当前位置:首页 >> 数学 >>

2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一(下)期中数学试卷(理科)


2015-2016 学年四川省雅安市天全中学高一(下)期中数学试卷 (理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题有且只有一个正确答案) 1. (5 分)已知 =(3,1) , =(x,﹣1) ,且 ∥ ,则 x 等于( A. B.﹣ C.3 D.﹣3 b, )

2. (5 分)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asinB= 则角 A 等于( A. B. ) C. D.

3. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a7+a11=12,则 S13 等于( A.52 B.54 C.56 D.58 4. (5 分)设数列{an}中,已知 a1=1,an=1+ A. B. C. D.2 (n>1) ,则 a4=( )



5. (5 分) 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 bcosC+ccosB=asinA, 则△ABC 的形状为( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 6. (5 分)若向量 =(1,1) , =(2,5) , =(3,x)满足条件(8 ﹣ )? =30, 则 x=( A.6 ) B.5 C.4 D.3 , ,

7. (5 分) 已知 A、 B、 C 是锐角△ABC 的三个内角, 向量 则 与 的夹角是( A.锐角 B.钝角 ) C.直角 D.不确定

8. (5 分)已知三角形△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=5, b=8,C=60°,则 A.﹣20 ? =( )

B.﹣20

C.20 D.20

第 1 页(共 19 页)

9. (5 分)已知等差数列 5,4 ,3 ,…的前 n 项和为 Sn,则使得 Sn 最大的序 号 n 的值为( A.7 B.8 ) C.7 或 8 D.8 或 9

10 . ( 5 分 ) 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {bn} 中 , 若 b7?b8=3 , 则 log3b1+log3b2+…+log3b14 等于( A.5 B.6 C.8 D.7 ,则数列{an}的前 100 项和 S100=( D. =(cos θ,sin θ) , ) =(2+sin θ,2﹣cosθ) , ) )

11. (5 分)已知 an= A. B. C.

12. (5 分)设 0≤θ≤2π,向量 则向量 A. B. 的模长的最大值为( C.2 D.3

二、填空(每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在答卷横线上) 13. (5 分)已知向量 与 的夹角为 则实数 λ= . . . ,且 ,若 ,

14. (5 分)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=

15. (5 分) 已知数列{an}满足 an+1=an+2n 且 a1=2, 则数列{an}的通项公式 an= 16. (5 分)下列叙述正确的是 ① ② ③ ④ .

?G 为△ABC 的重心, . 为△ABC 的垂心; 为△ABC 的外心; ?O 为△ABC 的内心.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分,要求写出必要的文字说明,推理过程和演 算步骤) 17. (10 分)已知等比数列{an}中,a2=2,a5=128.
第 2 页(共 19 页)

(1)求通项 an; (2)若 bn=log2an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=360,求 n 的值. 18. (12 分) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 (Ⅰ)求 sinB 的值; (Ⅱ)若 ,求△ABC 的面积. , .

19. (12 分) 已知 , 的夹角为 120°, | |=2, | |=3, 记| =3 ﹣2 , =2 +k . (1)若 ⊥ ,求实数 k 的值. (2)是否存在实数 k,使得 ∥ ?说明理由. 20. (12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2, C= . ,求 a,b;

(Ⅰ)若△ABC 的面积等于

(Ⅱ)若 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ABC 的面积. 21. (12 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=24,a6=18. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (Ⅲ)当 n 为何值时,Sn 最大,并求 Sn 的最大值. 22. (12 分) 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若对于任意的正整数 n 都有 Sn=2an﹣3n. (1)设 bn=an+3,求证:数列{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和.

第 3 页(共 19 页)

2015-2016 学年四川省雅安市天全中学高一(下)期中数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题有且只有一个正确答案) 1. (5 分) (2014 春?东莞期末)已知 =(3,1) , =(x,﹣1) ,且 ∥ ,则 x 等于( A. ) B.﹣ C.3 D.﹣3
菁优网版权 所有

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【专题】平面向量及应用. 【分析】利用向量共线定理即可得出.

【解答】解:∵ ∥ ,∴x﹣(﹣1)×3=0,解得 x=﹣3. 故选:D. 【点评】本题考查了向量共线定理,属于基础题.

2. (5 分) (2013?湖南)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asinB= A. b,则角 A 等于( B. C.
菁优网版权所有



D.

【考点】正弦定理.

【专题】计算题;解三角形. 【分析】利用正弦定理可求得 sinA,结合题意可求得角 A. 【解答】解:∵在△ABC 中,2asinB= ∴由正弦定理 ∴sinA= ∴A= . = b, sinB,

=2R 得:2sinAsinB=

,又△ABC 为锐角三角形,

故选 D.
第 4 页(共 19 页)

【点评】本题考查正弦定理,将“边”化所对“角”的正弦是关键,属于基础题.

3. (5 分) (2012?大城县校级模拟) 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a3+a7+a11=12, 则 S13 等于( )

A.52 B.54 C.56 D.58 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题. 【分析】等差数列{an}中,由 a3+a7+a11=12,解得 a7=4,再由等差数列的通项公 式和前 n 项和公式能求出 S13. 【解答】解:等差数列{an}中, ∵a3+a7+a11=12, ∴3a7=12,解得 a7=4, ∴S13= 故选 A. 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和的应用,是基础题.解题时要认真审题, 仔细解答. =13a7=13×4=52.
菁优网版权所有

4. (5 分) (2016 春?雅安校级期中)设数列{an}中,已知 a1=1,an=1+ >1) ,则 a4=( A. B. C.
菁优网版权 所有

(n

) D.2

【考点】数列递推式.

【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】a1=1,an=1+ (n>1) ,分别令 n=2,3,4 即可得出. (n>1) ,

【解答】解:∵a1=1,an=1+ ∴a2=1+ 故选:B.

=2,同理可得:a3= ,则 a4= .

【点评】本题考查了递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
第 5 页(共 19 页)

5. (5 分) (2013?陕西)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ABC 的形状为( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 【考点】正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】 由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA, 再由两角和的正 弦公式、诱导公式求得 sinA=1,可得 A= ,由此可得△ABC 的形状.
菁优网版权所有

【解答】解:△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, ∵bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA, 即 sin(B+C)=sinAsinA,可得 sinA=1,故 A= 故选 B. 【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用,根据 三角函数的值求角,属于中档题. ,故三角形为直角三角形,

6. (5 分) (2010?广东)若向量 =(1,1) , =( 2 , 5 ) , =(3,x)满足条件 (8 ﹣ )? =30,则 x=( A.6 B.5 C.4 D.3
菁优网版权所有



【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用.

【分析】根据所给的向量的坐标,写出要用的 8 ﹣ 的坐标,根据它与 的数量 积是 30,利用坐标形式写出两个向量的数量积,得到关于 x 的方程,解方程即 可. 【解答】解:∵向量 =(1,1) , =(2,5) , ∴ ∴ ∴x=4. 故选 C.
第 6 页(共 19 页)

【点评】 向量的坐标运算帮助认识向量的代数特性. 向量的坐标表示, 实现了“形” 与“数”的互相转化.以向量为工具,几何问题可以代数化,向量是数形结合的最 完美体现.

7. (5 分) (2016 春?雅安校级期中)已知 A、B、C 是锐角△ABC 的三个内角,向 量 A.锐角 , B.钝角 ,则 与 的夹角是( C.直角 D.不确定
菁优网版权所有



【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【专题】平面向量及应用.

【分析】利用锐角三角形的性质可得 A+B> 根据 、 不共线,可得 与 的夹角为锐角.

,求得

=sinA﹣cosB>0.再

【解答】解:∵A、B、C 是锐角△ABC 的三个内角,∴A+B> >0, ∴sinA>sin( ﹣B)=cosB,∴ =sinA﹣cosB>0.

,即 A>

﹣B

再根据 、 的坐标可得, 、 不共线,故 与 的夹角为锐角, 故选:A. 【点评】 本题主要考查锐角三角形的性质,用两个向量的数量积表示两个向量的 夹角,两个向量的数量积的定义,属于基础题.

8. (5 分) (2016 春?雅安校级期中)已知三角形△ABC 中,角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c,若 a=5,b=8,C=60°,则 A.﹣20 B.﹣20 C.20 D.20
菁优网版权所有

?

=(



【考点】平面向量数量积的运算.

【专题】计算题;整体思想;定义法;平面向量及应用. 【分析】原式利用平面向量的数量积运算法则计算即可得到结果. 【解答】解:∵a=5,b=8,C=60°, ∴ ? =abcosC=5×8×cos60°=40× =20,
第 7 页(共 19 页)

故选:C. 【点评】 此题考查了平面向量数量积的运算,熟练掌握平面向量数量积运算法则 是解本题的关键.

9. (5 分) (2014?海沧区校级模拟)已知等差数列 5,4 ,3 ,…的前 n 项和为 Sn,则使得 Sn 最大的序号 n 的值为( A.7 B.8 C.7 或 8 D.8 或 9
菁优网版权所有



【考点】等差数列的前 n 项和;数列的函数特性. 【专题】等差数列与等比数列.

【分析】由已知条件先求出首项和公差,再求出前 n 项和 Sn,然后利用配方法能 求出使得 Sn 最大的序号 n 的值. 【解答】解:∵等差数列 5,4 ,3 ,…的前 n 项和为 Sn, ∴ ∴Sn=5n+ , =﹣ (n2﹣15n)=﹣ (n﹣ )2+

∴使得 Sn 最大的序号 n 的值为 7 或 8. 故选:C. 【点评】 本题考查等差数列的前 n 项和取得最大值时的项数的求法, 解题时要认 真审题,注意配方法的合理运用.

10. (5 分) (2016 秋?陕西期中) 在各项均为正数的等比数列{bn}中, 若 b7?b8=3, 则 log3b1+log3b2+…+log3b14 等于( A.5 B.6 C.8 D.7
菁优网版权所有



【考点】数列与函数的综合.

【 分 析 】 根 据 等 比 中 项 的 性 质 可 知 b1b14=b2b13=b3b12=…=b7?b8=3 , 代 入 log3b1+log3b2+…+log3b14,根据对数的运算法则即可求的答案. 【解答】解:∵数列{bn}为等比数列 ∴b1b14=b2b13=b3b12=…=b7?b8=3, ∴log3b1+log3b2+…+log3b14=log3(b1b14b2b13…b7?b8)=log337=7
第 8 页(共 19 页)

故选 D. 【点评】 本题考查等比数列的性质和对数的运算性质, 等比中项的性质. 若 m、 n、p、q∈N*,且 m+n=p+q,则 aman=apaq.是一个基础题,

11. (5 分) (2016 春?雅安校级期中)已知 an= 和 S100=( A. B. ) C.
菁优网版权 所有

,则数列{an}的前 100 项

D.

【考点】数列的求和.

【专题】转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】将 an= 【解答】解:an= ,转换成,an=2( ﹣ =2( ﹣ ) , ) ,采用裂项法求得 S100.

{an}的前 100 项和,S100=a1+a2+a3+…+a100, =2[(1﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+…+( =2(1﹣ = . ) , ﹣ )],

故答案选:B. 【点评】本题考查采用裂项法求数列的前 n 项和,属于基础题.

12. (5 分) (2016 春?雅安校级期中)设 0≤θ≤2π,向量 =(2+sin θ,2﹣cosθ) ,则向量 A. B. C.2 D.3
菁优网版权所有

=(cos θ,sin θ) , )

的模长的最大值为(

【考点】平面向量数量积的运算.

【专题】计算题;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 【分析】根据平面向量的运算法则,求出向量 最大值即可. 【解答】解:∵向量 =(cos θ,sin θ) ,
第 9 页(共 19 页)

的坐标表示,计算|

|的

=(2+sin θ,2﹣cosθ) ,

∴向量

=(2+sinθ﹣cosθ,2﹣cosθ﹣sinθ) ;

∴它的模长为 | |= = ,

又 0≤θ≤2π, ∴向量 故选:D. 【点评】本题考查了平面向量的应用问题,也考查了三角函数的应用问题,是基 础题目. 的模长的最大值为 =3 .

二、填空(每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在答卷横线上) 13 . (5 分) ( 2014? 安 溪 县 校 级 模 拟 ) 已 知 向 量 与 的 夹 角 为 ,若 ,则实数 λ= 1
菁优网版权所有

,且



【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【专题】计算题;平面向量及应用. 【分析】由 【解答】解:∵ ∴ ∵ ∴(2 ∴2﹣2λ=0 ∴λ=1 故答案为:1 ) =2 可得(2 , )

=0,代入即可求解 λ

【点评】 本题主要考查了向量的数量积的运算及数量积的性质的简单应用,属于 基础试题

14. (5 分) (2015?郴州模拟) 在△ABC 中, a=15, b=10, A=60°, 则 cosB=
第 10 页(共 19 页)



【考点】正弦定理. 【专题】计算题.

菁优网版权所有

【分析】由正弦定理可求得 sinB= ,运算求得结果. 【解答】解:由正弦定理可得 =

,再由 b < a ,可得 B 为锐角, cosB=

,∴sinB=

,再由 b<a,可得 B 为

锐角, ∴cosB= 故答案为: . , = ,

【点评】本题考查正弦定理的应用,同角三角函数的基本关系,求出 sinB= 以及 B 为锐角,是解题的关键.

15. (5 分) (2016 春?雅安校级期中)已知数列{an}满足 an+1=an+2n 且 a1=2,则 数列{an}的通项公式 an= 【考点】数列递推式.
菁优网版权 所有

n2﹣n+2



【专题】转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】利用“累加求和”方法与等差数列的前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:∵an+1=an+2n 且 a1=2, ∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 =2(n﹣1)+2(n﹣2)+…+2+2 = +2

=n2﹣n+2, (n=1 时也成立) , 故答案为:n2﹣n+2. 【点评】本题考查了“累加求和”方法与等差数列的前 n 项和公式,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.

16. (5 分) (2016 春?雅安校级期中)下列叙述正确的是
第 11 页(共 19 页)

①②



① ② ③ ④

?G 为△ABC 的重心, . 为△ABC 的垂心; 为△ABC 的外心; ?O 为△ABC 的内心.
菁优网版权所有

【考点】命题的真假判断与应用.

【专题】平面向量及应用;简易逻辑. 【分析】①由 G 为△ ABC 的重心,得 ; ②由 PC,BC⊥PA; ③把已知等式利用斜率加法变形,可得 P 必然落在角的角平分线上; ④由已知向量等式可得 【解答】解:①G 为△ABC 的重心? ,①正确; ②由 ⊥PA,②正确; ③ ?( ∵ ) +| ? | +| | = . 与角 C 的平分线平行,∴P 必然落 = ? ? ?AC⊥PB,同理 AB⊥PC,BC . ? ? ,移向变形整理可得 ,即 AC⊥PB,同理可得 AB⊥ 利用向量减法展开后可得

,∴

在角 C 的角平分线上,③错误; ④ O 为△ABC 的外心,④错误. ∴正确的叙述是①②. 故答案为:①②.
第 12 页(共 19 页)

【点评】本题主要考查向量等式进行变形,向量的模,向量的线性表示,共线平 行,三角形的外心、内心、重心和垂线.重点考查向量等式的变形能力.是中档 题.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分,要求写出必要的文字说明,推理过程和演 算步骤) 17. (10 分) (2012?黄州区校级模拟)已知等比数列{an}中,a2=2,a5=128. (1)求通项 an; (2)若 bn=log2an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=360,求 n 的值. 【考点】等差数列与等比数列的综合. 【专题】计算题. 【分析】 (1)根据等比数列{an},设公比为 q,根据 a2=2,a5=128 求出公比,然 后根据 an=a2qn﹣2 可求出所求; (2) 结合 (1 ) 求出数列{bn}的通项公式, 然后利用等差数列的求和公式求出 Sn, 根据 Sn=360 建立等式,解关于 n 的一元二次方程即可. 【解答】解: (1)设公比为 q,由 a2=2,a5=128 及 a5=a2q3 得 128=2q3,∴q=4 ∴an=a2qn﹣2=2?4n﹣2=22n﹣3(6 分) (2)∵bn=log222n﹣3=2n﹣3,∴数列{bn}是以﹣1 为首项,2 为公差的等差数列 ∴Sn=n(﹣1)+ =n2﹣2n
菁优网版权所有

令 n2﹣2n=360 得 n1=20,n2=﹣18(舍) 故 n=20 为所求. (12 分) 【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的综合,同时考查了计算能力,属 于中档题.

18. (12 分) (2013?东城区模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,且 , .

(Ⅰ)求 sinB 的值; (Ⅱ)若 ,求△ABC 的面积.
菁优网版权所有

【考点】正弦定理;同角三角函数基本关系的运用.
第 13 页(共 19 页)

【专题】计算题. 【分析】 (Ⅰ) 先根据 求得 cosA 的值, 再由 得到 ,

然后根据两角和与差的公式可求得 sinB 的值. (Ⅱ)由 C= 可求得 sinC 的值,进而根据正弦定理可求得 a,c 的关系,再由

可求出 a,c 的值,最后根据三角形的面积公式可求得答案. 【解答】解: (Ⅰ)因为 所以 由已知得 所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 C= 由正弦定理得 又因为 所以 c=5, 所以 , . . ,所以 sinC= . 且 . = . . . , ,

【点评】本题主要考查 同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦公式、正 弦定理和三角形面积公式的应用.三角函数的公式比较多,很容易记混,对于公 式的记忆,一定不能松懈.

19. (12 分) (2016 春?雅安校级期中)已知 , 的夹角为 120°,| |=2,| |=3, 记| =3 ﹣2 , =2 +k . (1)若 ⊥ ,求实数 k 的值. (2)是否存在实数 k,使得 ∥ ?说明理由. 【考点】平面向量的综合题.
菁优网版权所有

【专题】计算题;平面向量及应用. 【分析】 (1)由 ⊥ 可得 ? =0,即(3 ﹣2 )?(2 +k )=0,从而求 k;
第 14 页(共 19 页)

(2)由 ∥ ,则 =λ ,即 3 ﹣2 =2λ +kλ ,即 2λ=3,2=﹣kλ,从而求 k. 【解答】解: (1)∵ ⊥ , ∴ ? =0, 即(3 ﹣2 )?(2 +k )=0, 即 6| |2+(3k﹣4)| || |cos120°﹣2k| |2=0, 即 24+(3k﹣4)×2×3×(﹣ )﹣18k=0, 解得,k= . (2)若 ∥ ,则 =λ , 即 3 ﹣2 =2λ +kλ , 即 2λ=3,2=﹣kλ, 解得,λ= ,k=﹣ . 【点评】本题考查了平面向量垂直与平行的应用,属于中档题.

20. (12 分) (2008?辽宁)在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b, c,已知 c=2,C= . ,求 a,b;

(Ⅰ)若△ABC 的面积等于

(Ⅱ)若 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ABC 的面积. 【考点】余弦定理的应用.
菁优网版权所有

【分析】 (Ⅰ)先通过余弦定理求出 a,b 的关系式;再通过正弦定理及三角形的 面积求出 a,b 的另一关系式,最后联立方程求出 a,b 的值. (Ⅱ)通过 C=π﹣( A+B)及二倍角公式及 sinC+sin ( B﹣ A )=2sin2A ,求出∴ sinBcosA=2sinAcosA.当 cosA=0 时求出 a,b 的值进而通过 absinC 求出三角形的 面积; 当 cosA≠0 时, 由正弦定理得 b=2a, 联立方程解得 a, b 的值进而通过 absinC 求出三角形的面积. 【解答】解: (Ⅰ)∵c=2,C= ,c2=a2+b2﹣2abcosC
第 15 页(共 19 页)

∴a2+b2﹣ab=4, 又∵△ABC 的面积等于 ∴ ∴ab=4 联立方程组 ,解得 a=2,b=2 , ,

(Ⅱ)∵sinC+sin(B﹣A)=sin(B+A)+sin(B﹣A)=2sin2A=4sinAcosA, ∴sinBcosA=2sinAcosA 当 cosA=0 时, , , , ,求得此时

当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,由正弦定理得 b=2a, 联立方程组 所以△ABC 的面积 综上知△ABC 的面积 【点评】本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综 合应用三角函数有关知识的能力. 解得 , .

21. (12 分) (2014 秋?宝坻区期末) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 a3=24, a6=18. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (Ⅲ)当 n 为何值时,Sn 最大,并求 Sn 的最大值. 【考点】等差数列的通项公式;数列的函数特性;等差数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (Ⅰ)设出等差数列的首项和公差,由已知条件列方程组求出首项和公 差,然后直接代入等差数列的通项公式求解; (Ⅱ)把(Ⅰ)中求出的首项和公差直接代入等差数列的前 n 项和公式求解; (Ⅲ)利用二次函数的性质求前 n 项和的最大值.
第 16 页(共 19 页)
菁优网版权所有

【解答】解:设等差数列的首项为 a1,公差为 d, 由 ,得 .

(Ⅰ)an=a1+(n﹣1)d=28﹣2(n﹣1)=30﹣2n; (Ⅱ) (Ⅲ)因为 , 时函数有最大值, .

由二次函数的性质可得,当 n=

而 n∈N*,所以,当 n=14 或 15 时,Sn 最大,最大值为 210. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前 n 项和公式,训 练了利用二次函数求最值,是基础题.

22. (12 分) (2011?市中区校级模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对于任意的 正整数 n 都有 Sn=2an﹣3n. (1)设 bn=an+3,求证:数列{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和. 【考点】数列递推式;等比关系的确定;数列的求和. 【专题】计算题;转化思想. 【分析】 (1)通过递推关系式求出 an 与 an+1 的关系,推出{an+3}即数列{bn}是等 比数列,求出数列{bn}的通项公式即可求出{an}的通项公式; (2)写出数列{nan}的通项公式,然后写出前 n 项和的表达式通过错位相减法求 解即可. 【解答】解: (1)∵Sn=2an﹣3n,对于任意的正整数都成立, ∴Sn+1=2an+1﹣3n﹣3, 两式相减,得 a n+1=2an+1﹣2an﹣3,即 an+1=2an+3, ∴an+1+3=2(an+3) , 所以数列{bn}是以 2 为公比的等比数列, 由已知条件得:S1=2a1﹣3,a1=3. ∴首项 b1=a1+3=6,公比 q=2,
第 17 页(共 19 页)
菁优网版权所有

∴an=6?2n﹣1﹣3=3?2n﹣3. (2)∵nan=3×n?2n﹣3n ∴Sn=3(1?2+2?22+3?23+…+n?2n)﹣3(1+2+3+…+n) , 2Sn=3(1?22+2?23+3?24+…+n?2n+1)﹣6(1+2+3+…+n) , ∴﹣Sn=3(2+22+23+…+2n﹣n?2n+1)+3(1+2+3+…+n) = ∴Sn= 【点评】本题考查数列递推式,等比关系的确定,数列的求和的方法﹣﹣﹣错位 相减法的应用,高考参考题型,考查计算能力.

第 18 页(共 19 页)

参与本试卷答题和审题的老师有: 沂蒙松; wfy814; zlzhan; caoqz; 涨停; sllwyn; lily2011;铭灏 2016;742048;吕静;sxs123;若尘;zhwsd;炫晨;qiss(排名 不分先后) 菁优网 2017 年 5 月 5 日

第 19 页(共 19 页)


相关文章:
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一上学期期中考试...
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。天全中学 2015 至 2016 学年高一上学期半期测试 试卷一、选择题(每小题...
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一数学下学期期中...
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题 文_数学_高中教育_教育专区。四川省雅安市天全中学 2015-2016 学年高一数学下学期期中试题 文一、选择题...
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一数学下学期期中...
www.ewt360.com 升学助考一网通 四川省雅安市天全中学 2015-2016 学年高一数学下学期期中试题 文一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题有且只有一个正确...
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一数学上学期期中...
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题_数学_高中教育_教育专区。四川省雅安市天全中学 2015-2016 学年高一数学上学期期中试题一、选择题(每小...
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一数学11月月考试题
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一数学11月月考试题_数学_高中教育_教育专区。www.ewt360.com 升学助考一网通 高 2015 级第一学期 11 月阶段性考试数学...
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一数学11月月考试题
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一数学11月月考试题_数学_高中教育_教育专区。高 2015 级第一学期 11 月阶段性考试数学试题一.选择题(每小题 5 分,共 ...
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高二上学期期中考试...
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年度上期天全中学高二半期考试 数学试卷(理科) 考试时间...
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一期中化学试题.doc
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一期中化学试题.doc_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年四川省雅安市天全中学高一()期中化学 试卷 参考答案与试题解析...
四川省雅安市天全中学2016届高三上学期11月月考数学试...
2015-2016 学年四川省雅安市天全中学高三(上)11 月月考数学 试卷(理科)一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设全集 U=R,集合...
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一数学5月月考试...
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一数学5月月考试题理(新)_数学_高中教育_教育专区。天全中学 2015 级高一(下)5 月月考数学试题 (理科)时间:120 分钟 ...
更多相关标签: