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上海市复旦大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练:平面向量 含答案(精品)


复旦大学附中 2014 届高三数学一轮复习单元训练:平面向量
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.设向量 a ? (sin x, A. 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

? 6

3 1 1 ),   b ? (    ,    cos x),  且 a // b , 则锐角 x 为( 4 3 2
B.

)

? 4

C.

? 3

D.

5 ? 12
)

【答案】B 1 ,, 3) B(2, ? 5,, 1) C(3, 7, ? 5) ,则顶点 D 的坐标( 2.已知 ABCD 为平行四边形,且 A(4,

?7 ? 4, ? 1? A. ? , 2 ? ?
【答案】D

4, 1) B. (2,

14, 1) C. (?2,

13, ? 3) D. (5,

3. 若 O 为平面内任一点, 且满足 A.等腰三角形 【答案】A

?OB ? OC ? 2OA?? ?AB ? AC? ? 0 ,则 ?ABC
C.等腰直角三角形 ) D.-2

一定是(

)

B.直角三角形

D.等边三角形

4.已知向量 a =(2,1), a ? b =(1,k),若 a ⊥ b ,则实数 k 等于( A.3 【答案】A 5.已知向量 a ? ?1,1? ,b ? (2, y) ,若| a ? b | A. ? 3 【答案】D 6.设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则 A. ? 2 【答案】D 7.若 , , 与 夹角为 ,则 ( B. B. ? 1 B.

1 2

C.-7

? a·b,则 y ? (
C .1

) D.3

? a ? c? ? ?b ? c? 的最小值为(
D. 1 ?

)

2 ?2

C. ? 1

2

)

A. 【答案】C

B.

C.

D.

8. 如图, △ABC 中, | AB |=3, | AC |=1, D 是 BC 边中垂线上任意一点, 则 AD · ( AB - AC )的值是( )

A.1 【答案】D

B.

2

C .2

D.4

9.若 ?ABC 的面积 S ?ABC ? ? ( ) A. [

? 3 3 3? , ? , 且 AB ? BC ? 3, 则 AB与BC 夹角的取值范围是 2 2 ? ?

? ?

, ] 3 2

B. [

? ?

, ] 4 3

C. [

? ?

, ] 6 4

D. [

? ?

, ] 6 3
,则向量

【答案】D 10.已知向量 与向量 ,向量 的夹角的取值范围是( ) ,向量

A. 【答案】C 11.已知

B.

C.

D.

a ? 1, b ? 6, a ? b ? a ? 2

? ?

,则向量 a 与 b 的夹角是(

)

? A. 6
【答案】C

? B. 4

? C. 3
)

? D. 2

12.已知向量 a=(4,2),b=(x,3),且 a∥b,则 x 的值是( A.6 B.-6 C .9 【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

D.12

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知向量 a, b 的夹角为 60 ? , | a |? 2,| b |? 3 ,则 | 2a ? b | = 【答案】 。

13 AB ? AC ? 2 , ?ABC 的面积为 1,则 A ?

14. ?ABC 中, 【答案】

? 4

15.在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 2 , AD ? 1 , ?BAD ? 60 ,E 为 CD 的中点,则

AE ? BD ?



【答案】 ?

3 2

16.已知向量 为 。





的夹角

【答案】 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知向量 OA ? (3, ?4), OB ? (6, ?3), OC ? (5 ? x, ?3 ? y) . (1)若点 A, B, C 不能构成三 角形,求 x , y 应满足的条件; (2)若 AC

? 2 BC ,求 x, y 的值.

【答案】 (1) 若点 A, B, C 不能构成三角形,则这三点共线 由 OA ? (3, ?4), OB ? (6, ?3), OC ? (5 ? x, ?3 ? y) 得

AB ? (3,1), AC ? (2 ? x,1 ? y),
∴ 3(1 ? y) ? 2 ? x ∴ x , y 满足的条件为 x ? 3 y ? 1 ? 0 ; (2) BC ? (? x ?1, ? y) , 由 AC

? 2 BC 得

(2 ? x,1 ? y) ? 2(? x ?1, ? y)
∴?

?2 ? x ? ?2 x ? 2 ?1 ? y ? ?2 y

解得 ?

? x ? ?4 . ? y ? ?1
n ? (cosB, sin B) , m ? n ? sin 2C,且A,B,C 分别为

18. 已知向量 m ? (sin A, cos A), △ABC 的三边 a, b, c 所对的角. (Ⅰ)求角 C 的大小;

(Ⅱ)若 sinA, sinC, sinB 成等比数列, 且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 , 求 c 的值 【答案】 (Ⅰ) ∵ m ? (sin A, cos A),

n ? (cosB, sin B) , m ? n ? sin 2C , ∴ sin A cos B ? cos A sin B ? sin 2C 即 sin C ? sin 2C

? 1 ,又 C 为三角形的内角, ∴ C ? 3 2 2 (Ⅱ) ∵ sin A, sin B, sin C 成等比数列, ∴ c ? ab
∴ cos C ? 又 CA ? ( AB ? AC) ? 18 ,即
2 ∴ c ? ab ? 36 即 c ? 6

CA ? CB ? 18 ,

∴ ab cos C ? 18

19.已知 O 为坐标原点,向量 OA ? (sin ? ,1), OB ? (cos ? ,0),

OC ? (? sin ? , 2) ,点 P 满足 AB ? BP .
(1)记函数

f (? ) ? PB ? CA ,求函数 f (? ) 的最小正周期;

(2)若 O 、 P 、 C 三点共线,求

OA ? OB 的值.

【答案】 (1) AB ? (cos? ? sin ? , ?1), 设OP ? ( x, y), 则 BP ? ( x ? cos? , y) ,

由AB ? BP得x ? 2cos? ? sin a, y ? ?1 , 故OP ? (2cos? ? sin ?, ?1) . PB ? (sin? ? cos?,1), CA ? (2sin?, ?1) ,
? f (? ) ? (sin ? ? cos ? ,1) ? (2sin ? , ?1) ? 2sin2 ? ? 2sin ? cos? ? 1 ? ?(sin 2? ? cos2? )
π ? ? 2 sin(2? ? ) 4

? f (? )的最小正周期T ? π .
(2)由 O,P,C 三点共线可得

(?1) ? (? sin ? ) ? 2 ? (2cos? ? sin ? ) ,得 tan ? ?

sin 2? ?

2sin ? cos ? 2 tan ? 24 ? ? , 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 25

4 , 3

OA ? OB ? (sin ? ? cos? )2 ? 1
? 2 ? sin 2? ? 74 . 5

20.在钝角三角形 ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A、B、C 的对边, m ? (2b ? c, cosC ) ,

n ? (a, cos A) ,且 m ∥ n .

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 y ? 2sin B ? cos(
2

?
3

? 2 B) 的值域.

【答案】 (Ⅰ)由

m

n 得 (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0 ,

由正弦定理得 2sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C ? 0

? 2sin B cos A ? sin B ? 0 , B、A ? (0, ? ) , sin B ? 0, 得A ? ? 3
(Ⅱ) y ? 1 ?

1 3 ? cos 2 B ? sin 2 B ? sin(2 B ? ) ? 1 2 2 6

?? ? B ?? ? ? 2? ?2     ? ?B? 当角 B 为钝角时,角 C 为锐角,则 ? 2 3 ?0 ? 2? ? B ? ? ? 3 2 ?
5? ? 7? ? 1 1 1 3 ?   ? 2B ? ? sin(2 B ? ) ? (? , ) ,? y ? ( , ) ,?   6 6 6 6 2 2 2 2

?0 ? B ? ? ? ? 当角 B 为锐角时,角 C 为钝角,则 ? ?     ?0? B? 2? 6 ? ?B ?? ? 3 ?2

? ? ? ? 1 1 1 3 ?  ? ? 2 B ? ? ,?   sin(2 B ? ) ? (? , ) ,? y ? ( , ) 6 6 6 6 2 2 2 2 1 3 综上,所求函数的值域为 ( , ) . 2 2
21. 如图, 已知 GA ? GB ? GC ? 0 ,?AGB ? 135 , ?AGC ? 120 , GB 的长为 2 3 , 求 GA ,

GC 的长.

【答案】因为 GA ? GB ? GC ? 0 ,所以点 G 为 ?ABC 的重心,取 BC 的中点,连结 GD ,并延 长 GD 到点 E , GD ? GE ,连结 BE , CE ,所以四边形 GBEC 为平行四边形,

?EGB ? 45 , ?GEB ? 60 ,所以 ?GBE ? 75 ,
在 BGE 中,由正弦定理得

2 3 BE GE ? ? , sin 60 sin 45 sin 75

所以 BE ? 2 2 , GE ? 2 ? 6 ,所以 GC ? 2 2 , GA ? 2 ? 6 . 22.已知椭圆 C: 原点) 。 (1)试探究:点 O 到直线 AB 的距离是否为定值,若是,求出该定值,若不是,请说明理由; (2)求 | OA | ? | OB | 的最小值。 【答案】 (Ⅰ)点 O 到直线 AB 的距离是定值. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , ①当直线 AB 的斜率不存在时,则由椭圆的对称性可知, x1 ∵ OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2

x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点, OA ? OB ? 0 (其中 O 为坐标 4

? x2 , y1 ? ? y2 .

? y1 y2 ? 0 ,也就是 x12 ? y12 ? 0 ,代入椭圆方程解得:

| x1 |?| y1 |?

2 5 . 5
2 5 . 5

此时点 O 到直线 AB 的距离 d ?| x1 |?

②当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,

与椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1联立, 4

消去

y 得: (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ,

4m 2 ? 4 8km x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
因为 OA ? OB ,所以 x1 x2

? y1 y2 ? 0 ,

所以 (1 ? k

2

) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 ,
2

代入得: (1 ? k
2

)

4m2 ? 4 8k 2 m2 ? ? m2 ? 0 , 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k

整理得 5m

? 4(k 2 ? 1) ,
m k ?1
2

O 到直线 AB 的距离 d ?

?

2 5 . 5
2 5 . 5

综上所述,点 O 到直线 AB 的距离为定值

(Ⅱ) (法一:参数法)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,设直线 OA 的斜率为 k (k ? 0) ,则 OA 的方 程为 y ? kx , OB 的方程为 y ? ?

1 x, k

4 ? 2 x1 ? ? y ? kx ? ? 1 ? 4k 2 ? 解方程组 ? x 2 ,得 ? , 2 2 4 k ? y ? 1 2 ?y ? ? ?4 1 ? 1 ? 4k 2 ?

? 2 4k 2 x ? ? ? 2 4 ? 4k 2 , 同理可求得 ? ?y 2 ? 4 2 ? 4 ? 4k 2 ?

1 (1 ? k 2 )2 故 OA ? OB ? 1 ? k | x1 | 1 ? 2 | x2 |? 4 k (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4)
2

t2 1 ?4 令 1 ? k ? t (t ? 1) ,则 OA ? OB ? 4 , 2 9 9 4t ? 9t ? 9 ? 2 ? ?4 t t
2

25 8 9 9 1 1 25 ? ? 4 ? ?9( ? ) 2 ? (t ? 1) ,所以 4 ? g (t ) ? ,即 ? OA ? OB ? 2 2 4 5 t t t 2 4 8 8 当 k ? 0 时,可求得 OA ? OB ? 2 ,故 ? OA ? OB ? 2 ,故 OA ? OB 的最小值为 ,最 5 5
令 g (t ) ? ? 大值为 2. 法二: (均值不等式法)由(Ⅰ)可知, O 到直线 AB 的距离 d

?

m k 2 ?1

?

2 5 . 5

在 Rt ?OAB 中, d

?

| OA | ? | OB | | OA | ? | OB |
2 2

,故有

| OA | ? | OB | | OA | ? | OB |
2 2

?

2 5 , 5

即 (| OA | ? | OB |) ?
2

4 (| OA |2 ? | OB |2 ) , 5

而 | OA |

2

? | OB |2 ? 2 | OA | ? | OB | (当且仅当 | OA |?| OB | 时取等号)
2

代入上式可得: (| OA | ? | OB |) ? 即 | OA | ? | OB |?

4 8 (| OA |2 ? | OB |2 ) ? | OA | ? | OB | , 5 5

8 , (当且仅当 | OA |?| OB | 时取等号). 5 8 故 OA ? OB 的最小值为 . 5
法三: (三角函数法) 由 (Ⅰ) 可知, 如图, 在 Rt ?OAB 中, 点 O 到直线 AB 的距离 | OH |?

2 5 . 5

设 ?OAH ? ? ,则 ?BOH ? ? ,故 | OA |?

| OH | | OH | , | OB |? . sin ? cos ?

8 | OH | 所以, | OA | ? | OB |? ? 5 , sin ? cos ? sin 2? ? 8 ? 显然,当 2? ? ,即 ? ? 时, OA ? OB 取得最小值,最小值为 . 2 4 5
2


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