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2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题


2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 (4 月 20 日 8:00 至 10:00) 一.填空题(本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分) 1.若 x ≥ 2 ,则函数 f ( x) ? x ? 1 的最小值是 x ?1 . 2.已知函数 f ( x) ? e x .若 f (a ? b) ? 2 ,则 f (3a) ? f (3b) 的值是 .

* 3.已知数列 ? an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , S n 为前 n 项和,且满足 an ? S2 n ?1 , n ? N , 2 则数列 ? an ? 的通项 an ? . 4.若函数 f ( x ) ? ? 2 ? ? 2 x ? 3 x, x ≥ 0, 是奇函数,则实数 a 的值是 2 ? 2 x ? ax , x ? 0 ? ? . 5.已知函数 f ( x) ? lg | x ? 是 . 10 | .若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? 5 f ( x) ? 6 ? 0 的实根之和为 m ,则 f (m) 的值 3 6.设 ? 、 ? 都是锐角,且 cos ? ? 5 3 , sin(? ? ? ) ? ,则 cos ? 等于 5 5 . 7. 四面体 ABCD 中, 异面直线 AB 和 CD 之间的距离为 4, 夹角为 60 , 则四面体 ABCD AB ? 3 , CD ? 5 , 的体积为 . o 8.若满足 ?ABC ? ? 3 , AC ? 3 , BC ? m 的 △ABC 恰有一解,则实数 m 的取值范围是 . 9.设集合 S ? ?1, 2,? ,8? , A , B 是 S 的两个非空子集,且 A 中的最大数小于 B 中的最小数,则这样的 集合对 ( A, B) 的个数是 . 10.如果正整数 m 可以表示为 x 2 ? 4 y 2 ( x , y ? Z ),那么称 m 为“好数” .问 1,2,3,?,2014 中“好 数”的个数为 . 二.解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知 a , b , c 为正实数, a x ? b y ? c z , 1 1 1 ? ? ? 0 ,求 abc 的值. x y z 12.已知 F1 , F2 分别是双曲线 C : x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,点 B 的坐标为 (0, b) ,直线 F1B a 2 b2 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P , Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M .若 1 MF2 ? F 1F 2 ,求双曲线 C 的离心率. 2 13. 如图, 已知 ?ABC 是锐角三角形, 以 AB 为直径的圆交边 AC 于点 D , 交边 AB 上的高 CH 于点 E . 以 AC 为直径的半圆交 BD 的延长线于点 G .求证: AG ? AE . 14. (1)正六边形被 3 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 4 个三角形.将每个三角形区域涂上 红、蓝两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同.怎样分割并涂色可以使红色三角形个数 与蓝色三角形个数的差最大? (2)凸 2016 边形被 2013 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 2014 个三角形.将每个三 角形区域涂上红、栏两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同.在上述分割并涂色的所有 情形中,红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多

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