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“核心辐射法”激发高三学生在复习课里的数学思维


“核心辐射法”激发高三学生在复习课里的数学思维
【摘要】本文从一道三角形高考题入手,多角度探讨其解法,抓住核心 知识多方位的进行变式辐射,意在发现高考题的核心本质,挖掘类似问 题的数学思想方法,为解三角形等教学与复习迎考提供有力的佐证。 【关键词】一题多解 一题多变 思维变通 创新意识

核心辐射法即是“一题多解与多变”,即是指抓住一个核心的知识 内容,然后围绕这个核心知识点进行多方位多角度的联系,使之形成由 点到面的知识结构。这个核心内容可以是一个概念、一个原理、一个图 解、一个实例。针对习题训练,可围绕一个核心题,变换题目的条件、 结论和表达形式,通过对该题的联想、类比、拓展和引申,得到更多类 型的习题,从而达到解一道题就能解一类题的训练目的。在数学习题课 堂 上 教 师 如 果“ 就 题 讲 题 ,就 题 论 题 ”,这 样 学 生 势 必 会 感 到 平 淡 乏 味 , 学 生 学 得 累 ,老 师 教 得 也 累 。长 期 下 去 必 然 造 成 学 生 的 思 维 片 面 和 狭 隘 , 这样对培养学生思维的广阔性会带来很大的消极作用。所以为打破这种 负面的局面,在教学中,我们应该抓住核心辐射法,让学生学会一题多 解,一题多变。 一题多解,有利于学生启迪思维,开阔视野,全方位思考问题,分 析问题;有利于培养学生的发散思维能力和解题技巧。一题多变,可以 训 练 学 生 积 极 思 维 ,触 类 旁 通 ,提 高 学 生 思 维 敏 捷 性 、灵 活 性 和 深 刻 性 。 两者都有利于学生提高解决综合问题的能力,有利于培养学生的探索精 神;有利于创新意识的形成和发展,是培养学生良好思维品质与创新精 神的好方法。 一、一题多解,拓宽思路,培养思维的发散性 为了培养学生的创新意识和富有创造的思维变通能力,教学中适当 精选一些一题多解的典型题目,尽可能的引导学生进行多向思维,把所 学的各方面知识有机的联系起来,既能有效巩固基础知识,又能提高学 生的思维能力和创新能力。 一 题 多 解 的 题 目 要 具 有 代 表 性 ,能 包 容 大 部 分 所 学 知 识 点 ,不 能 过 于 复 杂 ( 难 ) ,但 也 不 能 流 于 简 单 。 过 难 挫 伤 学 生 研

究 学 习 的 积 极 性 ,过 于 简 单 学 生 没 有 兴 趣 ,这 一 步 对 激 发 学 生 的 学 习 研 究 兴趣很重要。 范 例 : (2013 新 课 标 全 国 卷 II 理 )在 中 ,角 (2) 若 所对应的边分 ,求

别 为 a , b, c ,已 知 a ? b cos C ? c sin B , ( 1 )求 B ; 面积的最大值.

解 : ( 1 ) ( 解 法 一 ) 由 已 知 结 合 正 弦 定 理 得 sin A ? sin B cos C ? sin C sinB ,
而 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C

? sin B cos C ? cos B sin C ? sin B cos C ? sin C sinB ? cos B sin C ? sin C sinB ?c o s B? sinB ?B ?

?
4

a 2 ? b2 ? c 2 ? c sin B , 去 分 母 化 简 变 形 的 : (解 法 二 )由 余 弦 定 理 得 a ? b 2ab

2a2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2ac sin B ? b2 ? a2 ? c2 ? 2ac sin B




b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B

②,

观 察 对 比 ① ② 得 ? cos B ? sinB

?B ?

?
4

( 解 法 三 ) (补 充 : 三 角 形 的 射 影 定 理 :

A c D B a C
③ ④,

b 边长a=BD+CD=ccosB+bcosC


由 三 角 形 的 射 影 定 理 得 a ? bco s C? c co s B 而 已 知 a ? b c o s C? c s i n B 观察对由③④得

?c o s B?

s i n B? B ?

?
4
2

( 2) 由 ( 1) 知 B ?

?
4

, 又 b ? 2 ?由 余 弦 定 理 b

? a2 ? c2 ?2 ac cos B 得:

1

22 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos


?
4

? 4=a 2 ? c 2 ? 2ac
? 4 ? 2ac ? 2ac

a2 ? c2 ? 2ac
4 2? 2



? ac ?

1 1 4 2 ? S?ABC = ac sin B ? ? 2 ?1 , 2 2 2? 2 2

当且仅当 a ? c 时取等号

? ?ABC 面 积 的 最 大 值 为 2 ? 1 .

在 范 例 的 第( 1 )问 中 所 用 的 三 种 解 法 :正 弦 定 理 ,余 弦 定 理 ,三 角 形 的 射 影 定 理 ,从 三 个 不 同 角 度 进 入 思 考 ,均 可 做 出 解 答 ,求 得 B 大 小 。 启发和引导学生从不同的角度、不同的思路,用不同的方法和不同的运 算过程去分析、解答同一道数学题。不仅可以充分调动学生思维的积极 性,提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧; 还能锻炼学 生思维的灵活性,促进他们长知识、长智慧,开阔了学生的思路,灵活 地掌握知识的纵横联系,培养和发挥学生的创造性。 二、一题多变,积极思维,培养思维的灵活性 在高中数学教学中,选择教材中的典型题,恰当的进行一题多变的 教学,可使学生处在一种愉快的探索知识的过程中,可使学生所学知识 纵向加深,横向沟通,从而充分调动学生的积极性,提高学生分析问题 和解决问题的能力。运用一题多变方式教学,可使学生根据变化了的情 况及时调整和改变原来的思维进程和方向,不受思维定势的消极影响, 进行积极思索,迅速提出解决问题的方法,从而激发学生学习的热情, 大大提高课堂教学的容量,有利于培养学生思维变通和创新意识能力。 一 题 多 变 ,可 以 改 变 条 件 ,保 留 结 论 ;也 可 以 保 留 条 件 ,改 变 结 论 ; 又可以同时改变条件和结论;还可以将某项条件和结论互换。下面将上 面 的 范 例 (2013 新 课 标 全 国 卷 II 理 ) 的 已 知 条 件 稍 作 改 变 , 可 进 行 如 下 变式: 在 中 ,角 所 对 应 的 边 分 别 为 a , b, c ,已 知 a ? b cos C ? (2) 若 b ? 3,sin C ? 2sin A , 求 a , c 的 值 .

3 c sin B , 3

( 1) 求 B;

2

解 析 : ( 1 ) 三 种 解 法 同 范 例 (2013 新 课 标 全 国 卷 II 理 ) , 可 得 B ?

?
3

(2)

b ? 3,sin C ? 2sin A ? 由 正 弦 定 理 得 c ? 2a , 再 由 余 弦 定 理

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 9 ? a 2 ? (2a)2 ? 2a ? 2a cos

?
3

? a ? 3, c ? 2 3
而 在 此 背 景 下 , 第 ( 2) 问 可 以 接 着 进 行 如 下 变 式 : 变 式 1 : (2) 若 b ? 3, ac ? 6 , 求 a , c 的 值
解析

b ? 3, ac? 6



由 余 弦 定 理 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B

? 9 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos

?
3

1 ?9 ?( a ?c 2) ? 2 a c ? 2a c 2

?a ? c ? 3 3



再由①②可得:

a ? 3, c ? 2 3 或 a ? 2 3, c ? 3
变 式 2 : (2) 若 b ? 3, a ? c ? 3 3 , 求 面积的值.

分 析 :解 答 过 程 与 变 式 1 相 似 ,同 样 利 用 余 弦 定 理 ,然 后 解 方 程 组 , 很 容 易 可 以 求 出 a, c 的 值 , 进 而 利 用 三 角 形 面 积 公 式 求 出 面 积 , 但 是 此 题 没 必
要 去 联 立 方 程 组 来 具 体 求 出 a, c 的 值 , 完 全 可 以 把 ac 看 成 一 个 整 体 , 求出 然 后 利 用 S ?ABC =

ac 的 值 ,

1 ac s i nB 求 解 即 可 。 2

变 式 3 : (2) 若 b ? 3 , 求

面积的最大值.

解 析 : 此 变 式 是 在 变 式 2 的 基 础 上 删 除 了 “ 条 件 a ? c ? 3 3 ”,就 将 问 题 从 求 值 问 题 变 成 了 求 最 值 问 题 , 与 范 例 (2013 新 课 标 全 国 卷 II 理 ) 第( 2 )问 相 同 的 问 题 ,解 法 同 范 例 ,求 解 过 程 中 可 以 利 用 基 本 不 等 式 来 求最值,但是由于此变式数据的计算方便,还可以有以下解法:
由 ( 1) 知 B ?

?
3

, b ? 3 ?由 正 弦 定 理 得

a c b 3 ? ? ? ?2 3 sin A sin C sin B sin ? 3

?a ? 2 3sin A,c ? 2 3sinC
? S? ? 1 1 ac sin B ? ? 2 3 sin A ? 2 3 sinC? sin B 2 2

3

? 6sin A ? sin(A? B) ? sin

?

1 3 ? 3 3 sin A ? (sin A ? ? cos A ? ) 3 2 2

?

3 3 2 9 3 3 1 ? cos 2 A 9 sin A ? sin A cos A ? ? ? sin 2 A 2 2 2 2 4 3 3 3 3 3 3 ? ? (3sin 2 A ? 3 cos 2 A) ? ? ? 12 sin(2 A? ) 4 4 4 4 6 3 3 3 3 ? ? sin(2 A? ) 4 2 6

?

?



B?

?
3

?0 ? A ?

2? ? ? 7? ?? ? 2 A ? ? 3 6 6 6

?当 2 A ?

?
6

?

?
2

时 , S? 达 到 最 大 值 , 且 最 大 值 为

9 3 . 4

变 式 4 : (2) 若 b ? 3 , 求 a ? c 的 最 大 值 . 解析:此变式在变式 2 的基础上,条件与问题都稍作修改,同样得 到 一 道 不 同 的 求 最 值 的 问 题 ,也 有 两 种 不 同 的 解 法 ,解 法 一 同 范 例 (2013 新 课 标 全 国 卷 II 理 )第( 2 )问 ,利 用 基 本 不 等 式 ;解 法 二 同 变 式 3 ,利 用正弦定理将边化角,接着三角形内角和定理消去一个未知角,再接着 利用三角恒等变换与三角函数图像与性质求最值。 解 法 一 : 由 ( 1) 知 B ?

?
3

, 又 b ? 3 ?由 余 弦 定 理 b

2

? a2 ? c2 ?2 ac cos B 得:
1 2
( a ? c) 2 4

32 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos

?
3

? (a ? c)2 ? 2ac ? 2ac ?

?(a ? c)2 ? 3ac ? 9 , 又 由 a ? c ? 2 ac ? ac ?
? (a ? c)2 ? 3ac ? 9 ? 3 ? (a ? c) 2 (a ? c) 2 +9 ? ?9 4 4

?0 ? a ? c ? 6 , 当 且 仅 当 a ? c 时 取 等 号
又 三 角 形 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ? 3 ? a ? c ? 6 ?a ? c 最 大 值 为 6

解法二: 由 ( 1) 知B?

?
3

b ? 3 ?由 正 弦 定 理 得 ,

a c b 3 ? ? ? ?2 3 sin A sin C sin B sin ? 3

4

?a ? 2 3sin A,c ? 2 3sinC

?a+c ? 2 3sin A+2 3sinC=2 3[sin A ? sin(A? B)]
1 3 3 3 ? 2 3[sin A ? (sin A ? ? cos A ? )] ? 2 3( sinA? cos A) 2 2 2 2
=2 3 ? 3 sin( A ? ) ? 6sin( A ? ) 6 6


?

?

B?

?
3

?o ? A ?

2? ? ? 5? ? ? A? ? 3 6 6 6

? 当 A+

?
6

?

?
2

时, a?c达到最大值,且最大值为 6 .

变 式 5 : (2) 若 b ? 3 , 求 ?ABC 周 长 的 范 围 . 此变式与变式 4 本质是一样的,只不过是换了一种提问方式。 变 式 6 : (2) 求 sin A ? sin C 的 最 大 值 . 此变式是在变式 4 的思考下索性删除了“条件 b ? 3 ”,再进一步修 改得到的一道新问题,而解法若还“使用正弦定理将角化边,再利用基 本 不 等 式 ” 来 求 最 值 是 无 法 求 解 的 , 此 时 只 能 使 用 解 法 二 同 变 式 3。 变 式 7 : (2) 求 sin A ? sin B ? sin C 的 范 围 . 此变式是在变式 6 的一种新问法,核心知识点与方法是一样的 . 变 式 8 : (2) 若 sin A ? sin C ? 3 , 试 判 断 ?ABC 的 形 状 . 此变式是在变式 6 的基础上的一种创新,本质一样,利用同样的方 法 很 容 易 判 断 ?ABC 为 等 边 三 角 形 。 三、引导学生归纳,发现方法,注重思维的拓展,提升学生的数学 能力 以 上 在 求 解 范 例 (2013 新 课 标 全 国 卷 II 理 )第( 1 )问 或 者 变 式 的 第 ( 1 )问 时 ,学 生 们 抓 住 正 弦 定 理 、余 弦 定 理 、三 角 形 中 射 影 定 理 的 意 义 与 特 征 ,对 结 论 要 有 一 个 预 见 性 的 思 维 方 式 ,注 重 相 应 高 考 题 一 题 多 解 , 解答过程中常常还要灵活的利用三角形内角和定理,熟悉方法之后,此 类题轻而易举。 而 以 上 范 例 的 第( 2 )问 以 及 各 类 变 式 中 ,可 归 于 两 类 题 型 :一 类 是 求值问题,一类是求最值(范围)问题。无论是哪种题型,考生们都要
5

对结论有一个预见性的思维方式,具备方程思想、消元思想,通过消元 和 代 换 ,减 少 了 未 知 数 的 个 数 ,体 现 数 学 中 化 繁 为 简 ,转 化 化 归 的 思 想 。 特 别 是 变 式 3-8 求 最 值 ( 范 围 ) 问 题 中 , 都 有 个 共 同 的 方 法 : 不 是 利 用 余弦定理加上基本不等式来解题,就是利用三角恒等变换加上三角函数 性质来求最值(范围)。而在具体解答过程中,就要看给位考生对函数 与方程思想、转化与划归思想、运算求解能力、推理论证的能力了。 四、结束语: 对于任何一堂习题课,我们不仅要讲清讲透知识点,讲清概念本质 的特征,同时还要注重变更概念非本质的特征,变更问题条件或结论, 转化问题形式或内容,创设实际应用的各种环境,这即是核心辐射法教 学也即是一题多解一题多变教学,这样对培养学生解题的思路,提高学 生的应变和构建能力大有帮助。 高三数学总复习在数学教学中的地位举足轻重, 作用至关重要,它 是学生在学完高中全部数学课程之后对高中数学知识的再认识、数学方 法的再提炼、数学思想的再提升、数学能力的再提高的过程。学生的学 习过程就是解决问题的过程,复习课最好以问题为线索,把所要复习的 知识点尽量设计在问题中,注重问题所体现出的知识系统化,题型可以 有基础问题、开放问题、变式问题等,通过对问题的解决,既帮助想也 是梳理所学的数学知识点,形成一个知识网络,培养归纳知识的能力, 而且可以改变复习课的枯燥。从历年的高考题来看,绝大多数考题源于 教材,活于教材,高于教材。教师应立足基础,精选例题和习题,在教 学中充分运用“核心辐射法(一题多解与多变)”讲清讲透知识点及其 本质,运用类比与变式进行挖掘,延伸拓展,让知识由点到面,不断激 发学生在复习课上的数学思维,提升学生运用数学解决问题的能力。

【参考文献】 [1] 赵 新 晖 . “ 核 心 辐 射 法 ” 在 习 题 “ 变 式 ” 中 的 应 用 [J] 高 考 : 理 化 生 [2] 张 国 民 . “ 一 个 高 考 题 的 价 值 研 究 . ” [3] 吴 厚 荣 . “ 走 进 高 中 数 学 教 学 ” 中 的 “ 最 值 的 求 解 ” [4] 吴 厚 荣 .“ 走 进 高 中 数 学 教 学 ”中 的“ 创 设 变 化 情 境 ,培 养 应 变 能 力 ”
6


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