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14.2空间直线与直线的位置关系


复习 复习引入: 1、同一平面内不重合两条直线有几种位置 关系? (1)、相交:有且仅有一个公共点。 (2)、平行:在同一平面内没有公共点。

2、在同一平面内,同平行于一条直线的两 条直线有什么位置关系? 互相平行 提出问题:空间中的如果两条直线都与 第三条直线平行,那么这两条直线之间 的位置关系呢?

公理4:平行于同一条直线的两条

直线互相 平行。
公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间 这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
符号表示:设空间中的三条直线分别为a, b, c,若

a∥b

a∥c

c∥b
想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直 线垂直,是否也有类似的规律?

例题讲解

例1:如图,已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1 的面ABCD上一点,经过点P作棱AB的平行 线,应该怎样作,并说明理由。
D1 P A1 B1 C1

Dj

C

A

B

例题讲解

例2:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 已知E,F分别是B1C1,AD的中点,求证: A1F//EC。
D1 E A1 B1 C1

Dj F B

C

A

例题讲解 例3: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。
证明: 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH =
1 2

A H E BD D G

BD
1 2

同理,FG ∥BD且FG = ∴EH ∥FG且EH =FG

B

F

C

∴EFGH是一个平行四边形

变式练习

在例3中,如果再加上条件AC=BD, 那么四边形EFGH是什么图形?
A

菱形
分析: 在例题2的基础上 我们只需要证明平行四 边形的两条邻边相等。
B

E

H
D G F C

变式练习
空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中 点,F,G分别是CB,CD上的点,且 求证:四边形ABCD为梯形.
E
CF CB ? CG CD ? 2 3


A

H
D

分析:需要证明四边形ABCD有 一组对边平行,但不相等。

B F

G

C

复习

提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角 的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个 角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立 呢?
观察思考:如图,∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC与 ∠B'A'D'的两边分别对应平行,这两组角的大小 关系如何?

新课讲授

2. 等角定理
定理1:空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。
A B
C

?

D E F

?

新课讲授 定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。
A B
C

?

D F

?

E

定理的推论:如果两条相交直线和另两条相 交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐 角(或直角)相等.

3.空间中两条直线的位置关系 观察: 观察教室内的日光灯管所在直线与黑 板的左右两侧所在的直线,想一想:它 们相交吗?平行吗?共面吗? 观察上方体的棱所在 直线,回答类似的问题.

思考:我们把具有上述特征的两条 直线取个怎样的名字才好呢?

异面直线的定义: 我们把不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线(skew lines)。 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图 时,通常用一个或两个平面衬托。如下图:
m m

l
?

l

想一想,做一做: 1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的 点,那么MN与AB所在的直线是异面直线吗?
D1
M

C1

A1

B1
N

D
A

C
B

想一想,做一做: 2. l1 ? ? , l 2 ? ? , 则 l1 , l 2 一定是异面直线吗?

空间中两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种
? ?平 行 直 线 ?共 面 直 线 ? ? ?相 交 直 线 ? ? 异面直线

位置关系
相交

只有一个 没有 没有

公共点个 数

是否共面

共面 共面 不共面

平行
异面

4. 异面直线所成的角
如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一 点O作直线a'∥a,b'∥b,我们把a'与b'所成 的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角 (或夹角)。

为了简便,点O通常取在两条异面直线中的一条上,例 如,取在直线b上,然后经过点O作直线a'∥a,a' 和b 所成的锐角(或直角)就是异面直线a与b所成的角。 想一想:a'与b' 所成角的大小与点O的位置有关吗?

4. 异面直线所成的角

如果两条异面直线所成的角为直角, 就说两条直线互相垂直,记作a⊥b。
b

a'
?

a

O

?

记作:a ? b

5. 异面直线的判定定理
异面直线定理:连结平面内一 点与平面外一点的直线,和这 个平面内不经过此点的直线是 异面直线

A ?? , B ?? ,l ? ? , B ? l ?
王新敞
奎屯 新疆

A B 与 l 是异面直线

王新敞
奎屯

新疆

例题示范
例2、如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D' 中。 (1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线? (2)直线BA' 和CC' 的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直? 解:(1)由异面直线的判 定方法可知,与直线 B A ? 成异面直线的有直线


B ?C ?, A D , C C ?, D D ?, D C , D ?C ?

例题示范
例2、如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D' 中。 (1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线? (2)直线BA' 和CC' 的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直? 解:(2)由 BB ? // C C ? 可知, 与 ? B ?B A ? 等于异面直线 CC ? 的夹角,所以异面直 线B A ? 与 的夹角为450 。 (3) 直线 A B , B C , C D , D A , A ? B ?, B ?C ?, C ?D ?, D ?A ? 与直线
CC ?

B A?

A A ?都垂直.

练一练,巩固新知:P48页练习1,2题。
例3: 如图,A 是平面 B C D 外的一点 G , H 分别是 ? A B C , ? A C D 的重心, A 求证:G H // B D 。 证明:连结 A G , A H 分别交 B C , C D G H M , N ,连结 M N , 于 D B ∵G,H分别是⊿ABC,⊿ACD的重 N M C 心,∴M,N分别是BC,CD的中点, ∴MN//BD, 又∵ A G ? A H ? 2
AM AN 3

∴ GH//MN,由公理4知GH//BD.

练习反馈:

1. 判断: (1)平行于同一直线的两条直线平行.(√ ) (2)垂直于同一直线的两条直线平行.( ×) (3)过直线外一点,有且只有一条直线与已知 直线平行 . ( √ ) (4)与已知直线平行且距离等于定长的直线只 有两条. ( ×) (5)若一个角的两边分别与另一个角的两边平 行,那么这两个角相等(×) (6)若两条相交直线和另两条相交直线分别平 行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相 等. √ ) (
王新敞
奎屯 新疆

练习反馈: 2.选择题 (1)“a,b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ ,且a 不平行于b;② a ?平面?,b?平面?且a∩b=Φ ③ a ?平面?,b ?平面? ④ 不存在平面?,能使 a ??且b ??成立 上述结论中,正确的是 ( C) (A)①② (B)①③ (C)①④ (D)③④ (2)长方体的一条对角线与长方体的棱所组成 的异面直线有 ( C) (A)2对 (B)3对 (C)6对 (D)12对

(3)两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交, 则直线a,b的位置关系是( D) (A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线 (C)可能是平行直线 (D)可能是异面直线,也可能是相交直线 (4)一条直线和两条异面直线中的一条平行,则 它和另一条的位置关系是( D ) (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)相交或异面 3.两条直线互相垂直,它们一定相交吗?

答:不一定,还可能异面.

4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系? 答:三种:相交,平行,异面. 5.画两个相交平面,在这两个平面内各画一条 直线使它们成为(1)平行直线;(2)相交直线; (3)异面直线.

6.选择题 (1)分别在两个平面内的两条直线间的位置关系 是 ( D) (A)异面 (B)平行 (C)相交 (D)以上都有可能 (2)异面直线a,b满足a ??,b ??,?∩?=l, 则l与a,b的位置关系一定是( B ) (A)l至多与a,b中的一条相交; (B)l至少与a,b中的一条相交; (C)l与a,b都相交; (D)l至少与a,b中的一条平行.

(3)两异面直线所成的角的范围是 ( C ) (A)(0°,90°) (B)[0°,90°) (C)(0°,90°] (D)[0°,90°] 7.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打 “×” (1)两条直线和第三条直线成等角,则这两条 直线平行 ( ) × (2)平行移动两条异面直线中的任一条,它们 所成的角不变 ( )√ (3)四边相等且四个角也相等的四边形是正方 形 ( ) ×
王新敞
奎屯 新疆

课堂小结: 这节课我们学习了两条直线的位置关系(平行、 相交、异面),平行公理和等角定理及其推 论.异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概 念; 证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判 定定理”;求异面直线的夹角的一般步骤是: “作—证—算—答”
王新敞
奎屯 新疆

作业布置: P51 A组3、4(1)(2)(3)、5、6.


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