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人教版26.2用函数观点看一元二次方程课件


以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时, 球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球 的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系.

h ? 20t ? 5 t

2

考虑以下问题: (1)球的飞行高度能否达到15m?如能, 需要多少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20m?如能, 需要多少飞行时间? (3) 球的飞行高度能否达到20.5m?为什么? (4)球从飞出到落地要用多少时间?

(1)球的飞行高度能否达到15m?如能, 需要多少飞行时间?
解: (1)解方程

即当球飞行1s和3s时, 它的高度为15m.

为什么在两个 时间球的高度 为15m呢?

(2)球的飞行高度能否达到20m?如能, 需要多少飞行时间? 解: (2)解方程

为什么只在一个 时间内球的高度 为20m呢?

(3) 球的飞行高度能否达到20.5m?为什么? 解:

(4)球从飞出到落地要用多少时间? 解: (4)解方程 在两个时间 球的高度为0m 呢? 当球飞行0s和4s时,它的高度为0m, 即0s时球从地面飞出, 4s时球落回地面.

当二次函数y ? a x ? bx ? c,当给定y的值时, 则二次函数
2

可转化为一元二次方程 . 如 : 二次函数y ? ? x ? 4 x的值为3, 求自变量x的值,
2

可以解一元二次方程? x ? 4 x ? 3(即 x ? 4 x ? 3 ? 0).
2 2

反过来, 解方程 x ? 4 x ? 3 ? 0又可以看作已知二次
2

函数y ? x ? 4 x ? 3的值为0, 球自变量x的值.
2

思考
下列二次函数的图象与 轴有公共点吗? x 如果有, 公共点的横坐标是多少 当x取公共 ? 点的横坐标时 函数的值是多少?由此, 你能 , 得出相应的一元二次方 程的根吗?    y ? x ? x ? 2 (1)
2
y = x2 x+1

y
y = x2 6?x + 9

  ) y ? x ? 6 x ? 9 (2
2

  ) y ? x ? x ? 1 (3
2

y = x2 + x

2 1

x

O

解:
(1)抛物线y ? x ? x ? 2与x轴有两个公共点它的横坐标? 2, 1, ,  
2

当x取公共点的横坐标时函数的值是0.由此得出方程x ? x ? 2 ? 0 ,
2

根是 x1 ? ?2, x2 ? 1. (2)抛物线y ? x ? 6 x ? 9与x轴有一个公共点 这点的横坐标是 .当 , 3
2

x ? 3时, 函数的值是0.由此得出方程x ? 6 x ? 9 ? 0有两个相等的
2

实数根 x1 ? x2 ? 3. (3)抛物线y ? x ? x ? 1与x轴没有公共点由此可知, 方程 ,
2

x

2

? x ? 1 ? 0没有实数根 .

一般地, 从二次函数y ? a x ? bx ? c的图象可知 ,
2

(1)如果抛物线y ? a x ? bx ? c与x轴有公共点 公共点 ,
2

的横坐标是x ? x0 时,函数的值是0,因此x ? x0 就是 方程a x ? bx ? c ? 0的一个根.
2

(2)二次函数的图象与 轴的位置关系有三种 x :
(1) 没有公共点 (2)有一个公共点
(3)有两个公共点

没有实数根 有两个相等的实数根
有两个不等的实数根

利用函数图象求方程x ? 2 x ? 2 ? 0的实数根
2

(精确到0.1). 方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的横坐标; (3)得出方程的解.

解: 作y ? x ? 2 x ? 2的图象,
2

它与x轴的公共点的横坐标 大约是 ? 0.7,  7. 2. ? 方程 x ? 2 x ? 2 ? 0的实数为x1 ? ?0.7, x2 ? 2.7
2

(1)抛物线y ? x ? 2 x ? 3与x轴的交点个数有     ( C ).
2

A.0个   B.1个   C. 2个   D. 3个 (2)抛物线y ? m x ? 3x ? 3m ? m 经过原点, 则其顶点
2 2

顶点坐标为__________ .
(?

1 3 , ) 2 4

(3)关于x的一元二次方程x ? x ? n ? 0没有实数根, 则
2

抛物线y ? x ? x ? n的顶点在(     A ).
2

A.第一象限     .第二象限 B C.第三象限     .第四象限 D

4.已知二次函数 ? 2 x ? m x ? m . y
2 2

(1)求证 : 对于任意实数 , 该二次函数的图象与 轴总有公共点 m x ; (2)若该二次函数的图象与 轴有两个公共点 、B, 且A点坐标 x A 为(1,0), 求B点坐标.

y

x -2 O 3

图①
y

x -2 O 3

图②

7.某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆, 下半部是矩形,制造窗框的材料长(图中所有黑线 的长度和)为10米.当x等于多少米时,窗户的透光 面积最大? 最大面积是多少?
解:设窗户的面积为 米 ,依题意得 s
2

?x ? 4 x ? 2 x ? 4 y ? 10 5 6??
y? 2 ? 4 1 又S ? ? 2

x   ①

x

2

? 2 xy  ②
2

由①②消去y得S ? ?3x ? 5 x

5 ? 5 ? 5 ? 25 2) 5 5 当x ? ? ? 时, 最大 ? ?3( ) ? (米 S 2 ? ? 3) 6 ( 6 12 6
答:略。

2


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