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二次函数最值问题专题课件


一、定义域为R的二次函数的值域 定义域为R 求二次函数y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0 )当x ∈ R时的值域是先把它配方
b 4ac b 2 为y = a x + + 2a 4a 4ac b 2 4ac b 2 当a > 0时y ∈ , + ∞ ;当a < 0时, 值域为 ∞, ; 4a 4a
2

∴ 值域为( ∞, 4]

如 : y = x 2 + 2 x + 3 = ( x 1) 2 + 4

另外也可以从函数的图象上去理解。 另外也可以从函数的图象上去理解。

2 1 0 -1

2 1 1 2 3
2

b 4ac b 2 A( , ) 2a 4a

-1

b 4ac b A( , ) 2a 4a

-1

0 -1

1

2

3

二、定义域不为R的二次函数的值域 定义域不为R
例1、 当x∈(2,3] 时, 求函数 y = x 2 + 2 x + 3 的值域
从图象上观察得到当x ∈ (2, 3] 时y ∈ [0, 3)

4

y

(1,4)

3

练习
在下列条件下求函数 y = x 2 x + 3的值域
2

2

1

(1) x ∈ [ 1, 4)

x

-1

1

2

3

答(1) y ∈ [2,11)

三、定函数动区间的二次函数的值域
求函数y=x2-2x+3在区间 ,a]上的最 在区间[0, 上的最 例2 求函数 在区间 并求此时x的值 的值。 值,并求此时 的值。 解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当0<a≤1时,函数在 ,a]上单调递减, 上单调递减, 当 时 函数在[0, 上单调递减
y

∴当x=0时,ymax=3 时 当x=a时,ymin=a2-2a+3 时

3 2 o a 1 x

求函数y=x2-2x+3在区间 ,a]上的最 在区间[0, 上的最 例2 求函数 在区间 并求此时x的值 的值。 值,并求此时 的值。 函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 解:函数图象的对称轴为直线 函数图象的对称轴为直线 抛物线开口向上 1.当a≤1时,函数在 ,a]上单调递减, 上单调递减, 当 时 函数在[0, 上单调递减 ∴当x=0时,ymax=3 时 y 当x=a时,ymin=a2-2a+3 时 函数在[0,1]上单 上单 2.当1<a<2时,函数在 当 时 函数在 调递减,在 上单调递增, 调递减 在[1,a]上单调递增 上单调递增 ∴当x=1时,ymin=2 时 当x=0时,ymax=3 时
3 2 o 1 a 2 x

求函数y=x2-2x+3在区间 ,a]上的最 在区间[0, 上的最 例2 求函数 在区间 并求此时x的值 的值。 值,并求此时 的值。 函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 解:函数图象的对称轴为直线 函数图象的对称轴为直线 抛物线开口向上 1.当a≤1时,函数在 ,a]上单调递减, 上单调递减, 当 时 函数在[0, 上单调递减 ∴当x=0时,ymax=3;当x=a时,ymin=a2-2a+3 时 当 时 2.当1<a<2时,函数在 当 函数在[0,1]上单 时 函数在 上单 调递减,在 上单调递增, 调递减 在[1,a]上单调递增 上单调递增 ∴当x=1时,ymin=2;当x=0时,ymax=3 时 当 时 3.当a≥2时 ,函数在 当 函数在[0,1]上单调 时 函数在 上单调 递减,在 , 上单调递增 上单调递增, 递减 在[1,a]上单调递增 ∴当x=1时,ymin=2, 时 当x=a时,ymax= a2-2a+3 时
y

3 2 o 1 2 x a

四、动函数定区间的二次函数的值域
例3、求 、

f ( x) = x 2 + ax + 3 在
a x= 2

0 ≤ x ≤1
,即

上的最值。 上的最值。

1、由图(1)得: 、由图( ) 当

0

1

y m ax = f (0 ) = 3 y m in = f (1) = a + 4

a ≥1 2

a ≤ 2

时,

图(1) )

a x= 2
0

2、由图(2)得: 、由图( ) a ≤ 0 ,即 当 2

a≥0

时,

1

y m a x = f (1) = a + 4 y m in = f (0 ) = 3

图(2) )

例3、求 、
x= a 2

f ( x) = x 2 + ax + 3 在
当 0≤ ≤
a 2

0 ≤ x ≤1

上的最值。 上的最值。

3、由图(3)得: 、由图( )
1 ,即 1 ≤ a ≤ 0 时, 2

0

1 2

1

y m ax = f (1) = a + 4 y m in a a2 = f ( ) = 3 2 4

图(3) )

4、由图(4)得: 、由图( )
x= a 2

1 a ≤ ≤ 1 ,即 2 ≤ a ≤ 1时, 当 2 2

1 2

1

y m ax = f (0 ) = 3 y m in

图(4) )

a a2 = f ( ) = 3 2 4

五、动函数动区间的二次函数的值域 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值 例4 求函数 在 ∈ 上的最大值
a 函数图象的对称轴方程为x= ,又x∈[-1,a] 解:函数图象的对称轴方程为 函数图象的对称轴方程为 又 ∈ 2 a 1 1 的右边. 故a>-1, 2 > - ,∴对称轴在 - 的右边 ∴对称轴在x= 2 2 a ∴(1)当 -1< 2 ≤a时,即a≥0时,由二次函数图象 当 时即 时 由二次函数图象

y

可知: 可知 ymax =f (2)当a< 当
a 2

a ( 2

a 2 )= 4

a 2 4

时,即-1<a<0时, 即 时

-1 o

a 2

a x

求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值 例4 求函数 在 ∈ 上的最大值 a 函数图象的对称轴方程为x= ,又x∈[-1,a] 解:函数图象的对称轴方程为 函数图象的对称轴方程为 又 ∈ 故a>-1,
a 2

>a 2

1 2

2

,∴对称轴在x= ∴对称轴在
a )= 4

1 2

的右边. 的右边

∴(1)当 -1< 当
a 2

≤a时,即a≥0时,由二次函数图象 时即 时 由二次函数图象 2
a ( 2

可知: 可知 ymax =f (2)当a< 当

y
a 2 4

时,即-1<a<0时, 即 时
a
a 2

由二次函数的图象可知: 由二次函数的图象可知 -1 ymax =f (a)=0 综上所述:当 综上所述 当-1<a<0时, ymax =0 时 当 a≥0时,ymax = 时
a 2 4

x o

课堂小结: 课堂小结:
对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题, 对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题, 关键抓住二次函数图象的开口方向,对称轴及

定义区间,应用数形结合法求解。 求解。

思考讨论: 思考讨论: 1、已知函数 f ( x ) = x + 2ax + 1
2
2 2

在区间[ 1,]上的最大值为 4,求a的值。 2

2、不等式 9 x 6 ax + a 2 a 6 ≥ 0 1 1 在 ≤ x ≤ 内恒成立,求实数 a的取值范围。 3 3

3、已知函数f ( x ) = 2 x 2ax + 3
2

在区间[ 1,上有最小值,记作g (a ) 1]

(1)求g (a )的函数表达式;( )求g (a )的最大值。 2


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