? b1 ? b2 ? ? ? bn ? S n ? ? n ? 6 6 1 2 13 当 n ? 7 时 Tn ?| b1 | ? | b2 | ?? ? | bn |? b1 ? b2 ? ? ? b7 ? b8 ? ? ? bn ? 2S7 ? Sn ? n ? n ? 14 ?11 分 6 6 ? 1 2 13 ? n ? n, n ? 7 ? ? 6 6 所以 Tn ? ? ??12 分 1 13 2 ? n ? n ? 14, n ? 7 ? 6 ?6
∴ S6 ? 17.【解析】 (1)设 ?ABC 的角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , ∵ AB ? AC ? S ,∴ bc cos A ? ∴ tan 2 A ?

1 1 bc sin A ,∴ cos A ? sin A ,∴ tan A ? 2 .....3 分 2 2
..................6 分 ..................7 分

2 tan A 4 ?? . 2 1 ? tan A 3

(2) CB ? CA ? 3 ,即 AB ? c ? 3 , ∵ tan A ? 2 , 0 ? A ?

?
2

,∴ sin A ?

2 5 5 , cos A ? . 5 5 2 5 2 5 2 3 10 ? ? ? ? ... .9 分 5 2 5 2 10
............10 分

∴ sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 由正弦定理知:

c b c ? ?b? ? sin B ? 5 , sin C sin B sin C

1 1 2 5 S ? bc sin A ? 5 ? 3? ? 3. 2 2 5

.....................12 分.

18

-5-

估计本次考试的平均分为

x ? 45? 0.1 ? 55? 0.15 ? 65? 0.15 ? 75? 0.3 ? 85? 0.25 ? 95? 0.05 ? 71.........6 分 (2)学生成绩在[40,60)的有 0.25 ? 60 ? 15 人,在[ 60,80)的有 0.45 ? 60 ? 27 人, 在[80,100] 的有 0.3 ? 60 ? 18 人,并且 ? 的可能取值为 0,1,2,3,4. .........7 分
则 P(? ? 0) ?
2 1 1 1 1 2 C15 C15 C27 C15 C18 ? C27 7 27 207 ; , ; ? P ( ? ? 1 ) ? ? P ( ? ? 2 ) ? ? 2 2 2 C60 118 C60 118 C60 590

P(? ? 3) ?

所以 ? 的分布列为 ...11 分

1 1 2 C27 C18 C18 81 51 ; . ? P ( ? ? 4 ) ? ? 2 2 C60 295 C60 590

...................9 分

E (? ) ? 0 ?
19 .

7 27 207 81 51 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 2.1 . 118 118 590 295 590

...............12 分

-6-

20.解答: (I)因为

F ( ?1,0) 为椭圆的焦点,所以 c ? 1, 又 b2 ? 3,

所以 a 2 ? 4, 所以椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

?????? 3 分

因 为 直 线 的 倾 斜 角 为 45? , 所 以 直 线 的 斜 率 为 1, 所 以 直 线 方 程 为 y ? x ? 1 , 和 椭 圆 方 程 联 立 得 到

? x2 y2 ?1 ? ? ,消掉 y ,得到 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 3 ?4 ? y ? x ?1 ?
2 所以 | CD |? 1 ? k | x1 ? x2 |?

所以 ? ? 288, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ?

8 7

8 7

24 7

?????? 6 分

?x ? m y ? 1 ? 2 2 (2)设直线 l 的方程为: x ? m y ? 1 ?m ? R? , 则由 ? x 2 y 2 得, 3m ? 4 y ? 6my ? 9 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4

?

?

设 C ?x1 , y1 ? , D?x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 所以, S1 ?

6m 9 ? 0 .??8 分 , y1 ? y2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

12 m 1 1 1 ?10 分 AB ? y2 , S 2 ? 1 AB ? y1 , S1 ? S 2 ? AB ? y2 ? y1 ? ? ? 4 ? y1 ? y2 ? 2 2 2 2 3m 2 ? 4

-7-

当 m ? 0 时, S1 ? S2 ? ?

12 m 12 m ? ? 3 ?m ? R? . 2 3m ? 4 2 3 ? 4m2

2 由 3m ? 4 ,得 m ? ?

2 3 .当 m ? 0 时, S1 ? S2 ? 0 ? 3 ??12 分 3
??????13 分

从而,当 m ? ?

2 3 时 , S1 ? S2 取得最大值 3 . 3

21. 试题解析: (Ⅰ)当 t ? 0 时 f ( x) ? x ? e x ? 1 则 f ' ( x) ? 1 ? e x ????2 分 则 f ( x) 在 (??,0) 单调递增, (0,??) 单调递减,故 f ( x) max ? f (0) ? 0 ????4 分
x (1?t ) tx x ? 0 ,? f ( x) ? 1 无负实根. (Ⅱ)由 f ( x) ? 1 得 xe ? e ,即 x ? e

(III) f ?( x) ? etx +txetx ? e x =etx [1 ? tx ? e(1?t ) x ] ,由题设, 而当 t ? 1 时, f ?(1) ? 0 ,故 t ? 1 . ① 当t ?

ln x ln x 1 ? ln x , g?( x) ? , ? 1 ? t .令 g ( x) ? x x x2 由 g ?( x) ? 0 得 0 ? x ? e ,由 g ?( x ) ? 0 得 x ? e , ? g ( x) 在 (0, e) 上单调递增, g ( x) 在 (e, +?) 上单调递减. 1 1 ? g ( x) max ? g (e) ? ,? g ( x) 的值域为 (??, ] . e e 1 1 要使得方程 f ( x) ? 1 无实数根,则 1 ? t ? ,即 t ? 1 ? . e e
故有

5分

6分

8分

知对 ?x ? 0, f ?( x) ? 0 恒成立.不妨取 x ? 1,有 f ?(1) ? et (1 ? t ? e1?t ) ? 0 , 9分
x 2 x 2

1 x tx (1?t ) x ] ? e (1 ? ? e ) . ,且 x ? 0 时, f ?( x)=e [1 ? tx ? e 2 2
x
x x 2 ? e ? 0 .所以 f ?( x) ? 0 , 2

而当 x ? 0 时,由(I )有 e ? 1 ? x ,故 1 ? 所以 f ( x) 在 (0, ? ?) 内单调递减, 故当 t ?

1 时满足题意. 2 1 1 t 1 t ? 1 ,即 ② 当 ? t ? 1 时, 0 ? 1 ? t ? ,且 ln ? 0. 2 2 1? t 1? t 1? t
令 h( x) ? 1 ? tx ? e 当0 ? x ?
(1?t ) x

11 分

,则 h(0) ? 0 . h?( x) ? t ? (1 ? t )e

(1?t ) x

? t ? ? (1 ? t ) ? ? e(1?t ) x ? . ?1 ? t ?

1 t ln 时, h?( x) ? 0 ,此时, h( x) ? h(0) ? 0 , 1? t 1? t 1 t 1 t ln 则当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ln ) 单增, 1? t 1? t 1? t 1? t 1 与题设矛盾,不符合题意,舍去.所以,当 t ? 时,函数 f ( x) 是 (0, ? ?) 内的减函数.? 14 分 2

-8-


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