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填空题的解法 WPS文字 文档 (2)


高中数学总复习指导(1)
——填空题解法 填空题是高考题中客观题型之一, 特别是上海高考数学试题中有 14 小题, 分值 56 分, 占总分的三分之一以上,直接决定高考的成败,所以做好填空题尤其重要,填空题具有小 巧灵活、跨度大、覆盖面广、概念性强、运算量不大、不需要求写出解题过程,只要直接 写出结果等特点。可以有目的地、和谐地综合一些问题,突出训练学生准确、严谨、全面

、 灵活运用知识的能力和基本运算能力。填空题有定量和定性两大类。常见类型有:完形填 空、多选填空、开放性填空。 在《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是: “正确、合理、迅速”地解答填空 题。 (从而为后面大题赢得时间)即,解答填空题的要领: ①快——运算要快,力戒小题大作; ②稳——变形要稳,不可操之过急; ③全——答案要全,力避残缺不全; ④活——方法要活,不要钻死胡同; ⑤细——审题要细,不能粗心大意。 常用方法: (填空题解法很多,这里介绍几种常用方法)

①直接法
就是直接由条件出发,运用有关知识直接求解。在求解过程中应注意准确计算,讲究 技巧。 例、填空:1、一个等差数列的前 n 项和 s ? 48 ,s
n 2n

? 60 ,则 s 3 n =

2、正数 a、b 满足:ab=a+b+3,则 ab 的范围是 3、设非零复数 x、y 满足 x ? xy ? y ? 0 ,则 ?
2 2

? ? ? ?x? y? x

2012

? y ? ?? ? ?x? y?

2012

=

注:1、可以直接利用 s 、s
n

2n

? s 、s
n

3n

?s

2n

成等差数列,即可得到 s

3n

? 36 。

2、∵ a ? b ? 2 3、由 x
2

ab ,∴ ab ? 2 ab ? 3 ,解得 ab ? 3 ,即 ab≥9。
2

? xy ? y ? 0 得 ? x ? ? x ? 1 ? 0 ,令? ? x ? ?
2

,可知ω 是 1 的立方虚

? y?

y
2012

y
2012

根,∴ ?

3

? 1 ,? ? ? ? 1 ? 0 ,则原式 ? ? ? ?
2

? ? ?? ?1?

? 1 ? ?? ? ?? ?1?

?

? ? ? ? ? ??? ?
2

2012

? 1 ? ?? ? ??? ?
2

2012

? ? ? ? ? ?1
2

②特殊值法
根据已知条件,借助特殊值、特殊函数、特殊图形等进行计算和推理的方法。 (主要是 题目条件中暗示有唯一值、定值情况的题目)但要注意选取的数值要符合条件且计算简单。

1

例、填空:1、过抛物线
1 PF ? 1 = QF

y ? ax

2

(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,则:

2、求值: cos ? ? cos
2

2

?? ? 120 ? ? ? cos ?? ? 240 ? ? =
2
2 2

3、已知 A+B=

2 ? ,则 sin A ? sin B 的值为 3 sin A cos A ? sin B cos B

注:1、只要用垂直于对称轴的焦点弦来计算就行了。答案 4a。 2、取α =0 得原式等于 3/2。 3、可取 A=
? 2

,B=

? 6

得原式为—

3。

(根据题意 2、3 的结果应是具体数值,所以能用上面的方法来解)

③数形结合法
借助图形直观分析,得出结论。数形结合是数学中重要思想方法,特别是方程、函数、 不等式、向量、解析几何等,一定要引起注意!在解析几何中还要注意几何图形性质及曲 线定义的作用。 例、填空:1、已知方程(x-a) (x-b)+1=0(a<b)有实根 α、β(α<β) ,则 a、b、α、 β 四者的大小关系是___ 2、已知 OB

? ? 2,0 ?,OC ? ? 2,2 ?,CA ?

?

2 cos ? , 2 sin ? ?

则 OA 、 OB 的夹角 θ 的取值范围是 3、已知关于 x 的方程 x ? 2 a log 2 ( x ? 2 ) ? a ? 3 ? 0 有唯一解,则正实数 a=
2 2 2

4、已知 A、B、C 是抛物线 则

x ? 4 y 上三点,F 为其焦点,若 FA ? FB ? FC ? 0
2

FA ? FB ? FC ?
y F(x)=(x-a) (x-b)+1

解:1、如图,作出函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? 及F ?x? ?

? x ? a ?? x ? b ? ? 1 的图像,并注
α o a β b x

意到两者关系,很易得到答案为 a<α<β<b。 2、若直接由向量计算:

cos ? ?

OA ? OB OA OB

?(x)=(x-a) (x-b)

结果很难做下去的。 若注意到 B、C 都是定点,只有 A 在动, 2

且满足 CA 有 CA

?

?

2 cos ? , 2 sin ?

?
2
C. A . )θ B

?

2 ,即 A 在以 C 为圆心,

为半径的圆上。 根据图形很易得到答案: θ ∈[15°,75°] 3、方程问题,应想到函数与方程关系,即利用函 数来解决,而函数必然要想到函数的图像和性质。 设 y ? x 2 ? 2 a log
2

O

?x ? 2? ? a ? 3,
2 2

则此函数是偶函数,其图像关于 y 轴对称,又方 程为唯一解,所以这个解应是 x=0,代入得 a=1 (负值舍去) ,经检验符合条件。 4、设 A ? x ,y
1 1

∵F 1) 则由 ?、B ? x ,y ?、C ? x ,y ? , (0, , FA ? FB ? FC ? 0
2 2 3 3

得: y

1

? y ? y ? 3 ,又由抛物线定义有:|FA|= y ? p ? y ? 1 ,
2 3
1

2

1

∴ FA ? FB ? FC ? y ? y ? y ? 3 ? 6 。 1 2 3

④分析法
根据题目条件的特征进行观察分析,结合所学知识并借助于一些特殊结论等(包括我 们平时记得的一些结论)将问题转化为已知的、或易解决的问题,从而迅速得出结论的方 法。 例:1、设 f ? x ? ?

x

2

,则
2

1? x

f ?1 ? ? f ? 2 ? ? ? ? f ? 2013

1 1 ?? f ? ? ? f ? ? ?? ? f ? ? ? ? ? ? ?2? ?3?

? ? ? 2013 ? 1

=

2、函数 y

?

4x ?1 ? 2 3 ? x
x
2

的单调减区间为

3、 已知点 P 在曲线

?

y

2

?1

上, F ? 0,? 4 ? 且 、F 1

2

? 0,4 ? ,则 PF ? PF
1

2

9

25

与 10 的大小关系是 解:1、可根据题目形式及所要求的式子知,不会单独计算 f ?1 ? ? f ? 2 ? ? ? ? f ? 2013 ? 和
?1? ?1? ? 1 ? 的,也就是说要结合这两种计算,从而可发现 f ? ?? f ? ? ?? ? f ? ? ?2? ?3? ? 2013 ?

?1? ,故原式=2013— f ?x? ? f ? ? ? 1 ?x?

f ?1 ? =2012.5

2、我们知道这两个根式是一增一减的,不能直接得出,根据等价性知此函数的单调性 3

与y ?
1 4

?

4 x ? 1 ? 2 3 ? x ? 的单调性是相同的,即与 y ? 11 ? 4 ? 4 x ? 1 ?? 3 ? x ?
2

? ? x ? 3 ? 相同。所以为所求减区间是: ?13 ,3 ? 。
? 8 ? ? ?

3、题目给出的是

x

2

?

y

2

? 1 ,而不是

x 3

?

y 5
2

? 1 ,为什么?其实这里已

9

25

经把问题简单化了一步,就是要我们与椭圆

x

2

?

y

? 1 联系上,并注意到
p 在椭圆上,则有

9
F ? 0,? 4 ?、F
1 2

25

? 0,4 ? 就是椭圆焦点,再结合椭圆的定义:若
PF ? PF ? 10
1 2

PF ? PF
1

2

=10,并根据图像可得



⑤开放性问题
这是一个新型的题目,一种是写出一个符合条件的结论。——结论不唯一;另一种是 给出结论,需要创造条件。其实可以根据充要条件来思考。 例 : 1 、 我 们 将 一 系 列 值 域 相 同 的 函 数 称 为 “同 值 函 数 ”, 已 知 f ( x ) ? x ? 2 x ? 2 ,
2

x ? [ ? 1 , 2 ] ,试写出 f ( x ) 的一个“同值函数”___________________; (除一次、二次函数外)

2、立体几何中有不少类似平面几何的结论,只要注意到平面几何中的点、线、面,对 应立体几何中的线、面、体。平面几何——二维,立体几何——三维。 如平面几何中,直角三角形有勾股定理,即直角边的平方和等于斜边的平方。 在立体几何中,定义直三棱锥:有过一顶点的三条棱两两垂直, 如图,在三棱锥 D—ABC 中,CA、CB、CD 两两垂直。并将面 ABC、面 ACD、面 BCD 叫直角面,面 ABD 叫斜面,则有: 直角面的面积平方和等于斜面面积的平方。 类似地,请再写出一条立体几何中与平面几何的类似结论。 注:1、原函数的值域为[1,5] ,因此只要写出的函数的值域 也是[1,5]即可,有很多,可选我们熟悉的函数,如指数函数 对数函数、幂函数、三角函数等。

y ?5

x

(0≤x≤1) ,

y ? log x
2

( 2 ≤ x ≤ 32 ) ,

y ? x

1 2

( 1 ≤ x ≤ 25 ) ,

y ? 2 sin x ? 3 (x∈R)等。
2、这里也是不定的,有很多。如: 平面几何中有,存在内切圆的多边形有:周长 C,面积 S 和内切圆半径 r 满足 s

? cr
1 2
1 3



立体几何中有,存在内切球的多面体有:全面积 S,体积 V 和内切球半径 r 满足V ?

sr 。

4

还有:平面几何中有,三角形的面积为二分之一底边长乘以高,即 s 立体几何中有,三棱锥的体积为三分之一底面积乘以高,即V

? ah
1 2
1 3



? sh 。

平面几何中有,正三角形内任意一点到三边距离和为定值(等于三角形的高) 。 立体几何中有,正四面体内任意一点到四个面距离和为定值(等于四面体的高) 。 ????

练习:
1、与正四面体 ABCD 的四个顶点距离都相等的平面有 个。 2、已知 a、b 为异面直线,且成 60°角,则过空间一点 O 与 a、b 都成 60°角的直线有 条。 3、三棱锥 S—ABC 中,SA=SB=SC=1,则其体积的最大值为 4、四面体 ABCD 的六条棱中有五条长为 1,则其体积的最大值为 5、在三棱锥 S—ABC 的四个面中,为直角三角形的最多有 个。 6、若四面体 ABCD 的全面积为 4 3 ,则其体积的最大值为 7:若长方体的一条对角线与过同一点的三条棱所成角分别为α 、β 、γ ,则 sin2α +sin2β +sin2γ = ? 8、若函数 y=sin2x+acos2x 的图像关于直线 x=- 对称,则 a=____
8
+

9、①已知 x、y∈R ,且

1 x

?

1 y

=1,则 x+y 的最小值为____

②x、y∈已知 R ,且 x+2y=4,则

+

3 x

?

1 y

的最小值为____

10、在△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的 条件。 11、ABCD 是半径为 R 的半球的内接四面体,且 AB 过球心 O,则此四面体的体积最大值是 12、已知直线 m 、 n 与平面 ? 、 ? ,给出下列四个命题: ①若 m ∥ ? , n ∥? ,则 m ∥ n ;②若 m ⊥ ? , n ⊥ ? ,则 m ⊥ n ; ③若 m ⊥ a , m ∥ ? ,则 ? ⊥ ? .④若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β 。 以上命题中正确的是_____________; (写出所有正确命题序号) 13、设 M 是一个非空集合, f 是一种运算,如果对于集合 M 中的任意两个元素 p , q , 实施运算 f 的结果仍是集合 M 中的元素,那么说集合 M 对于运算 f 是“封闭”的,已知集 合 M ? { x | x ? a ? b 2 , a , b ? Q } ,若定义运算 f 分别为加法、减法、乘法和除法(除数

5

不为零)四种运算,则集合 M 对于运算 f 是“封闭”的有__________________; (写出所有 符合条件的运算名称) 14、集合 P={1,a,b},Q={1, a , b },若 P=Q,则 a+b=__
2

2

15、己知函数① f ? x ? ? e x ④ f ? x ? ? sin x ⑤ f ?x? ?

② f ? x ? ? ln x
1? x
2

③ f ?x? ? x

3

则上述函数中对任意的 x 、x
1

2

? ? 0, ?? x ? x ? ,都满足 ? x ? x ? 1
1 2

f? ?

1

2

2

1 ? ? ? f ?x ? ? f ?x ? 2
1

2

??

的有

16、已知 P 是双曲线 x

2

?

y 9

2

?1

上一点, F1、F

2

为其二焦点,若 PF ? PF ,则
1 2

16

PF ? PF
1

2

?
?1 ?0 1? ? 1? ?

17、定义矩阵运算 ,A n ? 1 =A n ·A,设 A= ? ? 18、已知数列{ a n }满足 a 1= 0 ,
a-
n n

,则 A n ? ___ (n∈N * )

a =
n+ 1

3

(n∈N * )则 a 20 ? ___

3a ? 1

19、若关于 x 的不等式 x ? a ≥x(a>0)的解集为{x|m≤x≤n} ,且|m-n|=2a, 则 a 的值为____ 20、已知?(x)满足?(-x)=-?(x) ,?(x+2)=-?(x) ,且 x∈[0,1]时,?(x)=x, 当 x∈[-1,7]时,?(x)=kx+x+1 有四个零点,则 k 的取值范围是____

6

答案: 1、7 个(直接法) 2、3 条(直接法) 3、 1 (特殊值法) 4、 1 (特殊值法)
8

6
5、4 个(特殊值法) 6、 2 2 (特殊值法)
3

7、2 (直接法)

8、-1(特殊值法)

9、4(直接法)

10、 5 ? 2 6 (直接法) 11、充要条件

12、③④(直接法)

4
13、加、减、乘、除(验证法) 16、10(图像法) 17、? 1 ? ?0 20、 14、-1(直接法) 15、①③(图像法)

n ? (分析—归纳猜想法) 18、 ? ? 1?
9 7 ? k ? ?1
(图像法)

3 (分析法—周期性)

19、2(图像法)

?

7


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