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3.2 简单的三角恒等变换(一)


3.2 简单的三角恒等变换(一)

1.两角和差的正弦、余弦、正切公式

2.二倍角正弦、余弦、正切公式
s in 2 ? ? 2 s in ? c o s ?

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

学习了和(差)角公式,倍角公式以后,我 们就有了进行三角变换的新工具,从而使三角 变换的内容、思路和方法更加丰富,这为提高 我们的推理、运算能力提供了新的平台.

1.巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式,利用 二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公 式. 2.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换.

(重点、难点)
3. 体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思 想,提高推理能力.

? ? 思考 ?与 有什么关系?那么 cos ?能用 的三角函数 2 2 表示出来吗?
反之,能用cos ? 表示 sin
2

?
2

, cos

2

?
2

, tan

2

?
2

吗?

提示:能

微课1
例1

二倍角公式的变形
? 2 ? 2 ? 试以 cos ? 表示 sin , cos , tan . 2 2 2
2

解:因为? 是

?
2

的二倍角,
2

? 所以 cos ? ? 1 ? 2sin . 2 1 ? cos? 2 ? 即 sin = . 2 2

由 cos ? ? 2 cos
2

2

?
2

?1 ,得

1 ? cos ? cos ? . 2 2 1 ? cos? 2 ? 所以有 tan = . 2 1 ? cos ?

?

公式说明:

sin
升幂

2

? 1 ? cos?
2 =

2 1 ? cos ? 2 ? cos ? . 2 2


降幂

也称为降幂公式.

从左到右降幂扩角,
从右到左升幂缩角.

例1的结果还可以表示为:
1 ? cos ? sin ? ? , 2 2 1 ? cos ? cos ? ? , 2 2 1 ? cos ? tan ? ? , 2 1 ? cos ?

?

?

?

并称之为半角公式.符号由

? 2

所在象限决定.

思考:代数式变换与三角变换有什么不同? 提示: 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变 换.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅 会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的

角以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此
三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角

之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点.

【变式练习】 ?3 ? 4 α ? ? 已知 cos α= ,α∈? π,2π?,则 sin 等于( B ) 5 2 ?2 ? 10 10 A.- B. 10 10 3 3 C. 3 D.- 10 5
? α ? 3 ? ? 【解析】 由题意知 ∈? π,π?, 2 ?4 ?

α α ∴ sin >0,sin = 2 2

1-cos α 10 = . 2 10

【方法规律】 1.若没有给出角的范围,则根号前的正负号需 要根据条件讨论. 2 .由三角函数值求其他三角函数式的值的步 骤: (1)先化简所求的式子; (2) 观察已知条件与所求式子之间的联系 ( 从角 和三角函数名称入手) .

【互动探究】 3 4 本例中将条件改为“π<θ< π,且 sin θ=- ”, 2 5 如何求解? 4 3 【解析】 ∵ sin θ=- ,π<θ< π, 5 2 3 2 ∴ cos θ=- 1-sin θ=- . 5 2θ 由 cos θ=2cos -1 得 2 1+cos θ 1 2θ cos = = , 2 2 5

3 π θ 3 ∵π<θ< π,∴ < < π. 2 2 2 4 θ ∴cos =- 2 1+cos θ 5 =- . 2 5

θ θ θ sin 2sin · cos 2 2 2 θ sin θ ∴tan = = = =-2. θ θ 2 1+cos θ 2 cos 2cos 2 2

微课2

和角公式的变形

例2 求证: 1 (1) sin ? cos ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ; ? ? 2 ? ?? ? ?? (2) sin ? ? sin ? ? 2 sin cos . 2 2

这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同? 提示:一边是积,一边是和。

证明:(1)因为sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?, sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? .

将以上两式的左右两边分别相加,得

sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? =2sin ? cos ? . 1 即sin ? cos ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? . ? ? 2

(2)由(1)得:

sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ?
设 ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? 那么 ? ?
? ??
2 ,? ?

? ??
2

把 ? , ? 的值代入上式中得

? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2sin cos . 2 2

三角变换,应注意三角函数种类和式子结
构特点的变化,分析透彻.找到它们之间的联系,

即学会“三看”——看角、看函数名称、看式
子结构.

思考:
1. 在例2证明过程中,如果不用(1)的结果,

如何证明(2)?
提示: 令? =

? +? ? ? ?
+

2 2 2 2 利用和差角公式展开,仿照(1)求解.

,? =

? +? ? ? ?
?

.

2.在例2的证明中,用到哪种数学思想? 提示:

换元的思想,如把? +? 看作?,把? ? ? 看作?, 从而把含有?,? 的三角函数式变换成?,?的 三角函数式.

【变式练习】 ? 已知2sin ? ? 1 ? cos ? , 则 tan 等于( C ).
2 A.2 1 B. 2 1 C. 或不存在 2 D.不存在

? tan 不存在; 【解析】当1+ cos ? ? 0时, 2 ? ? ? sin sin ? cos ? 2 ? 2 2 当1 ? cos ? ? 0时, tan ? 2 cos ? cos ? ? cos ? 2 2 2 ? ? 2sin ? cos sin ? 1 2 2 ? ? ? . ? ? 1 ? cos ? 2 2 cos ? cos 2 2

? ? π? π? 1.函数 y=sin?x+ ?+sin?x- ?的最大值是 3? 3? ? ?

( B ) A.2 B.1 1 C. 2 D. 3

π 【解析】y=2sin xcos =sin x. 3

2.使函数 f(x)=sin(2x+θ ) + 3cos(2x+θ ) 为 奇函数的 θ 的一个值是( D ) π π π 2π A. B. C. D. 6 3 2 3 【解析】 f(x)=sin(2x+θ ) + 3cos(2x+θ ) = ? ? π 2sin?2x+ +θ ?. 3 ? ? 2 当 θ = π 时,f(x)=2sin(2x+π )=-2sin 2x. 3

2 3. 已知等腰三角形底角的余弦值为 ,则顶角的正 3 4 5
. 9 弦值是________.

设 α 为该等腰三角形的一底角, 2 则 cos α = ,顶角为 180°-2α . 3 ∴sin(180°-2 α )=sin 2α =2sin α cos α = ?2?2 2 4 5 2 1-? ? · = . 9 ?3? 3 【解析】

3 7π θ -3 4、已知 sinθ=- ,3π<θ< ,则 tan =________. 5 2 2

解析:根据角 θ 的范围,求出 cosθ 后代入公式计算, 3 7π 4 θ 即由 sinθ=- ,3π<θ< ,得 cosθ=- ,从而 tan = 5 2 5 2 3 - 5 sinθ = =-3. 4 1+cosθ 1- 5

4 ? ? ? ? 5.已知 sin ? ? , 且 ? ? ? ?,试求 sin ,cos , tan 的值. 5 2 2 2 2 分析:先求 cos ?的值,再利用倍角公式的变形公式

求半角的三角函数值.

4 ? 解:因为sin ? ? , ? ? ? ?, 5 2 3 2 所以cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? . 5

?
4

?

?
2

?

?
2

.

1 ? cos ? 4 所以sin ? ? . 2 2 5
2

?

2 5 sin ? . 2 5
2

?

1 ? cos ? 1 cos ? ? . 2 2 5 5 cos ? . 2 5?
tan

?

?

?

2

?

sin

cos

?

2 ? 2. 2

1 ? 2 sin x cos x 1 ? tan x 6、求证 : ? . 2 2 cos x ? sin x 1 ? tan x
sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin x cos x 证明:左边 = cos2 x ? sin 2 x
(sin x ? cos x)2 cos x ? sin x ? ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) sin x ? cos x

1 ? tan x ? =右边 1 ? tan x

1.降幂公式

2 1 ? cos ? 2 ? cos ? . 2 2 2.公式的灵活应用:正用、逆用、变形应用.
3.三角变换要三看:看角、看函数名称、看式子 结构. 4.换元思想.

sin

2

? 1 ? cos?
2 =



三角恒等变换公式转换
tan 2? = 2 tan ? 1 ? tan 2 ?
相除

?

?

?

tan(? ? ?) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
相除

S (???) ?

cos 2? = cos 2 ? ? sin 2 ? =2 cos 2 ? ? 1 =1 ? 2sin 2 ? sin 2? =2sin ? cos ?
移项 , 2? ? ?

?

?

?

C (???) ? C (???) ? S (???)
相加减

? 2 2 ? 1 ? cos ? =2sin 2 1 ? cos ? =2 cos 2 变形

sin cos

? 1 ? cos ? ?? 2 2 ? 1 ? cos ? ?? 2 2
相除

tan

? 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ?? = = 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ?

1 sin ? cos ?= [ sin(? ? ?) ? sin(? ? ?)] 2 1 cos ? sin ?= [ sin(? ? ?) ? sin(? ? ?)] 2 1 cos ? cos ?= [ cos(? ? ?) ? cos(? ? ?)] 2 1 sin ? sin ?= ? [ cos(? ? ?) ? cos(? ? ?)] 2 ? ? ? ?A ? 令 ? B ? ? ? ? ? A?B A?B sin A ? sin B=2sin cos 2 2 A?B A?B sin A ? sin B=2 cos sin 2 2 A?B A?B cos A ? cos B=2 cos cos 2 2 A?B A?B cos A ? cos B= ? 2sin sin 2 2

不会宽容别人的人,是不配受到别人的宽容 的。

——贝尔奈


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