当前位置:首页 >> 数学 >>

立体几何中的向量方法


一、空间直角坐标系:
以单位正方体 OABC ? D?A?B?C?的 OC, D? 的方向为正方向,以 O 线段OA,OC, OD?的长为单位 x 长度,建立三条数轴:x轴,y轴,
A

z
D'

C'

顶点O为原点,分别以射线OA,

A'



B'

O
B

C

y

z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 Oxyz 。 点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴, 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别 称为xoy平面、 yoz平面、和 zox平面.

空间直角坐标系的画法:
1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350, z

而z轴垂直于y轴.
1350 o 2.y轴和z轴的单位长度相同,

x轴上的单位长度为y轴 (或z轴)的单位长度的一半. x

1350

y

例1 : 在长方体OABC ? D?A?B?C ?中, OA ? 3, ? 4, D? ? 2, OC O 写出所有点的坐标.
z
2 D ' (0, 0, 2)

C '?0,4,2?

?3,0,2? A '
O ?0,0,0?
3

B '(3, 4, 2)
4

y

C (0, 4, 0)

x A (3,0,0)

B (3, 4, 0)

练1 请你作一个空间直角坐标系,并在空间直 变式 在空间直角坐标系中, 角坐标系中,作出点(5,4,6) 作出点(-5,4,6) z
(5,4,6) 1

6

O 5

4
1

y

x

练习
2、如下图,在长方体OABC-D`A`B`C`中, |OA|=3,|OC|=4,|OD`|=3,A`C`于B`D`相交于 点P.分别写出点C,B`,P的坐标.
z D` 3 A` C` B`

P

4
A

3

O

P`
B

C

y

x

练习
3、如图,棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中,对 角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点,OA, OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标.
z
D` A` B` C`

Q
O
A x

C

Q`
B

y

二、空间向量的坐标表示
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

练1:在空间直角坐标系中,已知A=(2,1, 3),B=(1,—2,5),则

AB ? _____

BA ? ______

练2:在空间直角坐标系中,已知A=(2,x, y), 则B=________

AB ? 1,2, ( - 5)

3 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 棱长为 2,E ,

F 分别是 BB1 , D1 B1 中点,求向量 OA1 , B1D1 , EF
的坐标。

三、空间向量的数量积运算

a ? b ?| a || b | cos?
? ? a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? ? ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0.(a , b都不是零向量 )

四.空间共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b ? o), a // b的充要条件是存在实数 使 a ? ?b

? ? ? ? a ? (?3,2,5), b ? (1,5,?1), 则a ? b ? ___
练2:在空间直角坐标系中,已知

练1:在空间直角坐标系中,已知

? ? ? ? a ? (?4,2,1), b ? ( x, y,2), 且a // b , 则x ? ___, y ? ___

3 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 棱长为 2,E ,

F 分 别 是 BB1 ,

D1 B1 中 点 , 求 向 量

OA1与BC1 , EF与BD1的位置关系 。

五、距离与夹角的坐标表示
1.距离公式

(1)向量的长度(模)公式

? ? 2 2 2 已知 a ? ( x, y, z ) ,则 a ? x ? y ? z
注意:此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。

练1:在空间直角坐标系中,已知

? ? ? a ? (?3,2,5), b ? (1,5,?1), 则 a ? ___ ? ? ? b ? ___, ? b ? ___ a

3 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 棱长为 2,E ,

F 分别是 BB1 , D1 B1 中点,求 EF 。

(2)空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、
B( x2 , y2 , z2 ) ,则

???? AB ?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )
( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2
2 2 2

???? ???? ???? ?| AB |? AB ?AB ?

d A, B ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )

2.两个向量夹角公式 ? ? 已知 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 a?b 则 cos a , b ? ? ? ? a?b x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2 注意: ? ? ? ? (1)当 cos ? a , b ?? 1 时, 与 b 同向; a

? ? ? a (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时, 与

? b 反向; ? ? ? ? (3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。

练1:在空间直角坐标系中,已知

? ? a ? (?3,2,5), b ? (1,5,?1),.

? 求a



? 所成的角的余弦值. b

练2

B 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中, 1 E1 ?

A1 B1 ? D1 F1 ? ,求 BE1 4

与 DF1 所成的角的余弦值.

z
D1 A1 F1 E1 B1 C1

y
D

O
A B

C

x

3.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 ( 2 2 2

3.2.1 立体几何中的向量方法
——方向向量与法向量

一、方向向量与法向量
? 如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a ? 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

1.直线的方向向量

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A?

?

l

? a

P

直线l的向量式方程

??? ? ? AP ? ta

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面

的法向量
平面 α的向量式方程

l

? ??? ? a?AP ? 0

? a

?

A
P

例1.

如图所示, 正方体的棱长为1

(1,0,0) (1)直线OA的一个方向向量坐标为___________

(0,0,1) (2)平面OABC 的一个法向量坐标为___________ (-1,-1,1) (3)平面AB C 的一个法向量坐标为___________
1

z
O1 A1 B1 C1

o
A B

C

y

x

例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , ? C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n ? (4, 3, 6)
? 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? n 则 n ? AB , ? AC .∵ AB ? ( ?3, 4, 0) , AC ? ( ?3, 0, 2)

3 ? ? ( x , y , z ) ? ( ?3, 4, 0) ? 0 ? ?3 x ? 4 y ? 0 ?y ? 4 x ? ∴? 即? ( x , y , z ) ? ( ?3, 0, 2) ? 0 ? ?3 x ? 2 z ? 0 ∴ ? ? ?z ? 3 x ? ? ? 2 取 x ? 4 ,则 n ? (4, 3, 6) ? ∴ n ? (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.

总结:如何求平面的法向量 ?

⑴设平面的法向量为 n ? ( x , y , z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 ? ? 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程 ? ? ?n ? a ? 0 ? 组 ?? ? ?n ? b ? 0 ?

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
令x、y、z中某个为定值

练习 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是 正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1 ,E是PC 的中点, 求平面EDB的一个法向量.
解:如图所示建立空间直角坐标系. Z

依题意得D(0, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 B(1, 1,0) E (0, , ) 2 2 ? ???? 1 1 ?? DE ? (0, , ) DB =(1, 1,0) 2 2 ? 设平面EDB的法向量为 n ? ( x, y,1) ? ???? ? ??? ? 则n ? DE , n ? DB A
1 ?1 y? ?0 ? ? 于是 ? 2 ? n ? ?1, ? 1, 1? 2 X ?x ? y ? 0 ?

P

E
D

C B

Y

如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中, 已知DC=DD1=2AD=2AB=2,AD⊥DC, AB∥DC.
求平面A1BD的一个法向量

用向量方法解决立体问题

因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置,所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系.


相关文章:
立体几何中的向量方法:平行与垂直
立体几何中的向量方法:平行与垂直_高二数学_数学_高中教育_教育专区。立体几何中向量的应用;平行与垂直3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 平行与垂直关系 【基础...
【教案】3.2立体几何中的向量方法
【教案】3.2立体几何中的向量方法_数学_高中教育_教育专区。3.2.2 向量法解决空间角问题(习题课) (1) 、三维目标 1.知识与能力:向量运算在几何计算中的应用...
立体几何中的向量方法-2016年高考理科数学
立体几何中的向量方法-2016年高考理科数学_高考_高中教育_教育专区。专题 47 立体几何中的向量方法【重点知识梳理】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)...
立体几何中的向量方法习题课
立体几何中的向量方法习题课_数学_高中教育_教育专区。http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e12.com.cn 立体几何中的向量方法习题课基础再现 1.空间中...
高中数学立体几何中的向量法
高中数学立体几何中的向量法_高二数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高中数学立体几何中的向量法_高二数学_数学_高中教育_教育...
立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法_数学_自然科学_专业资料。立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 1. 空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1, l2 的方向向量...
立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法_数学_高中教育_教育专区。立体几何中的向量方法 1.如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是 a=(1,0,1),b= (0,1...
立体几何中的向量方法(理答案)
立体几何中的向量方法(理答案)_数学_高中教育_教育专区。周末辅导 立体几何中的向量方法 专项能力提升 1.已知 a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-...
立体几何中的向量方法一
立体几何中的向量方法一_数学_高中教育_教育专区。个性化学案 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直适用学科 适用区域知识点 数学。 全国 1 平面的法向量 ...
《立体几何中的向量方法》解决单
立体几何中的向量方法》解决单_数学_高中教育_教育专区。立体几何中的向量方法 太谷二中有效教学“三?五?三”学本智慧工具单 2014 级数学学科组设计 《立体几何...
更多相关标签: