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江苏省南通第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学理试题


江苏省南通第一中学高二期中考试 理科数学试题
1.若 A ? ? , B ? ? , A ? l , B ? l ,那么直线 l 与平面 ? 有 2.直线 3x ? y ? 6 ? 0 的斜率为 3.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,与对角线 AC1 异面的棱有 4.若 f ( x ) ? 条. 个公共点;

( x ? 2)( x ?

m) 为奇函数,则实数 m ? ▲ . x ???? ? ? ??? ? ? ??? ? ? 5.已知点 D 是 ?ABC 的边 BC 的中点,若记 AB ? a, AC ? b ,则用 a, b 表示 AD =
6.直线 l 经过 P(2,3) ,且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程为 ▲ x-4y+3≤0 ? ? 7.已知变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0 ? ?x≥1

,则 z ? 2 x ? y 的最大值______ ▲______

8.若直线 l1 : (m ? 2) x ? (m ? 3) y ? 5 ? 0 和 l2 : 6 x ? (2m ? 1) y ? 5 平行,则 m= 9.已知 α,β 为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,下列命题: ①若 m∥n,n∥α,则 m∥α; ③若 α∩β=n,m∥α,m∥β,则 m∥n; 其中是真命题的有 ②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β; ④若 m∥n,m⊥α, ,则 n⊥α.

. (填写所有正确命题的序号)

10.在直角坐标系 xOy 中,已知 A(?1,0) ,B(0,1) ,则满足 PA2 ? PB 2 ? 4 且在圆 x2 ? y 2 ? 4 上的点 P 的个数为 .

11.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l: (m ? 1) x ? (m ? 1) y ? m ? 3 ? 0 与两坐标轴的正半轴相 交 A,B 两点,当三角形 AOB 的面积最小时直线 l 的方程为 ▲

12.若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是
13. 已知 M,N 是圆 x ? y ? kx ? 0 上两个不同点, A(?2,0), B(0,2) ,P 是圆
2 2





x 2 ? y 2 ? kx ? 0 上的动点,如果 M,N 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则 ?PAB 面积的
最大值 14.在平面直角坐标系 xOy 中,A,B 为 x 轴正半轴上的两个动点,P(异于原点 O)为 y 轴 上的一个定点.若以 AB 为直径的圆与圆 x2+(y-4)2=4 相外切,且∠APB 的大小恒为定

值,则线段 OP 的长为



15 已知全集 U ? R ,函数 f ( x) ? log2 ( x 2 ? x ? 2) 的定义域为集合 A , 关于 x 的不等式 1 2

??

2x

? 2? a ? x (a ? R)的解集为 B。

(1)若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围; (2)若 A ? B ? U ,求实数 a 的取值范围.

16 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面为平行四边形,PD⊥平面 ABCD,M 为 PC 中点. (1)求证:AP∥平面 MBD; (2)若 AD⊥PB,求证:BD⊥平面 PAD;

17 已知函数 f ? x ? ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , x ? R . 2 2 ?1? 求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调递减区间;

? 2 ? 设 ???C 的内角 ? , ? , C 的对边分别为 a , b , c ,且 c ?
若 sin ? ? 2sin ? ,求 a , b 的值.

3 , f ? C? ? 0 ,

18. 已知过点 A(?1,0) 的动直线 l 与圆 C : x 2 ? ( y ? 3)2 ? 4 相交于 P, Q 两点,M 是 PQ 中点,

l 与直线 m : x ? 3 y ? 6 ? 0 相交于 N .
(1)求证:当 l 与 m 垂直时, l 必过圆心 C ; (2)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程; (3)探索 AM ? AN 是否与直线 l 的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理 由.

19 如图,多面体 ABCDEFG中 , AB,AC ,AD 两两垂直,平面 ABC // 平面 DEFG ,平面

BEF // 平面 ADGC , AB ? AD ? DG ? 2, AC ? EF ? 1 .
(1)证明四边形 ABED 是正方形; (2)判断点 B, C , F , G 是否四点共面,并说明为什么? (3)连结 CF , BG,BD ,求证: CF ? 平面 BDG .
A

C

B

D

G
F

E

20.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O:x2+y2=1,P 为直线 l:x=t(1<t<2)上一点. 4 (1)已知 t= . 3 5 错误!未找到引用源。若点 P 在第一象限,且 OP= ,求过点 P 圆 O 的切线方程; 3 错误!未找到引用源。若存在过点 P 的直线交圆 O 于点 A,B,且 B 恰为线段 AP 的中 点,求点 P 纵坐标的取值范围; (2)设直线 l 与 x 轴交于点 M,线段 OM 的中点为 Q.R 为圆 O 上一点,且 RM=1,直线

RM 与圆 O 交于另一点 N,求线段 NQ 长的最小值.

江苏省南通第一中学高二期中考试 理科数学试题参考答案
1.1 2.8. ?

3
5 2

3.6 9. 2 , 3 , 4

4.

?2
10. 2

5.

? ? a?b 2

6.

3x-2y=0



x+2y-8=0

7. 12 14.2 3

11. x+2y-4=0

12. ? ?1,1 ? 2 2 ? 13. 3+

?

?

2

15.解:由 x ? x ? 2 ? 0 解得 x ? ?2 或 x ? 1
2

于是 A ? (??, ? 2) ? (1, ? ?).

??
1 2

2x

?2

?a? x

? 1 2

?? ??
2x

? 1 2

a? x

? 2x ? a ? x ? x ? a.

所以 B ? (??, a ) .

(1)因为 A ? B ? B, 所以 B ? A ,所以 a ≤?2 ,即 a 的取值范围是 ? ??, ? 2?. (2)因为 A ? B ? R ,所以 a ? 1 ,即 a 的取值范围是 (1,??)

17. 试题解析: (1) f ( x ) ?

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 2 2 6

则最小正周期是 T ? 由 2k? ?

2? ?? ; 2
? 2k? ?

3? , (k ? Z ) ,得 2 6 2 ? 5? ], k ? Z , f ( x ) 的单调递减区间 [k? ? , k? ? 3 6 ? 2x ?

?

?

(2) f (C ) ? sin(2C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ?

?
6

) ?1 ? 0,

0 ? C ? ? , 0 ? 2C ? 2? ,所以 ?

?
6

? 2C ?

?
6

?

11? , 6

所以 2C ?

?
6

?

?
2

,C ?

?
3

, ① ②

因为 sin B ? 2sin A ,所以由正弦定理得 b ? 2a , 由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

?
3

,即 c 2 ? a 2 ? b2 ? ab ? 3

由①②解得: a ? 1 , b ? 2 . 18 解 : ( 1 ) ? l 与 m 垂 直 , 且 km ? ? , ? kl ? 3, 故 直 线 l 方 程 为 y ? 3( x ? 1) , 即

1 3

3x ? y ? 3 ? 0 ,? 圆心坐标 (0,3) 满足直线 l 方程,? 当 l 与 m 垂直时, l 必过圆心 C ;
(2)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0,

? PQ ? 2 3 ,? CM ? 4 ? 3 ? 1, 则由 CM ?

| ?3 ? k | k ?1
2

? 1 ,得 k ?

4 , 3

? 直线 l : 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 故直线 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 或 x=-1
(3)? CM ? MN ,

?

AM ? AN ? ( AC ? CM ) ? AN ? c ? CM ? AN ? AC ? AN ,
? y ? k ( x ? 1) , ?x ? 3 y ? 6 ? 0
AN ? ( ? 5 ? 5k , ) 1 ? 3k 1 ? 3k


当斜率 k 存在时,设直线 l 的方程 y ? k ( x ? 1) ,则由 ? 得

N(

? 3k ? 6 ? 5k , ) 1 ? 3k 1 ? 3k





? AM ? AN ? Ac ? AN ?

?5 ? 15k ? ? ?5 , 1 ? 3k 1 ? 3k

当斜率 k 不存在时,x=-1 时也满足, 故 AM ? AN 与直线 l 的倾斜角无关,且 AM ? AN ? ?5 .

? ? 19.证明: (1) 平面ABED ? 平面ABC ? AB, ? ? AB // DE , 平面ABED ? 平面DEFG ? DE , ? ? 平面ABC // 平面DEFG,
同理 AD // BE ,则四边形 ABED 是平行四边形. 又 AD ? DE , AD ? DE , ? 四边形 ABED 是正方形. (2) 取 DG 中点 P ,连接 PA, PF . 在梯形 EFGD 中, FP // DE 且 FP ? DE . 又 AB // DE 且 AB ? DE ,? AB // PF 且 AB ? PF ? 四边形 ABFP 为平行四边形,

? AP // BF .在梯形 ACGD 中, AP // CG , ? BF // CG , ? B, C, F , G 四点共面.
(3)同(1)中证明方法知四边形 BFGC 为平行四边形. 且有 AC // DG 、EF // DG ,从而 AC // EF ,

? AC // EF ? ? ? EF ? AD? AC ? AD? ? ? BE ? EF . ? BE // AD ?
又 BE ? AD ? 2、EF ? 1 故 BF ?

5 ,而 BC ? 5 ,

故四边形 BFGC 为菱形, CF ? BG . 又由 AC // EF 且AC ? EF 知 CF // AE . 正方形 ABED 中, AE ? BD ,故 CF ? BD .

CF ? BG

? ? CF ? BD ? ? CF ? 平面BDG . BG ? BD ? B ? ?
4 20 解: (1)设点 P 的坐标为( ,y0). 3 5 4 5 错误!未找到引用源。因 OP= ,所以( )+y02=( )2,解得 y0=±1. 3 3 3

4 又点 P 在第一象限,所以 y0=1,即 P 的坐标为( ,1). 3 易知过点 P 圆 O 的切线的斜率必存在,可设切线的斜率为 k, 4 4 24 则切线为 y-1=k(x- ),即 kx-y+1- k=0,于是有 2 =1,解得 k=0 或 k= . 3 3 7 k +1 因此过点 P 圆 O 的切线为:y=1 或 24x-7y-25=0. 4 x+ 3 y+y0 错误!未找到引用源。设 A(x,y),则 B( , ). 2 2 =1, ?x +y ?x +y =1, ? 4 4 因为点 A,B 均在圆上,所以有? x+3 即? y+y (x+ ) +(y+y ) =4. ? 3 ? ?( 2 ) +( 2 ) =1.
2 2 2 0 2 2 0 2 2 2

4 |1- k| 3

4 该方程组有解,即圆 x2+y2=1 与圆(x+ )2+(y+y0)2=4 有公共点. 3 于是 1≤ 16 65 65 +y02≤3,解得- ≤y0≤ , 9 3 3 65 65 , ]. 3 3

即点 P 纵坐标的取值范围是[-

?x22+y22=1, t t2 2 (2)设 R(x2,y2),则? 解得 x = , y = 1 - . 2 2 2 2 2 4 ?(x2-t) +y2 =1.

RM 的方程为:y=-
2 2

2y2 (x-t). t

? ?x +y =1, t(3-t2) 2y2 由? 可得 N 点横坐标为 , 2 ? y=- t (x-t). ?
所以 NQ= 2t-t3 2 3t-t3 2 1 ( ) +1-( ) = 2t4-5t2+4. 2 2 2

5 5 14 所以当 t2= 即 t= 时,NQ 最小为 . 4 2 8


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