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必修4三角恒等变换单元测试题


《三角恒等变换》单元测试题
考试时间 120 分钟,满分 150 分

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的) 1、已知 cos ? ? ? 值是 A、 ?

3 12 ?? ? , ? ? ? , ? ? , sin ? ? ? , ? 是第三象限

角,则 cos ? ? ? ? ? 的 5 13 ?2 ?
( )

56 16 D、 ? 65 65 5 4 2、已知 ? 和 ? 都是锐角,且 sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? , 则 s i n 的 值 是 ? ? 13 5
B、 C、 ( A、 )

33 65

63 65

33 65
? ?

B、

16 65

C、

56 65

D、

63 65

3 、 已 知 x ? ? 2 k ? ? ? , 2 k? ? ( )

3 4

??

3 ?? ? x ? ? k ? Z ? , 且 c o s? ? x ? ? ? , 则 cos 2 的 值 是 4? 5 ?4 ?

24 7 D、 25 25 12 y 4 、 设 cos ? x ? y ? sin x ? sin ? x ? y ? cos x ? , 且 y 是 第 四 象 限 角 , 则 tan 的 值 是 13 2
A、 ? B、 ? C、 ( )

7 25

24 25

A、 ?

2 3

B、 ?

3 2

C、 ?

3 2

D、 ?

2 3


5、函数 f ? x ? ? sin A、 ?

?
2

x ? cos
B、 2?

?
2

x 的最小正周期是
C、 1

( D、 2

5? 、若函数 g ? x? ? f ? x? sin ?? x? 为以 2 为最小正周期的奇函数,则函数 f ? x ? 可以是
( ) B、 cos ?

A、 sin ?? x ?

?? ?2

? x? ?

C、 sin ?

?? ?2

? x? ?

D、 sin ?

?? ?2

? x? ?

6、某物体受到恒力是 F ? 1, 3 ,产生的位移为 s ? ? sin t , ? cos t ? ,则恒力物体所做的功 是 A、 3 ? 1 B、 2 ( C、 2 2 ) D、 3

??

?

?

?

? ? ? ? 6? 、已知向量 a ? ? 2 cos ? , 2sin ? ? , ? ? ? 90? ,180? ? , b ? ?1,1? ,则向量 a 与 b 的夹角为
( ) B、 ? ? 45
?

A、 ?

C、 135 ? ?
?

D、 45 ? ?
?

7 、 要 得 到 函 数 y ? 2sin 2 x 的 图 像 , 只 需 要 将 函 数 y ? 3 sin 2 x ? cos 2 x 的 图 像 ( )

? 个单位 6 ? C、向左平移 个单位 6
A、向右平移 8、已知 sin ?

? 个单位 12 ? D、向左平移 个单位 12
B、向右平移 )

?? cos 2 x ?? ? 12 ? ? 的值为( ? x ? ? ? ? x ? ? ,则式子 2? ?? ? ?4 ? 13 ? 4 cos ? ? x ? ?4 ?
B、

A、 ?

10 13

24 13

C、

5 13

D、 ?

12 13

x x ( ) ? 3 cos 的图像的一条对称轴方程是 2 2 5? 5? ? 11 A、 x ? ? B、 x ? C、 x ? ? D、 x ? ? 3 3 3 3 1 ? cos x ? sin x 10、已知 ( ) ? ?2 ,则 sin x 的值为 1 ? cos x ? sin x
9、函数 y ? sin A、

4 5
? ?

B、 ?

4 5

C、 ?

3 5

D、 ?

15 5

11、已知 ? ? ? 0, ( A、 ? )

??

1 1 ? , ? ? ? 0, ? ? ,且 tan ?? ? ? ? ? , tan ? ? ? ,则 2? ? ? 的值是 4? 2 7 2? 3 7? 12 3? 4

5? 6

B、 ?

C、 ?

D、 ?

12 、 已 知 不 等 式 f ? x ? ? 3 2 sin

x x x 6 cos ? 6 cos 2 ? ?m?0 对 于 任 意 的 4 4 4 2
( D、 ? 3 ? m ? 3 )

?

5? ? ? x ? 恒成立,则实数 m 的取值范围是 6 6
3
B、 m ?

A、 m ?

3

C、 m ? ? 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在题中的横线上) 13、已知 sin x ?

1 , sin ? x ? y ? ? 1 ,则 sin ? 2 y ? x ? ? 3
?? ? ? x ? ? 3 的最小值是 ?4 ?

14、函数 y ? sin 2 x ? 2 2 cos ? 15、函数 y ?

1 ? cosx 图像的对称中心是(写出通式) sin x

16、关于函数 f ? x ? ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ,下列命题: ①、若存在 x1 , x2 有 x1 ? x2 ? ? 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立; ②、 f ? x ? 在区间 ? ?

? ? ?? 上是单调递增; , ? 6 3? ? ?? ? , 0 ? 成中心对称图像; ? 12 ?

③、函数 f ? x ? 的图像关于点 ?

④、将函数 f ? x ? 的图像向左平移 命题序号

5? 个单位后将与 y ? 2sin 2 x 的图像重合.其中正确的 12

(注:把你认为正确的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、 (本小题满分 12 分) 已知 0 ? ? ?

?
2

, tan

?
2

?

1 tan

?
2

?

?? 5 ? ,试求 sin ? ? ? ? 的值. 3? 2 ?

18、 (本小题满分 12 分) 已知 a ? ? 3 sin ? x, cos ? x , b ? ? cos ? x, cos ? x ? ? ? ? 0 ? ,令函数 f ( x) ? a ? b ,且

?

?

?

?

f ? x ? 的最小正周期为 ? .
(1) 求 ? 的值; (2)求 f ? x ? 的单调区间.

(选做) 18? 、设 a ? ?1 ? cos ? ,sin ? ? , b ? ?1 ? cos ? ,sin ? ? , c ? ?1, 0 ? , ? ? ? 0, ? ? ,

?

?

?

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? , 2? ? ,设 a 与 c 的夹角为 ?1 ,b 与 c 夹角为 ? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ? .求 sin 的值. 6 8

19、 (本小题满分 12 分) 已知 tan ?

sin 2? ? 2 cos 2 ? 1 ?? ? 的值. ? ? ? ? ? ,试求式子 2 1 ? tan ? ?4 ?

20、 (本小题满分 12 分)

? ? 1 2 ? 1 x? 3 已知 x ? R , f ? x ? ? sin x ? ? tan ? ? cos 2 x . x 2 2? 2 ? tan ? 2 ?
(1) 若 0 ? x ? (2) 若 f ? x ? ?

?
2

,求 f ? x ? 的单调的递减区间;

3 ,求 x 的值. 2

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? 满足下列关系式: (i)对于任意的 x, y ? R ,恒有 2 f ? x ? f ? y ? ? f ?

?? ? ? x? y?? ?2 ?

?? ? f ? ? x ? y?; ?2 ?

(ii) f ?

?? ? ? ?1. ?2?

求证: (1) f ? 0 ? ? 0 ; (2) f ? x ? 为奇函数; (3) f ? x ? 是以 2? 为周期的周期函数.

参考解析
cos? ? ?
1、∵

3 ? ? ? ? ,? ? 4 12 sin ? ? sin ? ? ? ? ? ? 2 ? ,∴ 5, 5 ,又 13 , ? 是第三象限角,∴

cos ? ? ?

5 ? 3 ? ? 12 ? 4 33 5 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? cos ? ? ? ? ? 13 ? 5 ? ? 13 ? 5 65 13 ,∴

sin ? ?
2、依题意,∵

5 12 4 ? cos ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? 13 ,∴ 13 ,又 5 ,∴ 2 ,∴

sin ?? ? ? ? ?

3 12 ? 4 ? 5 56 3 sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ] 5 13 ? 5 ? 13 65 5 ,∵ sin ? ?sin[ ?? ? ? ??? ,因此有,

3 ?? ?? ? 2 ? s i ?n ? x ? ? ? cx ? s x ? ? i n o s 0 x ? ? 2k? ? ? , k2 ? ? ? 4 4 ? , ∴ c o xs? s ? n ,0 即 ? 4 ? 2 ? xi 3 、 ∵ , ∴

?? ? 4 s i ?n ? x ? ? ?4 ? 5

c ox ? s
, 又 ∵

?? 2? ?2

? ? x? n ? s i ?

?? ?2 4?

? ? ? ? x ? s ? x ? 2 i n ? ? ? 4 ?, ∴?

c o s

4 ? ?3 c ox ? ? ???2 ? ? ? s 2 5 ? ?5

2 4 2 5
12 12 sin ? x ? ? x ? y ? ? ? ? sin y ? ? ? 13 得 13 ,又∵ y 是第四

cos ? x ? y ? sin x ? sin ? x ? y ? cos x ?
4、由

y 2sin 2 y 2 ? 1 ? cos y tan ? 5 2 2sin y cos y sin y cos y ? 13 ,∵ 2 2 象限角,∴ 5 2 ? 13 ? ? 12 3 ? 13 1?
5 因为

f ? x ? 1? ? sin

? ? ? x ? 1? ? cos ? x ? 1? 2 2

?? ? ? ?? ? ? ? sin ? ? x ? ? cos ? ? x ? ?2 2 ? ?2 2 ?

? cos

?
2

x ? ? sin

?
2

x ? f ? x?

,∴最小正周期是 T ? 1

? 5? 、∵ g ? ?x ??? g x

f ? ,∴ f ? ?x ? sin ? ??x ? ? ? x? sin ?x? ? ,即得: f ? ? x ? ? f ? x ? 成 ?

立, ∴ 选C

f ? x?

为偶函数, 又∵

g ? x ? 2? ? g ? x ?

, ∴

f ?x ? 2 ? ?f x ?

? ,即 f ? x ? 的周期为 2 ,

?? ? ? ?? w ? F ?s ? sin t ? 3 cos t ? 2sin ? t ? ? ? 3 ? ,∴ w ? 2 6、∵功 ? ? ? ? ? b ? 2 a? ? 2 c o s? b ? 2?s?i n 2 2 ?s?i? n 4 a ? 2 5 ? 6? 、 ∵ , , ,因 此 , ? ? ? ? a? b cos a, b ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? ? cos ?90? ? ? 45? ? ? ?? ? cos ?? ? 45? ? ? ? a ?b




? ? a, b ? ? ?

?

4

5

? 3 ? 1 ? y ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 sin? 2 ? ? ? ? 2 s i n 2 x ? ? ? ? 2 ? ? x ? ? ? 2 6? ? ? ? ? 1 2? , ∵ 7、∵

? ? ? ????? ? y ? 2sin 2 x ????? y ? 2sin 2 ? x ? ? ? ? 向左平移 得 ? 12 ? 12
向右平移 得 12

?

选D

?
8 、 ∵ 4

?x?

?

?

2 , ∴ 2

?x ?

? 5 ?
4 ?

?? 5 ? c o? s ? ? ? ? x 4? 1 3 则 式 为 ? 4, 则 ,

?? ? ?? ? ?? ? sin ? ? 2 x ? 2sin ? ? x ? cos ? ? x ? 2 ?? ?4 ? ?4 ? ? 2sin ? ? ? x ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?4 ? ? 2 cos ? ? ? x ? cos ? ? x ? cos ? ? x ? ? ? ?4 ? ?4 ? ?4 ?

y ? sin
9、 ∵

x ? 3cos 2
x?? 5? 3

x ? 2sin ? x ? ? ? x ? ? ? ? ? k? ? ? x ? 2 ? ? k ? ? 2 3 ? ,令 2 3 ? 2 2 3

?k ? Z ? ,

当 k ? ?1 时,

?1 ? ?1 ?
10 、 ∵

cx ? ? o

cx ? ? o

x x 2? x? s ? i ? ?n 2 s sx s ?2? n i 2 2 ? ?t x x sx 2 x 2 sc i ? n s o 2 s 2 2 2 2

i n c o s x a n i n c o s2 ? ?2 , ∴

s

2 x? n i 1?

t

x a n 4 2 ? x 5 t2 a n 2

?

11





1 1 ? 1 2 7 tan ? ? tan ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1? 3 1? ? ? ? ? 2 ? 7?





t

? ?a? ?
?

n ? ?? 2 ??

?

1 1 ? ? 3 2 ?1 1 1 1 tan ? ? ? 1 t ? a n ? ? ? 0, ? ? ? ?? ? ? 3? 2 ? ? 7 , ,又∵ ,
?? 3? 4

? ?? ? ? ? 0, ? 4

? ,∴ ?? ? 2? ? ? ? 0 ,∴ 2? ? ?

?x ?? 5? ? f ? x ? ? 6 sin ? ? ? ? ?x? ? 2 6 ? ?m ? 0 对于 6 6 恒成立,即 m ? f ? x ?max ? 3 12、∵
s i? xn? y ? ?

13 、 ∵

x? y ? ? k ? 2 y?2 ? ? k 2 , ∴ 2 , ∴
1

?

?

?x
, ∴

s i? n ? 2?x? y

? ? ?

? ? s? i? n ? ( ?2 y ? s k 2 ?
1 x? i n s 3

?? ? )i? n ? y ? ? ?2 ?

? ? ? k 2 y c o ? c o? s ? ? ? x ? s 2 ? ?

?? ? ? c o s ? x? ? ? ?2 ?

?? ? ?? ? ?? ? y ? ? cos ? ? 2 x ? ? 2 2 cos ? ? x ? ? 3 t ? cos ? ? x ? ?2 ? ?4 ? ?4 ? ,∴ 14、令

? ? 2? 2? ? ?2 ? t ? ? ? 5 ? ?2 ? ?1 ? ? ?5 ? 2?2 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?
y?
15、∵

2

2

1 ? cos x x ? tan sin x 2 ∴对称中心为 ? k? , 0 ?? k ? Z ?
5? ? ? ? ? ? 2sin 2 ? x ? ? 12 ? ,∴周期 T ? ? ,①正 ? ?

5? ?? ? ? f ? x ? ? 2sin ? ? 2 x ? ? 2sin ? 2 x ? 6 ?6 ? ? 16、∵

?
确;∵递减区间是 2

? 2x ?

? ? ?? 5? 3? ? ?? , ? 6 2 ,解之为 ? 6 3 ? ,②错误;∵对称中心的横坐标

2x ?

5? k? 5? ? k? ? x ? ? 6 2 12 ,当 k ? 1 时,得③正确;应该是向右平移,④不正确.

tan
17、解:由

?
2

?

1 tan

?
2

?

5 2

1 ? cos ? 1 ?cos ? 5 4 ? ? ? ? sin ? ? 0 ?? ? sin ? 2 5 ,又 2, ,得 sin ?

cos ? ?


18、 (1)∵

? ? 4 1 3 3 4?3 3 ? 3 sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? 5 2 5 2 10 5 ,所以 ? ? ? f ? x ? ? a? b f ? x ? ? ? 3 sin ? x?cos ? x ? cos 2 ? x
,∴

?

5? ? 1 ?? ? 1 ? 1 1 f ? x ? ? sin ? 2? x ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? ? sin ? ? 2? x ? ? ?? 6 ? 2, ?6 ? 2 ,即 ? 2 2

?

?

2? ?


2? 2? ? ? ? ?1 T ? ;

2k? ?
(2)令

?
2

? 2x ?

2? ?? ? 5 ? ? ?2k ? ? , k ? Z ? k? ? 3 , k? ? 6 ? ? k ? Z ? f ? x? ? ? 6 2 ,解之 在

? ?? ? ? k? ? 6 , k? ? 3 ? ? k ? Z ? ? 上递增;同理可求递减区间为 ? . ? ? a? b 1? c o? s ? c? s 1 o ? cos1 ? ? ? ? ? ? ? cos 2 2 2 ? 2cos ? a b ? ? ? 0, ? ? 18? 依 题 意 : ,又 ,则

?

? ?? ?? ? ? ? ? ? ? 0, ? ?1 ? cos ? 2 ? sin ? cos ? ? ? 2 ? 2 ? ,∴ ? 2 2 ? , 因 ? ? ?? , 2? ? , 所 以 2 ,同理 2
?

?
2

?

? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 0, ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 2 ? ,∴ 2 2 2 ,将 ?1 、 ? 2 代入 1 2 6 有 2 3 ,从而有
? ? ? ?? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 12 ? ?6 4? 2? 6 4 .


sin
19

? ??
8

sin 2? ? 2 cos 2 ? 1 ? tan ?
?? ? ? ?? cos ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 4 ?? 1 ? cos 2? ? ?2 ? ? ? 2 ?? ? ? ?? sin ? ? ? ? ? ? ? 4 ?? ?2 ?

?

2 cos 2 ? ? tan ? ? 1? 1 ? tan ?

?? ? ? 2 cos 2 ? ?tan ? ? ? ? 4? ?

? ? ?1 ? cos 2? ?

1 ? ?? tan ? ? ? ? 4? ?

? 2 ? 2cos 2?

? 1? ?? ? 4?? ? ? 4 tan ? ? ? ? 4 ? ? 2? ? 2? ? 2 ?? ? ? ? 2 ? 2sin ? ? 2? ? ? 2 ? 2 5 ?? ? ? 1? ?2 ? 1 ? tan 2 ? ? ? ? 1? ? ? ? 4? ? ? 2?
1 3 ? 1 ? cos x 1 ? cos x ? f ? x ? ? sin 2 x ? ? cos 2 x ?? 2 sin x ? 2 ? sin x 20、

1 2 2 c oxs ? s i n x? ? 2 sin x

2

3 c o sx 2?

1 3 s ixn ? 2 2 2

cxo s 2

?? ? ?sin x? ? ? 2 3? ?
0? x?
(1)∵

?

?

2 ,∴ 2

? 2x ?

?
3

?

4 ? ? ? ?x? 3 ,即 12 2 时, f ? x ? 为减函数,故 f ? x ? 的

?? 3 ? ?? ? ? s i ? x2 ? ? n ? ?12 , 2 ? ? k 3? 2 , ∴ x? k ? ? ? ? ;( 2 ) ∵ 递 减 区 间 为 ?
x?

?Z, 或

?
6

? k ? k ? ?Z ?



?? ? 2 f 2 ? 0? ? f ? ? ? ?2? 21、 (1)令 x ? y ? 0 ,

?? ? f ? ? ? 0 ? f ?0? ? 0 ?2? ;

x?
(2)令

?

?? ? ?? ? 2 f ? ? f ? y? ? f ? y? ? f ?? y? f ? ? ?1 ?2? 2 , y?R , , ∵ ?2? ,∴
f ? x?

f

? y? ?

? ? ?? y f

y?
为 奇 函 数 ;( 3 ) 令

?
2 , x?R , 有 x??

, 故

2 f ? x ?? ? f ?? ? x ? ? f ? ? x ? 1

,即

f ?? ? x? ? f ? x ?

?

……①,再令

2 , y?x有


2?? ?1? f ? x ? ? f ?? ? x ? ? f ?? ? x ? f ?? ? x ? ? f ? x ?

,即

f ?? ? x ? ? ? f ? x ? ? f ? x ? ? ?

f ? t ? ? f ? 2? ? t ? f ? x? 令 x ? ? ? t ,则 x ? ? ? 2? ? t ,所以 ,即 是以 2? 为周期的周期
函数.


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