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2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(45)两直线的位置关系与点到直线的距离


课时作业(四十五) [第 45 讲

两直线的位置关系与点到直线的距离]

[时间:35 分钟

分值:80 分]

基础热身 1.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是( ) A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3

y+8=0 2.点 A(1,1)到直线 xcosθ+ysinθ-2=0 的距离的最大值是( ) A.2 B. 2-2 C. 2+2 D.4 3. [2011· 张家界一中月考] 直线 l: 4x+3y-2=0 关于点 A(1,1)对称的直线方程为( A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0 C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=0 4.对任意实数 a,直线 y=ax-3a+2 所经过的定点是( ) A.(2,3) B.(3,2) C.(-2,3) D.(3,-2) 能力提升 x y 5.点 P(m-n,-m)到直线 + =1 的距离等于( ) m n

)

A. m2+n2 B. m2-n2 C. n2-m2 D. m2± n2 6. 已知直线 l1: (k-3)x+(4-k)y+1=0 与 l2: 2(k-3)x-2y+3=0 平行, 则 k 的值是( ) A.1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 7.直线 2x+11y+16=0 关于点 P(0,1)对称的直线方程方程是( ) A.2x+11y+38=0 B.2x+11y-38=0 C.2x-11y-38=0 D.2x-11y+16=0 8.已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k2y-4k2-4=0 与两坐标轴 围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为( ) 1 1 A. B. 8 4 1 C. D.2 2 9.[2011· 浙江卷] 若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m= ________. 10.点 A(2,3),点 B 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,则△ABC 周长的最小值是________. 11.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2, 则 m 的倾斜角可以是: ①15° ;②30° ;③45° ;④60° ;⑤75° . 其中正确答案的序号是________.(写出所有正确答案的序号) 12.(13 分)已知三条直线 l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4,试判断这三 条直线能否构成一个三角形?若不能,求出对应的实数 m 的值,并指出原因.

难点突破 13.(12 分)设直线 l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数 k1,k2 满足 k1k2+2=0.

(1)证明 l1 与 l2 相交; (2)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x2+y2=1 上.

课时作业(四十五) 【基础热身】 1.A 2y-1=0. 3 3 [解析] 由已知可得 l 斜率为- ,由点斜式方程得 l:y-2=- (x+1),即 3x+ 2 2

?π ? ? 2.C [解析] 由条件得 d=|cosθ+sinθ-2|=? ? 2sin?4+θ?-2?,得最大值为 2+2. 3. B [解析] 在对称直线上任取一点 P(x, y), 则点 P 关于点 A 对称的点 P′(x′, y′) 必在直线 l 上. ? ?x′+x=2, 由? 得 P′(2-x,2-y),∴4(2-x)+3(2-y)-2=0,即 4x+3y-12=0. ? ?y′+y=2, 4.B [解析] 直线系恒过定点,说明对任意的实数 a,这个点的坐标都能使方程成立, 只要按照实数 a, 把这个方程进行整理, 确定无论实数 a 取何值, 方程都能成立的条件即可. 直 线方程即 y-2=a(x-3),因此当 x-3=0 且 y-2=0 时,这个方程恒成立,故直线系恒过 定点(3,2). 【能力提升】 5.A [解析] 把直线方程化为 nx+my-mn=0,根据点到直线的距离公式得 |n?m-n?+m?-m?-mn| m2+n2 2 2 d= = 2 2 2 2= m +n . m +n m +n 6.C [解析] 利用两直线平行的充要条件得(k-3)×(-2)-2(4-k)(k-3)=0,解得 k =3 或 k=5. 7.B [解析] 解题的关键是中心对称的两直线互相平行,并且两直线与对称中心的距 |0+11+16| 离相等.设所求直线的方程为 2x+11y+C=0,由点到直线的距离公式可得 = 22+112 |0+11+C| ,所以 C=16(舍去)或 C=-38. 22+112 8.A [解析] 直线 l1 的方程可以化为 k(x-2)-2y+8=0,该直线系过定点 M(2,4),与 2k-8 ? 2 两坐标轴的交点坐标是 A? ? k ,0?,B(0,4-k);直线 l2 的方程可以化为(2x-4)+k (y-4) 4? =0, 该直线系过定点 M(2,4), 与两坐标轴的交点坐标是 C(2k2+2,0), D? ?0,4+k2?.结合 0<k<4 可以知道这个四边形是 OBMC,如图所示,连接 OM,则四边形 OBMC 的面积是△OBM, 1 1 △OCM 的面积之和,故四边形 OBMC 的面积是 ×(4-k)×2+ (2k2+2)×4=4k2-k+8, 2 2 1 故当 k= 时两直线所围成的四边形面积最小. 8

9.1 [解析] ∵直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 垂直,∴1×2-2×m=0,即 m=1. 10.2 13 [解析] 由于三角形是折线围成的,直接求△ABC 周长的最小,需要求三个 含有变量的二次根式和的最小值, 显然不好办, 根据关于直线对称的两点到直线上任意一点 的距离相等,把三角形的周长转化为点 A 关于两条坐标轴的对称点和点 B,C 所连折线的长 度,根据两点之间线段最短可解.点 A 关于 x,y 轴的对称点分别是 A1(2,-3),A2(-2,3), 根据对称性 A1B=AB,A2C=AC,

故 AB+BC+CA=A1B+BC+CA2≥A1A2=2 13. |3-1| 11.①⑤ [解析] 两平行线间的距离为 d= = 2,如图,可知直线 m 与 l1,l2 的 1+1 夹角为 30° ,l1,l2 的倾斜角为 45° ,所以直线 m 的倾斜角等于 30° +45° =75° 或 45° -30° = 15° .故填写①⑤.

12.[解答] (1)当有两条直线平行时,三直线不能构成三角形,由于 l2∥l3 不可能, m ∴①若 l1∥l2,则 =1,∴m=4; 4 2 3m 1 ②若 l1∥l3,则 =- ,∴m=- ; 4 1 6 (2)当三直线过同一点时,不能构成三角形, ?4x+y=4, ? ? 4 ,-4m?(m≠4),代入第三条直线方 此时,由? 得两直线的交点是 A? ? ?4-m 4-m? ?mx+y=0, ? 2 程解得 m= ,或 m=-1; 3 1 2 综合(1)(2)所述,当 m=-1,m=- ,m= 或 m=4 时,三直线不能构成三角形,而在 6 3 其余情况下,三直线总能构成三角形. 【难点突破】 13.[解答] (1)证明:反证法,假设 l1 与 l2 不相交,则 l1 与 l2 平行,有 k1=k2,代入 k1k2 +2=0,得 k2 1+2=0. 此与 k1 为实数的事实相矛盾.从而 k1≠k2,即 l1 与 l2 相交. ? ?y=k1x+1, (2)证明:证法一:由方程组? ?y=k2x-1, ?

? ?x=k -k , 解得交点 P 的坐标(x,y)为? k +k ?y=k -k , ?
2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 ?k2+k1?2=8+k2+k1+2k1k2=k1+k2+4=1. 而 2x2+y2=2?k -k ?2+? ? 2 2 2 ? 2 1? ?k2-k1? k2+k1-2k1k2 k1+k2 2+4 2 2 此即表明交点 P(x,y)在椭圆 2x +y =1 上. 证法二:交点 P 的坐标(x,y)满足 ? ?y-1=k1x,

2

? ?y+1=k2x, ?

1 , ?k =y- x 故知 x≠0.从而? y+1 ?k = x .
1 2

y-1 y+1 代入 k1k2+2=0,得 · +2=0. x x 2 2 整理后,得 2x +y =1, 所以交点 P 在椭圆 2x2+y2=1 上.


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