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2010届一轮复习高三数学第五编平面向量、解三角形平面向量的概念及线性运算


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2010 届步步高一轮复习高三数学第五编平面向量、解 三角形平面向量的概念及线性运算

基础自测
1.下列等式不正确的是 ( A.a+0=a C. AB + BA ≠0 答案 C ) B.a+b=b+a D. AC = DC + AB + BD

2.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是 ( )? B. AD ? AB = AC ? D. AD ? CB =0 ?

? A. AB = DC ? ? C. AB ? AD = BD 答案? C ?

3.(2008·广东理,8)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F.若 AC =a, BD =b,则 AF 等于 ( A. C. ) B. D.

1 1 a+ b 4 2 1 1 a+ b 2 4
B

2 1 a+ b 3 3 1 2 a+ b 3 3

答案

4.若 ABCD 是正方形,E 是 DC 边的中点,且 AB =a, AD =b,则 BE 等于 ( A.b+ ) B. b-

1 a 2

1 a 2

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C. a+

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D. a-

1 b 2
B

1 b 2

答案

5.设四边形 ABCD 中,有 DC = ( A.平行四边形 C.等腰梯形 答案 C )

1 AB ,且| AD |=| BC |,则这个四边形是 2

B.矩形 D.菱形

例1

给出下列命题

①向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等; ②向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点并且相等的向量,其终点必相同; ④两个有共同终点的向量,一定是共线向量; ⑤向量 AB 与向量 CD 是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条直线上; ⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中假命题的个数为 ( A.2 答案 例2 C ) B.3 C.4 D.5

如图所示,若四边形 ABCD 是一个等腰梯形, AB∥DC,M、N 分别是 DC、AB 的中点,已知 AB =a,
AD =b, DC =c,试用 a、b、c 表示 BC , MN ,

DN + CN .



BC = BA + AD + DC =-a+b+c,

∵ MN = MD + DA + AN , 第 2 页 共 10 页

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∴ MD =∴ MN =

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1 1 DC , DA =- AD , AN = AB , 2 2

1 1 a-b- c. 2 2

DN + CN = DM + MN + CM + MN =2 MN =a-2b-c.

例3

设两个非零向量 a 与 b 不共线,

(1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), 求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. (1)证明 ∵ AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), ∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b =5(a+b)=5 AB . ∴ AB 、 BD 共线, 又∵它们有公共点 B,∴A、B、D 三点共线. (2)解 ∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数 ? ,使 ka+b= ? (a+kb), 即 ka+b= ? a+ ? kb. ∴(k- ? )a=( ? k-1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量, ∴k- ? = ? k-1=0,∴k -1=0.
2

∴k=±1. 例 4 (12 分)如图所示,在△ABO 中, OC =
OD =

1 OA , 4

1 OB ,AD 与 BC 相交于点 M,设 OA =a, OB =b.试 2

用 a 和 b 表示向量 OM . 第 3 页 共 10 页

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解 设 OM =ma+nb,

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则 AM = OM - OA =ma+nb-a=(m-1)a+nb.
AD = OD - OA =

1 1 OB - OA =-a+ b. 2 2

又∵A、M、D 三点共线,∴ AM 与 AD 共线. ∴存在实数 t,使得 AM =t AD , 即(m-1)a+nb=t(-a+ ∴(m-1)a+nb=-ta+

1 b). 2

3分

1 tb. 2
① 5分

? m ? 1 ? ?t ? ,消去 t 得:m-1=-2n,即 m+2n=1. ∴ ?n ? t ? 2 ?

又∵ CM = OM - OC =ma+nbCB = OB - OC =b-

1 1 a=(m- )a+nb. 4 4

1 1 a=- a+b. 4 4
8分

又∵C、M、B 三点共线,∴ CM 与 CB 共线. ∴存在实数 t1,使得 CM =t1 CB , ∴(m-

1 ? 1 ? )a+nb=t1 ? ? a ? b ? , 4 4 ? ?

1 1 ? ? m ? ? ? t1 ∴? 4 4 , ? n ? t1 ?

消去 t1 得,4m+n=1 由①②得 m= ∴ OM =



10 分

1 3 ,n= , 7 7
12 分

1 3 a+ b. 7 7

1.下列命题中真命题的个数为 ( )

①若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b;

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②若 AB = DC ,则 A、B、C、D 是一个平行四边形的四个顶点; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④若 a∥b,b∥c,则 a∥c. A.4 答案 D B.3 C.2 D.1

2.在△OAB 中,延长 BA 到 C,使 AC=BA,在 OB 上取点 D, 使 DB=

1 OB.DC 与 OA 交于 E,设 OA =a, OB =b,用 a, 3

b 表示向量 OC , DC . 解 因为 A 是 BC 的中点,

所以 OA =

1 ( OB + OC ),即 OC =2 OA - OB =2a-b; 2 5 2 2 OB =2a-b- b=2a- b. 3 3 3 1 (a+b)三向量的终点在同 3

DC = OC - OD = OC -

3.若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 t 为何值时,a,tb, 一条直线上? 解

1 设 OA =a, OB =tb, OC = (a+b), 3
1 2 a+ b, AB = OB - OA =tb-a. 3 3

∴ AC = OC - OA =-

要使 A、B、C 三点共线,只需 AC = ? AB 即-

1 2 a+ b= ?t b- ? a 3 3

2 ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? 3 ? 3 ? ∴有 ? ,∴ ? ? 1 ? ?t ?t ? 1 ? 2 ?3 ? ?
∴当 t=

1 时,三向量终点在同一直线上. 2

4.如图所示,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在 AC 上, 且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 AP∶PM 的值.

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解 方法一 设 e1= BM ,e2= CN ,

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则 AM = AC + CM =-3e2-e1,
BN = BC + CN =2e1+e2.

因为 A、P、M 和 B、P、N 分别共线,所以存在实数 ? 、 ? ,使 AP = ? AM =-3 ? e2- ? e1,
BP = ? BN =2 ? e1+ ? e2,∴ BA = BP - AP =( ? +2 ? )e1+(3 ? + ? )e2,

另外 BA = BC + CA =2e1+3e2,

4 ? ?? ? 5 ?? ? 2? ? 2 ? ,∴ ? , ? ?3? ? ? ? 3 ?? ? 3 ? 5 ?
∴ AP = 方法二 ∵ AM = ∴ AP =

3 4 AM , BP = BN ,∴AP∶PM=4∶1. 5 5
设 AP = ? AM ,

1 1 3 ( AB + AC )= AB + AN , 2 2 4

3 ? AB + ? AN . 2 4

∵B、P、N 三点共线,∴ AP - AB =t( AB - AN ), ∴ AP =(1+t) AB -t AN

?? ? ? 1? t ? ∴ ?2 ? 3 ? ? ?t ?4 ?


4 ? 3 + ? =1, ? = ,∴AP∶PM=4∶1. 2 4 5

一、选择题 1.下列算式中不正确的是 ( ) B. AB - AC = BC C.0· AB =0 D. ? ( ? a)= ? · ? ·a

A. AB + BC + CA =0 答案 B

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2.(2008·全国Ⅰ理,3)在△ABC 中, AB =c, AC =b,若点 D 满足 BD =2 DC ,则 AD 等于 ( A. ) B.

1 2 b+ c 3 3
A

5 2 c- b 3 3

C.

1 2 b- c 3 3

D.

1 2 b+ c 3 3

答案

3.若 AB =3e1, CD =-5e1,且| AD |=| BC |,则四边形 ABCD 是 ( A.平行四边形 答案 C ) B.菱形 C.等腰梯形 D.不等腰梯形

4.如图所示,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面 分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界).若 OP =a OP 1+b OP 2, 且点 P 落在第Ⅲ部分,则实数 a,b 满足 ( A.a>0,b>0 答案 B ) B.a>0,b<0 C. a<0,b>0 D. a<0,b<0

5.设 OB =x OA +y OC ,且 A、B、C 三点共线(该直线不过端点 O) ,则 x+y 等于 ( A.1 答案 A ) B.-1 C.0 D.不能确定

6.已知平面内有一点 P 及一个△ABC,若 PA + PB + PC = AB ,则 ( ) B.点 P 在线段 AB 上 D.点 P 在线段 AC 上

A.点 P 在△ABC 外部 C.点 P 在线段 BC 上 答案 D

二、填空题 7.在△ABC 中, CA =a, CB =b,M 是 CB 的中点,N 是 AB 的中点,且 CN、AM 交于点 P,则 AP 可用 a、 第 7 页 共 10 页

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b 表示为 答案 .

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1 2 a+ b 3 3 1 CA + ? CB ,则 ? = 3
.

8.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD = 答案

2 3

三、解答题 9.如图所示,△ABC 中, AD =

2 AB ,DE∥BC 交 AC 于 E,AM 是 BC 边上中线, 3

交 DE 于 N.设 AB =a, AC =b,用 a,b 分别表示向量 AE , BC , DE , DN , AM , AN .
DE // BC ? ? 2 ? AD ? AB? 3 ?



? AE = 2
3

AC =

2 b. 3

BC = AC - AB =b-a.

由△ADE∽△ABC,得 DE =

2 2 BC = (b-a). 3 3

由 AM 是△ABC 的中线, DE ∥BC,得
DN =

1 1 DE = (b-a). 2 3 1 1 BC =a+ (b-a) 2 2

而且 AM = AB + BM =a+ =

1 (a+b). 2
?ADN ∽ ?ABM ? ? 2 ? AD ? AB ? 3 ?



? AN = 2
3

AM =

1 (a+b). 3 2 AD , AB =a, AC =b. 3

10.如图所示,在△ABC 中,D、F 分别是 BC、AC 的中点, AE = (1)用 a、b 表示向量 AD 、 AE 、 AF 、 BE 、 BF ; (2)求证:B、E、F 三点共线. (1)解 延长 AD 到 G,使 AD = ABGC,

1 AG , 2

连接 BG、CG,得到 所以 AG =a+b,

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AD =

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1 1 AG = (a+b), 2 2 1 2 AD = (a+b). 3 3 1 1 AC = b, 2 2 1 1 (a+b)-a= (b-2a). 3 3 1 1 b-a= (b-2a). 2 2 2 BF ,所以 B、E、F 三点共线. 3 1 ( AB + DC ). 2

AE =

AF =

BE = AE - AB =

BF = AF - AB =

(2)证明

由(1)可知 BE =

11.已知:任意四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点,求证: EF = 证明 方法一 如图,

∵E、F 分别是 AD、BC 的中点, ∴ EA + ED =0, FB + FC =0, 又∵ AB + BF + FE + EA =0, ∴ EF = AB + BF + EA 同理 EF = ED + DC + CF 由①+②得, 2 EF = AB + DC +( EA + ED )+( BF + CF )= AB + DC . ∴ EF = 方法二 ① ②

1 ( AB + DC ). 2
连结 EB , EC ,

则 EC = ED + DC ,
EB = EA + AB ,∴ EF =

1 ( EC + EB ) 2

=

1 1 ( ED + DC + EA + AB )= ( AB + DC ). 2 2

AN 12.已知点 G 为△ABC 的重心, G 作直线与 AB、 两边分别交于 M、 两点, AM =x AB , =y AC , 过 AC N 且



1 1 + 的值. x y



根据题意 G 为三角形的重心,

故 AG =

1 ( AB + AC ), 3 1 ( AB + AC )-x AB 3

MG = AG - AM =

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=(

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1 1 -x) AB + AC , 3 3

GN = AN - AG =y AC - AG

=y AC =(y-

1 ( AB + AC ) 3

1 1 ) AC - AB , 3 3

由于 MG 与 GN 共线,根据共线向量基本定理知
MG = ? GN ? (

1 1 -x) AB + AC 3 3

1 1 ? ? = ? ?( y ? ) AC ? AB? , 3 3 ? ?
1 ?1 ?3 ? x ? ? 3 ? ? ? ?1 ? ?( y ? 1) ?3 3 ?
1 1 ?x 3 = 3 1 1 y? ? 3 3

?

?x+y-3xy=0 两边同除以 xy 得 1

x

+

1 =3. y

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