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互斥事件


互斥事件

你能不能用概率思想来解释这个故事?
一吝啬鬼在自家草坪上剪草,其邻居过来问他:“周
末上午你打羽毛球吗?”吝啬鬼生怕邻居借羽毛球拍,忙 说:“打,打,一整个上午都打.”这时邻居又说:“那你肯 定不用剪草机了”.

事件A=“上午打羽毛球”,B=“上午剪草坪 ”,事件 A 和事件 B 能否同时发生?

>
一、互斥事件
在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两

个事件A与B称作互斥事件.

能用集合语言来表达A与B的这种关系吗?

A

B

A与B交集为空集

1.你能举出一些生活 中互斥事件的例子?

2.怎样判断事件A和B 是互斥事件呢?

例1 判断下列每对事件是否互斥事件 从一堆产品(其中正品与次品都多于2个)中任 取2件,其中 : (1)恰有一件次品和恰有两件次品; (2)至少有一件次品和全是次品; (3)至少有一件正品和至少有一件次品; (4)至少有一件次品和全是正品. 答:(1)是互斥事件;(2)(3)都不是互斥事 件;(4)是互斥事件.

例2:抛掷一枚骰子一次,下面的事件A与事件B是互斥事件吗? ?(1)事件A=“点数为2”,事件B=“点数为3” ?(2)事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4” ?(3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3” ?(4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3” 解:互斥事件: (1)(2)(3) 但(4)不是互斥事件,当点为5时, 事件A和事件B同时发生 从集合意义理解,

A
A、B互斥

B

A
A、B不互斥

B

A与B交集为空集

A与B交集不为空集

(1)事件A=“点数为2”,事件B=“点数为3” (2)事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4” (3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”

(4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3”
在(1)中,A表示事件“点数为2”,B表示事件“点数为3”, 我们把事件“点数为2或3”记作 A+B

给定事件A,B,规定事件A+B为一个事件,事件 A+B发生是指事件A和事件B中至少有一个发生.

给定事件A,B,规定事件A+B为一个事件,事件 A+B发生是指事件A和事件B中至少有一个发生.
用集合解释 (1)与集合类比,事件A+B可用右图表示.

(2)事件A+B与事件B+A是同一事件.即
A+B=B+A. (3)A+B有三层意思: 事件A发生,事件B不发生; 事件A不发生,事件B发生; 事件A发生,事件B同时发生.

A

B

注:当A与B互斥时,A+B事件指“A发生B不发生”和“A不
发生B发生”

例2:抛掷一枚骰子一次,下面的事件A与事件B是互斥事件吗? ?(1)事件A=“点数为2”,事件B=“点数为3” ?(2)事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4” ?(3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3” ?(4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3” (2)(3)和(4)中的事件A+B表示什么事件? (2)A+B表示“点数为奇数或4” (3)A+B表示“点数不超过3或点数超过3”,即事件全体 (4)A+B表示“点数为5或点数超过3”即事件B

(1)事件A=“点数为2”,事件B=“点数为3” (2)事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4”

(3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”
对例中(1),(2),(3)中每一对互斥事件,完成下表

(1)
P(A) P(B) P(A)+P(B) P(A+B)

(2)

(3)

同时根据你的结 果,你发现P(A+B) 与P(A)+P(B)有什 么样的大小关系?

1/6 1/6 2/6 2/6

3/6 1/6 4/6 4/6

3/6 3/6 1 1

P(A+B)=P(A)+P(B)

在一个随机实验中,如果随机事件A和B是互斥事件, 那么有 P(A+B)=P(A)+P(B). 说明: (1)上面的公式叫互斥事件的概率加法公式; (2)加法公式的前提条件是:事件A与B互斥. (3)一般地,若事件A1, A2,… ,An两两互斥,那么 P(A1+A2+…+An)= P(A1)+ P(A2)+…+ P(An)

例3

从一箱产品中随机地抽取一件产品,设事件A=“抽到

的是一等品”,事件B=“抽到的是二等品”,事件C=“抽到 的是三等品”,且已知P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05. 求下列事件的概率: (1)事件D=“抽到的是一等品或三等品”; (2)事件E=“抽到的是二等品或三等品”.

解 (1)事件D即事件A+C,事件A与事件C是互斥事件, P(D)=P(A+C)=P(A)+P(C)=0.7+0.05=0.75.
(2)事件E即事件B+C,事件A与事件C是互斥事件,

P(E)=P(B+C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15

(1)事件D=“抽到的是一等品或三等品”; (2)事件E=“抽到的是二等品或三等品”. 事件D与E互斥吗?事件D+E表示的是什么?它的概率

P(D+E)等于P(D)+P(E)吗?
解:P(D+E)=P(A)+P(B)+P(C)=0.85,而P(D)+P(E)= 0.9, 因此,事件D+E的概率P(D+E)不等于P(D)+P(E).

思考:这说明了什么?

例4 某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整,为此

政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查,他们被要
求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选 一项.调查结果如表3-11所示: 男 赞成 反对 不发表看法 18 12 20 女 9 25 16 总计 27 37 36

总计

50
表3-11

50

100

随机选取一个被调查者,他对这次调整表示反对或不发表 看法的概率是多少?

解:用A表示事件“对这次调整表示反对”,B表示 事件“对这次调整不发表看法”,则A和B是互斥

事件,并且A+B就表示事件“对这次调整表示反
对或不发表看法”,由互斥事件的概率加法公式, 37 36 73 P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? ? ? ? 0.73. 100 100 100 因此,随机选取的一个被调查者对这次调整表示反 对或不发表看法的概率是0.73.

二、对立事件
事件 A=“点数为奇数”,把 事件“点数不为奇数”称为 A 的对 立事件,记为 A

在每一次实验中,相互对立的事件A与事件A不会 同时发生,且一定有一个发生。
能用集合语言描述事件 A 与 A 的关系吗?

A

对立事件的概率公式:

P(A)=1–P(A)

对立事件与互斥事件的关系

互斥事件:不可能同时发生的两个事件(可 能两个都不发生) 对立事件:必有一个发生的互斥事件

一次随机试验中
①对立必互斥 ②互斥不一定对立

例4 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个 小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组, 具体情况如图所示.随机选取1个成员: (1)他至少参加2个小组的概率是多少?

(2)他参加不超过2个小组的概率是多少?

英语 音乐 7 6 8 8 10 11 数学 10

解:(1)从图可以看出,3个课外兴趣小组总人
数为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个 ” A 就表示“选取的成员至少参加2个小 则 组”,于是,

6 ? 8 ? 10 P ( A) ? 1 ? P ( A) ? 1 ? ? 0.6. 60 因此,随机选取的1个成员至少参加2个小组的概率是0.6.

(2)用B表示事件“选取的成员参加3个小组”,则B就表示 “选取的成员参加不超过2个小组”,于是,

8 13 P (B ) ? 1 ? P (B ) ? 1 ? = ? 0.87. 60 15
所以,随机选取的1个成员参加不超过2个小组的概率约等 于0.87

互斥事件:不同时发生的两个或多个事件. 若事件A与B互斥: P(A+B) = P(A) + P(B) 事件A1,A2,?,An彼此互斥 P(A1+A2+?An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An) 对立事件:必有一个发生的两个互斥事件(A与B对 立). P(A)=1-P(B)=1- P(A)

课外延伸

如果A、B不互斥,A+B包括哪些情况? 此时P(A+B)= ?

A发生B不发生 B发生A不发生 A 、B同时发生


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